52. Более сложные примеры уравнений
.
Пример 1
.
5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)
Общий знаменатель есть x 2 – 1, так как x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x 2 – 1. Получим:
или, после сокращения,
5(x + 1) – 3(x – 1) = 15
5x + 5 – 3x + 3 = 15
2x = 7 и x = 3½
Рассмотрим еще уравнение:
5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)
Решая, как выше, получим:
5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.
Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.
Для первого примера получим:
Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.
Для второго примера получим:
5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0
Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.
Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.
Пример 2 .
Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:
(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)
2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.
Здесь может возбудить опасения, что мы не справимся с этим уравнением, то обстоятельство, что в уравнение входят члены с x 2 . Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть по 2x 2 - от этого уравнение не нарушится; тогда члены с x 2 уничтожатся, и мы получим:
6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3
Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо - получим:
3x = 3 или x = 1
Вспоминая данное уравнение
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.
Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) - ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:
2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,
что невозможно.
Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль.
Решим теперь уравнение:
(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)
Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:
6x + 10 = 2x + 18
Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:
или 11 = 11
Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:
(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.
Здесь уже члены с x 2 не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы
4x 2 – 12x = –8
x 2 – 3x = –2
Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:
1) 2 2 – 3 · 2 = –2 и 2) 1 2 – 3 · 1 = –2
Если мы вспомним начальное уравнение
(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.
Пример 3 .
Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:
1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),
2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),
3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).
Общий знаменатель равен (x – 3)(x – 2)(x + 1).
Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь можем переписать в виде:
на общего знаменателя (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тогда, после сокращения каждой дроби получим:
3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.
Отсюда получим:
–x = –13 и x = 13.
Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль ни одного из знаменателей.
Если бы мы взяли уравнение:
то, поступая совершенно так же, как выше, получили бы
3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2
3x + 3 – 2x + 6 = x – 2
3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,
откуда получили бы
что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.
Цели и задачи:
Образовательные:
- Рассмотреть способ решения “сложных” уравнений вида: (х + 3):8 = 5 и вывести алгоритм действия для их решения.
- Совершенствовать вычислительные навыки.
Развивающие:
- Развивать умение анализировать, рассуждать, объяснять способ действия уравнений вида: (х + 3):8 = 5.
Воспитательные:
- Формировать умение работать в паре (выслушивать мнение товарища, обсуждать проблему, приходить к единому мнению).
Здоровьесберегающие:
- Учить заботиться о своём здоровье.
Оборудование:
- Мультимедийный проектор и экран;
- Компьютер;
- Презентация;
- Памятка-опора;
- Задания на карточках.
Ход урока:
I. Организационный момент.
– Прозвенел звонок. Проверьте готовность к уроку математики. Все готовы.
А давайте убедимся в этом!
– БЛИЦ: Как найти неизвестное слагаемое? (вычитаемое, уменьшаемое, делимое, делитель, множитель).
– Молодцы! Садитесь. Мы смело можем начать работу. Откройте тетради. Запишите число, классная работа.
II. Актуализация опорных знаний.
1) – Я предлагаю вам выполнить разминку. Внимание на экран!
(Приложение 1. Презентация – Слайд 1 ).
100 ∙ 29 32 ∙ 20 4800: 2 |
а ∙ 15 9000 – в с: 317 |
х ∙ 80 = 640 к: 50 = 500 с + 90 = 34+56 |
– Разделите данные записи на группы. Кто разделил на 2? На 3 группы?
Обсуждение!! ! По какому принципу делил …. , а …..?
– Назови числовые выражения. Назови буквенные. Остальные? (Уравнения.)
(Слайд 2)
– Найдите значения числовых выражений.
– Найдите значения буквенных выражений, если
а = 0 , в = 1, с = 317
– Среди уравнений найдите “лишнее”. Докажи!
– Найдите корень 1 уравнения, 2 уравнения. (Простые.)
– Что необходимо сделать сначала, чтобы решить сложное уравнение такого вида?
(Упростить.) – Как? (Выполнить действие.) Какое?
– Упростите уравнение. Найдите корень.
III. Тема, задачи.
– Кто хочет научиться решать сложные уравнения нового вида? Поднимите руку!
Молодцы! Это значит, вы не боитесь трудностей и готовы к новым открытиям!
– Тема нашего урока “Решение “сложных” уравнений нового вида”.
(Поскольку понятие “сложное” уравнение условное, я заключила его в кавычки.)
– Определим учебные задачи:
1. Научиться решать сложные уравнения нового вида.
2. Составить алгоритм решения. (Алгоритм – порядок, последовательность
действий.)
3. Учиться комментировать решение уравнений.
4. Совершенствовать вычислительные навыки.
Физкультминутка 1.
IV. Работа по теме. Постановка проблемы. Открытие нового.
1) Из № 488. Учебник.
– Я хочу вам предложить сейчас снова побывать исследователями.
□ + 30 = 50 Эта запись на доске!
– Прочитайте выражение. 1 слаг. 2 слаг. Значение суммы.
– Это уравнение? Почему?
– Вставьте в “окошко” выражение
□ + 30 = 50 – Как назовём запись? (Слож. ур.) – Похоже оно на то, которое уже умеем решать? – Почему?
– Попробуйте найти способ решения этого уравнения. ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ, я не случайно подписала компоненты действия! Оформите без проверки!
2) Объяснение: – Чем (каким компонентом) является в данной сумме буквенное выражение 4 ∙ х (это 1 слагаемое).
Значит, 1 слагаемое – это буквенное выражение 4 ∙ х и оно неизвестно!
Правило не меняется! Как найти неизвестное 1 слаг.?
|
= 50 – 30 – Умеете решать? |
3) – Откройте учебник с. 149 № 488. Прочитайте, как рассуждал Миша.
V. Выведение алгоритма. Закрепление нового.
1) Решите уравнение: (х + 3) : 8 = 5 1 к доске.
Задание! – Попробуйте определить последовательность!
2) Выведение алгоритма.
– Как ты понял что, компоненты будут называться: делимое, делитель, значение частного.
– Деление какое по счёту 1-ое или последнее? = С чего же начать?
3). Алгоритм (Слайд 3) .
- Определю последнее действие и назову компоненты.
- Определю неизвестный компонент и вспомню правило его нахождения.
- Запишу новое уравнение и упрощу.
- Решу простое уравнение.
4) Чтение памятки для комментирования.
5). № 489. Учебник. Комментирование.
Физкультминутка 2 (для глаз).
6). Коллективная работа. Работа в парах.
1) (у– 5) ∙ 4 = 28
2) 3 ∙ а – 7 = 14
3) (24 + d) : 8 = 7
4) 63: (14 – х) = 7
Заполни таблицу самоконтроля!
Уравнение. | 1 | 2 | 3 | 4 |
Решение. | ||||