Нормальное уравнение плоскости.
Общее
уравнение плоскости вида называют нормальным
уравнением плоскости
,
если длина
вектора 
равна
единице, то есть, 
,
и .
Часто можно видеть, что нормальное уравнение плоскости записывают в виде . Здесь - направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины, то есть , а p – неотрицательное число, равное расстоянию от начала координат до плоскости.
Нормальное
уравнение плоскости в прямоугольной
системе координат Oxyz
определяет
плоскость, которая удалена от начала
координат на расстояние p
в
положительном направлении нормального
вектора этой плоскости 
.
Если p=0
,
то плоскость проходит через начало
координат.
Приведем пример нормального уравнения плоскости.
Пусть
плоскость задана в прямоугольной системе
координат Oxyz
общим
уравнение плоскости вида 
.
Это общее уравнение плоскости является
нормальным уравнением плоскости.
Действительно, и
нормальный вектор этой плоскости 
имеет
длину равную единице, так как 
.
Уравнение плоскости в нормальном виде позволяет находить расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от точки до плоскости - это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Если и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае. Расстояние от точки до плоскости равно
Взаимное расположение плоскостей. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Расстояние между параллельными плоскостями
Связанные понятия
Плоскости параллельны , если
или 
(Векторное
произведение)
Плоскости перпендикулярны , если
Или 
.
(Скалярное произведение)
Прямая в пространстве. Различные виды уравнения прямой.
Уравнения прямой в пространстве – начальные сведения.
Уравнение прямой на плоскости Oxy представляет собой линейное уравнение с двумя переменными x и y , которому удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точек. С прямой в трехмерном пространстве дело обстоит немного иначе – не существует линейного уравнения с тремя переменными x , y и z , которому бы удовлетворяли только координаты точек прямой, заданной в прямоугольной системе координат Oxyz . Действительно, уравнение вида , гдеx , y и z – переменные, а A , B , C и D – некоторые действительные числа, причем А , В и С одновременно не равны нулю, представляет собой общее уравнение плоскости . Тогда встает вопрос: «Каким же образом можно описать прямую линию в прямоугольной системе координат Oxyz »?
Ответ на него содержится в следующих пунктах статьи.
Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей.
Напомним одну аксиому: если две плоскости в пространстве имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой находятся все общие точки этих плоскостей. Таким образом, прямую линию в пространстве можно задать, указав две плоскости, пересекающиеся по этой прямой.
Переведем последнее утверждение на язык алгебры.
Пусть
в трехмерном пространстве зафиксирована
прямоугольная система координат Oxyz
и
известно, что прямая a
является
линией пересечения двух плоскостей и,
которым отвечают общие уравнения
плоскости видаисоответственно.
Так как прямаяa
представляет
собой множество всех общих точек
плоскостей и,
то координаты любой точки прямой a будут
удовлетворять одновременно и уравнениюи
уравнению,
координаты никаких других точек не
будут удовлетворять одновременно обоим
уравнениям плоскостей. Следовательно,
координаты любой точки прямойa
в
прямоугольной системе координат Oxyz
представляют
собой частное
решение системы линейных уравнений
вида 
,
а общее решение системы уравнений
определяет
координаты каждой точки прямойa
,
то есть, определяет прямую a
.
Итак,
прямая в пространстве в прямоугольной
системе координат Oxyz
может
быть задана системой из уравнений двух
пересекающихся плоскостей 
.
Вот
пример задания прямой линии в пространстве
с помощью системы двух уравнений - 
.
Описание прямой линии уравнениями двух пересекающихся плоскостей отлично подходит принахождении координат точки пересечения прямой и плоскости , а также при нахождении координат точки пересечения двух прямых в пространстве .
Рекомендуем продолжить изучение этой темы, обратившись к статье уравнения прямой в пространстве - уравнения двух пересекающихся плоскостей . В ней дана более детальная информация, подробно разобраны решения характерных примеров и задач, а также показан способ перехода к уравнениям прямой в пространстве другого вида.
Следует отметить, что существуют различные способы задания прямой в пространстве , и на практике прямая чаще задается не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, лежащей на этой прямой. В этих случаях проще получить канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. О них поговорим в следующих пунктах.
Параметрические уравнения прямой в пространстве.
Параметрические
уравнения прямой в пространстве
имеют
вид 
,
где x 1 ,y 1 и z 1 – координаты некоторой точки прямой, a x , a y и a z (a x , a y и a z одновременно не равны нулю) - соответствующие координаты направляющего вектора прямой , а - некоторый параметр, который может принимать любые действительные значения.
При любом значении параметра по параметрическим уравнениям прямой в пространстве мы можем вычислить тройку чисел,
она будет соответствовать некоторой точке прямой (отсюда и название этого вида уравнений прямой). К примеру, при
из
параметрических уравнений прямой в
пространстве получаем координаты x
1
, y
1
и z
1
: 
.
В
качестве примера рассмотрим прямую,
которую задают параметрические уравнения
вида 
.
Эта прямая проходит через точку,
а направляющий вектор этой прямой имеет
координаты.
Рекомендуем продолжить изучение темы, обратившись к материалу статьи параметрические уравнения прямой в пространстве . В ней показан вывод параметрических уравнений прямой в пространстве, разобраны частные случаи параметрических уравнений прямой в пространстве, даны графические иллюстрации, приведены развернутые решения характерных задач и указана связь параметрических уравнений прямой с другими видами уравнений прямой.
Канонические уравнения прямой в пространстве.
Разрешив
каждое из параметрических уравнений
прямой вида 
относительно
параметра,
легко перейти кканоническим
уравнениям прямой в пространстве
вида 
.
Канонические
уравнения прямой в пространстве
определяют прямую, проходящую через
точку
,
а направляющим вектором прямой является
вектор
.
К примеру, уравнения прямой в каноническом
виде
соответствуют
прямой, проходящей через точку пространства
с координатами,
направляющий вектор этой прямой имеет
координаты.
Следует
отметить, что одно или два из чисел в
канонических уравнениях прямой могут
быть равны нулю (все три числаодновременно
не могут быть равны нулю, так как
направляющий вектор прямой не может
быть нулевым). Тогда запись вида
считается
формальной (так как в знаменателях одной
или двух дробей будут нули) и ее следует
понимать как
,
где.
Если
одно из чисел в
канонических уравнениях прямой равно
нулю, то прямая лежит в одной из
координатных плоскостей, либо в плоскости
ей параллельной. Если два из чиселравны
нулю, то прямая либо совпадает с одной
из координатных осей, либо параллельна
ей. Например прямая, соответствующая
каноническим уравнениям прямой в
пространстве вида
,
лежит в плоскостиz=-2
,
которая параллельна координатной
плоскости Oxy
,
а координатная ось Oy
определяется
каноническими уравнениями .
Графические иллюстрации этих случаев, вывод канонических уравнений прямой в пространстве, подробные решения характерных примеров и задач, а также переход от канонических уравнений прямой к другим уравнениям прямой в пространстве смотрите в статье канонические уравнения прямой в пространстве .
Общее уравнение прямой. Переход от общего к каноническому уравнению.
| " |
В данной статье мы рассмотрим нормальное уравнение плоскости. Приведем примеры построения нормального уравнения плоскости по углу наклона нормального вектора плоскости от осей Ox, Oy, Oz и по расстоянию r от начала координат до плоскости. Представим метод приведения общего уравнения прямой к нормальному виду. Рассмотрим численные примеры.
Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Тогда нормальное уравнение плоскости Ω представляется следующей формулой:
| xcosα+ycosβ+zcosγ−r =0, | (1) |
где r − расстояние от начала координат до плоскости Ω , а α,β,γ − это углы между единичным вектором n , ортогональным плоскости Ω и координатными осьями Ox, Oy, Oz , соответственно (Рис.1). (Если r >0, то вектор n направлен в сторону плоскости Ω , если же плоскость проходит через начало координат, то направление вектора n выбирается произвольной).
Выведем формулу (1). Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат и плоскость Ω (Рис.1). Проведем через начало координат прямую Q , перпендикулярную плоскости Ω , и точку пересечения обозначим через R . На этой прямой выделим единичный вектор n , с направлением, совпадающим с вектором . (Если точки O и R совпадают, то направление n можно взять произвольным).
Выразим уравнение плоскости Ω через следующие параметры: длину отрезка и углы наклона α, β, γ между вектором n и осьями Ox, Oy, Oz , соответственно.
Так как вектор n является единичным вектором, то его проекции на Ox, Oy, Oz будут иметь следующие координаты:
Скалярное произведение векторов n и имеет следующий вид:
Учитывая, что n=
{cosα, cosβ, cosγ
}, 
, мы получим:
| xcosα+ycosβ+zcosγ−r =0. | (7) |
Мы получили нормальное уравнение плоскости Ω . Уравнение (7) (или (1)) называется также нормированным уравнением плоскости . Вектор n называется нормальным вектором плоскости .
Как было отмечено выше, число r в уравнении (1) показывает расстояние плоскости от начала координат. Поэтому, имея нормальное уравнение плоскости легко определить расстояние плоскости от начала координат. Для проверки, является ли данное уравнение плоскости уравнением в нормальном виде, нужно проверить длину нормального вектора этой плоскости и знак числа r , т.е. если |n |=1 и r >0, то данное уравнение является нормальным (нормированным) уравнением плоскости.
Пример 1. Задано следующее уравнение плоскости:
Определим длину вектора n :
Так как уравнения (1) и (8) должны определять одну и ту же прямую (Утрерждение 2 статьи "Общее уравнение плоскости"), то существует такое число t , что
Упростим выражение и найдем t :
| t 2 A 2 +t 2 B 2 +t 2 C 2 =t 2 (A 2 +B 2 +C 2)=1, |
 .
| (11) |
Знаменатель в (11) отличен от нуля, т.к. хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю (в противном случае (8) не представлял бы уравнение прямой).
Выясним, какой знак имеет t . Обратим внимание на четвертое равенство в (9). Так как r −это расстояние от начала координат до плоскости, то r ≥0. Тогда произведение tD должна иметь отрицательный знак. Т.е. знак t в (11) должен быть противоположным знаку D .
Подставляя в (1) вместо cosα, cosβ, cosγ и −r значения из (9), получим tAx+tBy+tCz+tD =0. Т.е. для приведения общего уравенения плоскости к нормальному виду, нужно заданное уравнение умножить на множитель (11). Множитель (11) называется нормирующим множителем .
Пример 2. Задано общее уравнение плоскости
Так как D >0, то знак t отрицательный:
Отметим, что число является расстоянием от начала координат до прямой (12).
– общее уравнение плоскости в пространстве
Нормальный вектор плоскости
Нормальным вектором плоскости назовем ненулевой вектор, ортогональный каждому вектору, лежащему в плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через точкус заданным вектором нормали
– уравнение плоскости, проходящей через точку M0 с заданным вектором нормали
Направляющие векторы плоскости
Два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости, назовем направляющими векторами плоскости
Параметрические уравнения плоскости
– параметрическое уравнение плоскости
в векторном виде
– параметрическое уравнение плоскости
в координатах
Уравнение плоскости через заданную точку и два направляющих вектора
–фиксированная точка
–просто точка лол
–компланарные, значит их смешанное произведение равно 0.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
– уравнение плоскости через три точки
Уравнение плоскости в отрезках
– уравнение плоскости в отрезках
Доказательство
Для доказательства воспользуемся тем, что наша плоскость проходит через A,B,C, а нормальный вектор
Подставим координаты точки и вектораnв уравнение плоскости с нормальным вектором
Разделим все на и получим
Такие дела.
Нормальное уравнение плоскости
– угол междуoxи нормальным вектором к плоскости, выходящим из О.
– угол междуoyи нормальным вектором к плоскости, выходящим из О.
– угол междуozи нормальным вектором к плоскости, выходящим из О.
– расстояние от начала координат до плоскости.
Доказательство или какая-то такая хуйня
Знак противоположен D.
Аналогично для остальных косинусов. Конец.
Расстояние от точки до плоскости
Точка S, плоскость
– ориентированное расстояние от точкиSдо плоскости
Если , тоSи О лежат по разные стороны от плоскости
Если , тоSи О лежат по одну сторону
Умножаем наn
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Угол между плоскостями
При пересечении образуется две пары вертикальных двухгранных углов, наименьший называется углом между плоскостями
Прямая в пространстве
Прямая в пространстве может быть задана как
Пересечение двух плоскостей:
Параметрические уравнения прямой
– параметрическое уравнение прямой в векторном виде
– параметрическое уравнение прямой в координатах
Каноническое уравнение
– каноническое уравнение прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
– каноническое уравнение прямой в
векторном виде;
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Угол между прямой и плоскостью
Расстояние от точки до прямой в пространстве
a– направляющий вектор нашей прямой.
– произвольная точка, принадлежащая данной прямой
– точка, до которой ищем расстояние.
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
Расстояние между двумя параллельными прямыми
М1 – точка, принадлежащая первой прямой
М2 – точка, принадлежащая второй прямой
Кривые и поверхности второго порядка
Эллипсом назовем множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.
Каноническое уравнение эллипса
Заменим на
Разделим на
Свойства эллипса
Пересечение с осями координат
Начала координат
Симметрия относительно
Эллипс представляет собой кривую, лежащую в ограниченной части плоскости
Эллипс можно получить из окружности путем её растяжения или сжатия
Параметрическое уравнение эллипса:
– директрисы
Гипербола
Гиперболой назовем множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до 2х заданных точек (фокусов) есть величина постоянная(2a)
Делаем все то же самое, что и с эллипсом, получаем
Заменяем на
Делим на
Свойства гиперболы
;
– директрисы
Асимптота
Асимптота – прямая, к которой кривая неограниченно приближается, удаляясь в бесконечность.
Парабола
Свойства паработы
Родство эллипса, гиперболы и параболы.
Родство между этими кривыми имеет алгебраическое объяснение: все они задаются уравнениями второй степени. В любой системе координат уравнения этих кривых имеют вид: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, где a, b, c, d, e, f – числа
Преобразование прямоугольных декартовых систем координат
Параллельный перенос системы координат
–O’ в старой системе координат
–координаты точки в старой системе координат
–координаты точки в новой системе координат
Координаты точки в новой системе координат.
Поворот в прямоугольной декартовой системе координат
–новая система координат
Матрица перехода от старого базиса к новому
– (под первым столбцомI
’
,
под вторым –j
’
)
матрица перехода от базисаI
,j
к базисуI
’
,j
’
Общий случай
Поворот системы координат
Поворот системы координат
Параллельный перенос начала координат
1 вариант
2 вариант
Общее уравнение линий второго порядка и его приведение к каноническому виду
– общий вид уравнений кривой второго порядка
Классификация кривых второго порядка
Эллипсоид
Сечения эллипсоида
– эллипс
– эллипс
Эллипсоиды вращения
Эллипсоидами вращения являются либо сплющенные, либо вытянутые сфероиды, в зависимости от того, вокруг чего вращаем.
Однополосный гиперболоид
Сечения однополосного гиперболоида
– гипербола с действительной осьюoy
– гипербола с действительной осью ох
Получается эллипс при любых h. Такие дела.
Однополосные гиперболоиды вращения
Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси.
Двуполостный гиперболоид
Сечения двуполостного гиперболоида
– гипербола с действ. Осьюoz
– гипербола с действительной осьюoz
Конус
– пара пересекающихся прямых
– пара пересекающихся прямых
Эллиптический параболоид
-
парабола
– парабола
Вращения
Если , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг её оси симметрии.
Гиперболический параболоид
Парабола
– парабола
h>0 гипербола с действительной осью параллельной ох
h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох
Под цилиндром будем понимать поверхность, которая будет получаться при движении прямой в пространстве, не меняющая своего направления, если прямая движется относительно oz, то уравнение цилиндра есть уравнение сечения плоскостьюxoy.
Эллиптический цилиндр
Гиперболический цилиндр
Параболический цилиндр
Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
Прямые, полностью лежащие на поверхности, называются прямолинейными образующими поверхности.
Поверхности вращения
Ебать ты лох
Отображение
Отображением назовем правило, по которому каждому элементу множества А ставится в соответствие один или несколько элементов множестваB. Если каждому ставится единственный элемент множества В, то отображение называетсяоднозначным , иначемногозначным .
Преобразованием множества называется взаимнооднозначное отображение множества на себя
Инъекция
Инъекция или взаимно-однозначное отображение множества А на множество В
(разным элементам а соответствуют разные элементы В) например y=x^2
Сюръекция
Сюръекция или отображение множества А на множество В
Для каждого В существует хотя бы одно А(например синус)
Каждому элементу множества В соответствует только один элемент множества А.(например y=x)
В этом уроке мы рассмотрим, как с помощью определителя составить уравнение плоскости . Если вы не знаете, что такое определитель, зайдите в первую часть урока - «Матрицы и определители ». Иначе вы рискуете ничего не понять в сегодняшнем материале.
Уравнение плоскости по трем точкам
Зачем вообще нужно уравнение плоскости? Все просто: зная его, мы легко высчитаем углы, расстояния и прочую хрень в задаче C2. В общем, без этого уравнения не обойтись. Поэтому сформулируем задачу:
Задача. В пространстве даны три точки, не лежащие на одной прямой. Их координаты:
M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3);Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Причем уравнение должно иметь вид:
Ax + By + Cz + D = 0
где числа A , B , C и D - коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.
Ну и как получить уравнение плоскости, если известны только координаты точек? Самый простой способ - подставить координаты в уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Получится система из трех уравнений, которая легко решается.
Многие ученики считают такое решение крайне утомительным и ненадежным. Прошлогодний ЕГЭ по математике показал, что вероятность допустить вычислительную ошибку действительно велика.
Поэтому наиболее продвинутые учителя стали искать более простые и изящные решения. И ведь нашли! Правда, полученный прием скорее относится к высшей математике. Лично мне пришлось перерыть весь Федеральный перечень учебников, чтобы убедиться, что мы вправе применять этот прием без каких-либо обоснований и доказательств.
Уравнение плоскости через определитель
Хватит лирики, приступаем к делу. Для начала - теорема о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.
Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: M = (x 1 , y 1 , z 1); N = (x 2 , y 2 , z 2); K = (x 3 , y 3 , z 3). Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:
Для примера попробуем найти пару плоскостей, которые реально встречаются в задачах С2. Взгляните, как быстро все считается:
A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);
Составляем определитель и приравниваем его к нулю:
Раскрываем определитель:
a
= 1 · 1 · (z
− 1) + 0 · 0 · x
+ (−1) · 1 · y
= z
− 1 − y;
b
= (−1) · 1 · x
+ 0 · 1 · (z
− 1) + 1 · 0 · y
= −x;
d
= a
− b
= z
− 1 − y
− (−x
) = z
− 1 − y
+ x
= x
− y
+ z
− 1;
d
= 0 ⇒ x
− y
+ z
− 1 = 0;
Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные x , y и z шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!
Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:
A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);
Сразу подставляем координаты точек в определитель:
Снова раскрываем определитель:
a
= 1 · 1 · z
+ 0 · 1 · x
+ 1 · 0 · y
= z;
b
= 1 · 1 · x
+ 0 · 0 · z
+ 1 · 1 · y
= x
+ y;
d
= a
− b
= z
− (x
+ y
) = z
− x
− y;
d
= 0 ⇒ z
− x
− y
= 0 ⇒ x
+ y
− z
= 0;
Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, но все-таки рекомендуется - чтобы упростить дальнейшее решение задачи.
Как видите, составлять уравнение плоскости теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель - и все, уравнение готово.
На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит x 2 или x 3 , а в какой - просто x . Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.
Откуда берется формула с определителем?
Итак, разбираемся, откуда возникает такое суровое уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить его и успешно применять.
Все плоскости, которые встречаются в задаче C2, задаются тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже, либо даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, для составления уравнения нам потребуется выписать их координаты:
M
= (x
1 , y
1 , z
1);
N
= (x
2 , y
2 , z
2);
K
= (x
3 , y
3 , z
3).
Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:
T = (x , y , z )
Берем любую точку из первой тройки (например, точку M ) и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:
MN
= (x
2 − x
1 , y
2 − y
1 , z
2 − z
1);
MK
= (x
3 − x
1 , y
3 − y
1 , z
3 − z
1);
MT
= (x
− x
1 , y
− y
1 , z
− z
1).
Теперь составим из этих векторов квадратную матрицу и приравняем ее определитель к нулю. Координаты векторов станут строчками матрицы - и мы получим тот самый определитель, который указан в теореме:
Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах MN , MK и MT , равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка T = (x , y , z ) - как раз то, что мы искали.
Замена точек и строк определителя
У определителей есть несколько замечательных свойств, которые еще более упрощают решение задачи C2 . Например, нам неважно, из какой точки проводить векторы. Поэтому следующие определители дают такое же уравнение плоскости, как и приведенный выше:
Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки T = (x ; y ; z ) в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:
Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные x , y и z , которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:
Затем определитель раскрывается по схеме, приведенной в начале урока, и получается стандартное уравнение плоскости:
Ax + By + Cz + D = 0
Взгляните на пример. Он последний в сегодняшнем уроке. Я специально поменяю строчки местами, чтобы убедиться, что в ответе получится одно и то же уравнение плоскости.
Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).
Итак, рассматриваем 4 точки:
B
1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D
1 = (0, 1, 1);
T
= (x
, y
, z
).
Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:
Раскрываем определитель:
a
= 0 · 1 · (z
− 1) + 1 · 0 · (x
− 1) + (−1) · (−1) · y
= 0 + 0 + y;
b
= (−1) · 1 · (x
− 1) + 1 · (−1) · (z
− 1) + 0 · 0 · y
= 1 − x
+ 1 − z
= 2 − x
− z;
d
= a
− b
= y
− (2 − x
− z
) = y
− 2 + x
+ z
= x
+ y
+ z
− 2;
d
= 0 ⇒ x
+ y
+ z
− 2 = 0;
Все, мы получили ответ: x + y + z − 2 = 0 .
Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными x , y , z не внизу, а вверху:
Вновь раскрываем полученный определитель:
a
= (x
− 1) · 1 · (−1) + (z
− 1) · (−1) · 1 + y
· 0 · 0 = 1 − x
+ 1 − z
= 2 − x
− z;
b
= (z
− 1) · 1 · 0 + y
· (−1) · (−1) + (x
− 1) · 1 · 0 = y;
d
= a
− b
= 2 − x
− z
− y;
d
= 0 ⇒ 2 − x
− y
− z
= 0 ⇒ x
+ y
+ z
− 2 = 0;
Мы получили точно такое же уравнение плоскости: x + y + z − 2 = 0. Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.
Итак, мы убедились, что уравнение плоскости не зависит от последовательности строк. Можно провести аналогичные вычисления и доказать, что уравнение плоскости не зависит и от точки, координаты которой мы вычитаем из остальных точек.
В рассмотренной выше задаче мы использовали точку B 1 = (1, 0, 1), но вполне можно было взять C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.
1. Общее уравнение плоскости
Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению: Ax + By + Cz + D = 0 , где А, В, С – координаты вектора
N = Ai + Bj + Ck -вектор нормали к плоскости. Возможны следующие частные случаи:
A = 0 – плоскость параллельна оси Ох
B = 0 – плоскость параллельна оси Оу C = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
A = B = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу A = C = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz B = C = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz A = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
B = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу C = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
A = B = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу A = C = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz B = C = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz
2. Уравнение поверхности в пространстве
Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.
3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Для того, чтобы через три какиелибо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Рассмотрим точки М1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3 , y3 , z3 ) в общей декартовой системе
координат. |
||||||
Для того, чтобы произвольная точка M (x , y , z ) |
лежала в одной плоскости с точками |
|||||
M 1 , M 2 , M 3 необходимо, чтобы векторы M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M были компланарны, т.е |
||||||
M1 M = { x − x1 ; y − y1 ; z − z1 } |
||||||
(M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M ) = 0. Таким образом, M 1 M 2 |
= { x 2 − x 1 ; y 2 |
− y 1 ; z 2 − z 1} |
||||
M1 M 3 |
= { x 3 − x 1 ; y 3 − y 1 ; z 3 − z 1} |
|||||
x − x1 |
y − y1 |
z − z1 |
||||
Уравнение плоскости, проходящей через три точки: |
x 2 − x 1 |
y 2 − y 1 |
z 2 − z 1 |
|||
x 3 − x 1 |
y 3 − y 1 |
z 3 − z 1 |
||||
4. Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости
Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и векторa = (a 1 , a 2 , a 3 ) .
Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную
точку М(х, у, z) параллельно вектору a . |
||||||||||
Векторы M1 M = { x − x1 ; y − y1 ; z − z1 } |
и вектор a = (a , a |
должны быть |
||||||||
M 1M 2 = { x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1} |
||||||||||
x − x1 |
y − y1 |
z − z1 |
||||||||
компланарны, т.е. (M 1 M , M 1 M 2 , a ) = 0.Уравнение плоскости: |
x 2 − x 1 |
y 2 − y 1 |
z 2 − z 1 |
|||||||
5. Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости
Пусть заданы два вектора a = (a 1 , a 2 , a 3 ) и b = (b 1 ,b 2 ,b 3 ) , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы a ,b , MM 1 должны быть компланарны.
6. Уравнение плоскости по точке и вектору нормали
Теорема. Если в пространстве задана точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) , то уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 перпендикулярно вектору нормали N (A , B ,C ) имеет вид: A (x − x 0 ) + B (y − y 0 ) + C (z − z 0 ) = 0 .
7. Уравнение плоскости в отрезках
Если в общем уравнении Ax + By + Cz + D = 0 поделить обе части на (-D)
x − |
y − |
z − 1 = 0 , заменив − |
C , получим уравнение плоскости |
|||||||||||||||||||
в отрезках: |
1 . Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно |
|||||||||||||||||||||
с осями х, у, z.
8. Уравнение плоскости в векторной форме
r n = p , где r = xi + yj + zk - радиусвектор текущей точки M (x , y , z ) ,
n = i cosα + j cos β + k cosγ - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра,
опущенного на плоскость из начала координат. α , β и γ - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z. p – длина этого перпендикуляра. В координатах это уравнение имеет вид:
x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0
9. Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от произвольной точки M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно:
d = Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B2 + C 2
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2,-1,4) и В(3,2,-1) перпендикулярно плоскости x + y + 2z − 3 = 0 .
Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0 , вектор нормали к этой плоскости n 1 (A,B,C). Вектор AB (1,3,-5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость,
перпендикулярная искомой имеет вектор нормали n 2 (1,1,2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то
n = AB × n |
− 5 |
− j |
− 5 |
11 i − 7 j − 2 k . |
|||||||||||||||||
− 5 |
|||||||||||||||||||||
Таким образом, вектор нормали n 1 (11,-7,-2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е.
11.2 + 7.1− 2.4 + D = 0; D = − 21. Итого, получаем уравнение плоскости: 11x − 7 y − 2z − 21 = 0
10. Уравнение линии в пространстве
Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:
F (x , y , z ) = 0 . Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.
Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана какимлибо уравнением.
Пусть F (x , y , z ) = 0 и Ф (x , y , z ) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.
F (x , y , z ) = 0
Тогда пару уравнений Ф (x , y , z ) = 0 назовем уравнением линии в пространстве.
11. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему векторуr 0 = M 0 M .
Т.к. векторы М 0 М и S коллинеарны, то верно соотношение М 0 М = St , где t – некоторый параметр. Итого, можно записать: r = r 0 + St .
Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.
x = x0 + mt
Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме: y = y 0 + nt
z = z0 + pt
Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические
уравнения прямой в пространстве: |
x − x0 |
y − y0 |
z − z0 |
|||
Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора S , которые могут быть вычислены по формулам:
cosα = |
; cos β = |
; cosγ = |
||||||
N 2 + p 2 |
m 2 + n 2 + p 2 |
|||||||
Отсюда получим: m : n : p = cosα : cos β : cosγ .
Числа m , n , p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. S - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.
12. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) и
M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:
x 2 − x 1 |
y 2 − y 1 |
z 2 − z 1 |
|||
