Курсовая работа

Исполнитель: Бугров С К.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

Неравенство

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции

¦(a, b, c, …, k, x) и

j(a, b, c, …, k, x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

называется допустимым значением х, если

¦(a, b, c, …, k, x) и

j(a, b, c, …, k, x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство

¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) и (1)

z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

Находим область определения данного неравенства.

Сводим неравенство к уравнению.

Выражаем а как функцию от х.

В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

Исследуем влияние параметра на результат.

найдём абсциссы точек пересечения графиков.

зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥

Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

§3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

данное неравенство равносильно системе неравенств

Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

Найдем корни трехчлена левой части неравенства –

(*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы

а значения и находятся из системы

Решая эти системы, получаем, что

III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.

Находим область допустимых значений –

Построим график функции в системе координат хОу.

при неравенство решений не имеет.

при для решение х удовлетворяет соотношению , где

Ответ: Решения неравенства существуют при

Где , причем при решения ; при решения .

IV. Решить неравенство

Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству:

Разложим числитель на множители.

т. к. то

Разделим обе части равенства на при . Но является решением: левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .

3. Строим в ПСК хОа графики функций

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.

		неравенство:

5. Найдем точки пересечения графиков

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥.

при

при решений нет

при

Список литературы

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.

Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.

Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва 1996 г.

Человек, умеющий решать задачи с параметрами, в совершенстве знает теорию и умеет ее применять не механически, а с логикой. Он «понимает» функцию, «чувствует» ее, считает ее своим другом или хотя бы хорошим знакомым, а не просто знает о ее существовании.

Что же такое уравнение с параметром? Пусть дано уравнение f (x; a) = 0. Если ставится задача отыскать все такие пары (x; a), которые удовлетворяют данному уравнению, то оно рассматривается как уравнение с двумя равноправными переменными х и а. Но можно поставить и другую задачу, полагая переменные неравноправными. Дело в том, что если придать переменной а какое-либо фиксированное значение, то f (x; a) = 0 превращается в уравнение с одной переменной х, и решения этого уравнения, естественно, зависят от выбранного значения а.

Основная трудность, связанная с решением уравнений (и тем более неравенств) с параметром, состоит в следующем: -при одних значениях параметра уравнение не имеет решений; -при других – имеет бесконечно много решений; -при третьих – оно решается по одним формулам; - при четвертых – оно решается по другим формулам. - Если уравнение f (x; a) = 0 нужно решить относительно переменной Х, а под a понимается произвольное действи- тельное число, то уравнение называют уравнением с параметром a.

Решить уравнение с параметром f (x; a) = 0 – это решить семейство уравнений, получающихся из уравнения f (x; a) = 0 при любых действительных значениях параметра. Уравнение с параметром – это, по сути дела, краткая запись бесконечного семейства урав- нений. Каждое из уравнений семейства полу- чается из данного уравнения с параметром при конкретном значении параметра. Поэтому задачу решения уравнения с параметром можно сформулировать следующим образом:

Выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно, но тем не менее каждое уравнение из бесконечного семейства должно быть решено. Сделать это, например, можно, если по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества, а затем заданное уравнение решить на каждом из этих подмножеств. Решение линейных уравнений

Чтобы разбить множество значений параметра на подмножества, полезно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходит качественное изменение уравнения. Такие значения параметра можно назвать контрольными или особыми. Искусство решения уравнения с параметрами как раз и состоит в том, чтобы уметь находить контрольные значения параметра.

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы, ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Но иногда прямое решение является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения. Например, найти значения параметра, при которых: 1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка; 2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Основные способы (методы) решения задач с параметром. Способ I (аналитический). Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им. Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости Оху, или в координатной плоскости Оха. Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Пример 1. Найти значения параметра а, при которых уравнение а(2а + 3)х + а 2 = а 2 х + 3а имеет единственный отрицательный корень. Решение. Данное уравнение равносильно следующему:. Если а(а + 3) 0, то есть а 0, а –3, то уравнение имеет единственный корень х =. х

Пример 2. Решите уравнение. Решение. Так как знаменатель дроби не может равняться нулю, имеем (b – 1)(x + 3) 0, то есть b 1, x –3. Умножив обе части уравнения на (b – 1)(x + 3) 0, получаем уравнение: Это уравнение является линейным относительно переменной х. При 4b – 9 = 0, то есть b = 2,25 уравнение принимает вид: При 4b – 9 0, то есть b 2,25 корень уравнения x =. Теперь надо проверить, нет ли таких значений b, при которых найденное значение х равно –3. Таким образом, при b 1, b 2,25, b –0,4 уравнение имеет единственный корень x =. О т в е т: при b 1, b 2,25, b –0,4 корень x = при b = 2,25, b = –0,4 решений нет; при b = 1 уравнение не имеет смысла.

Типы задач 2 и 3 отличает то, что при их решении не требуется получить явное решение, а нужно лишь найти те значения параметра, при которых это решение удовлетворяет тем или иным условиям. Примерами таких условий для решения могут служить следующие: существует решение; не существует решения; существует единственное решение; существует положительное решение; существует ровно k решений; существует решение, принадлежащее указанному промежутку. В этих случаях оказывается очень полезен графический способ решения задач с параметрами.

Можно выделить две разновидности применения графического метода при решении уравнения f (х) = f (а): На плоскости Оху рассматриваются график у = f (х) и семейство графиков у = f (а). Сюда же относятся задачи, решаемые с помощью «пучка прямых». Этот способ оказывается удобен в задачах с двумя неизвестными и одним параметром. На плоскости Оха (которую называют также фазовой) рассматриваются графики, в которых х – аргумент, а а – значение функции. Этот способ обычно применяется в задачах, в которых фигурируют лишь одна неизвестная и один параметр (или сводящиеся к таким).

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение 3х 4 + 4х 3 – 12х 2 = а имеет не менее трех корней? Решение. Построим графики функций f (х) = 3х 4 + 4х 3 – 12х 2 и f (х) = а в одной системе координат. Имеем: f "(х) = 12х х 2 – 24х = 12х(х + 2)(х – 1), f "(х) = 0 при х = –2 (точка минимума), при х = 0 (точка максимума) и при х = 1 (точка максимума). Найдем значения функции в точках экстремума: f (–2) = –32, f (0) = 0, f (1) = –5. Строим схематически график функции с учетом точек экстремума. Графическая модель позволяет ответить на поставленный вопрос: уравнение 3х 4 + 4х 3 – 12х 2 = а имеет не менее трех корней, если –5

Пример 2. Сколько корней при различных значениях параметра а имеет уравнение? Решение. Ответ на поставленный вопрос связан с числом точек пересечения графика полуокружности у = и прямой у = х + а. Прямая, являющаяся касательной, имеет формулу у = х +. Заданное уравнение не имеет корней при а; имеет один корень при –2

Пример3. Сколько решений имеет уравнение |х + 2| = ах + 1 в зависимости от параметра а? Решение. Можно построить графики у = |х + 2| и у = ах + 1. Но мы поступим иначе. При х = 0 (21) решений нет. Разделим уравнение на х: и рассмотрим два случая:1)х > –2 или х=2 2)2) х –2 или х=2 2)2) х

Пример использования «пучка прямых» на плоскости. Найдите значения параметра a, при которых уравнение |3x + 3| = ax + 5 имеет единственное решение. Решение. Уравнение |3x + 3| = ax + 5 равносильно следующей системе: Уравнение y – 5 = a(x – 0) задает на плоскости пучок прямых с центром A (0; 5). Проведем прямые из пучка прямых, которые будут параллельны сторонам уголка, являющегося графиком y = |3x + 3|. Эти прямые l и l 1 пересекают в одной точке график y = |3x + 3|. Уравнения этих прямых y = 3x + 5 и у = –3х + 5. Кроме того, всякая прямая из пучка, расположенная между этими прямыми, также будет пересекать график y = |3x + 3| в одной точке. Значит, искомые значения параметра [–3; 3].

Алгоритм решения уравнений с использованием фазовой плоскости: 1. Находим область определения уравнения. 2. Выражаем параметр а как функцию от х. 3. В системе координат хОа строим график функции а = f(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения. 4. Находим точки пересечения прямой а = с, где с є (-; +) с графиком функции а = f(х). Если прямая а = с пересекает график а = f(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а = f(х) относительно х. 5.Записываем ответ.

Пример решения неравенства с помощью «фазовой плоскости». Решите неравенство х. Решение.По равносильному переходу Теперь на плоскости Оха построим графики функций Точки пересечения параболы и прямой х 2 – 2х = –2х х = 0. Условие а –2х автоматически выполняется при а х 2 – 2х Таким образом, в левой полуплоскости (х

Муниципальное автономное общеобразовательное учереждение «Лицей №1» г. Новтроицка

Исследовательская работа

Методы решения уравнений и неравенств с параметром

Математическое моделирование

Выполнил:

ученик 11 А класса МОАУ

«Лицей №1»

Руководитель:

учитель высшей

Новотроицк

Введение. 3

Параметр. 5

Методы решения тригонометрических уравнений с параметром. 9

Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром. 17

Методы решения систем уравнений и неравенств. 22

Заключение. 31

Список используемой литературы.. 32

Введение

Уравнения с параметром вызывают большие затруднения у учащихся 9-11 классов. Это связано с тем, что решение таких уравнений требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и техники исследования.

Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями:

· обилие формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида;

· возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр, различными способами.

Актуальность темы обуславливается недостаточным содержанием задач по данной теме в учебнике «Алгебра 11 класс ».

Важность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами как и при сдачи Единого Государственного экзамена, так и при вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Объект исследования : задачи с параметрами.

Цель данной работы :

Выявить, обосновать и наглядно показать способы решения всех типов уравнений с параметрами;

Решить уравнения с параметрами;

Углубить теоретические знания по решению уравнений с параметрами;

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Дать определения понятиям уравнение с параметрами;

2. Показать способы решения уравнений с параметрами.

Достоинство моей работы заключается в следующем: указываются алгоритмы решения уравнений с параметрами; задачи часто встречаются на различных экзаменах и олимпиадах. Работа поможет ученикам сдать Единый Государственный Экзамен.

Мои действия:

1. Подобрать и изучить литературу;

2. Решить подобранные задачи;

Параметр

Имеется несколько определений параметра:

- Параметр – это величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи, но в другой задаче меняет свои значения (, - «Толковый словарь математических терминов»).

- Переменныеa , b , c , …, k , которые при решении уравнения или неравенства считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение (неравенство) называется уравнением (неравенством), содержащим параметры (– «Репетитор по математике», Ростов-на-Дону «Феникс» 1997).

Решение большинства уравнений, содержащих параметр, сводится к квадратным уравнениям с параметром . Следовательно, чтобы научиться решать показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и системы уравнений с параметром, нужно сначала приобрести навыки решения квадратных уравнений с параметром .

Уравнение вида ax 2 + bx + c =0 , где х – неизвестная, a, b, c – выражения, зависящие только от параметров, а¹0, называется квадратным уравнением относительно х. Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых a, b, c действительны.

Контрольные значения параметра

Для решения квадратных уравнений с параметром необходимо находить контрольные значения параметра.

Контрольные значения параметра – те значения, при которых обращается в 0:

Старший коэффициент в уравнении или в неравенстве;

Знаменатели в дроби;

Дискриминант квадратного двучлена.

Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром.

Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром:

1. Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.

3. Преобразовать уравнение-следствие к виду https://pandia.ru/text/80/147/images/image002_13.png" width="128" height="24 src="> - действительные числа или функции от параметра.

4. Решить полученное уравнение, рассмотрев случаи:

а) ; б) https://pandia.ru/text/80/147/images/image005_6.png" width="19" height="27">.png" width="21" height="27">.png" height="75">х=2b+1

Так как х должен лежать на промежутке от 1 до 6, то:
1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image009_4.png" width="47" height="41 src=">=2b+1

1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image010_2.png" width="18 height=98" height="98">

у(1)>0 у=1-4b+4b2– 1>0

у(6)> 0 у=36-24b+4b2– 1>0

хвÎ(1; 6) 1<-<6

bÎ(-∞; 0) È (1; +∞).

2) 4b2-24b+35>0

D=576 – 560=16=42>0

b1=https://pandia.ru/text/80/147/images/image016_2.png" width="47" height="41 src=">=2,5 bÎ(0,5; 3)

bÎ(-∞;2,5)È(3,5;+∞)
bÎ(1; 2,5)

Ответ: корни уравнения х2-4bх+4b2–1=0 лежат на промежутке от

Класс: 11

Цели:

Образовательная:

• систематизировать и обобщить знания о решении уравнения с параметром;
• показать основные приемы решения таких уравнений.

Развивающая: расширить и углубить изучение различных приемов решения уравнений с параметром.

Воспитательная: показать значимость зависимости ответа в задаче с параметром от выбранного значения параметра.

Используемые методы обучения – их применение .

• Объяснительно-иллюстративный.
• Обобщения, аналогии и сравнения.
• УДЕ – создание ключевых задач, аналогия изображений на плоскости.
• Интегрированный – сопоставление алгебры и геометрические интерпретации, слайды.

Формирование общеучебных умений и навыков:

• Выделение существенных признаков изучаемых объектов;
• Выработка практических навыков;
• Используемые методы работы с аудиторией: работа в диалоговом режиме;
• Психологические аспекты урока;
• Создание комфортной рабочей атмосферы;
• Побуждение к активной диалоговой деятельности.

Ход урока

Введение . Вступительное слово учителя .

Уравнения стали привычной частью вариантов вступительных экзаменов ЕГЭ.

Уравнения с параметром вызывают серьезные трудности логического характера.
Каждое такое уравнение – это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но тем не менее каждое из них должно быть решено. Поэтому возникает необходимость в рассмотрении системы понятий и поиске методов решения уравнений с параметрами (линейных, рациональных и т.д.)

Пусть дано уравнение F(х;а) = 0. Если придать параметру а какое – либо фиксированное значение, то данное уравнение можно рассматривать как «обычное» уравнение с одной переменной.

Поставим задачу : Выяснить, какой может быть ситуация при выбранном значении параметра?

Работа с учащимися в диалоговом режиме.

Обозначим основные проблемы:

1. Установить основные понятия уравнений с параметрами.
2. Для каждого вида уравнений школьного курса математики установить общий метод решения соответствующих уравнений с параметрами – единый как для одного, так и для двух параметров.
3. Рассмотреть примеры заданий на исследование уравнений.
4. Каково установление числа корней уравнений.
5. Нахождение общего корня двух уравнений – в чем его суть?
6. Геометрические интерпретации.

I этап – решение первой проблемы .

Работа с учащимися в диалоговом режиме .

Какие вопросы вы себе определите для установления основных понятий?

Что такое задача с параметром? Что является областью допустимых значений параметра? Что значит решить задачу с параметром? Сколько видов задач с параметрами существует? Что необходимо учитывать при их решении?

Появляется слайд и конспект - Задача с параметром – это множество задач, каждая из которых получается из условия подстановкой конкретного значения параметра. - Область допустимых значений параметра – это множество значений параметра, при подстановке которых получается задача, имеющая смысл. - Решить задачу с параметром означает для любого допустимого значения параметра найти множество всех решений данной задачи. - Рассматривать мы с вами будем задачи с параметром двух основных типов. В задачах I типа требуется для каждого значения параметра решить задачу. Для этого необходимо: разбить ОДЗ параметра на части, на каждой из которых задачу можно решить одним и тем же способом; на каждой из полученных частей решить задачу. В задачах II типа требуется найти все значения параметра, при которых выполнены те или иные заданные условия. - Ответ в задаче с параметром – это описание множества ответов к задачам, полученных при конкретных значениях параметра.

Например.

1) Решить уравнение а (а – 1) = а – 1.

Решение . Перед нами линейное уравнение, имеющее смысл при всех допустимых значениях а. Будем решать его «как обычно»: делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном. Но всегда ли возможно деление?

Делить на ноль нельзя. Придется рассмотреть отдельно случай, когда коэффициент при неизвестном равен о. Получим:

Ответ: 1) если а 0, а 1, то х = ;

2) если а = 1, то х – любое число;

3) если а = 0, то корней нет.

2) Решить уравнение (а – 1)х 2 + 2 (2а – 1)х + 4 а + 3 = 0.

Решение . Рассмотрим два случая:

Рассмотрим дискриминант: D = (2а – 1) 2 – (а – 1)(4а + 3) = - 3а + 4.

Если же а , то х 1,2 = .

Ответ: 1) если а > , то корней нет;

2) если а = 1, то х = - 3,5;

3) если а и а1, то х 1,2 = .

II этап – решение второй проблемы .

Рассмотрим способ классификации частных уравнений с помощью модели общих решений.
Появляется слайд.

Например. В рациональном уравнении функция f 1 (а) = является общим решением для тех значений параметра, для которых . Поскольку

общее решение уравнения на А f1 = }.

Функция f 2 (а) = есть общее решение уравнения на множестве А f2 = .
Построим модель общих решений в следующем виде

На модели выделяем все типы частных уравнений: ; ; .

Итак, на примерах рассмотрены основные понятия уравнений с параметрами: область допустимых значений; область определения; общие решения; контрольные значения параметров; типы частных уравнений.

На базе введенных параметров определим общую схему решения всякого уравнения F(а;х) = 0 с параметром а (для случая двух параметров схема аналогична):

• устанавливается область допустимых значений параметра и область определения;
• определяются контрольные значения параметра, разбивающие область допустимых значений параметра на области однотипности частных уравнений;
• для контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения исследуются отдельно;
• находятся общие решения х = f 1 (а), …, f k (а) уравнения F(а;х) =0 на соответствующих множествах А f1 , ……, А fk значений параметра;
• составляется модель общих решений, контрольных значений параметра в следующем виде (на слайде);

• на модели выделяются промежутки значений параметра с одинаковыми решениями (области однотипности);
• для контрольных значений параметра и выделенных областей однотипности записываются характеристики всех типов частных решений.

III этап – примеры заданий на исследование уравнений.

Рассмотрим примеры решения задач с параметрами 2 типа.

Особенно часто встречаются задачи на расположение корней квадратного уравнения. При их решении хорошо «работают» графические иллюстрации. Расположение корней относительно заданных точек плоскостью определяется направлением ветвей соответствующей параболы, координатами вершины, а также значениями в заданных точках.

Например.

1) При каких значениях параметра а уравнение (а 2 + а + 1)х 2 + (2а – 3)х + а – 5 = 0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?

Решение . Пусть f(х) = (а 2 + а + 1)х 2 + (2а – 3)х + а – 5. Так как а 2 + а + 1 >0, то для квадратичной функции f(х) условие задачи может выполняться только при условии f (х) < 1.

Решая неравенство f(1) = а 2 + 4а – 7 < 0, получим, что -2 - < а < - 2 + .

Ответ : -2 - < а < - 2 + .

2) При каких значениях параметра m корни уравнения (m – 1)х 2 – 2 mх + m + 3 = 0 положительны?

Решение . Пусть f(х) = (m-1)х 2 - 2 mх + m + 3 тогда:

1) если, m = 1,то -2х + 4=0, х= 2- корень положителен;

2) если m 1, то с помощью рисунка можно получить следующие соотношения:

Рассмотрим 2 случая:

1) если 1,5 m > 0, тогда из 2 и 3 неравенств последней системы получим, что m > 1, т.е. окончательно 1,5 m > 1;

2) если m < 0, тогда из неравенства (m-1)m > 0 получим, что m-1 < 0, откуда m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.

Ответ : m (-; -3)

IV этап - рассмотрим задачи на установления числа корней уравнения.

Пример 1. При каких значениях параметра, а уравнение 2 cos 2 x – (2а + 9)cosx + 9а = 0 не имеет корней.

Решение. Пусть у = cosх, тогда исходное уравнение примет вид 2у 2 – (2 а + 9)у + 9а = 0, корни которого у 1 = а, у 2 = 4,5. Уравнение cosх = 4,5 корней не имеет, а уравнение cosх = а не имеет корней, если > 1.

Ответ : (- ; -1) (1; ).

Пример 2 . Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не имеет корней.

Решение . Данное уравнение равносильно системе: .

Уравнение не имеет решения в двух случаях: а = и

Пример 3 . При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение . Решение уравнения может быть единственным только, если х = 0. Если х = 0,то а 2 -1 = 0, и а = 1.

Рассмотрим 2 случая:

1) если а = 1, то х 2 - = 0 – корней три;

2). Если а = -1, то то х 2 + = 0, х = 0 - единственный корень.

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение имеет 2 корня?

Решение. Данное уравнение равносильно системе: . Выясним, когда квадратное уравнение х 2 – х – а = 0 имеет 2 неотрицательных корня.

Полученное уравнение имеет два корня, если 1+ 4а > 0; они неотрицательны, если

0 > а > - .

Ответ : (- ; 0] .

Во многих случаях при установлении числа корней уравнении имеет значение симметрия.

V этап - нахождение общего корня двух уравнений.

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение х 2 + 3х + 7а -21 =0 и х 2 +6х +5а -6 =0 имеют общий корень?

Решение. Исключим параметр а из полученной системы. Для этого первое уравнение умножим на -5, второе - на7, а результаты сложим. Получим: 2х 2 + 27х +63 =0, корни которого х 1 = -3, х 2 = -10,5. Подставим корни в одно из уравнений и найдем значение параметра а.

Ответ : 3 и – 8,25.

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 – ах + 2 = 0 и 3х 2 + (а - 9)х+ 3=0 равносильны?

Решение . Как известно уравнения равносильны, если множество их корней совпадают. Рассмотрим 2 случая.

1) Уравнения не имеют корней (множество корней пусто). Тогда их дискриминанты отрицательны:

Система неравенств решений не имеет.

2) Уравнения имеют общие корни. Тогда

Следовательно, данные уравнения могут иметь общие корни только при а = 3 или а = .

Проверить самостоятельно!

VI этап – геометрические интерпретации.

Решение задач с параметрами может существенно облегчить использование графиков.

Пример 1 . Решите уравнение в зависимости от параметра а: .

Решение. Понятно что при а 0:

Все ли корни подходят. Чтобы это выяснить, построим график функции а =.
Количество корней можно увидеть на рисунке:

1. если а < 0, то корней нет;
2. если а = 0 и а > 0, то 2 корня.

Найдем эти корни.

При а = 0 получим х 2 – 2х – 3 = 0 и х 1 = -1, х 2 = 3; при а > 4 это корни уравнения х 2 – 2х – 3 – а = 0.

Если 0 < а < 4 – все 4 корня подходят.

Если а = 4 – три корня:
Ответ : 1) если а < 0, то корней нет;

2) если а = 0, то х 1 = -1, х 2 =3;

3) если 0 < a < 4, то х 1,2,3.4 = 1 ;

4) если а = 4, то х 1 = 1; х 2,3 = 1 ;

5) если а > 4, то х 1,2 = 1 .

Пример 2 . При каких значениях а уравнение имеет более двух корней?

Решение . Если подставить х = 0 в исходное уравнение, то получим 6 = 6, это означает, что х = 0 является решением уравнения при любом а.

Пусть теперь х 0, тогда можно записать . Выясним знаки выражений 2х + 3 и 2х – 3.

Раскроем модули: а = (1)

В плоскости х0а построим множество точек (х;а), координаты которых удовлетворяют соотношению (1).

Если а = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений на промежутке , при других значениях а число решений уравнения не превышает двух.

Ответ : а = 0.

Тестовый контроль

1 вариант	2 вариант
1) Решите уравнение: 0 · х = а Ответы	1) Решить уравнение: а х = а. Ответы : а) при а ≠ 0, х = 1, при а = 0, х R б) при а = 0, х R, при а ≠ 0 корней нет в) при а = 0 нет корней, при а ≠ х =
2) Решит уравнение: (в – 2)·х = 5 + в. Ответы:	2) Решите уравнение (в + 1)·х = 3 – в . Ответы: а) при в = 2 нет корней; при в ≠2, х = ; б) при в = -2 нет корней, при в ≠-2 х = в) при в = -1 нет корней, при а ≠ - 1
3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений? с·(с + 1)·х = с 2 – 1 . Ответ : а) при с = -1, х R, ; Чаплыгин В.Ф., Чаплыгина Н.Б. Задачи с параметрами по алгебре и анализу, 1998 г.

Урок по элективному курсу

по теме: «Решение уравнений и неравенств с параметрами»

(Урок обобщения и повторения)

Цель: 1.Повторить и обобщить знания учащихся методов решения уравнений и неравенств с параметрами; закрепить умения применять знания при решении конкретных заданий; 2. Развивать логическое мышление; 3.Воспитывать внимание и аккуратность.

План урок: I. Организационный момент_________________________2 мин.

II. Актуализация опорных знаний:

1. Повторение__________________________________3 мин.
2. Устная работа________________________________3 мин.
3. Работа по карточкам (во время 1 и 2)

III. Решение упражнений___________________________22 мин.

IY. Выполнение теста______________________________8 мин.

Y. Подведение итогов, постановка домашнего задания__2 мин.

Х о д у р о к а:

I. Организационный момент .

Учитель: - Здравствуйте, ребята. Приятно вас всех видеть, мы начинаем наш урок. Сегодня на уроке наша цель - повторить и отработать знания, умения и навыки, полученные на прошлых уроках при изучении данной темы.

II . Актуализация опорных знаний:

1) Повторение.

Учитель: - Итак, повторим.

Что называется линейным уравнением с параметрами?

Какие случаи мы рассматривали при решении таких уравнений?

Приведите примеры линейных уравнений с параметрами.

Приведите примеры линейных неравенств с параметрами.

2) Устная работа.

Задание: Приведите данное уравнение к линейному виду.

На доске:

а) 3а х – 1 =2 х ;

б) 2+5 х = 5а х ;

в) 2 х – 4 = а х + 1.

3) Работа по карточкам.

III . Решение упражнений.

Задание 1. Решить уравнение с параметром а.

3(ах + 1) + 1 = 2(а – х) + 1.

Задание выполняется на доске и в тетрадях.

Задание 2. При каком значении а, прямая у = 7ах + 9, проходит через

т. А(-3;2) ?

Задание выполняется самостоятельно у доски одним учеником. Остальные работают в тетрадях, затем сверяются с доской.

Физкульт. минутка.

Задание 3. При каком значении а, уравнение 3(ах – а) = х – 1 имеет

Бесконечно много решений?

Данное задание предлагается решить самостоятельно учащимся в тетрадях. Затем проверить ответы.

Задание 4. При каком значении параметра а , сумма корней уравнения

2х² + (4а² - 2)х – (а² + 1) = 0 равна 1?

Задание выполняется комментированием с места.

Задание 5. Решите неравенство с параметром р :

р(5х – 2)

Данное задание выполняется у доски и в тетрадях.

IY. Выполнение теста.

Учащимся выдаются индивидуальные листы с заданиями:

1) Является ли уравнение 6(ах + 1) + а = 3(а – х) + 7 линейным?

А) да; б) нет; в) можно привести к линейному

2) Уравнение (2ах + 1)а = 5а – 1 приведено к виду линейного уравнения

А) нет; б) да;

3) При каком значении параметра а прямая у = ах – 3 проходит через

Т. А(-2;9) ?

А) а = 1/6; б) а = 1/2; в) а = -6; г) а = 6.

4) При каком а уравнение 2ах + 1 = х имеет корень, равный -1?

а) а = -1; б) а = 0; в) а = 1; г) а = 1/2.

5) Если у квадратного уравнения ах² + вх + с = 0 Д ах² + вх + с >0 зависит от

А) значения в ; б) значения а ; в) значения -в/а ;

г) не имеет решений.

О т в е т ы к т е с т у: в; а; в; в; б.

YII. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

Учитель: - Сегодня на уроке мы повторили и закрепили знания, полученные на прошлых уроках, отработали необходимые умения при выполнении различных заданий. Я думаю, что вы поработали хорошо, молодцы.

Кроме поставленных за урок оценок, можно оценить работу на уроке еще ряда учащихся.

Учитель : - Запишите домашнее задание:

На доске:

Решить неравенство: х² - 2ах + 4 > 0.

Урок окончен.