При решении задач по данной теме кроме основных свойств параллелограмма и соответственных формул можно запомнить и применять следующее:
- Биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
- Биссектрисы внутренних углов прилежащие к одной из сторон параллелограмма взаимно перпендикулярные
- Биссектрисы, выходящие из противоположных внутренних углов параллелограмма, параллельные между собой либо лежат на одной прямой
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
- Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними
Рассмотрим задачи, при решении которых используются данные свойства.
Задача 1.
Биссектриса угла С параллелограмма АВСD пересекает сторону АD в точке М и продолжение стороны АВ за точку А в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если АЕ = 4, DМ = 3.
Решение.
1. Треугольник СМD равнобедренный. (Свойство 1). Следовательно, СD = МD = 3 см.
2. Треугольник ЕАМ равнобедренный.
Следовательно, АЕ = АМ = 4 см.
3. АD = АМ + МD = 7 см.
4. Периметр АВСD = 20 см.
Ответ. 20 см.
Задача 2.
В выпуклом четырёхугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD, АСD, ВСD равны. Докажите, что данный четырёхугольник является параллелограммом.
Решение.
1. Пусть ВЕ – высота треугольника АВD, СF – высота треугольника АCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание АD, то высоты этих треугольников равны. ВЕ = СF.
2. ВЕ, СF перпендикулярны АD. Точки В и С расположены по одну сторону относительно прямой АD. ВЕ = СF. Следовательно, прямая ВС || AD. (*)
3. Пусть АL – высота треугольника АСD, BK – высота треугольника BCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание СD, то высоты этих треугольников равны. АL = BK.
4. АL и BK перпендикулярны СD. Точки В и А расположены по одну сторону относительно прямой СD. АL = BK. Следовательно, прямая АВ || СD (**)
5. Из условий (*), (**) вытекает – АВСD параллелограмм.
Ответ. Доказано. АВСD – параллелограмм.
Задача 3.
На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВМ и НD пересекаются в точке О; <ВМD = 95 о,
Решение.
1. В треугольнике DОМ <МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. В прямоугольном треугольнике DНС Тогда <НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Но СD = АВ. Тогда АВ: НD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Ответ: АВ: НD = 2: 1, <А = <С = 30 о, <В = Задача 4.
Одна из диагоналей параллелограмма длиною 4√6, составляет с основанием угол 60 о, а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол 45 о. Найти вторую диагональ.
Решение.
1. АО = 2√6. 2. К треугольнику АОD применим теорему синусов. АО/sin D = OD/sin А. 2√6/sin 45 о = OD/sin 60 о. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Ответ: 12.
Задача 5.
У параллелограмма со сторонами 5√2 и 7√2 меньший угол между диагоналями равен меньшему углу параллелограмма. Найдите сумму длин диагоналей.
Решение.
Пусть d 1 , d 2 – диагонали параллелограмма, а угол между диагоналями и меньший угол параллелограмма равен ф. 1. Посчитаем двумя разными S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф, S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф. Получим равенство 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф или 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Используя соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма запишем равенство (АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2 . ((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Составим систему: {d 1 2 + d 2 2 = 296, Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим с первым. Получим (d 1 + d 2) 2 = 576. Отсюда Id 1 + d 2 I = 24. Так как d 1 , d 2 – длины диагоналей параллелограмма, то d 1 + d 2 = 24. Ответ: 24.
Задача 6.
Стороны параллелограмма 4 и 6. Острый угол между диагоналями равен 45 о. Найдите площадь параллелограмма.
Решение.
1. Из треугольника АОВ, используя теорему косинусов, запишем соотношение между стороной параллелограмма и диагоналями. АВ 2 = АО 2 + ВО 2 2 · АО · ВО · cos АОВ. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)cos 45 о; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Аналогично запишем соотношение для треугольника АОD. Учтем, что <АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Получим уравнение d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Имеем систему Вычитая из второго уравнения первое, получим 2d 1 · d 2 √2 = 80 или d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10. Примечание:
В этой и в предыдущей задаче нет надобности, решать полностью систему, предвидя то, что в данной задаче для вычисления площади нам нужно произведение диагоналей. Ответ: 10.
Задача 7.
Площадь параллелограмма равна 96, а его стороны равны 8 и 15. Найдите квадрат меньшей диагонали.
Решение.
1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Сделаем подстановку в формулу. Получим 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Отсюда sin ВAD = 4 / 5 . 2. Найдём cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 . По условию задачи мы находим длину меньшей диагонали. Диагональ ВD будет меньшей, если угол ВАD острый. Тогда cos ВАD = 3 / 5. 3. Из треугольника АВD по теореме косинусов найдём квадрат диагонали ВD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВАD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145. Ответ: 145.
Остались вопросы? Не знаете, как решить геометрическую задачу? сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. Параллелограммом называется четырехугольник, у которго противоположные стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых
Свойства параллелограмма: Признаки параллелограмма В геометрии рассматривают частные случаи параллелограмма. Определение
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Теорема (первый признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм. Доказательство
Пусть в четырехугольнике \(ABCD\)
стороны \(AB\)
и \(CD\)
параллельны и \(AB = CD\)
. Проведём диагональ \(AC\)
, разделяющую данный четырехугольник на два равных треугольника: \(ABC\)
и \(CDA\)
. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (\(AC\)
– общая сторона, \(AB = CD\)
по условию, \(\angle 1 = \angle 2\)
как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых \(AB\)
и \(CD\)
секущей \(AC\)
), поэтому \(\angle 3 = \angle 4\)
. Но углы \(3\)
и \(4\)
накрест лежащие при пересечении прямых \(AD\)
и \(BC\)
секущей \(AC\)
, следовательно, \(AD\parallel BC\)
. Таким образом, в четырехугольнике \(ABCD\)
противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник \(ABCD\)
– параллелограмм. Теорема (второй признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. Доказательство
Проведём диагональ \(AC\)
данного четырехугольника \(ABCD\)
, разделяющую его на треугольники \(ABC\)
и \(CDA\)
. Эти треугольники равны по трем сторонам (\(AC\)
– общая, \(AB = CD\)
и \(BC = DA\)
по условию), поэтому \(\angle 1 = \angle 2\)
– накрест лежащие при \(AB\)
и \(CD\)
и секущей \(AC\)
. Отсюда следует, что \(AB\parallel CD\)
. Так как \(AB = CD\)
и \(AB\parallel CD\)
, то по первому признаку параллелограмма четырёхугольник \(ABCD\)
– параллелограмм. Теорема (третий признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. Доказательство
Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\)
, в котором диагонали \(AC\)
и \(BD\)
пересекаются в точке \(O\)
и делятся этой точкой пополам. Треугольники \(AOB\)
и \(COD\)
равны по первому признаку равенства треугольников (\(AO = OC\)
, \(BO = OD\)
по условию, \(\angle AOB = \angle
COD\)
как вертикальные углы), поэтому \(AB = CD\)
и \(\angle 1 = \angle
2\)
. Из равенства углов \(1\)
и \(2\)
(накрест лежащие при \(AB\)
и \(CD\)
и секущей \(AC\)
) следует, что \(AB\parallel CD\)
. Итак, в четырехугольнике \(ABCD\)
стороны \(AB\)
и \(CD\)
равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник \(ABCD\)
– параллелограмм. Свойства параллелограмма:
1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Свойства биссектрисы параллелограмма:
1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. 2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом. 3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны. Доказательство
1) Пусть \(ABCD\)
– параллелограмм, \(AE\)
– биссектриса угла \(BAD\)
. Углы \(1\)
и \(2\)
равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\)
и \(BC\)
и секущей \(AE\)
. Углы \(1\)
и \(3\)
равны, так как \(AE\)
– биссектриса. В итоге \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2\)
, откуда следует, что треугольник \(ABE\)
– равнобедренный. 2) Пусть \(ABCD\)
– параллелограмм, \(AN\)
и \(BM\)
– биссектрисы углов \(BAD\)
и \(ABC\)
соответственно. Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^{\circ}\)
, тогда \(\angle DAB + \angle ABC =
180^{\circ}\)
. Так как \(AN\)
и \(BM\)
– биссектрисы, то \(\angle BAN + \angle ABM =
0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^{\circ}\)
, откуда \(\angle AOB = 180^\circ - (\angle BAN + \angle ABM) =
90^\circ\)
. 3. Пусть \(AN\)
и \(CM\)
– биссектрисы углов параллелограмма \(ABCD\)
. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle 2 =
0,5\cdot\angle BAD = 0,5\cdot\angle BCD = \angle 1\)
. Кроме того, углы \(1\)
и \(3\)
равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\)
и \(BC\)
и секущей \(CM\)
, тогда \(\angle 2 = \angle 3\)
, откуда следует, что \(AN\parallel CM\)
. Кроме того, \(AM\parallel CN\)
, тогда \(ANCM\)
– параллелограмм, следовательно, \(AN = CM\)
. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. На следующем рисунке представлен параллелограмм ABCD. У него сторона AB параллельна стороне CD, а сторона BC параллельна стороне AD. Как вы уже успели догадаться, параллелограмм является выпуклым четырехугольником. Рассмотрим основные свойства параллелограмма. 1. В параллелограмме противоположные углы и противоположные стороны равны. Докажем это свойство - рассмотрим параллелограмм, представленный на следующем рисунке. Диагональ BD разделяет его на два равных треугольника: ABD и CBD. Они равны по стороне BD и двум прилежащим к ней углам, так как углы накрест лежащие при секущей BD параллельных прямых BC и AD и AB и CD соответственно. Следовательно, AB = CD и 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка О есть точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Тогда треугольник AOB и треугольник COD равны между собой, по стороне и двум прилежащим к ней углам. (AB=CD так как это противоположные стороны параллелограмма. А угол1 = угол2 и угол3 = угол4 как накрест лежащие углы при пересечении прямых AB и CD секущими AC и BD соответственно.) Из этого следует, что AO = OC и OB = OD, что и требовалось доказать. Все основные свойства проиллюстрированы на следующих трех рисунках. Доказательство
Первым делом проведем диагональ AC
. Получаются два треугольника: ABC
и ADC
. Так как ABCD
— параллелограмм, то справедливо следующее: AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2
как лежащие накрест. AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4
как лежащие накрест. Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC
(по второму признаку: и AC
— общая). И, значит, \triangle ABC = \triangle ADC
, то AB = CD
и AD = BC
. Доказано! 2. Противоположные углы тождественны.
Доказательство
Согласно доказательству свойства 1
мы знаем, что \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4
. Таким образом сумма противоположных углов равна: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4
. Учитывая, что \triangle ABC = \triangle ADC
получаем \angle A = \angle C
, \angle B = \angle D
. Доказано! 3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.
Доказательство
Проведем еще одну диагональ. По свойству 1
мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD
. Еще раз отметим накрест лежащие равные углы. Таким образом видно, что \triangle AOB = \triangle COD
по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD
(напротив углов \angle 2
и \angle 1
) и AO = OC
(напротив углов \angle 3
и \angle 4
соответственно). Доказано! Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры. Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?»
. То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм. 1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.
AB = CD
; AB || CD \Rightarrow ABCD
— параллелограмм. Доказательство
Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC
? \triangle ABC = \triangle ADC
по свойству 1
: AB = CD
, AC
— общая и \angle 1 = \angle 2
как накрест лежащие при параллельных AB
и CD
и секущей AC
. Но если \triangle ABC = \triangle ADC
, то \angle 3 = \angle 4
(лежат напротив AB
и CD
соответственно). И следовательно AD || BC
(\angle 3
и \angle 4
- накрест лежащие тоже равны). Первый признак верен. 2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.
AB = CD
, AD = BC \Rightarrow ABCD
— параллелограмм. Доказательство
Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ AC
. По свойству 1
\triangle ABC = \triangle ACD
. Из этого следует, что: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC
и \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD
, то есть ABCD
— параллелограмм. Второй признак верен. 3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.
\angle A = \angle C
, \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD
— параллелограмм. Доказательство
2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ}
(поскольку ABCD
— четырехугольник, а \angle A = \angle C
, \angle B = \angle D
по условию). Получается, \alpha + \beta = 180^{\circ}
. Но \alpha
и \beta
являются внутренними односторонними при секущей AB
. И то, что \alpha + \beta = 180^{\circ}
говорит и о том, что AD || BC
. При этом \alpha
и \beta
— внутренние односторонние при секущей AD
. И это значит AB || CD
. Третий признак верен. 4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.
AO = OC
; BO = OD \Rightarrow
параллелограмм. Доказательство
BO = OD
; AO = OC
, \angle 1 = \angle 2
как вертикальные \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD
, \Rightarrow \angle 3 = \angle 4
, и \Rightarrow AB || CD
. Аналогично BO = OD
; AO = OC
, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8
, и \Rightarrow AD || BC
. Четвертый признак верен.
(
(Так как в прямоугольном треугольнике катет, который лежит против угла в 30 о, равен половине гипотенузы).
способами его площадь.
{d 1 + d 2 = 140.
{d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
{d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
Теорема 22.
Противоположные стороны параллелограма равны.
Доказательство. В параллелограмме АВСD проведем диагональ АС. Треугольники АСD и АСВ равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов. прилежащих к ней: ∠
САВ=∠
АСD, ∠
АСВ=∠
DAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, АВ=CD и ВС=AD, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д. Из равенства этих треугольников также следует равенство соответственных углов треугольников:
Теорема 23.
Противоположные углы параллелограмма равны: ∠
А=∠
С и ∠
В=∠
D.
Равенство первой пары идет из равенства треугольников АВD и CBD, а второй - АВС и ACD.
Теорема 24.
Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов.
Это так, потому что они являются внутренними односторонними углами.
Теорема 25.
Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ВОС и АОD. По первому свойству AD=ВС ∠
ОАD=∠
ОСВ и ∠
ОDА=∠
ОВС как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС. Поэтому треугольники ВОС и АОD равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, ВО=ОD и АО=ОС, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д.
Теорема 26.
Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
Доказательство. Пусть у четырехугольника АВСD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис2). Проведем диагональ АС. Треугольникик АВС и ACD равны по трем сторонам. Тогда углы ВАС и DСА равны и, следовательно, АВ параллельна CD. Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.
Теорема 27.
Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
Пусть ∠
А=∠
С и ∠
В=∠
D. Т.к. ∠
А+∠
В+∠
С+∠
D=360 о, то ∠
А+∠
В=180 о и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых). Также докажем и параллельность сторон АВ и CD и заключим, что АВСD является параллелограммом по определению.
Теорема 28.
Если соседние углы четырехугольника, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов, то он является параллелограммом.
Если внутренние односторонные углы в сумме составляют 180 градусов, то прямые праллельны. Значит АВ парал CD и ВС парал AD. Четырехугольник оказывается параллелограммом по определению.
Теорема 29.
Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник - параллелограмм.
Доказательство. Если АО=ОС, ВО=ОD, то треугольники АOD и ВОС равны, как имеющие равны углы (вертикальные) при вершине О, заключенные между парами равных сторон. Из равенства треугольников заключаем, что AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом по признаку 1.
Теорема 30.
Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.
Пусть в четырехугольнике АВСD стороны АВ и CD параллельны и равны. Проведем диагонали АС и ВD. Из параллельности этих прямых следует равенство накрест лежащих углов АВО=СDО и ВАО=ОСD. Треугольники АВО и CDО равны по стороне и прилежащим к ней углам. Поэтому АО=ОС, ВО=ОD, т.е. диагонали точкой пересечения делятся пополам и четырехугольник оказывается параллелограммом по признаку 4.
Свойства параллелограмма
BC = AD. А из равенства углов 1, 2 ,3 и 4 следует, что угол A = угол1 +угол3 = угол2 + угол4 = угол С.Признаки параллелограмма