Общие сведения о четырехполюсниках

Полюсом называют вывод (контакт, клемму, зажим) электрической цепи, к которому что-либо подключается (источник сигнала, нагрузка, другая цепь).

Электрические цепи классифицируют по числу полюсов на:

двухполюсники (сопротивление, индуктивность, емкость, идеальные и реальные источники сигнала, полупроводниковый диод);

трехполюсники (например, трехфазный источник напряжения без нейтрали, трехфазная нагрузка при соединении «треугольником» на рис.1.1 , биполярный транзистор);

четырехполюсники (усилители сигналов, фильтры).

Значительно реже возникают цепи с большим числом полюсов.

Четырехполюсником называют электрическую цепь с четырьмя полюсами, разделенными на пару входных и пару выходных полюсов, как показано на рис.1.2 .

Входные полюсы обычно изображаются слева и имеют индекс 1 , а выходные - справа с индексом 2 . Входной и выходной токи чаще всего обозначают втекающими в четырехполюсник.

Различают линейные (содержащие только линейные элементы) и нелинейные (в состав которых входит хотя бы один нелинейный элемент) четырехполюсники (рис.1.3 ).

Свойства линейных четырехполюсников рассматривают при гармонических воздействиях, расчет которых удобно проводить методом комплексных амплитуд.

В линейном четырехполюснике при гармоническом воздействии все токи и напряжения являются также гармоническими с той же частотой, а их амплитуды и начальные фазы зависят от частоты воздействия.

Входное и выходное сопротивления четырехполюсника

В качестве частотных характеристик рассматриваются входное и выходное сопротивления как функция частоты сигнала. По определению при заданном сопротивлении нагрузки четырехполюсника , подключенной к его выходу,

. (2.1)

Выходное сопротивление определяется при известном внутреннем сопротивлении источника входного сигнала ,

. (2.2)

Знание этих характеристик необходимо при анализе возможностей подключения к четырехполюснику реального источника сигнала и нагрузки.

Рассмотрим четырехполюсник с подключенными к нему реальным источником напряжения с внутренним сопротивлением и нагрузкой , как показано на рис.2.1 .

Эквивалентная схема входной цепи четырехполюсника показана на рис.2.2 .

Здесь - входное сопротивление четырехполюсника.

Если необходимо обеспечить максимум амплитуды входного напряжения , то по закону Ома получим

. (2.3)

Представляя и , можно записать

. (2.4)

Для идеального источника напряжения и входное напряжение равно ЭДС источника.

Если обеспечить условие максимума по

, (2.5)

то из (2.4) следует

. (2.6)

и при условии

входное напряжение четырехполюсника станет больше ЭДС источника сигнала.

Это обусловлено резонансными явлениями во входной цепи , которые будут рассматриваться в дальнейшем.

Для обеспечения максимума мощности , потребляемой четырехполюсником от источника сигнала, из общего выражения

, (2.7)

где - комплексно-сопряженная амплитуда входного тока, получим

где - комплексно-сопряженная ЭДС источника;

- оператор вычисления реальной части числа.

Произведение комплексно-сопряженных чисел равно квадрату их модуля

, (2.9)

в результате получим

. (2.10)

Из полученного выражения нетрудно получить условие максимума потребляемой четырехполюсником (рис.3.6 ) мощности (условие согласования)

(2.11)

Аналогичный анализ можно провести и для выходной цепи четырехполюсника.

В соответствии с теоремой об эквивалентном источнике напряжения эквивалентная схема выходной цепи имеет вид, показанный на рис.2.3,а , где и - эквивалентные ЭДС и внутреннее сопротивление активного двухполюсника, показанного на рис.2.3,б , а .

ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

Общие положения

Четырехполюсником называют электрическую схему, имеющую два входных и два выходных зажима (полюса). Трансформатор, электрический фильтр, усилитель, линию электропередачи, линию связи и другие устройства можно рассматривать как четырехполюсник, который является промежуточным звеном меду источником и приемником электрической энергии.

Четырехполюсник принято изображать в виде прямоугольника с входными (1-1") и выходными (2-2") зажимами (рис.1.1).

Рис. 1.1. Направления напряжений и токов при прямой и обратной передаче

К входным зажимам подключается источник электрической энергии, к выходным – нагрузка. Напряжение и ток на входе обозначают , , на выходе , .

Принятые на рис. 1.1 положительные направления токов , соответствуют прямой передаче энергии (от входных зажимов к выходным), направления токов , – обратной передаче, когда источник подключен к зажимам (2-2"), а нагрузка к зажимам (1-1").

Понятием «четырехполюсник» пользуются тогда, когда интересуются токами и напряжениями только на его входных и выходных зажимах.

Четырехполюсники делятся на активные и пассивные, линейные и нелинейные, симметричные и несимметричные.

Активные четырехполюсники содержат внутри источники электрической энергии. Если эти источники независимые, то на одной или обеих парах его разомкнутых зажимах появляется напряжение.

Четырехполюсник называется пассивным , если он не содержит источников электрической энергии, или же имеющиеся внутри схемы источники компенсируют друг друга так, что на разомкнутых зажимах напряжения отсутствуют.

Линейные и нелинейные четырехполюсники содержат соответственно линейные и нелинейные элементы.

Симметричные четырехполюсники имеют одинаковые параметры со стороны входных и выходных зажимов.

Сложная электрическая цепь, например, канал передачи сигнала, представляет собой совокупность четырехполюсников, соединенных по определенной схеме.

Системы уравнений пассивных четырехполюсников

Уравнения четырехполюсника устанавливают связь между токами и напряжениями на его зажимах. Возможны шесть форм записи основных уравнений четырехполюсника:

1. Форма [А] , где [А] – матрица коэффициентов, входящих в уравнения:

Уравнения (1.1) соответствуют выбору направления токов прямой передачи (рис. 1.1).

2. Форма [В] :

Коэффициенты уравнений четырехполюсника называются соответственно А, В, Y, Z, H, F – параметрами четырехполюсника. Они определяются только схемой самого четырехполюсника и имеют физический смысл входной или передаточной функции.

В симметричном четырехполюснике кроме соотношений (1.7) имеют место равенства:

Поэтому симметричный четырехполюсник характеризуется лишь двумя независимыми параметрами.

Из перечисленных выше шести форм уравнений рассмотрим более подробно форму [А].

Уравнения четырехполюсника с А – параметрами

В курсе ТОЭ часто коэффициенты матрицы [А] обозначаются буквами А, В, С, D и уравнения записывают в виде.

Лекции по ТОЭ/ №75 Уравнения четырехполюсника.

Четырехполюсником называется часть электрической цепи или схемы, содержащая два входных вывода (полюса) для подключения источника энергии и два выходных вывода для подключения нагрузки. К четырехполюсникам можно отнести различные по назначению технические устройства: двухпроводную линию, двухобмоточный трансформатор, фильтры частот, усилители сигналов и др.

Теория четырехполюсников устанавливает связь между режимными параметрами на входе (U1 , I1 ) и режимными параметрами на его выходе (U2 , I2 ), при этом процессы, происходящие внутри четырехполюсника, не рассматриваются. Таким образом, единая теория четырехполюсника позволяет анализировать различные по структуре и назначению электрические цепи, которые могут быть отнесены к классу четырехполюсников.

Если четырехполюсник не содержит внутри себя источников энергии, то он называется пассивным (обозначается буквой П), если внутри четырехполюсника имеются источники, то он называется активным (обозначается буквой А).

В настоящей главе анализируются пассивные линейные четырехполюсники. На электрических схемах четырехполюсники условно обозначаются прямоугольником с двумя парами выводов: 1 и 1" - входные выводы, 2 и 2" - выходные выводы (рис. 75.1). Соответственно напряжение и ток на входе индексируются цифрой 1 (U1 , I1 ) , а на выходе - цифрой 2 (U2 , I2 ).

Установим связь между параметрами режима входа (U1 , I1 ) и выхода (U2 , I2 ). Для этой цели согласно теореме о компенсации заменим нагрузку Z2 источником ЭДС Е2 = U2 = I 2 Z 2 и найдем токи по методу наложения от каждого ис¬=точника в отдельности (рис. 75.2 а, б):

Где Y 11 , Y 22 – входные проводимости входа и выхода, Y 12 = Y 21 – взаимная проводимость между входом и выходом.

Выразим из полученных уравнений режимные параметры на входе:

С учетом принятых обозначений система основных уравнений четырехполюсника получит вид:

Уравнения четырехполюсника часто записывают в матричной форме:

Выразим соотношение между коэффициентами четырехполюсника:

A D - B C =1 – уравнение связи между коэффициентами. Уравнение связи показывает, что независимыми являются только три из четырех коэффициентов четырехполюсника.

Поменяем местами в схеме рис. 75.1 источник и приемник энергии. В новой схеме рис. 75.3 направления токов изменятся на противоположные.

Уравнения четырехполюсника с учетом изменения направлений токов примут вид:

Преобразуем полученную систему уравнений следующим образом. Умножим члены уравнения (1) на D, члены уравнения (2) на В и вычтем почленно из 1-го уравнения 2-ое. В результате получим:

Умножим члены уравнения (1) на С, члены уравнения (2) на А и вычтем из 1-го уравнения 2-ое. В результате получим:

Новая система уравнений четырехполюсника получила название формы В:

Четырехполюсник называется симметричным, если перемена местами входных и выходных выводов не влияет на режим остальной цепи, частью ко¬торой является четырёхполюсник. Для симметричного четырёхполюсника выполняются следующие условия:

Кроме названных форм уравнений четырехполюсника А и В применяются на практике еще четыре формы, а именно формы Z, Y, H и G. Структура этих уравнений приведена ниже:

Для уравнений формы Z, Y, H и G принята следующая ориентация токов и напряжений относительно выводов четырехполюсника (рис.75.3).

Соотношения между коэффициентами четырехполюсника различных форм приводятся в справочной литературе, однако их нетрудно получить, выполнив преобразование одной формы уравнений в другую. Например, пусть заданы коэффициенты формы А (А , В , С , D ) и требуется определить коэффициенты формы Z(Z 11 , Z 12 , Z 21 , Z 22 ). Для этого в уравнениях формы A изменим знак тока I2 и решим их относительно переменных U1 и U2 :

Сравнивая полученные выражения с уравнениями четырехполюсника формы Z, находим соотношения между коэффициентами двух форм:

Желаем удачного изучения материала и успешной сдачи!

Если к одной паре зажимов четырехполюсника (рис.5.1), например (2-2), подключить произвольное сопротивление Zн, то со стороны другой пары зажимов, т.е. (1-1), четырехполюсник можно рассматривать как двухполюсник с входным сопротивлением Zвх1, которое называют входным сопротивлением четырехполюсника. Следовательно, Zвх1=U1/I1.

Если нагрузить четырехполюсник со стороны зажимов (1-1) на сопротивление Zг, то его сопротивление со стороны зажимов (2-2) будет Zвх2 = U1"/I1".

Выразим входное сопротивление четырехполюсника со стороны входов (1-1) через А-параметры. Учитывая уравнения (7) и что U2 = I2Z2 получим:

Входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов (2-2) определяется аналогичным образом, только в выражении (5.9) вместоZн необходимо подставить Zг и поменять местами коэффициенты А11 и А22 так, как изменяется направление передачи энергии. С учетом этих замечаний и учитывая, что U2" = ZгI2", будем иметь:

. (5.10)

Из соотношений (5.9) и (5.10) видно, что входное сопротивление четырехполюсника зависит не только от параметров-коэффициентов, но и от сопротивления нагрузки. ОпределимZвх в режимах холостого хода (Zн = ∞) и короткого замыкания (Zн = 0).

Режим холостого хода. Входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов (1-1) определим из выражения (9) при Zн = ∞:

. (5.11)

Входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов (2-2) определяем из выражения (5.10) при Zг = ∞:

. (5.12)

Режим короткого замыкания. Для определения входных сопротивлений четырехполюсника в этом режиме в формулах (5.9) и (5.10) нужно положить Zн = 0 и Zг = 0. Тогда

, (5.13)

. (5.14)

Для симметричного пассивного четырехполюсника параметры А11=А22 и, следовательно, Zх.х.1 = Zх.х.2 и Zк.з.1 = Zк.з.2.

Параметры холостого хода (Zх.х.1 и Zх.х.2) и короткого замыкания (Zк.з.1=Zк.з.2) для любой заданной частоты могут быть измерены с помощью специального прибора для измерения комплексных сопротивлений (моста переменного тока). На основании измеренных параметров холостого хода и короткого замыкания может быть получена любая система параметров-коэффициентов.

Рис. 19.1. Четырёхполюсник – общее обозначение

Схемы замещения четырёхполюсников

Коэффициенты уравнений четырёхполюсников

Системы уравнений четырёхполюсников

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ

ЛЕКЦИЯ 19

План лекции:

19.1. Основные определения и классификация четырёхполюсников

Электрическую цепь или её часть, рассматриваемые относительно двух пар выводов, называют четырёхполюсником (рис. 19.1).

Входную (первичную) пару выводов четырёхполюсника обозначают цифрами , выходную (вторичную) – . В качестве положительных принимают направления напряжений от верхних выводов к нижним, а токов – втекающими. В отдельных случаях положительными считают вытекающие токи. Вариант с положительными токами и называют прямой передачей, и – обратной, втекающими токами и – комбинированной. Сочетание токов и специального названия не имеет и применяется редко.

В случае гармонических сигналов теория четырёхполюсников позволяет производить анализ и синтез цепей различных как по структуре и сложности, так и по принципу работы, не рассчитывая токи и напряжения всех реальных элементов внутри четырёхполюсников, что весьма упрощает и ускоряет получение результата. Например, сложную электрическую цепь можно представить в виде совокупности соединённых друг с другом исходных четырёхполюсников. Теория позволяет найти параметры эквивалентного обобщающего четырёхполюсника и рассчитать его входные и выходные сопротивления по известным параметрам исходного четырёхполюсника.

Различают линейные и нелинейные четырёхполюсники .

Четырёхполюсник называют линейным , если в его состав входят элементы только с линейными вольтамперными характеристиками. Четырёхполюс­ник называют нелинейным , если он содержит хотя бы один нелинейный элемент.

По наличию или отсутствию внутренних источников энергии четы­рёхполюсники делят на активные (автономные и неавтономные ) и пассивные .

Активными автономными независимые некомпенсированные источники эдс или тока. Независимыми называют источники, которые создают в ветвях четырёхполюсника токи и напряжения при отсутствии внешнего сигнала. Источник называют некомпенсированным , если между выводами четырёхполюсника существуют напряжения при отсутствии внешних цепей.

Активными неавтономными называют четырёхполюсники, содержащие зависимые источники эдс или тока как в сочетании с независимыми компенсированными источниками, так и без них. Генераторы эдс и тока, действие которых проявляется только при наличии внешних источников сигнала, называют зависимыми или неавтономными . К активным неавтономным относят, например, четырёхполюсники, содержащие транзисторы.

Четырёхполюсники называют пассивными , если они не содержат источников электрической энергии или являются линейными и содержат независимые компенсированные источники. При отсутствии внешних сигналов у пассивных четырёхполюсников напряжения между двумя любыми выводами равны нулю.

Четырёхполюсники делят на обратимые и необратимые .

Четырёхполюсник называют обратимым или взаимным , если для него выполняется принцип взаимности: отношение напряжения на входе к току на выходе не зависит от того, какая из двух пар выводов является входной и какая выходной.

Четырёхполюсники могут быть симметричными и несимметричными .

Четырёхполюсник называют симметричным , если перемена местами его входных и выходных зажимов не изменяет токов и напряжений во внешних цепях. Симметричные четырёхполюсники всегда обратимы. Электрическая симметрия не требует геометрической (топологической) симметрии его схемы. Однако если обратимый четырёхполюсник имеет топологическую симметрию, то одновременно обязательно существует электрическая симметрия.