Определение: Уравнение, содержащее несколько независимых переменных, функцию от этих переменных и ее частные производные по этим переменным, называется дифференциальным уравнением в частных производных. линейный дифференциальный порядок переменный

Например, уравнение

является уравнением в частных производных, в котором x, y, z являются независимыми переменными, а ц(x,y,z) - искомая функция. При математическом описании различных процессов природы чаще приходится сталкиваться именно с дифференциальными уравнениями в частных производных, так как в природе обычно встречается зависимость переменных величин от нескольких независимых переменных. Например, изучая распространение тепла в каком-либо теле, мы должны считать температуру тела в любой точке функцией от трех координат этой точки в пространстве, а если температура еще меняется с течением времени, то она является функцией четырех переменных: x, y, z и t . Изучая колебания какой-либо упругой пластинки, мы имеем дело с функцией трех переменных, так как величина смещения точек пластинки зависит и от координат x и y точек пластинки и от времени.

Для уравнений в частных производных вводится также понятие порядка уравнения, определяемого наивысшим порядком входящих в уравнение частных производных. Так, например, уравнение

является дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка.

Дифференциальные уравнения в частных производных также имеют бесконечное множество решений. Общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит произвольную функцию (общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержало только произвольные постоянные). Начальные данные задачи, с помощью которых можно выделять одно частное решение из общего решения уравнения в частных производных обычно распадаются на так называемые начальные условия, т. е. условия, которым удовлетворяет искомая функция в начале исследуемого процесса, и граничные условия, определяющие обычно некоторые значения искомой функции в зависимости от объекта, в котором происходит изучаемый процесс, и от положения этого объекта в пространстве или на плоскости.

Рассмотрим задачу, приводящую к дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка.

Задача о малых свободных поперечных колебаниях натянутой струны.

Пусть по оси Ox натянута тонкая однородная нить (струна), которая может изгибаться. Натяжение, при котором струна находится в состоянии равновесия и натянута по оси Ox , обозначим T 0 . Если вывести струну из положения равновесия, то она начнет колебаться. Изучим характер этих колебаний. Будем считать, что движение происходит в одной плоскости и что точки струны смещаются перпендикулярно оси Ox (такие колебания называются поперечными). Обозначим через U(x,t) смещение точки струны с абсциссой x в момент времени t . На рисунке 1 смещение U=NM .

Будем исследовать малые колебания струны, т. е. такие при которых U и (угловой коэффициент касательной к кривой в точке М) малы. Рассмотрим малый участок струны ММ".

В силу предположения о том, что мала, т. е. что форма струны мало отличается от прямолинейной, можно будет приближенно заменять длину дуги ММ" длиной отрезка NN " на оси Ox . Рассмотрим силы, действующие на участке MM ".

Внутренние силы, возникающие при указанной деформации струны, сводятся к натяжению, так как при деформации струна на некоторых участках растягивается, а на некоторых сжимается.

Ввиду сделанного предположения о малости деформаций, считаем, что величина натяжения во всех точках струны одинакова и равна T 0 . Натяжение T 0 в точке М направлено по касательной к кривой в М влево, а натяжение T 0 в точке M " направлено по касательной к кривой в M " вправо. Так как мы предположили, что смещение точек струны происходит только перпендикулярно оси Ox , то нас интересует только действие вертикальных составляющих натяжения. Составим сумму вертикальных составляющих натяжения в M и M ":

Можно sinб заменить через tgб , так как при малых б можно отбросить как бесконечно малую высшего порядка малости по сравнению с tgб :

Тогда сумма вертикальных составляющих натяжения принимает вид:

В квадратных скобках стоит разность значений величины в точках M " и M ; ее можно считать приращением величины на участке MM ", а приращение

можно с точностью до бесконечно малых высшего порядка заменить дифференциалом этой величины:

Таким образом, получаем окончательное выражение для силы, действующей на участке MM ":

Ускорение движения в любой точке равно второй производной от пройденного пути по времени, т. е. равно. Обозначим линейную плотность струны через с (она постоянна по условию задачи), и тогда масса участка струны MM " равна

Теперь составим уравнение движения по закону Ньютона:

откуда, обозначив

Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, из которого надо найти функцию двух переменных U(x,t) .

Рассмотрим тот способ решения этого уравнения, который был дан в XVIII веке французским математиком Даламбером. Будем считать, что струна бесконечно простирается в обе стороны по оси Ox . В этом случае граничные условия в задаче отсутствуют, а начальные условия задачи состоят в том, что в начальный момент времени известно смещение в каждой точке струны и скорость:

Введем новые независимые переменные о и з , связанные со старыми x и t следующими формулами:

Тогда функцию U(x,t) можно рассматривать, как сложную функцию; зависимость от x и t осуществляется через посредство переменных о и з . Тогда, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции частные производные функции U можно записать в виде:

Аналогично находим частные производные второго порядка:

Подставляем эти выражения для производных в уравнение (*):

т. е. производная зависит только от о :

Отсюда находим:

(вместо произвольной постоянной прибавляем произвольную функцию от з , что можно делать ввиду равенства (2)). Таким образом, из (3) получаем:

где и 1 и и 2 - произвольные функции. Это и есть общее решение уравнения (*).

Используем начальные условия (1) для того, чтобы определить вид функций и 1 и и 2 в данной задаче; для этого подставим эти начальные данные в общее решение (4) и в, полученную из (4) дифференцированием по t :

и, интегрируя, получаем:

При. Будем считать, что С=0 (это допускается, так как если бы постоянная С была отлична от 0 , то можно было бы вместо функций и 1 (x) и и 2 (x) рассматривать функции

Для которых разность значений при x=0 была бы равна нулю). Тогда из (6) имеем

Присоединяем к этому уравнению первое из уравнений (5) и из них находим:

Подставляя полученные функции в общее решение (4), получаем:

В этом частном решении все функции, входящие в правую часть, заданы в начальных условиях задачи.

Если начальные условия таковы, что ц 1 (x)=0 , то решение принимает более простой вид:

Подробное исследование полученного решения позволяет выяснить физический смысл формулы и характер распространения волн по струне.

Пример 1. Найти форму струны, определяемой уравнением

в момент, если

Решение. Здесь a=a , ц(x)=sinx ц 1 (x)=1 - начальная скорость колебания струны. Имеем

т.е. струна параллельна оси абсцисс. ¦

Пример 2. Найти решение уравнения

Решение. Здесь a=2 , ц(x)=0 - начальное положение струны, ц 1 (x)=x - начальная скорость колебания струны. Отсюда

Приведем еще примеры дифференциальных уравнений в частных производных. Если рассматривать задачу о малых свободных колебаниях мембраны, т. е. тонкой пластинки, которая в состоянии равновесия под действием натяжения T 0 лежит в плоскости XOY , а будучи выведена из положения равновесия, колеблется так, что смещение U(x,y,t) точки (x,y) пластинки происходит перпендикулярно плоскости XOY , то смещение удовлетворяет дифференциальному уравнению, аналогичному уравнению (*)

При рассмотрении электромагнитных колебаний приходим к уравнению вида

Уравнение (8) и его частные случаи (7) и (4) называются "волновым уравнением". Исследование и решение волнового уравнения при разнообразных начальных и граничных условиях, отвечающих различным задачам, решение которых привело к волновому уравнению, весьма сложно. Доказано существование и единственность решения волнового уравнения при заданных начальных данных.

Дифференциальные уравнения в частных производных вида

встречаются при изучении целого ряда явлений. Этому дифференциальному уравнению должны удовлетворять: потенциал сил тяготения во всех точках пространства, находящихся вне притягивающих масс; потенциал сил взаимодействия электрических зарядов во всех точках пространства, находящихся вне зарядов, создающих поле; температура в однородном теле, если она не зависит от времени, т. е. если теплообмен стационарный и т. д. Это уравнение носит название уравнения Лапласа. Решения этого уравнения (имеющие непрерывные производные второго порядка) называются "гармоническими функциями". Они очень часто встречаются в различных физических вопросах. Свойства гармонических функций хорошо изучены. При решении уравнения Лапласа начальные условия естественно отсутствуют (так как функция U от времени не зависит), а граничные условия меняются в зависимости от конкретных условий задачи.

Изучение распространения тепла в однородной среде приводит к уравнению в частных производных

где U(x,y,z,t) температура (теплообмен не стационарный). Уравнение вида (9) называется уравнением теплопроводности. Оно решается при начальных и граничных условиях, которые могут быть весьма разнообразными. В случае распространения тепла в теле линейных размеров уравнение (9) принимает вид

Такое уравнение надо решать, например, при изучении распространения тепла в стержне.

Приведенный выше очень неполный перечень основных наиболее часто встречающихся в вопросах математической физики типов дифференциальных уравнений в частных производных показывает, насколько широк и разнообразен круг вопросов, требующих для своего изучения знания теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения - это тот раздел математического анализа, который непосредственно связан с математическим исследованием физических явлений и без знания которого невозможны постановка и решение задач математической физики.

В дальнейшем будем предполагать, что читатель уже знаком с основами теории обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. уравнений, связывающих неизвестную функцию одной независимой переменной, ее производные и саму независимую переменную. Мы приведем лишь самые основные сведения.

Дифференциальное уравнение первого порядка вида имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулой, содержащей одну произвольную постоянную: . Аналогично общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные: Выделение частного решения может быть произведено путем задания начальных условий, которые для уравнения второго порядка обычно имеют вид Подставляя эти значения в общее решение и в его производную, получим два уравнения для отыскания произвольных постоянных Q и С. Если правая часть уравнения - функция - непрерывна в некоторой окрестности значений и имеет там непрерывные частные производные , то существует единственное частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям (теорема существования и единственности решения).

В дальнейшем особенно часто будут встречаться линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Для однородного уравнения

общее решение есть линейная комбинация двух его частных

решений если только эти решения линейно независимы (т. е. , где k - константа):

Общее решение неоднородного уравнения

есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

В этой книге будут изучаться дифференциальные уравнения с частными производными, т. е. уравнения, содержащие неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные. Обычно приходится иметь дело с уравнениями для функций двух или трех независимых переменных. Вот примеры таких уравнений - независимые переменные, u - неизвестная функция):

В первой строке написаны уравнения, содержащие частные производные только первого порядка. Такие уравнения называются уравнениями первого порядка. Соответственно уравнения, написанные во второй строчке, являются примерами уравнений второго порядка.

Мы вовсе не ставим перед собой задачу изучать вообще способы решений дифференциальных уравнений с частными производными. Мы будем рассматривать только те конкретные уравнения (да и то далеко не все), которые существенны для физики, механики и техники. Именно эти уравнения и называются дифференциальными уравнениями математической физики.

Предварительно без доказательств познакомимся с простейшими свойствами уравнений с частными производными; будем считать, что неизвестная функция я зависит от двух переменных х и у.

Возьмем уравнение

Ясно, что искомая функция не зависит от переменной но может быть любой функцией от у.

Действительно, дифференцируя функцию по мы получаем нуль, а это и значит, что равенство (1) соблюдается. Следовательно, решение (2) уравнения (1) содержит одну произвольную функцию . В этом и заключается коренное отличие решения уравнения с частными производными первого порядка от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которое содержит лишь произвольную постоянную. По аналогии решение (2), содержащее одну произвольную функцию, будем называть общим решением уравнения (1).

Рассмотрим болёе сложное уравнение

где - заданная функция. Все функции , удовлетворяющие уравнению (3), имеют вид

где -произвольная функция от Это можно проверить, дифференцируя обе части равенства (4) но у. Найденное решение уравнения (3) зависит от одной произвольной функции, т. е. является общим.

Легко проверить, что уравнение имеет общее решение , где - произвольная дифференцируемая функция.

Напомним для этого правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных (см. , п. 116). Если , где - функции переменных то

Аналогичные формулы имеют место и для производных по При этом число промежуточных аргументов , так же как и число независимых переменных может быть любым.

В нашем примере , где . Поэтому

Подставляя эти выражения в уравнение, получим тождество

Точно так же можно проверить, что уравнение имеет общее решение , а уравнение имеет общее решение , где произвольная дифференцируемая функция.

Рассмотрим теперь уравнения второго порядка. Пусть

Положим Тогда уравнение (5) примет вид . Общим решением уравнения будем произвольная функция . Возвращаясь к функции и, получим опять уравнение первого порядка

Согласно (4) его общим решением будет функция

Так как - произвольная функция от у, то и интеграл от нее также является произвольной функцией, которую мы обозначим через . В результате мы получили решение в виде

где - произвольные дифференцируемые функции. Лег ко проверить, что функция (6) действительно удовлетворяет уравнению (5).

До сих пор мы еще не ставили вопроса об отыскании частных решений. Позже будет выяснено, какие дополнительные условия нужно задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т. е. функцию, удовлетворяющую как дифференциальному уравнению, так и дополнительным условиям.

Оказывается, что дифференциальные уравнения математической физики, которыми мы будем в дальнейшем заниматься, имеют между собой довольно много общих черт: все они - второго порядка и линейны относительно неизвестной функции и ее частных производных.

Чаще всего все коэффициенты перед функцией и ее производными - постоянные числа. Общий вид таких уравнений для функции и, зависящей от двух переменных х и у, таков:

где А, В, С, D, Е и F - постоянные числа, а правая часть - заданная функция переменных х и у.

Отметим, что характер и поведение решений этого уравнения существенно зависят от его коэффициентов. Об этом мы скажем в заключении, после того как познакомимся с простейшими уравнениями типа (7) и способами их решений 1).

Рассмотрим функцию нескольких независимых переменных .

Частные производные 1-го порядка данной функции по переменной вычисляются по обычным правилам и формулам дифференцирования, при этом все переменные, кроме , рассматриваются как постоянные.

Обозначение: .

Частными производными 2-го порядка функции называются частные производные от ее частных производных 1-го порядка.

Обозначение: .

Пример. Найти частные производные 1-го и 2-го порядков функции .

Решение.Считая y постоянной переменной, получим:

Считая x постоянной, получим: .

Соответственно: , , .

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным . Если независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных .

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения . Например:

1. – обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка;

2. – обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка;

3. – обыкновенное дифференциальное уравнение 3-го порядка;

4. – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка;

5. – уравнение в частных производных 1-го порядка;

6. – уравнение в частных производных 2-го порядка.

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

1.1.1. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка

Многие задачи механики и физики приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка.

Например:

1) при изучении различных видов волн − упругих, звуковых, электромагнитных, а также других колебательных явлений мы приходим к волновому уравнению:

− уравнение распространения волн в стержне;

− уравнение распространения волн в плоской пластине;

− уравнение распространения волн в пространстве,

где а − скорость распространения волн в данной среде;

2) процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, так же как и явления диффузии, описываются уравнением теплопроводности:

− уравнение распространения тепла в стержне;

− уравнение распространения тепла в плоской пластине;

− уравнение распространения тепла в пространстве,

3) при рассмотрении установившегося теплового состояния в однородном изотропном теле мы приходим к уравнению Пуассона

.

При отсутствии источников тепла внутри тела данное уравнение переходит в уравнение Лапласа

.

Приведенные уравнения называют основными уравнениями математической физики . Их подробное изучение дает возможность построить теорию широкого круга физических явлений и решить ряд физических и технических задач.

Функция , удовлетворяющая какому-либо из приведенных уравнений, называется его решением.

1.1.2. Понятие об общем решении уравнения в частных производных

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n -го порядка: . Его общий интеграл представляет собой некоторое семейство функций, зависящее от n произвольных постоянных . Любое частное решение получается из него, если параметрам придать определенные значения.

Рассмотрим решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных.

Пример 1. Пусть дано уравнение , где .

Решение. Найдем его общий интеграл, т.е. функцию ,удовлетворяющую данному уравнению. Сначала запишем это уравнение в виде: .Поскольку производная по переменной х от величины, стоящей в скобках, равна нулю, то последняя является некоторой произвольной функцией от у : . Поэтому

Интегрируя произвольную функцию ,получили функцию плюс произвольная функция . Таким образом, общий интеграл уравнения 2-го порядка содержит две произвольные функции.

Пример 2. Решить уравнение , где .

х :

,

где – произвольная функция.

Пример 3. Решить уравнение , где .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения по у :

,

где – произвольная функция.

Интегрируем повторно по у полученное равенство:

где – произвольные функции.

Пример 4. Решить уравнение , где .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения сначала по х , а затем по у :

,

где – произвольные функции.

Замечание. В отличие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения, зависящего от произвольных постоянных, общее решение уравнения с частными производными зависит от произвольных функций, количество которых равно порядку уравнения.

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":

Рассмотрим сравнительно простое уравнение в частных производных:

Классификация

Размерность

Равна количеству независимых переменных. Должна быть не меньше 2 (при 1 получается обыкновенное дифференциальное уравнение).

Линейность

Есть линейные и нелинейные уравнения. Линейное уравнение представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций. Коэффициенты при этом могут быть либо постоянными , либо известными функциями.

Линейные уравнения хорошо исследованы, за решение отдельных видов нелинейных уравнений назначены миллионные премии (задачи тысячелетия).

Однородность

Уравнение является неоднородным, если есть слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Порядок

Порядок уравнения определяется максимальным порядком производной. Имеют значение порядки по всем переменным.

Классификация уравнений второго порядка

Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяют на параболические , эллиптические и гиперболические .

Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:

где A , B , C - коэффициенты, зависящие от переменных x и y , а многоточие означает члены, зависящие от x , y , u и частных производных первого порядка: и . Это уравнение похоже на уравнение конического сечения :

Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы , параболы и гиперболы , в зависимости от знака дискриминанта , классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:

В случае, когда все коэффициенты A , B , C - постоянные, уравнение имеет один и тот же тип во всех точках плоскости переменных x и y . В случае, если коэффициенты A , B , C непрерывно зависят от x и y , множество точек, в которых данное уравнение относится к гиперболическому (эллиптическому), типу образует на плоскости открытую область, называемую гиперболической (эллиптической), а множество точек, в которых уравнение относится к параболическому типу, замкнуто. Уравнение называется смешанным (смешанного типа ), если в некоторых точках плоскости оно гиперболическое, а в некоторых - эллиптическое. В этом случае параболические точки, как правило, образуют линию, называемую линией смены типа или линией вырождения .

В общем случае, когда уравнение второго порядка зависит от многих независимых переменных:

Невырожденным линейным преобразованием

квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду:

При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого и производится классификация (в точке ) рассматриваемого уравнения:

В случае многих независимых переменных может быть проведена и более подробная классификация (необходимость которой в случае двух независимых переменных не возникает):

1. Гиперболический тип
   1. Нормальный гиперболический тип , если один коэффициент одного знака, а остальные другого.
   2. Ультрагиперболический тип , если коэффициентов как одного знака так и другого более чем один.
2. Параболический тип может быть дополнительно классифицирован на:
   1. Эллиптически-параболический тип , если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют один знак.
   2. Гиперболически-параболический тип , если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют различные знаки. Аналогично гиперболическому типу он может быть разделён на:
      1. Нормальный гиперболически-параболический тип
      2. Ультрагиперболически-параболический тип
   3. Ультрапараболический тип , если более чем один коэффициент равен нулю. Здесь также возможна дальнейшая классификация в зависимости от знаков не равных нулю коэффициентов.

Существование и единственность решения

Хотя ответ на вопрос о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения имеет вполне исчерпывающий ответ (теорема Пикара-Линделёфа), для уравнения в частных производных однозначного ответа на этот вопрос нет. Существует общая теорема (теорема Коши-Ковалевской), которая утверждает, что задача Коши для любого уравнения в частных производных, аналитического относительно неизвестных функций и их производных имеет единственное аналитическое решение . Тем не менее, существуют примеры линейных уравнений в частных производных, коэффициенты которых имеют производные всех порядков и не имеющих решения (Леви (1957)). Даже если решение существует и единственно, оно может иметь нежелательные свойства.

Рассмотрим последовательность задач Коши (зависящую от n ) для уравнения Лапласа :

где n - целое. Производная от функции u по переменной y равномерно стремится к 0 по x при возрастании n , однако решением уравнения является

Решение стремится к бесконечности, если nx не кратно для любого ненулевого значения y . Задача Коши для уравнения Лапласа называется плохо поставленной или некорректной, так как нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 12 мая 2011 .

Почти-решение дифференциального уравнения с частными производными - понятие, введенное В. М. Миклюковым в связи с исследованиями решений с неустранимыми особенностями.

Подборку статей, касающихся описания свойств почти-решений (принцип максимума, неравенство Гарнака и др.) см. на http://www.uchimsya.info .

Примеры

Одномерное уравнение теплопроводности

Уравнение, описывающее распространение тепла в однородном стержне имеет вид

где u (t ,x ) - температура, и α - положительная константа, описывающая скорость распространения тепла. Задача Коши ставится следующим образом:

где f (x ) - произвольная функция.

Уравнение колебания струны

Здесь u (t ,x ) - смещение струны из положения равновесия, или избыточное давление воздуха в трубе, или магнитуда электромагнитного поля в трубе, а c - скорость распространения волны. Для того, чтобы сформулировать задачу Коши в начальный момент времени, следует задать смещение и скорость струны в начальный момент времени:

Двумерное уравнение Лапласа

Связь с аналитическими функциями

Вещественная и мнимая части любой голоморфной функции комплексной переменной являются сопряжённо гармоническими функциями: они обе удовлетворяют уравнению Лапласа и их градиенты ортогональны. Если f =u +iv , то условия Коши-Римана утверждают следующее:

Складывая и вычитая уравнения друг из друга, получаем:

Также можно показать, что любая гармоническая функция является вещественной частью некоторой аналитической функции.

Граничные задачи

Граничные задачи ставятся следующим образом: найти функцию u , которая удовлетворяет уравнению Лапласа во всех внутренних точках области S , а на границе области - некоторому условию. В зависимости от вида условия различают следующие кравевые задачи:

Решение уравнений математической физики

Существует два вида методов решения данного типа уравнений:

• аналитический, при котором результат выводится различными математическими преобразованиями;
• численный, при котором полученный результат соответствует действительному с заданной точностью, но который требует много рутинных вычислений и поэтому выполним только при помощи вычислительной техники (ЭВМ).

Аналитическое решение

Уравнение колебаний

Рассмотрим задачу о колебаниях струны длины . Будем считать, что на концах струны функция обращается в ноль:

В начальный момент времени зададим начальные условия:

Представим решение в виде:

После подстановки в исходное уравнение колебаний, разделим на произведение получаем:

Правая часть этого уравнения зависит от , левая - от , следовательно это уравнение может выполняться лишь тогда, когда обе его части равны постоянной величине, которую обозначим через :

Отсюда находим уравнение для :

Нетривиальные решения этого уравнения при однородных краевых условиях возможны только при и имеют вид:

Рассмотрим уравнение для отыскания :

Его решение:

Следовательно, каждая функция вида

является решением волнового уравнения.

Чтобы удовлетворить решение начальным условиям, составим ряд:

Подстановка в начальные условия даёт:

Последние формулы представляют собой разложение функций и в ряд Фурье на отрезке . Коэффициенты разложений вычисляются по формулам:

Численное решение

Уравнение колебаний струны

Данный способ решения называется методом конечных дифференциалов. Он достаточно просто реализуем при помощи программирования.

Этот метод основан на определении производной функции :

Если имеется функция , то частичная производная будет следующая:

Так как мы используем достаточно маленький, знаки пределов можно отбросить. Тогда получим следующие выражения:

Для удобства в дальнейшем примем следующие обозначения:

,

Тогда предыдущие выражения можно записать так: ,

Эти выражения называют правыми дифференциалами. Их можно записать и по-другому: , - это левые дифференциалы.

Просуммировав оба выражения получим следующее:

из которых следует:

Оба выражения называют дифференциалом в центральной точке . Они приближают производную с большей точностью.

Аналогично можно получить и дифференциалы второго порядка:

Уравнение колебаний струны записывается в такой форме: .

Дополнительные условия задаются в виде: , , , ,

Где и - позиции концов (креплений) струны во времени, а и - начальное состояние и скорость струны из которой мы можем получить состояние струны в следующий момент времени используя формулу (см. Метод Эйлера):