الدوال المثلثية. تعريف ورسوم بيانية للدوال المثلثية

علم المثلثات هو فرع من فروع العلوم الرياضية التي تدرس الدوال المثلثية واستخدامها في الهندسة. بدأ تطور علم المثلثات في اليونان القديمة. خلال العصور الوسطى، قدم علماء من الشرق الأوسط والهند مساهمات مهمة في تطوير هذا العلم.

هذه المقالة مخصصة ل مفاهيم أساسيةوتعاريف علم المثلثات. ويناقش تعريفات الدوال المثلثية الأساسية: جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام. يتم شرح معناها وتوضيحها في سياق الهندسة.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

في البداية، تم التعبير عن تعريفات الدوال المثلثية التي تكون حجتها زاوية من حيث نسبة أضلاع المثلث القائم الزاوية.

تعريفات الدوال المثلثية

جيب الزاوية (sin α) هو نسبة الساق المقابلة لهذه الزاوية إلى الوتر.

جيب تمام الزاوية (cos α) - نسبة الساق المجاورة إلى الوتر.

زاوية الظل (t g α) - نسبة الجانب المقابل إلى الجانب المجاور.

زاوية ظل التمام (c t g α) - نسبة الجانب المجاور إلى الجانب الآخر.

هذه التعريفات معطاة للزاوية الحادة للمثلث القائم الزاوية!

دعونا نعطي مثالا.

في المثلث ABC الذي فيه الزاوية القائمة C، يكون جيب الزاوية A يساوي النسبةالساق BC إلى الوتر AB.

تسمح لك تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام بحساب قيم هذه الوظائف من الأطوال المعروفة لأضلاع المثلث.

من المهم أن نتذكر!

نطاق قيم الجيب وجيب التمام هو من -1 إلى 1. وبعبارة أخرى، يأخذ الجيب وجيب التمام القيم من -1 إلى 1. نطاق قيم الظل وظل التمام هو خط الأعداد بأكمله، أي أن هذه الوظائف يمكن أن تأخذ أي قيم.

تنطبق التعريفات المذكورة أعلاه على الزوايا الحادة. في علم المثلثات، تم تقديم مفهوم زاوية الدوران، والتي لا تقتصر قيمتها، على عكس الزاوية الحادة، على 0 إلى 90 درجة.يتم التعبير عن زاوية الدوران بالدرجات أو الراديان بأي رقم حقيقي من - ∞ إلى + ∞ .

في هذا السياق، يمكننا تحديد الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية ذات حجم تعسفي. دعونا نتخيل دائرة وحدة مركزها هو أصل نظام الإحداثيات الديكارتية.

النقطة الأولية A ذات الإحداثيات (1، 0) تدور حول مركز دائرة الوحدة بزاوية معينة α وتتجه إلى النقطة A 1. يتم تقديم التعريف من حيث إحداثيات النقطة A 1 (x، y).

جيب (خطيئة) لزاوية الدوران

جيب زاوية الدوران α هو إحداثي النقطة A 1 (x, y). الخطيئة α = ذ

جيب التمام (cos) لزاوية الدوران

جيب التمام لزاوية الدوران α هو حدود النقطة A 1 (x، y). كوس α = س

الظل (tg) لزاوية الدوران

ظل زاوية الدوران α هو نسبة إحداثيات النقطة A 1 (x، y) إلى الإحداثي المحوري. تي ز α = ص س

ظل التمام (ctg) لزاوية الدوران

ظل التمام لزاوية الدوران α هو نسبة حدود النقطة A 1 (x، y) إلى الإحداثي. ج تي ز α = س ص

يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زاوية دوران. وهذا أمر منطقي، لأنه يمكن تحديد الإحداثي والإحداثي للنقطة بعد الدوران بأي زاوية. الوضع مختلف مع الظل وظل التمام. يكون المماس غير محدد عندما تذهب نقطة بعد الدوران إلى نقطة ذات حدود صفرية (0، 1) و (0، - 1). في مثل هذه الحالات، التعبير عن الظل t g α = y x ببساطة لا معنى له، لأنه يحتوي على القسمة على صفر. الوضع مشابه مع ظل التمام. والفرق هو أن ظل التمام لا يتم تعريفه في الحالات التي يكون فيها إحداثي النقطة يساوي الصفر.

من المهم أن نتذكر!

يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زوايا α.

يتم تعريف الظل لجميع الزوايا باستثناء α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

يتم تعريف ظل التمام لجميع الزوايا باستثناء α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

عندما تقرر أمثلة عمليةلا تقل "جيب زاوية الدوران α". لقد تم ببساطة حذف عبارة "زاوية الدوران"، مما يعني أنه من الواضح بالفعل من السياق ما تتم مناقشته.

أعداد

ماذا عن تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لعدد، وليس زاوية الدوران؟

جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام لعدد

جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لعدد رهو رقم يساوي على التوالي جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام رراديان.

على سبيل المثال، جيب العدد 10 π يساوي جيب زاوية الدوران 10 π راد.

هناك طريقة أخرى لتحديد جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لأي رقم. دعونا نلقي نظرة فاحصة على ذلك.

أي عدد حقيقي رترتبط نقطة على دائرة الوحدة بالمركز عند أصل نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل. يتم تحديد الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام من خلال إحداثيات هذه النقطة.

نقطة البداية على الدائرة هي النقطة (أ) بإحداثيات (1، 0).

رقم موجب، عدد إيجابي ر

عدد السلبي ريتوافق مع النقطة التي ستذهب إليها نقطة البداية إذا تحركت حول الدائرة عكس اتجاه عقارب الساعة ومرت المسار t.

الآن بعد أن تم إنشاء العلاقة بين الرقم ونقطة على الدائرة، ننتقل إلى تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام.

جيب (الخطيئة) من ر

جيب الرقم ر- إحداثية نقطة على دائرة الوحدة المقابلة للرقم ر. الخطيئة ر = ذ

جيب التمام (كوس) ر

جيب التمام لعدد ر- نهاية نقطة دائرة الوحدة المقابلة للرقم ر. كوس ر = س

الظل (tg) من ر

ظل الرقم ر- نسبة الإحداثيات إلى حدود نقطة ما على دائرة الوحدة المقابلة للرقم ر. t g t = y x = sin t cos t

تتوافق أحدث التعريفات مع التعريف الوارد في بداية هذه الفقرة ولا تتعارض معه. أشر على الدائرة المقابلة للرقم ر، يتزامن مع النقطة التي تذهب إليها نقطة البداية بعد الدوران بزاوية رراديان.

الدوال المثلثية للوسيطة الزاوية والرقمية

كل قيمة للزاوية α تتوافق مع قيمة معينة لجيب وجيب التمام لهذه الزاوية. تمامًا مثل جميع الزوايا α بخلاف α = 90 ° + 180 ° k، k ∈ Z (α = π 2 + π k، k ∈ Z) تتوافق مع قيمة ظل معينة. يتم تعريف ظل التمام، كما هو مذكور أعلاه، لجميع α باستثناء α = 180° k، k ∈ Z (α = π k، k ∈ Z).

يمكننا القول أن sin α، cos α، t g α، c t g α هي دوال للزاوية ألفا، أو دوال للوسيطة الزاوية.

وبالمثل، يمكننا التحدث عن الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام كوظائف للوسيطة العددية. كل عدد حقيقي ريتوافق مع قيمة معينة لجيب أو جيب تمام الرقم ر. جميع الأرقام غير π 2 + π · k, k ∈ Z، تتوافق مع قيمة الظل. يتم تعريف ظل التمام، بالمثل، لجميع الأرقام باستثناء π · k، k ∈ Z.

الوظائف الأساسية لعلم المثلثات

جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام هي الوظائف المثلثية الأساسية.

عادةً ما يكون واضحًا من السياق أي وسيطة للدالة المثلثية (الوسيطة الزاوية أو الوسيطة الرقمية) التي نتعامل معها.

دعنا نعود إلى التعريفات المقدمة في البداية وزاوية ألفا، التي تقع في النطاق من 0 إلى 90 درجة. تتوافق التعريفات المثلثية للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام تمامًا مع التعريفات الهندسية المقدمة من خلال نسب العرض إلى الارتفاع للمثلث القائم الزاوية. دعونا نظهر ذلك.

لنأخذ دائرة وحدة مركزها في نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل. لنقم بتدوير نقطة البداية A (1، 0) بزاوية تصل إلى 90 درجة ونرسم خطًا عموديًا على محور الإحداثي المحوري من النقطة الناتجة A 1 (x، y). في المثلث الأيمن الناتج، الزاوية A 1 O H تساوي زاوية الدوران α، طول الساق O H يساوي حدود النقطة A 1 (x، y). طول الساق المقابلة للزاوية يساوي إحداثي النقطة A 1 (x، y)، وطول الوتر يساوي واحدًا، لأنه نصف قطر دائرة الوحدة.

وفقا للتعريف من الهندسة، فإن جيب الزاوية α يساوي نسبة الجانب المقابل إلى الوتر.

الخطيئة α = أ 1 ح O أ 1 = ص 1 = ص

هذا يعني أن تحديد جيب الزاوية الحادة في المثلث القائم من خلال نسبة العرض إلى الارتفاع يعادل تحديد جيب زاوية الدوران α، مع وجود ألفا في النطاق من 0 إلى 90 درجة.

وبالمثل، يمكن إظهار تطابق التعريفات لجيب التمام والظل وظل التمام.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

كل دالة مثلثية لزاوية (أو رقم) معينة α تتوافق مع معينة معنىهذه الوظيفة. ومن تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام يتضح أن قيمة جيب الزاوية α هي إحداثية النقطة التي تمر إليها نقطة بداية دائرة الوحدة بعد دورانها خلال الزاوية α، قيمة جيب التمام هي حدود هذه النقطة، وقيمة الظل هي نسبة الإحداثي إلى الإحداثي، وقيمة ظل التمام هي نسبة الإحداثي إلى الإحداثي.

في كثير من الأحيان، عند حل المشكلات، تنشأ الحاجة إلى العثور على قيم الجيب وجيب التمام والظلال وظل التمام للزوايا المحددة. بالنسبة لبعض الزوايا، على سبيل المثال عند 0، 30، 45، 60، 90، ... درجة، من الممكن العثور على القيم الدقيقة للدوال المثلثية؛ بالنسبة للزوايا الأخرى، يتبين أن العثور على القيم الدقيقة أمر ضروري إشكالية وعليك أن تكون راضيا عن القيم التقريبية.

في هذه المقالة سنلقي نظرة على المبادئ التي ينبغي اتباعها عند حساب قيمة الجيب أو جيب التمام أو الظل أو ظل التمام. دعونا قائمة لهم بالترتيب.

يمكن العثور على القيمة التقريبية للدالة المثلثية المحددة من خلال التعريف. وللزوايا 0، ±90، ±180، إلخ. بالدرجات، يتيح لك تعريف الدوال المثلثية تحديد القيم الدقيقة للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام.
تتيح لك العلاقات بين الجوانب والزوايا في المثلث القائم إيجاد قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا "الأساسية" البالغة 30 و45 و60 درجة.
إذا تجاوزت الزاوية 0 إلى 90 درجة، فيجب عليك أولاً استخدام صيغ التخفيض، والتي ستسمح لك بالمضي قدمًا في حساب قيمة الدوال المثلثية باستخدام وسيطة من 0 إلى 90 درجة.
إذا كانت قيمة إحدى الدوال المثلثية لزاوية معينة α معروفة، فيمكننا دائمًا حساب قيمة أي دالة مثلثية أخرى لنفس الزاوية. الهويات المثلثية الأساسية تسمح لنا بالقيام بذلك.
من الممكن في بعض الأحيان حساب قيمة دالة مثلثية معينة لزاوية معينة، بدءاً من قيم الدوال للزوايا الأساسية وباستخدام صيغ حساب المثلثات المناسبة. على سبيل المثال، باستخدام قيمة الجيب المعروفة البالغة 30 درجة وصيغة نصف الزاوية للجيب، يمكنك إيجاد قيمة الجيب البالغة 15 درجة.
أخيرًا، يمكنك دائمًا العثور على القيمة التقريبية لدالة مثلثية معينة لزاوية معينة بالإشارة إلى القيمة المطلوبة من جداول الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام.

سننظر الآن في كل من المبادئ المذكورة لحساب قيم الجيب وجيب التمام والظلال وظل التمام بالتفصيل.

التنقل في الصفحة.

إيجاد قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام حسب التعريف

استنادا إلى تعريف الجيب وجيب التمام، يمكنك العثور على قيم الجيب وجيب التمام لزاوية معينة α. للقيام بذلك، عليك أن تأخذ دائرة الوحدة، وتدوير نقطة البداية A(1، 0) بزاوية α، وبعد ذلك ستنتقل إلى النقطة A1. ثم ستعطي إحداثيات النقطة A 1، على التوالي، جيب التمام وجيب الزاوية المحددة α. بعد ذلك، يمكنك حساب ظل وظل التمام للزاوية α عن طريق حساب نسب الإحداثي إلى الإحداثي والإحداثي، على التوالي.

بحكم التعريف، يمكننا حساب القيم الدقيقة للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا 0، ±90، ±180، ±270، ±360، …درجات ( 0، ±π/2، ±π، ±3π/2، ±2π، …راديان). دعنا نقسم هذه الزوايا إلى أربع مجموعات: 360 درجة z (2π z rad)، 90 + 360 درجة z (π/2 + 2π z rad)، 180 + 360 درجة z (π + 2π z rad) و270+360·z درجات (3π/2+2π·z راد)، حيث z هو أي . دعونا نصور في الأشكال المكان الذي ستقع فيه النقطة A 1، الناتجة عن تدوير نقطة البداية A بهذه الزوايا (إذا لزم الأمر، قم بدراسة زاوية الدوران في المقالة).

لكل مجموعة من مجموعات الزوايا هذه، سنجد قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام باستخدام التعريفات.

وأما الزوايا الأخرى غير 0، ±90، ±180، ±270، ±360، …بالدرجات، إذن بحكم التعريف يمكننا فقط العثور على القيم التقريبية للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. على سبيل المثال، دعونا نوجد جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية −52 درجة.

دعونا نفعل البناء.

وبحسب الرسم نجد أن حدود النقطة A 1 تساوي 0.62 تقريبًا، والإحداثي يساوي −0.78 تقريبًا. هكذا، و . يبقى أن نحسب قيم الظل وظل التمام التي لدينا و .

من الواضح أنه كلما تم الانتهاء من الإنشاءات بدقة أكبر، كلما تم العثور على القيم التقريبية لجيب الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية معينة بدقة أكبر. ومن الواضح أيضًا أن العثور على قيم الدوال المثلثية، بحكم التعريف، ليس مناسبًا في الممارسة العملية، لأنه غير مريح لتنفيذ الإنشاءات الموصوفة.

خطوط الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام

يجدر التطرق لفترة وجيزة إلى ما يسمى ب خطوط الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. خطوط الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام هي خطوط مرسومة مع دائرة الوحدة، ولها أصل ووحدة قياس تساوي واحدًا في نظام الإحداثيات المستطيل المقدم؛ جميع القيم الممكنة للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام هي ممثلة بوضوح عليها. دعونا نصورهم في الرسم أدناه.

قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا 30 و45 و60 درجة

بالنسبة للزوايا 30 و45 و60 درجة، فإن القيم الدقيقة للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام معروفة. ويمكن الحصول عليها من تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية حادة في مثلث قائم باستخدام نظرية فيثاغورس.

للحصول على قيم الدوال المثلثية للزوايا 30 و60 درجة، اعتبر مثلثًا قائمًا بهذه الزوايا، واتخذه بحيث يكون طول الوتر يساوي واحدًا. ومن المعروف أن الساق التي تقع مقابل زاوية 30 درجة هي نصف حجم الوتر، وبالتالي فإن طولها يساوي 1/2. نجد طول الساق الأخرى باستخدام نظرية فيثاغورس: .

بما أن جيب الزاوية هو نسبة الضلع المقابل إلى الوتر، إذن و . بدوره، جيب التمام هو نسبة الساق المجاورة إلى الوتر، إذن و . الظل هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور، وظل التمام هو نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل، وبالتالي: و ، و و .

يبقى الحصول على قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية 45 درجة. دعونا ننتقل إلى مثلث قائمبزوايا 45 درجة (ستكون متساوية الساقين) والوتر يساوي واحدًا. ثم، باستخدام نظرية فيثاغورس، من السهل التحقق من أن أطوال الساقين متساوية. يمكننا الآن حساب قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام كنسبة أطوال الأضلاع المقابلة للمثلث القائم الزاوية المعني. لدينا و .

سيتم استخدام القيم التي تم الحصول عليها من الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا 30 و45 و60 درجة في كثير من الأحيان عند حل المشكلات الهندسية والمثلثية المختلفة، لذلك نوصي بتذكرها. للراحة، سنقوم بإدخالها في جدول القيم الرئيسية للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام.

وفي ختام هذه النقطة، نقدم توضيحًا لقيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا 30 و45 و60 باستخدام دائرة الوحدة وخطوط الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام.

تخفيض إلى زاوية من 0 إلى 90 درجة

نلاحظ على الفور أنه من الملائم العثور على قيم الدوال المثلثية عندما تكون الزاوية في النطاق من 0 إلى 90 درجة (من صفر إلى pi بنصف راد). إذا كانت وسيطة الدالة المثلثية، التي نحتاج إلى إيجاد قيمتها، تتجاوز الحدود من 0 إلى 90 درجة، فيمكننا دائمًا استخدام صيغ الاختزال للشروع في العثور على قيمة الدالة المثلثية، وسيطة والتي ستكون ضمن الحدود المحددة.

على سبيل المثال، دعونا نوجد قيمة جيب الزاوية 210 درجة. من خلال تقديم 210 كـ 180+30 أو 270−60، فإن صيغ الاختزال المقابلة تقلل من مشكلتنا من إيجاد جيب الزاوية 210 درجة إلى إيجاد قيمة جيب الزاوية 30 درجة، أو جيب التمام 60 درجة.

دعونا نتفق للمستقبل عند العثور على قيم الدوال المثلثية، يجب دائمًا استخدام صيغ الاختزال للانتقال إلى الزوايا من الفاصل الزمني من 0 إلى 90 درجة، ما لم تكن الزاوية بالطبع ضمن هذه الحدود بالفعل.

ويكفي معرفة قيمة إحدى الدوال المثلثية

تنشئ الهويات المثلثية الأساسية روابط بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لنفس الزاوية. وهكذا، بمساعدتهم، يمكننا استخدام القيمة المعروفة لإحدى الدوال المثلثية لإيجاد قيمة أي دالة أخرى لها نفس الزاوية.

دعونا نلقي نظرة على الحل المثال.

مثال.

أوجد ما يساويه جيب الزاوية pi في ثمانية إذا .

حل.

أولًا، دعونا نوجد ما يساوي ظل التمام لهذه الزاوية:

الآن باستخدام الصيغة يمكننا حساب ما يساويه مربع جيب الزاوية pi على ثمانية، وبالتالي القيمة المطلوبة للجيب. لدينا

كل ما تبقى هو إيجاد قيمة الجيب. بما أن الزاوية pi على ثمانية هي زاوية الربع الإحداثي الأول، فإن جيب هذه الزاوية يكون موجبًا (إذا لزم الأمر، راجع قسم النظرية لمعرفة علامات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام بالربع). هكذا، .

إذا قمنا ببناء دائرة وحدة يكون مركزها عند نقطة الأصل، وقمنا بتعيين قيمة عشوائية للوسيطة × 0والعد من المحور ثورركن س 0, فإن هذه الزاوية على دائرة الوحدة تقابل نقطة معينة أ(رسم بياني 1) وإسقاطه على المحور أوهستكون هناك نقطة م. طول القسم أوميساوي قيمه مطلقهالنقاط الإحداثية أ. هذه القيمةدعوى × 0تم تعيين قيمة الوظيفة ذ=cos س 0 مثل النقاط الإحداثية أ. وبناء على ذلك، نقطة في(س 0 ;في 0) ينتمي إلى الرسم البياني للوظيفة في=cos X(الصورة 2). إذا كانت النقطة أيقع على يمين المحور الوحدة التنظيمية, سيكون الجيب الحالي موجبًا، لكن إذا كان إلى اليسار فسيكون سالبًا. ولكن على أية حال، الفترة ألا يستطيع مغادرة الدائرة لذلك، يقع جيب التمام في النطاق من -1 إلى 1:

-1 = كوس س = 1.

دوران إضافي في أي زاوية، مضاعفات 2 ص، نقطة الإرجاع أإلى نفس المكان. ولذلك الوظيفة ص =كوس سص:

كوس( س+ 2ص) = كوس س.

إذا أخذنا قيمتين للوسيطة، متساويتين في القيمة المطلقة، ولكنهما متعارضتان في الإشارة، سو - س, العثور على النقاط المقابلة على الدائرة فأسو فأس. كما يمكن أن يرى في التين. 3 إسقاطهم على المحور أوههي نفس النقطة م. لهذا

كوس(- س) = كوس ( س),

أولئك. جيب التمام هو وظيفة زوجية، F(–س) = F(س).

هذا يعني أنه يمكننا استكشاف خصائص الوظيفة ذ=cos Xعلى الجزء , ومن ثم تأخذ في الاعتبار التكافؤ ودوريتها.

في X= 0 نقطة أتقع على المحور أوه, الإحداثي الإحداثي هو 1، وبالتالي cos 0 = 1. مع الزيادة Xنقطة أيتحرك حول الدائرة لأعلى وإلى اليسار، ويكون إسقاطها بطبيعة الحال إلى اليسار فقط، وعند x = ص/2 جيب التمام يصبح يساوي 0. نقطة أفي هذه اللحظة يرتفع إلى أقصى ارتفاع، ثم يستمر في التحرك إلى اليسار، ولكنه تنازلي بالفعل. يستمر الإحداثي في التناقص حتى يصل أدنى قيمة، يساوي -1 في X= ص. وهكذا، على الفاصل الزمني الدالة في=cos Xيتناقص بشكل رتيب من 1 إلى –1 (الشكل 4، 5).

من تكافؤ جيب التمام يترتب على ذلك في الفاصل الزمني [- ص، 0] تزداد الدالة بشكل رتيب من -1 إلى 1، مع قيمة صفر عند س =–ص/2. إذا أخذت عدة فترات، فستحصل على منحنى متموج (الشكل 6).

وبالتالي فإن الوظيفة ذ=cos سيأخذ قيم صفر عند النقاط X= ص/2 + kp, أين ك -أي عدد صحيح. يتم تحقيق الحد الأقصى الذي يساوي 1 عند النقاط X= 2kp، أي. في خطوات 2 ص، والحد الأدنى يساوي –1 عند النقاط X= ص + 2kp.

الدالة ذ = الخطيئة س.

على زاوية دائرة الوحدة س 0 يتوافق مع نقطة أ(الشكل 7)، وإسقاطه على المحور الوحدة التنظيميةستكون هناك نقطة ن.زقيمة الوظيفة ص 0 =خطيئة × 0يتم تعريفها على أنها إحداثية نقطة أ. نقطة في(ركن س 0 ,في 0) ينتمي إلى الرسم البياني للوظيفة ذ= خطيئة س(الشكل 8). ومن الواضح أن الوظيفة ص =خطيئة سدورية، دورتها هي 2 ص:

الخطيئة( س+ 2ص) = الخطيئة ( س).

بالنسبة لقيمتين للوسيطة، Xو - ، إسقاطات النقاط المقابلة لها فأسو فأسلكل محور الوحدة التنظيميةتقع بشكل متماثل بالنسبة للنقطة عن. لهذا

الخطيئة(- س) = -الخطيئة ( س),

أولئك. جيب الجيب هو دالة غريبة، f(- س) = -و( س) (الشكل 9).

إذا كانت النقطة أتدور نسبة إلى نقطة عنبزاوية ص/2 عكس اتجاه عقارب الساعة (وبعبارة أخرى، إذا كانت الزاوية Xزيادة بنسبة ص/2)، فإن إحداثيته في الموضع الجديد سيكون مساويًا للإحداثي الإحداثي في الموضع القديم. مما يعني

الخطيئة( س+ ص/2) = كوس س.

خلاف ذلك، جيب التمام هو جيب التمام "متأخرا" بواسطة ص/2، نظرًا لأن أي قيمة جيب التمام سوف "تتكرر" في جيب التمام عندما تزيد الوسيطة بمقدار ص/2. ولإنشاء رسم بياني جيبي، يكفي إزاحة رسم بياني جيب التمام ص/2 إلى اليمين (الشكل 10). لأقصى حد خاصية مهمةيتم التعبير عن الجيب بالمساواة

يمكن رؤية المعنى الهندسي للمساواة من الشكل. 11. هنا X -هذا نصف قوس أ.ب, خطيئة X -نصف الوتر المقابل. ومن الواضح أنه مع اقتراب النقاط أو فييقترب طول الوتر بشكل متزايد من طول القوس. من نفس الشكل من السهل استخلاص عدم المساواة

|خطيئة س| x|، صحيح لأي X.

يسمي علماء الرياضيات الصيغة (*) حد ملحوظ. ومنه، على وجه الخصوص، يتبع تلك الخطيئة X» Xفي صغيرة X.

المهام في= تيراغرام س، ص=ctg X. يمكن تعريف الوظيفتين المثلثيتين الأخريين، الظل وظل التمام، بسهولة أكبر على أنهما نسب الجيب وجيب التمام المعروفين لنا بالفعل:

مثل الجيب وجيب التمام، فإن الظل وظل التمام هما دالتان دوريتان، لكن فتراتهما متساوية ص، أي. هم نصف حجم الجيب وجيب التمام. والسبب في ذلك واضح: إذا تغيرت علامات الجيب وجيب التمام، فلن تتغير النسبة بينهما.

نظرًا لأن مقام الظل يحتوي على جيب التمام، فلا يتم تعريف الظل في تلك النقاط التي يكون فيها جيب التمام 0 - عندما X= ص/2 +ك.ب. وفي جميع النقاط الأخرى فإنه يزيد بشكل رتيب. مباشر X= ص/2 + kpللظل هي الخطوط المقاربة الرأسية. في نقاط kpالظل والمنحدر هما 0 و1 على التوالي (الشكل 12).

لم يتم تعريف ظل التمام حيث يكون جيب التمام 0 (متى س = ك.ب). وفي نقاط أخرى يتناقص بشكل رتيب، وخطوط مستقيمة س = ك.ب – خطوطها المقاربة العمودية. في نقاط س = ص/2 +ك.بيصبح ظل التمام 0، والميل عند هذه النقاط يساوي -1 (الشكل 13).

التكافؤ والدورية.

يتم استدعاء الدالة حتى لو F(–س) = F(س). دوال جيب التمام والقاطع زوجية، ودوال الجيب والظل وظل التمام وقاطع التمام فردية:

الخطيئة (–α) = – الخطيئة α	تان (–α) = – تان α
كوس (–α) = كوس α	CTG (–α) = – CTG α
ثانية (–α) = ثانية α	كوسيك (–α) = – كوسيك α

خصائص التكافؤ تتبع من تماثل النقاط صأ و ر-أ (الشكل 14) بالنسبة للمحور X. مع هذا التماثل، يتغير إحداثي النقطة (( X;في) يذهب إلى ( X; -و)). جميع الوظائف - الدورية، والجيب، وجيب التمام، والقاطع، وقاطع التمام لها فترة 2 ص, و الظل و ظل التمام - ص:

الخطيئة (α + 2 كπ) = الخطيئة α	كوس(α+2 كπ) = كوس α
تيراغرام(α+ كπ) = تان α	سرير أطفال(α+ كπ) = cotg α
ثانية (α + 2 كπ) = ثانية α	كوسيك(α+2 كπ) = كوسيك α

تتكرر دورية الجيب وجيب التمام من حقيقة أن جميع النقاط صأ+2 kp، أين ك= 0، ±1، ±2،…، تتزامن، ودورية الظل وظل التمام ترجع إلى حقيقة أن النقاط صأ+ kpتقع بالتناوب في نقطتين متقابلتين تمامًا من الدائرة، مما يعطي نفس النقطة على محور الظل.

يمكن تلخيص الخصائص الرئيسية للدوال المثلثية في جدول:

وظيفة	اِختِصاص	معاني متعددة	التكافؤ	مجالات الرتابة ( ك= 0، ± 1، ± 2،…)
خطيئة س	– А × А	[–1, +1]	غريب	يزيد مع سيا((4 ك – 1) ص /2, (4ك + 1) ص/2)، يتناقص عند سيا((4 ك + 1) ص /2, (4ك + 3) ص/2)
كوس س	– А × А	[–1, +1]	حتى	يزيد مع سيا ((2 ك – 1) ص, 2kp)، يتناقص عند سيا (2 kp, (2ك + 1) ص)
tg س	س № ص/2 + ص ك	(–Ґ , +Ґ )	غريب	يزيد مع سيا ((2 ك – 1) ص /2, (2ك + 1) ص /2)
ctg س	س № ص ك	(–Ґ , +Ґ )	غريب	يتناقص عند سعن ( kp, (ك + 1) ص)
ثانية س	س № ص/2 + ص ك	(–А، -1] و [+1، +А )	حتى	يزيد مع سيا (2 kp, (2ك + 1) ص)، يتناقص عند سيا ((2 ك– 1) ص ، 2 kp)
com.cosec س	س № ص ك	(–А، -1] و [+1، +А )	غريب	يزيد مع سيا((4 ك + 1) ص /2, (4ك + 3) ص/2)، يتناقص عند سيا((4 ك – 1) ص /2, (4ك + 1) ص /2)

صيغ التخفيض.

وفقا لهذه الصيغ، قيمة الدالة المثلثية للوسيطة أ، أين ص/2 a p ، يمكن اختزاله إلى قيمة الدالة الوسيطة a ، حيث 0 a p /2، إما هي نفسها أو مكملة لها.

حجة ب	-أ	+ أ	ص-أ	ص+ أ	+ أ	+ أ	2ص-أ
الخطيئة ب	كوس أ	كوس أ	الخطيئة أ	-خطيئة أ	-كوس أ	-كوس أ	-خطيئة أ
كوس ب	الخطيئة أ	-خطيئة أ	-كوس أ	-كوس أ	-خطيئة أ	الخطيئة أ	كوس أ

لذلك، في جداول الدوال المثلثية، يتم إعطاء القيم فقط للزوايا الحادة، ويكفي أن نقتصر، على سبيل المثال، على الجيب والظل. يعرض الجدول فقط الصيغ الأكثر استخدامًا للجيب وجيب التمام. من خلال هذه، من السهل الحصول على صيغ الظل وظل التمام. عند إلقاء دالة من وسيطة النموذج kp/2 ± أ، حيث ك- عدد صحيح لدالة الوسيطة a:

1) يتم حفظ اسم الوظيفة إذا كحتى، والتغييرات إلى "التكميلية" إذا كغريب؛

2) الإشارة الموجودة على الجانب الأيمن تتزامن مع إشارة الدالة القابلة للاختزال عند النقطة kp/2 ± أ إذا كانت الزاوية أ حادة.

على سبيل المثال، عند إرسال ctg (a – ص/2) نتأكد من أن – ص/2 عند 0 a p /2 يقع في الربع الرابع، حيث يكون ظل التمام سالبًا، ووفقًا للقاعدة 1، نقوم بتغيير اسم الدالة: ctg (a – ص/2) = –tg أ .

صيغ الإضافة.

صيغ للزوايا المتعددة.

هذه الصيغ مشتقة مباشرة من صيغ الجمع:

الخطيئة 2أ = 2 الخطيئة أ كوس أ ;

cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;

الخطيئة 3أ = 3 الخطيئة أ – 4 الخطيئة 3 أ;

cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;

تم استخدام صيغة cos 3a بواسطة François Viète عند حل المعادلة التكعيبية. وكان أول من وجد تعبيرات عن جتا نا والخطيئة ن a، والتي تم الحصول عليها لاحقًا بطريقة أبسط من صيغة Moivre.

إذا قمت باستبدال a بـ /2 في صيغ الوسيطات المزدوجة، فيمكن تحويلها إلى صيغ نصف الزاوية:

صيغ الاستبدال العالمية.

باستخدام هذه الصيغ، يمكن إعادة كتابة التعبير الذي يشتمل على دوال مثلثية مختلفة لنفس الوسيطة كتعبير عقلاني لدالة واحدة tg (a /2)، وقد يكون ذلك مفيدًا عند حل بعض المعادلات:

صيغ لتحويل المبالغ إلى منتجات والمنتجات إلى مبالغ.

قبل ظهور أجهزة الكمبيوتر، تم استخدام هذه الصيغ لتبسيط العمليات الحسابية. تم إجراء الحسابات باستخدام الجداول اللوغاريتمية، وفي وقت لاحق - قاعدة الشريحة، لأن اللوغاريتمات هي الأنسب لضرب الأرقام، لذلك تم إحضار جميع التعبيرات الأصلية إلى نموذج مناسب للوغاريثمية، أي. للأعمال، على سبيل المثال:

2 خطيئة أالخطيئة ب = كوس ( أ-ب) - كوس ( أ + ب);

2cos أكوس ب=كوس( أ-ب) + كوس ( أ + ب);

2 خطيئة أكوس ب= الخطيئة( أ-ب) + الخطيئة ( أ + ب).

يمكن الحصول على صيغ وظائف الظل وظل التمام مما سبق.

صيغ تخفيض الدرجة.

من صيغ الوسائط المتعددة يتم اشتقاق الصيغ التالية:

الخطيئة 2 أ = (1 - كوس 2أ)/2؛	كوس 2 أ = (1 + كوس 2أ )/2؛
الخطيئة 3 أ = (3 الخطيئة أ - الخطيئة 3أ)/4؛	كوس 3 أ = (3 كوس أ + كوس 3أ)/4.

باستخدام هذه الصيغ، يمكن اختزال المعادلات المثلثية إلى معادلات ذات درجات أقل. بنفس الطريقة، يمكننا استخلاص صيغ الاختزال للقوى الأعلى للجيب وجيب التمام.

مشتقات وتكاملات الدوال المثلثية
(الخطيئة س)` = كوس س;	(كوس س)` = -الخطيئة س;
(تيراغرام س)` = ;	(ctg س)` = – ;
ر الخطيئة × دي إكس= -كوس س + ج;	ر كوس × دي إكس= خطيئة س + ج;
ر تيراغرام × دي إكس= -ln\|cos س\| + ج;	تي سي تي جي س دكس = ln\|الخطيئة س\| + ج;

كل دالة مثلثية في كل نقطة من مجال تعريفها تكون مستمرة وقابلة للاشتقاق بشكل لا نهائي. علاوة على ذلك، فإن مشتقات الدوال المثلثية هي دوال مثلثية، وعند التكامل يتم الحصول أيضًا على الدوال المثلثية أو لوغاريتماتها. إن تكاملات المجموعات العقلانية للدوال المثلثية هي دائمًا دوال أولية.

تمثيل الدوال المثلثية على شكل متسلسلة قوى وحواصل لا نهائية.

يمكن توسيع جميع الدوال المثلثية في سلسلة الطاقة. في هذه الحالة، وظائف الخطيئة س bcos سيتم عرضها في صفوف. متقاربة لجميع القيم س:

يمكن استخدام هذه السلسلة للحصول على تعبيرات تقريبية للخطيئة سوكوس سبقيم صغيرة س:

في | س|ص/2؛

عند 0x| ص

(بن – أرقام برنولي).

وظائف الخطيئة سوكوس سيمكن تمثيلها في شكل منتجات لا حصر لها:

النظام المثلثي 1، كوس س,الخطيئة س، كوس 2 س، الخطيئة 2 س,¼,كوس nx,الخطيئة nx، ¼، أشكال على القطعة [- ص, ص] نظام متعامد من الدوال، مما يجعل من الممكن تمثيل الدوال في شكل سلسلة مثلثية.

يتم تعريفها على أنها استمرارات تحليلية للوظائف المثلثية المقابلة للوسيطة الحقيقية في المستوى المعقد. نعم خطيئة ضوكوس ضيمكن تعريفها باستخدام سلسلة للخطيئة سوكوس س, إذا بدلا من ذلك سيضع ض:

وتتقارب هذه المتسلسلة على المستوى بأكمله، لذا فهي خطيئة ضوكوس ض- وظائف كاملة.

يتم تحديد الظل وظل التمام بواسطة الصيغ:

وظائف تيراغرام ضو CTG ض– وظائف ميرومورفيكية. أقطاب tg ضوثانية ض- بسيط (الترتيب الأول) ويقع في نقاط ض = ص/2 + ن,القطبين CTG ضوكوزيك ض- بسيطة أيضًا وتقع في نقاط ض = ص ن، ن = 0، ±1، ±2،…

جميع الصيغ الصالحة للدوال المثلثية للوسيطة الحقيقية صالحة أيضًا للدالة المعقدة. بخاصة،

الخطيئة(- ض) = -الخطيئة ض,

كوس(- ض) = كوس ض,

تيراغرام(- ض) = –تغ ض,

سي تي جي(- ض) = –ctg ض،

أولئك. يتم الحفاظ على التكافؤ الزوجي والفردي. يتم أيضًا حفظ الصيغ

الخطيئة( ض + 2ص) = خطيئة ض, (ض + 2ص) = كوس ض, (ض + ص) = تيراغرام ض, (ض + ص) =ctg ض,

أولئك. يتم أيضًا الحفاظ على الدورية، والفترات هي نفسها بالنسبة لوظائف الوسيطة الحقيقية.

يمكن التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة دالة أسية لحجة خيالية بحتة:

خلف، ه إيزأعرب من حيث كوس ضوالخطيئة ضوفقا للصيغة:

ه إيز=cos ض + أناخطيئة ض

تسمى هذه الصيغ صيغ أويلر. قام ليونارد أويلر بتطويرها في عام 1743.

يمكن أيضًا التعبير عن الدوال المثلثية من حيث الدوال الزائدية:

ض = –أناش IZ، cos z = ch iz، z = –i th iz.

حيث sh وch وth عبارة عن جيب التمام وجيب التمام والظل الزائدي.

الدوال المثلثية للحجة المعقدة ض = س + أنا، أين سو ذ- الأعداد الحقيقية، يمكن التعبير عنها من خلال الدوال المثلثية والزائدة للحجج الحقيقية، على سبيل المثال:

الخطيئة( س + إيي) = خطيئة سالفصل ذ + أناكوس سش ذ;

كوس( س + إيي) = كوس سالفصل ذ + أناخطيئة سش ذ.

يمكن أن يأخذ جيب التمام وجيب التمام للوسيطة المعقدة قيمًا حقيقية أكبر من 1 في القيمة المطلقة. على سبيل المثال:

إذا دخلت زاوية مجهولة في معادلة كوسيطة للدوال المثلثية، فإن المعادلة تسمى مثلثية. مثل هذه المعادلات شائعة جدًا لدرجة أن طرقها الحلول مفصلة للغاية وتم تطويرها بعناية. معمع مساعدة تقنيات مختلفةوالصيغ تقلل المعادلات المثلثية إلى معادلات من النموذج F(س)= أ، أين F- أي من أبسط الدوال المثلثية: جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام. ثم أعرب الحجة سهذه الوظيفة من خلال قيمتها المعروفة أ.

بما أن الدوال المثلثية دورية، فهي نفسها أمن نطاق القيم هناك عدد لا نهائي من قيم الوسيطة، ولا يمكن كتابة حلول المعادلة كدالة واحدة لـ أ. لذلك، في مجال تعريف كل من الدوال المثلثية الرئيسية، يتم اختيار قسم يأخذ فيه جميع قيمه، كل منها مرة واحدة فقط، والدالة العكسية لها موجودة في هذا القسم. يتم الإشارة إلى مثل هذه الدوال بإضافة البادئة قوس (قوس) إلى اسم الدالة الأصلية، وتسمى الدوال المثلثية العكسية وظائف أو ببساطة وظائف القوس.

الدوال المثلثية العكسية.

للخطيئة X, كوس X, tg Xو CTG Xيمكن تعريف الوظائف العكسية. يتم الإشارة إليها وفقًا لذلك بواسطة arcsin X(اقرأ "أركسين" س")، أركوس س، أركان سو arcctg س. حسب التعريف، أركسين Xهناك مثل هذا العدد ذ،ماذا

خطيئة في = X.

وبالمثل بالنسبة للدوال المثلثية العكسية الأخرى. لكن هذا التعريف يعاني من بعض عدم الدقة.

إذا عكست الخطيئة X, كوس X, tg Xو CTG Xبالنسبة إلى منصف الربعين الأول والثالث من المستوى الإحداثي، تصبح الوظائف غامضة بسبب دوريتها: عدد لا حصر له من الزوايا يتوافق مع نفس الجيب (جيب التمام، الظل، ظل التمام).

للتخلص من الغموض، قسم من المنحنى بعرض ص، في هذه الحالة من الضروري الحفاظ على المراسلات الفردية بين الوسيطة وقيمة الوظيفة. يتم تحديد المناطق القريبة من أصل الإحداثيات. لجيب في باعتبارها "فاصل زمني واحد لواحد" نأخذ المقطع [- ص/2, ص/2]، حيث يزيد الجيب بشكل رتيب من -1 إلى 1، بالنسبة لجيب التمام - الجزء، بالنسبة للظل وظل التمام، على التوالي، الفواصل الزمنية (- ص/2, ص/2) و (0، ص). ينعكس كل منحنى في الفترة بالنسبة للمنصف ويمكن الآن تحديد الدوال المثلثية العكسية. على سبيل المثال، دع قيمة الوسيطة تعطى × 0،بحيث 0 ج س 0 Ј 1. ثم قيمة الدالة ذ 0 = أرسين س 0 سوف معنى واحد في 0 , مثل ذلك - ص/2 ج في 0 Ј ص/2 و س 0 = خطيئة ذ 0 .

وبالتالي، أركسين هو وظيفة أركسين أ, محددة على الفاصل الزمني [-1، 1] ومتساوية لكل منهما أإلى هذه القيمة، - ص/2 أ ع /2 أن الخطيئة أ = أ.من السهل جدًا تمثيلها باستخدام دائرة الوحدة (الشكل 15). متى | أ| 1 على الدائرة هناك نقطتان مع الإحداثية أ، متناظرة حول المحور ش.واحد منهم يتوافق مع الزاوية أ= أرسين أ, والآخر هو الزاوية ص - أ. معمع الأخذ في الاعتبار دورية الجيب، حل المعادلة الخطيئة س= أمكتوب على النحو التالي:

س =(–1)نأركسين أ + 2ص ن,

أين ن= 0، ±1، ±2،...

يمكن حل المعادلات المثلثية البسيطة الأخرى بنفس الطريقة:

كوس س = أ, –1 =أ= 1;

س =± أركوس أ + 2ص ن,

أين ص= 0، ±1، ±2،... (الشكل 16)؛

tg X = أ;

س= أركانتان أ + صن،

أين ن = 0، ±1، ±2،... (الشكل 17)؛

ctg X= أ;

X= arcctg أ + صن،

أين ن = 0، ±1، ±2،... (الشكل 18).

الخصائص الأساسية للدوال المثلثية العكسية:

أركسين X(الشكل 19): مجال التعريف - الجزء [-1، 1]؛ يتراوح - [- ص/2, ص/2]، وظيفة متزايدة رتابة؛

أركوس X(الشكل 20): مجال التعريف - الجزء [-1، 1]؛ يتراوح - ؛ وظيفة متناقصة بشكل رتيب؛

com.arctg X(الشكل 21): مجال التعريف – جميع الأعداد الحقيقية؛ نطاق القيم - الفاصل الزمني (- ص/2, ص/2); وظيفة متزايدة رتابة. مستقيم في= –ص/2 و ص = ص /2 -الخطوط المقاربة الأفقية.

com.arcctg X(الشكل 22): مجال التعريف – جميع الأعداد الحقيقية؛ نطاق القيم - الفاصل الزمني (0، ص); وظيفة متناقصة بشكل رتيب؛ مستقيم ذ= 0 و ص = ص- الخطوط المقاربة الأفقية.

لأي احد ض = س + إيي، أين سو ذهي أرقام حقيقية، تنطبق عدم المساواة

½| ه\ه ذ–e-y| ≥|الخطيئة ض|≤½( ه ذ +ه-ص)،

½| ه ذ–e-y| ≥|كوس ض|≤½( ه ص +ه -y),

منها في ذ® А تتبع الصيغ المقاربة (بشكل موحد فيما يتعلق بـ س)

|خطيئة ض| » 1/2 ه |ذ| ,

|cos ض| » 1/2 ه |ذ| .

ظهرت الدوال المثلثية لأول مرة فيما يتعلق بالبحث في علم الفلك والهندسة. تم العثور على نسب الأجزاء في المثلث والدائرة، والتي هي في الأساس وظائف مثلثية، بالفعل في القرن الثالث. قبل الميلاد ه. في أعمال علماء الرياضيات في اليونان القديمة – إقليدس وأرشميدس وأبولونيوس البيرجي وآخرون، ومع ذلك، لم تكن هذه العلاقات موضوعًا مستقلاً للدراسة، لذلك لم يدرسوا الدوال المثلثية في حد ذاتها. تم اعتبارها في البداية كأجزاء وفي هذا الشكل تم استخدامها من قبل أريستارخوس (أواخر النصف الرابع إلى الثاني من القرن الثالث قبل الميلاد)، وهيبارخوس (القرن الثاني قبل الميلاد)، ومينيلوس (القرن الأول الميلادي).) وبطليموس (القرن الثاني الميلادي) عندما حل المثلثات الكروية. قام بطليموس بتجميع أول جدول للأوتار للزوايا الحادة كل 30 بوصة بدقة 10–6. وكان هذا أول جدول للجيب. وكنسبة، فإن الدالة sin a موجودة بالفعل في أريابهاتا (نهاية القرن الخامس). تم العثور على الدالتين tg a وctg a في البتاني (النصف الثاني من القرن التاسع - أوائل القرن العاشر) وأبو الوفا (القرن العاشر)، الذي يستخدم أيضًا sec a وcosec a... عرف أريابهاتا الصيغة بالفعل ( sin 2 a + cos 2 a) = 1، بالإضافة إلى صيغ sin وcos نصف الزاوية، والتي بمساعدتها قمت ببناء جداول جيب الزوايا للزوايا حتى 3°45"؛ قائم على القيم المعروفةالدوال المثلثية لأبسط الحجج. أعطى بهاسكارا (القرن الثاني عشر) طريقة لبناء الجداول بدلالة 1 باستخدام صيغ الجمع. تم اشتقاق صيغ تحويل مجموع واختلاف الدوال المثلثية للحجج المختلفة إلى منتج بواسطة ريجيومونتانوس (القرن الخامس عشر) وج. نابير فيما يتعلق باختراع الأخير للوغاريتمات (1614). أعطى Regiomontan جدولًا لقيم الجيب في 1". تم الحصول على توسيع الدوال المثلثية في سلسلة القوى بواسطة I. Newton (1669). في الشكل الحديثتم تقديم نظرية الدوال المثلثية بواسطة L. Euler (القرن الثامن عشر). إنه يمتلك تعريفهم للحجج الحقيقية والمعقدة، والرمزية المقبولة حاليا، وإنشاء اتصالات مع الوظيفة الأسية والتعامد لنظام الجيب وجيب التمام.

1. الدوال المثلثيةهي وظائف أولية حجتها هي ركن. باستخدام الدوال المثلثية، والعلاقات بين الجانبين و زوايا حادةفي المثلث الأيمن. مجالات تطبيق الدوال المثلثية متنوعة للغاية. على سبيل المثال، يمكن تمثيل أي عمليات دورية كمجموع الدوال المثلثية (سلسلة فورييه). غالبًا ما تظهر هذه الوظائف عند حل المعادلات التفاضلية والوظيفية.

2. تشمل الدوال المثلثية الوظائف الست التالية: التجويف, جيب التمام, الظل,ظل التمام, قاطعو قاطع التمام. ولكل من هذه الدوال دالة مثلثية عكسية.

3. من الملائم تقديم التعريف الهندسي للدوال المثلثية باستخدام دائرة الوحدة. يوضح الشكل أدناه دائرة نصف قطرها r = 1. النقطة M(x,y) محددة على الدائرة. الزاوية بين ناقل نصف القطر OM والاتجاه الإيجابي لمحور الثور تساوي α.

4. التجويفالزاوية α هي نسبة الإحداثي y للنقطة M(x,y) إلى نصف القطر r:
الخطيئةα=ص/ص.
بما أن r=1، فإن الجيب يساوي إحداثي النقطة M(x,y).

5. جيب التمامالزاوية α هي نسبة الإحداثي السيني x للنقطة M(x,y) إلى نصف القطر r:
كوسα=س/ص

6. الظلالزاوية α هي نسبة الإحداثي y للنقطة M(x,y) إلى الإحداثي x:
tanα=y/x,x≠0

7. ظل التمامالزاوية α هي نسبة الإحداثي السيني للنقطة M(x,y) إلى الإحداثي y:
سرير الأطفالα=س/ص,ص≠0

8. قاطعالزاوية α هي نسبة نصف القطر r إلى الإحداثي السيني للنقطة M(x,y):
ثانيةα=r/x=1/x,x≠0

9. قاطع التمامالزاوية α هي نسبة نصف القطر r إلى الإحداثي y للنقطة M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. في دائرة الوحدة، تشكل الإسقاطات x، y، والنقطتين M(x,y) ونصف القطر r مثلثًا قائمًا، حيث x,y هي الأرجل، وr هو الوتر. ولذلك، فإن التعريفات المذكورة أعلاه للدوال المثلثية المطبقة على المثلث القائم تمت صياغتها على النحو التالي:
التجويفالزاوية α هي نسبة الضلع المقابل للوتر.
جيب التمامالزاوية α هي نسبة الساق المجاورة إلى الوتر.
الظلالزاوية α تسمى الساق المقابلة للساق المجاورة.
ظل التمامتسمى الزاوية α الجانب المجاور للجانب المقابل.
قاطعالزاوية α هي نسبة الوتر إلى الساق المجاورة.
قاطع التمامالزاوية α هي نسبة الوتر إلى الساق المقابلة.

11. رسم بياني لوظيفة الجيب
y=sinx، مجال التعريف: x∈R، نطاق القيم: −1≥sinx≥1

12. رسم بياني لوظيفة جيب التمام
y=cosx، المجال: x∈R، النطاق: −1≤cosx≥1

13. الرسم البياني للدالة الظل
y=tanx، نطاق التعريف: x∈R,x≠(2k+1)π/2، نطاق القيم: −∞