أمثلة على حل المعادلات المعيارية. معامل العدد (القيمة المطلقة للعدد) ، التعريفات ، الأمثلة ، الخصائص

نحن لا نختار الرياضياتمهنتها واختارتنا.

عالم الرياضيات الروسي Yu.I. مانين

معادلات مودولو

إن أصعب المشكلات التي يمكن حلها في الرياضيات المدرسية هي المعادلات التي تحتوي على متغيرات تحت علامة الوحدة. لحل هذه المعادلات بنجاح ، من الضروري معرفة التعريف والخصائص الأساسية للوحدة. بطبيعة الحال ، يجب أن يتمتع الطلاب بالمهارات اللازمة لحل المعادلات من هذا النوع.

المفاهيم والخصائص الأساسية

وحدة ( قيمه مطلقه) عدد حقيقييعني ويتم تعريفه على النحو التالي:

تتضمن الخصائص البسيطة للوحدة العلاقات التالية:

ملحوظة، أن آخر خاصيتين تحملان لأي درجة زوجية.

أيضا ، إذا ، أين ، ثم و

خصائص وحدة أكثر تعقيدًا, والتي يمكن استخدامها بشكل فعال في حل المعادلات بالوحدات, تمت صياغتها عن طريق النظريات التالية:

نظرية 1.لأي وظائف تحليلية و عدم المساواة

نظرية 2.المساواة هي نفس عدم المساواة.

نظرية 3.المساواة يعادل عدم المساواة.

ضع في اعتبارك أمثلة نموذجية لحل المشكلات المتعلقة بموضوع "المعادلات, تحتوي على متغيرات تحت علامة الوحدة.

حل المعادلات بالمعامل

الطريقة الأكثر شيوعًا في الرياضيات المدرسية لحل المعادلات باستخدام المعامل هي الطريقة, على أساس توسيع الوحدة. هذه الطريقة عامة, ومع ذلك، في الحالة العامةيمكن أن يؤدي تطبيقه إلى حسابات مرهقة للغاية. في هذا الصدد ، يجب أن يكون الطلاب أيضًا على دراية بالآخرين, أكثر طرق فعالةوطرق حل هذه المعادلات. بخاصة, بحاجة إلى المهارات لتطبيق النظريات, الواردة في هذه المقالة.

مثال 1حل المعادلة. (1)

حل. سيتم حل المعادلة (1) بالطريقة "الكلاسيكية" - طريقة توسيع الوحدة. للقيام بذلك ، نقوم بكسر المحور العدديالنقاط و فترات والنظر في ثلاث حالات.

1. إذا ، إذن ، ، ، ، وتأخذ المعادلة (1) الشكل. يتبع من هنا. ومع ذلك ، هنا ، فإن القيمة التي تم العثور عليها ليست جذر المعادلة (1).

2. إذا ، ثم من المعادلة (1) نحصل عليهاأو .

منذ ذلك الحين جذر المعادلة (1).

3. إذا ، ثم تأخذ المعادلة (1) الشكلأو . لاحظ أن .

إجابة: ، .

عند حل المعادلات التالية بوحدة نمطية ، سنستخدم بنشاط خصائص الوحدات لزيادة كفاءة حل هذه المعادلات.

مثال 2حل المعادلة.

حل.منذ و ثم يتبع من المعادلة. في هذا الصدد، ، ، وتصبح المعادلة. من هنا وصلنا. لكن ، لذا فإن المعادلة الأصلية ليس لها جذور.

الجواب: لا جذور.

مثال 3حل المعادلة.

حل.منذ ذلك الحين . اذا ثم ، وتصبح المعادلة.

من هنا وصلنا.

مثال 4حل المعادلة.

حل.دعونا نعيد كتابة المعادلة بشكل مكافئ. (2)

المعادلة الناتجة تنتمي إلى معادلات من النوع.

مع الأخذ في الاعتبار النظرية 2 ، يمكننا تحديد أن المعادلة (2) تعادل عدم المساواة. من هنا وصلنا.

إجابة: .

مثال 5حل المعادلة.

حل. هذه المعادلة لها الشكل. لهذا ، وفقًا للنظرية 3, هنا لدينا عدم المساواةأو .

مثال 6حل المعادلة.

حل.لنفترض ذلك. لأن ، ثم تأخذ المعادلة المعطاة شكل معادلة تربيعية, (3)

أين . بما أن المعادلة (3) لها جذر موجب واحدوثم . من هنا نحصل على جذرين للمعادلة الأصلية:و .

مثال 7 حل المعادلة. (4)

حل. منذ المعادلةيعادل الجمع بين معادلتين:و ، ثم عند حل المعادلة (4) من الضروري النظر في حالتين.

1. إذا ، إذن أو.

من هنا نحصل و.

2. إذا ، إذن أو.

منذ ذلك الحين .

إجابة: ، ، ، .

المثال 8حل المعادلة . (5)

حل.منذ ذلك الحين وبعد ذلك. من هنا ومن المعادلة (5) يتبع ذلك ، أي هنا لدينا نظام المعادلات

لكن هذا النظامالمعادلات غير متسقة.

الجواب: لا جذور.

المثال 9 حل المعادلة. (6)

حل.إذا عيّننا ومن المعادلة (6) نحصل عليها

أو . (7)

بما أن المعادلة (7) لها الشكل ، فإن هذه المعادلة تعادل المتباينة. من هنا وصلنا. منذ ذلك الحين أو.

إجابة: .

المثال 10حل المعادلة. (8)

حل.وفقًا للنظرية 1 ، يمكننا الكتابة

(9)

مع الأخذ في الاعتبار المعادلة (8) ، نستنتج أن كلا التفاوتات (9) تتحول إلى مساواة ، أي هناك نظام معادلات

ومع ذلك ، من خلال النظرية 3 ، فإن نظام المعادلات أعلاه يعادل نظام عدم المساواة

(10)

حل نظام المتباينات (10) نحصل عليها. بما أن نظام المتباينات (10) يعادل المعادلة (8) ، فإن المعادلة الأصلية لها جذر واحد.

إجابة: .

المثال 11. حل المعادلة. (11)

حل.دعونا ، ثم المعادلة (11) تعني المساواة.

من هذا يتبع ذلك و. وهكذا ، لدينا هنا نظام من عدم المساواة

الحل لهذا النظام من عدم المساواةو .

إجابة: ، .

المثال 12.حل المعادلة. (12)

حل. سيتم حل المعادلة (12) بطريقة التوسيع المتتالي للوحدات. للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك عدة حالات.

1. إذا ، إذن.

1.1 إذا ، إذن ، و.

1.2 اذا ثم . لكن ، في ذلك هذه القضيةالمعادلة (12) ليس لها جذور.

2. إذا ، إذن.

2.1. إذا ، إذن ، و.

2.2. إذا ، ثم و.

إجابة: ، ، ، ، .

المثال 13حل المعادلة. (13)

حل.بما أن الجانب الأيسر من المعادلة (13) غير سالب ، إذن و. وفي هذا الصدد ، والمعادلة (13)

يأخذ الشكل أو.

ومن المعروف أن المعادلة يعادل توليفة من معادلتينو ، الحل الذي نحصل عليهو. لأن ، ثم المعادلة (13) لها جذر واحد.

إجابة: .

المثال 14 حل جملة معادلات (14)

حل.منذ و ، ثم و. لذلك ، من نظام المعادلات (14) نحصل على أربعة أنظمة من المعادلات:

جذور أنظمة المعادلات المذكورة أعلاه هي جذور نظام المعادلات (14).

إجابة: ،، ، ، ، ، ، .

المثال 15 حل جملة معادلات (15)

حل.منذ ذلك الحين . في هذا الصدد ، من نظام المعادلات (15) نحصل على نظامين من المعادلات

جذور نظام المعادلات الأول هي و ، ومن نظام المعادلات الثاني نحصل على و.

إجابة: ، ، ، .

المثال 16 حل جملة معادلات (16)

حل.ويترتب على المعادلة الأولى للنظام (16) أن.

منذ ذلك الحين . تأمل المعادلة الثانية للنظام. بسبب ال، الذي - التي ، وتصبح المعادلة، ، أو .

إذا استبدلنا القيمةفي المعادلة الأولى للنظام (16)، ثم ، أو.

إجابة: ، .

لدراسة أعمق لطرق حل المشكلات, المتعلقة بحل المعادلات, تحتوي على متغيرات تحت علامة الوحدة, يمكنك تقديم المشورة أدلة الدراسةمن قائمة الأدبيات الموصى بها.

1. مجموعة مهام في الرياضيات للمتقدمين للجامعات التقنية / إد. م. سكانافي. - م: العالم والتعليم، 2013. - 608 ص.

2. Suprun V.P. الرياضيات لطلاب المدارس الثانوية: مهام ذات تعقيد متزايد. - M: KD "Librocom" / URSS، 2017. - 200 ص.

3. Suprun V.P. الرياضيات لطلاب المرحلة الثانوية: طرق غير قياسيةحل المشاكل. - M: KD "Librocom" / URSS، 2017. - 296 ص.

هل لديك اسئلة؟

للحصول على مساعدة من مدرس -.

blog.site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، مطلوب رابط للمصدر.

نحن لا نختار الرياضياتمهنتها واختارتنا.

عالم الرياضيات الروسي Yu.I. مانين

معادلات مودولو

المفاهيم والخصائص الأساسية

المعامل (القيمة المطلقة) للعدد الحقيقييعني ويتم تعريفه على النحو التالي:

تتضمن الخصائص البسيطة للوحدة العلاقات التالية:

ملحوظة، أن آخر خاصيتين تحملان لأي درجة زوجية.

أيضا ، إذا ، أين ، ثم و

نظرية 1.لأية وظائف تحليليةو عدم المساواة

نظرية 2.المساواة هي نفس عدم المساواة.

نظرية 3.المساواة يعادل عدم المساواة.

ضع في اعتبارك أمثلة نموذجية لحل المشكلات المتعلقة بموضوع "المعادلات, تحتوي على متغيرات تحت علامة الوحدة.

حل المعادلات بالمعامل

الطريقة الأكثر شيوعًا في الرياضيات المدرسية لحل المعادلات باستخدام المعامل هي الطريقة, على أساس توسيع الوحدة. هذه الطريقة عامة, ومع ذلك ، في الحالة العامة ، يمكن أن يؤدي تطبيقه إلى حسابات مرهقة للغاية. في هذا الصدد ، يجب أن يكون الطلاب أيضًا على دراية بالآخرين, طرق وتقنيات أكثر كفاءة لحل مثل هذه المعادلات. بخاصة, بحاجة إلى المهارات لتطبيق النظريات, الواردة في هذه المقالة.

مثال 1حل المعادلة. (1)

2. إذا ، ثم من المعادلة (1) نحصل عليهاأو .

منذ ذلك الحين جذر المعادلة (1).

3. إذا ، ثم تأخذ المعادلة (1) الشكلأو . لاحظ أن .

إجابة: ، .

عند حل المعادلات التالية بوحدة نمطية ، سنستخدم بنشاط خصائص الوحدات لزيادة كفاءة حل هذه المعادلات.

مثال 2حل المعادلة.

الجواب: لا جذور.

مثال 3حل المعادلة.

حل.منذ ذلك الحين . اذا ثم ، وتصبح المعادلة.

من هنا وصلنا.

مثال 4حل المعادلة.

حل.دعونا نعيد كتابة المعادلة بشكل مكافئ. (2)

المعادلة الناتجة تنتمي إلى معادلات من النوع.

مع الأخذ في الاعتبار النظرية 2 ، يمكننا تحديد أن المعادلة (2) تعادل عدم المساواة. من هنا وصلنا.

إجابة: .

مثال 5حل المعادلة.

حل. هذه المعادلة لها الشكل. لهذا ، وفقًا للنظرية 3, هنا لدينا عدم المساواةأو .

مثال 6حل المعادلة.

حل.لنفترض ذلك. لأن ، ثم تأخذ المعادلة المعطاة شكل معادلة تربيعية, (3)

أين . بما أن المعادلة (3) لها جذر موجب واحدوثم . من هنا نحصل على جذرين للمعادلة الأصلية:و .

مثال 7 حل المعادلة. (4)

حل. منذ المعادلةيعادل الجمع بين معادلتين:و ، ثم عند حل المعادلة (4) من الضروري النظر في حالتين.

1. إذا ، إذن أو.

من هنا نحصل و.

2. إذا ، إذن أو.

منذ ذلك الحين .

إجابة: ، ، ، .

المثال 8حل المعادلة . (5)

حل.منذ ذلك الحين وبعد ذلك. من هنا ومن المعادلة (5) يتبع ذلك ، أي هنا لدينا نظام المعادلات

ومع ذلك ، فإن نظام المعادلات هذا غير متسق.

الجواب: لا جذور.

المثال 9 حل المعادلة. (6)

حل.إذا عيّننا ومن المعادلة (6) نحصل عليها

أو . (7)

بما أن المعادلة (7) لها الشكل ، فإن هذه المعادلة تعادل المتباينة. من هنا وصلنا. منذ ذلك الحين أو.

إجابة: .

المثال 10حل المعادلة. (8)

حل.وفقًا للنظرية 1 ، يمكننا الكتابة

(9)

مع الأخذ في الاعتبار المعادلة (8) ، نستنتج أن كلا التفاوتات (9) تتحول إلى مساواة ، أي هناك نظام معادلات

ومع ذلك ، من خلال النظرية 3 ، فإن نظام المعادلات أعلاه يعادل نظام عدم المساواة

(10)

إجابة: .

المثال 11. حل المعادلة. (11)

حل.دعونا ، ثم المعادلة (11) تعني المساواة.

من هذا يتبع ذلك و. وهكذا ، لدينا هنا نظام من عدم المساواة

الحل لهذا النظام من عدم المساواةو .

إجابة: ، .

المثال 12.حل المعادلة. (12)

حل. سيتم حل المعادلة (12) بطريقة التوسيع المتتالي للوحدات. للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك عدة حالات.

1. إذا ، إذن.

1.1 إذا ، إذن ، و.

1.2 اذا ثم . لكن ، لذلك ، في هذه الحالة ، المعادلة (12) ليس لها جذور.

2. إذا ، إذن.

2.1. إذا ، إذن ، و.

2.2. إذا ، ثم و.

إجابة: ، ، ، ، .

المثال 13حل المعادلة. (13)

حل.بما أن الجانب الأيسر من المعادلة (13) غير سالب ، إذن و. وفي هذا الصدد ، والمعادلة (13)

يأخذ الشكل أو.

ومن المعروف أن المعادلة يعادل توليفة من معادلتينو ، الحل الذي نحصل عليهو. لأن ، ثم المعادلة (13) لها جذر واحد.

إجابة: .

المثال 14 حل جملة معادلات (14)

حل.منذ و ، ثم و. لذلك ، من نظام المعادلات (14) نحصل على أربعة أنظمة من المعادلات:

جذور أنظمة المعادلات المذكورة أعلاه هي جذور نظام المعادلات (14).

إجابة: ،، ، ، ، ، ، .

المثال 15 حل جملة معادلات (15)

حل.منذ ذلك الحين . في هذا الصدد ، من نظام المعادلات (15) نحصل على نظامين من المعادلات

جذور نظام المعادلات الأول هي و ، ومن نظام المعادلات الثاني نحصل على و.

إجابة: ، ، ، .

المثال 16 حل جملة معادلات (16)

حل.ويترتب على المعادلة الأولى للنظام (16) أن.

منذ ذلك الحين . تأمل المعادلة الثانية للنظام. بسبب ال، الذي - التي ، وتصبح المعادلة، ، أو .

إذا استبدلنا القيمةفي المعادلة الأولى للنظام (16)، ثم ، أو.

إجابة: ، .

لدراسة أعمق لطرق حل المشكلات, المتعلقة بحل المعادلات, تحتوي على متغيرات تحت علامة الوحدة, يمكنك تقديم المشورة للدروس من قائمة الأدبيات الموصى بها.

1. مجموعة مهام في الرياضيات للمتقدمين للجامعات التقنية / إد. م. سكانافي. - م: العالم والتعليم، 2013. - 608 ص.

2. Suprun V.P. الرياضيات لطلاب المدارس الثانوية: مهام ذات تعقيد متزايد. - M: KD "Librocom" / URSS، 2017. - 200 ص.

3. Suprun V.P. الرياضيات لطلاب المرحلة الثانوية: طرق غير قياسية لحل المشكلات. - M: KD "Librocom" / URSS، 2017. - 296 ص.

هل لديك اسئلة؟

للحصول على مساعدة مدرس - سجل.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات واتصالات مهمة.
يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على طلبات عامة أو طلبات من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأغراض المصلحة العامة الأخرى.
في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

يعد حل المعادلات التي تحتوي على متغير تحت علامة المعامل من أصعب الموضوعات بالنسبة للطلاب. دعونا نرى في البداية ما الذي يرتبط به؟ لماذا ، على سبيل المثال ، المعادلات التربيعية ينقر معظم الأطفال مثل المكسرات ، ولكن مع هذا بعيدًا عن المفهوم الأكثر تعقيدًا مثل الوحدة النمطية بها العديد من المشكلات؟

في رأيي ، ترتبط كل هذه الصعوبات بعدم وجود قواعد مصاغة بوضوح لحل المعادلات بمعامل. نعم ، تقرير معادلة من الدرجة الثانية، يعرف الطالب على وجه اليقين أنه يحتاج أولاً إلى تطبيق الصيغة التمييزية ، ثم الصيغ الخاصة بجذور المعادلة التربيعية. ولكن ماذا لو تمت مصادفة وحدة نمطية في المعادلة؟ سنحاول أن نصفه بوضوح الخطة اللازمةالإجراءات الخاصة بالحالة التي تحتوي فيها المعادلة على مجهول تحت علامة المقياس. نعطي عدة أمثلة لكل حالة.

لكن أولاً ، دعنا نتذكر تعريف الوحدة. إذن ، مقياس العدد أالرقم نفسه يسمى إذا أغير سلبي و -أإذا كان الرقم أأقل من الصفر. يمكنك كتابتها على هذا النحو:

| أ | = أ إذا كانت a 0 و | أ | = -a إذا أ< 0

عند الحديث عن المعنى الهندسي للوحدة ، يجب أن نتذكر أن كل رقم حقيقي يتوافق مع نقطة معينة على محور الأرقام - تنسيق. إذن ، الوحدة النمطية أو القيمة المطلقة للرقم هي المسافة من هذه النقطة إلى أصل المحور العددي. تُعطى المسافة دائمًا كرقم موجب. وبالتالي ، فإن معامل أي رقم سالب هو رقم موجب. بالمناسبة ، حتى في هذه المرحلة ، يبدأ العديد من الطلاب بالارتباك. يمكن أن يكون أي رقم في الوحدة النمطية ، ولكن نتيجة تطبيق الوحدة تكون دائمًا رقمًا موجبًا.

الآن دعنا ننتقل إلى حل المعادلات.

1. ضع في اعتبارك معادلة بالصيغة | x | = c ، حيث c هو رقم حقيقي. يمكن حل هذه المعادلة باستخدام تعريف المقياس.

نقسم جميع الأعداد الحقيقية إلى ثلاث مجموعات: تلك التي تكون أكبر من الصفر ، وتلك الأقل من الصفر ، والمجموعة الثالثة هي الرقم 0. نكتب الحل في شكل رسم بياني:

(± c إذا كانت c> 0

إذا كان | x | = c ، إذن x = (0 إذا كانت c = 0

(لا جذور إذا كان مع< 0

1) | x | = 5 لأن 5> 0 ، ثم x = ± 5 ؛

2) | x | = -5 ، لأن -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | = 0 ، ثم x = 0.

2. معادلة بالصيغة | f (x) | = ب ، حيث ب> 0. لحل هذه المعادلة ، من الضروري التخلص من المقياس. نقوم بذلك على النحو التالي: f (x) = b أو f (x) = -b. الآن من الضروري حل كل من المعادلات التي تم الحصول عليها بشكل منفصل. إذا كان في المعادلة الأصلية ب< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | = 4 لأن 4> 0 ، إذن

س + 2 = 4 أو س + 2 = -4

2) | × 2-5 | = 11 لأن 11> 0 ، إذن

س 2-5 = 11 أو س 2-5 = -11

× 2 = 16 × 2 = -6

س = ± 4 لا جذور

3) | × 2 - 5 × | = -8 ، لأن -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. معادلة بالصيغة | f (x) | = ز (س). وفقًا لمعنى الوحدة النمطية ، سيكون لمثل هذه المعادلة حلول إذا كان جانبها الأيمن أكبر من أو يساوي الصفر ، أي g (x) ≥ 0. ثم لدينا:

و (س) = ز (س)أو و (س) = -ج (س).

1) | 2x - 1 | = 5x - 10. هذه المعادلة لها جذور إذا كانت 5x - 10 ≥ 0. هنا يبدأ حل هذه المعادلات.

1. O.D.Z. 5 س - 10 0

2. الحل:

2 س - 1 = 5 س - 10 أو 2 س - 1 = - (5 س - 10)

3. اجمع O.D.Z. والحل نحصل عليه:

لا يتناسب الجذر x \ u003d 11/7 وفقًا لـ O.D.Z. ، فهو أقل من 2 ، و x \ u003d 3 يلبي هذا الشرط.

الجواب: س = 3

2) | س - 1 | \ u003d 1 - × 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. لنحل هذه المتباينة باستخدام طريقة الفترة:

(1 - س) (1 + س) ≥ 0

2. الحل:

س - 1 \ u003d 1 - × 2 أو س - 1 \ u003d - (1 - × 2)

س 2 + س - 2 = 0 س 2 - س = 0

س = -2 أو س = 1 س = 0 أو س = 1

3. الجمع بين الحل و O.D.Z .:

فقط الجذور x = 1 و x = 0 مناسبة.

الجواب: س = 0 ، س = 1.

4. معادلة بالصيغة | f (x) | = | ك (س) |. هذه المعادلة تعادل المعادلتين التاليتين f (x) = g (x) أو f (x) = -g (x).

1) | × 2 - 5 × + 7 | = | 2x - 5 |. هذه المعادلة تعادل المعادلتين التاليتين:

x 2-5x + 7 = 2x - 5 أو x 2-5x +7 = -2x + 5

س 2 - 7 س + 12 = 0 س 2 - 3 س + 2 = 0

س = 3 أو س = 4 س = 2 أو س = 1

الجواب: س = 1 ، س = 2 ، س = 3 ، س = 4.

5. تحل المعادلات بطريقة الاستبدال (تغيير المتغير). هذه الطريقةالحلول أسهل في الشرح مثال محدد. لذلك ، دعنا نعطي معادلة تربيعية بمعامل:

× 2 - 6 | س | + 5 = 0. بواسطة خاصية الوحدة النمطية x 2 = | x | 2 ، لذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

| x | 2–6 | x | + 5 = 0. لنقم بالتغيير | x | = t ≥ 0 ، إذن سيكون لدينا:

t 2-6t + 5 \ u003d 0. لحل هذه المعادلة ، نحصل على t \ u003d 1 أو t \ u003d 5. لنعد إلى الاستبدال:

| x | = 1 أو | x | = 5

س = ± 1 س = ± 5

الإجابة: س = -5 ، س = -1 ، س = 1 ، س = 5.

لنلق نظرة على مثال آخر:

× 2 + | س | - 2 = 0. بواسطة خاصية الوحدة النمطية x 2 = | x | 2 ، لذلك

| x | 2 + | س | - 2 = 0. لنقم بالتغيير | x | = t ≥ 0 ، ثم:

t 2 + t - 2 \ u003d 0. حل هذه المعادلة ، نحصل على ، t \ u003d -2 أو t \ u003d 1. لنعد إلى الاستبدال:

| x | = -2 أو | x | = 1

لا جذور س = ± 1

الإجابة: س = -1 ، س = 1.

6. نوع آخر من المعادلات هو المعادلات ذات المعامل "المركب". تتضمن هذه المعادلات المعادلات التي تحتوي على "وحدات داخل وحدة نمطية". يمكن حل المعادلات من هذا النوع باستخدام خصائص الوحدة.

1) | 3 - | x || = 4. سنتصرف بنفس الطريقة المتبعة في المعادلات من النوع الثاني. لأن 4> 0 ، ثم نحصل على معادلتين:

3 - | x | = 4 أو 3 - | x | = -4.

الآن دعنا نعبر عن الوحدة النمطية x في كل معادلة ، ثم | x | = -1 أو | x | = 7.

نحل كل من المعادلات الناتجة. لا توجد جذور في المعادلة الأولى لأن -1< 0, а во втором x = ±7.

الإجابة س = -7 ، س = 7.

2) | 3 + | س + 1 || = 5. نحل هذه المعادلة بطريقة مماثلة:

3 + | س + 1 | = 5 أو 3 + | س + 1 | = -5

| x + 1 | = 2 | س + 1 | = -8

س + 1 = 2 أو س + 1 = -2. لا جذور.

الإجابة: س = -3 ، س = 1.

هناك أيضًا طريقة عالمية لحل المعادلات بمعامل. هذه هي طريقة التباعد. لكننا سننظر في الأمر كذلك.

blog.site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، مطلوب رابط للمصدر.

المعامل هو القيمة المطلقة للتعبير. لتعيين وحدة على الأقل بطريقة أو بأخرى ، من المعتاد استخدام الأقواس المستقيمة. القيمة المحاطة بأقواس زوجية هي القيمة التي يتم أخذها بالوضع المعياري. تتكون عملية حل أي وحدة من فتح تلك الأقواس المباشرة نفسها ، والتي تسمى الأقواس المعيارية في اللغة الرياضية. يتم الكشف عنها وفقًا لعدد معين من القواعد. أيضًا ، بترتيب حل الوحدات ، توجد أيضًا مجموعات من قيم تلك التعبيرات التي كانت في أقواس الوحدة النمطية. في معظم الحالات ، يتم توسيع الوحدة بحيث يصبح التعبير الذي كان شبه معياري موجبًا و القيم السالبة، والتي تتضمن أيضًا القيمة صفر. إذا بدأنا من الخصائص المحددة للوحدة النمطية ، فسيتم في هذه العملية تجميع معادلات أو متباينات مختلفة من التعبير الأصلي ، والتي تحتاج بعد ذلك إلى حلها. دعنا نتعرف على كيفية حل الوحدات.

عملية الحل

يبدأ حل الوحدة بكتابة المعادلة الأصلية بالوحدة. للإجابة على السؤال المتعلق بكيفية حل المعادلات بمقياس ، عليك فتحه بالكامل. لحل هذه المعادلة ، يتم توسيع الوحدة. يجب مراعاة جميع التعبيرات النمطية. من الضروري تحديد قيم الكميات غير المعروفة المدرجة في تكوينها ، حيث يختفي التعبير المعياري بين قوسين. للقيام بذلك ، يكفي مساواة التعبير الموجود بين قوسين معياريين بالصفر ، ثم حساب حل المعادلة الناتجة. يجب تسجيل القيم التي تم العثور عليها. بنفس الطريقة ، تحتاج أيضًا إلى تحديد قيمة جميع المتغيرات غير المعروفة لجميع الوحدات في هذه المعادلة. بعد ذلك ، من الضروري التعامل مع تعريف ومراعاة جميع حالات وجود المتغيرات في التعبيرات عندما تكون مختلفة عن القيمة صفر. للقيام بذلك ، عليك كتابة بعض أنظمة المتباينات المقابلة لجميع الوحدات النمطية في المتباينة الأصلية. يجب صياغة المتباينات بحيث تغطي جميع القيم المتاحة والمحتملة للمتغير الموجود على خط الأعداد. ثم تحتاج إلى رسم نفس خط الأرقام من أجل التصور ، حيث يتم وضع جميع القيم التي تم الحصول عليها في المستقبل.

يمكن الآن القيام بكل شيء تقريبًا عبر الإنترنت. الوحدة ليست استثناء من القواعد. يمكنك حلها عبر الإنترنت على واحدة من العديد الموارد الحديثة. ستكون كل قيم المتغير الموجودة في الوحدة النمطية الصفرية قيدًا خاصًا سيتم استخدامه في عملية حل المعادلة النمطية. في المعادلة الأصلية ، يلزم توسيع جميع الأقواس المعيارية المتاحة ، مع تغيير علامة التعبير بحيث تتوافق قيم المتغير المطلوب مع تلك القيم المرئية على خط الأرقام. يجب حل المعادلة الناتجة. يجب التحقق من قيمة المتغير ، التي سيتم الحصول عليها أثناء حل المعادلة ، مقابل التقييد الذي تم تعيينه بواسطة الوحدة نفسها. إذا كانت قيمة المتغير تفي بالشرط تمامًا ، فهي صحيحة. يجب التخلص من جميع الجذور التي سيتم الحصول عليها أثناء حل المعادلة ، ولكنها لن تتناسب مع القيود.