عمل الدورة

المؤدي: Bugrov S K.

غالبًا ما تؤدي دراسة العديد من العمليات الفيزيائية والأنماط الهندسية إلى حل المشكلات المتعلقة بالمعلمات. تقوم بعض الجامعات أيضًا بتضمين المعادلات والمتباينات وأنظمتها في أوراق الامتحانات، والتي غالبًا ما تكون معقدة للغاية وتتطلب نهجًا غير قياسي في الحل. في المدرسة، يعتبر هذا أحد أصعب أقسام دورة الرياضيات المدرسية فقط في عدد قليل من الفصول الاختيارية.

في إعداد هذا العمل، حددت هدف دراسة أعمق لهذا الموضوع، وتحديد الحل الأكثر عقلانية الذي يؤدي بسرعة إلى الإجابة. في رأيي، الطريقة الرسومية هي طريقة مريحة وسريعة لحل المعادلات والمتباينات ذات المعلمات.

يناقش مقالي أنواع المعادلات والمتباينات وأنظمتها التي نواجهها بشكل متكرر، وآمل أن تساعدني المعرفة التي اكتسبتها في عملية العمل عند اجتياز الامتحانات المدرسية وعند الالتحاق بالجامعة.

عدم المساواة

¦(أ، ب، ج، …، ك، س)>ي(أ، ب، ج، …، ك، س)، (1)

حيث a، b، c، ...، k هي معلمات، وx متغير حقيقي، وتسمى عدم المساواة مع معلمة واحدة غير معروفة.

أي نظام لقيم المعلمات a = a0، b = b0، c = c0، ...، k = k0، لبعض الوظائف

¦(أ، ب، ج، …، ك، س) و

ي(أ، ب، ج، …، ك، س

له معنى في مجال الأعداد الحقيقية، يسمى نظام قيم المعلمات المسموح بها.

تسمى قيمة صالحة لـ x if

¦(أ، ب، ج، …، ك، س) و

ي(أ، ب، ج، …، ك، س

خذ قيمًا صالحة لأي نظام مقبول لقيم المعلمات.

تسمى مجموعة جميع القيم المسموح بها لـ x مجال تعريف عدم المساواة (1).

العدد الحقيقي x0 يسمى الحل الجزئي للمتباينة (1) إذا كانت المتراجحة

¦(أ، ب، ج، …، ك، x0)>ي(أ، ب، ج، …، ك، x0)

صحيح بالنسبة لأي نظام من قيم المعلمات المسموح بها.

مجموعة جميع الحلول الخاصة للمتباينة (1) تسمى الحل العام لهذه المتباينة.

حل عدم المساواة (1) يعني الإشارة إلى قيم المعلمات التي يوجد بها الحل العام وما هو عليه.

اثنين من عدم المساواة

¦(أ، ب، ج، …، ك، س)>ي(أ، ب، ج، …، ك، س) و (1)

ض(أ، ب، ج، …، ك، س)>ص (أ، ب، ج، …، ك، س) (2)

تسمى مكافئة إذا كان لديهم نفس الحلول العامة لنفس مجموعة الأنظمة ذات قيم المعلمات المسموح بها.

نجد مجال تعريف هذا عدم المساواة.

نحن نقلل من عدم المساواة إلى المعادلة.

نعبر عن a كدالة لـ x.

في نظام الإحداثيات xOa، نقوم ببناء الرسوم البيانية للوظائف a =¦ (x) لقيم x المضمنة في مجال تعريف عدم المساواة هذا.

نجد مجموعات من النقاط التي تحقق هذه المتباينة.

دعونا نستكشف تأثير المعلمة على النتيجة.

دعونا نجد حدود نقاط تقاطع الرسوم البيانية.

لنضع خطًا مستقيمًا a=const ونحوله من -¥ إلى +¥

نكتب الجواب.

هذه مجرد إحدى الخوارزميات لحل عدم المساواة مع المعلمات باستخدام نظام الإحداثيات xOa. من الممكن أيضًا استخدام طرق حل أخرى، باستخدام نظام الإحداثيات xOy القياسي.

§3. أمثلة

I. لجميع القيم المسموح بها للمعلمة أ، قم بحل المتراجحة

في مجال تعريف المعلمة أ، التي يحددها نظام عدم المساواة

وهذا التفاوت يعادل نظام عدم المساواة

إذا كانت فإن حلول المتراجحة الأصلية تملأ الفترة.

ثانيا. في أي قيم للمعلمة أ يوجد حل للنظام؟

دعونا نجد جذور ثلاثية الحدود على الجانب الأيسر من المتراجحة -

(*)

الخطوط المستقيمة المحددة بالمساواة (*) تقسم المستوى الإحداثي aOx إلى أربع مناطق، يوجد في كل منها ثلاثي حدود مربع

يحافظ على علامة ثابتة. تحدد المعادلة (2) دائرة نصف قطرها 2 مركزها عند نقطة الأصل. إذن سيكون حل النظام الأصلي هو تقاطع المظلل

المنطقة ذات الدائرة وأين والقيم الموجودة في النظام

والقيم الموجودة في النظام

وبحل هذه الأنظمة نحصل على ذلك

ثالثا. حل عدم المساواة اعتمادا على قيم المعلمة أ.

إيجاد نطاق القيم المقبولة –

لنقم بإنشاء رسم بياني للوظيفة في نظام الإحداثيات xOy.

عندما لا يكون للمتباينة حلول.

في ل الحل x يرضي العلاقة ، أين

الإجابة: توجد حلول للمتباينة عندما

أين ، وعند الحل ; عندما تقرر .

رابعا. حل عدم المساواة

العثور على ODZ أو خطوط الانقطاع (الخطوط المقاربة)

لنجد معادلات الدوال التي يجب إنشاء رسومها البيانية في UCS؛ لماذا ننتقل إلى المساواة:

دعونا نحلل البسط.

لأن الذي - التي

دعونا نقسم طرفي المساواة على . لكنه حل: الطرف الأيسر من المعادلة يساوي الطرف الأيمن ويساوي صفر عند .

3. نقوم ببناء الرسوم البيانية للوظائف في UCS xOa

وترقيم المناطق الناتجة (لا تلعب المحاور دورًا). وأدى ذلك إلى تسع مناطق.

4. نحن نبحث عن أي من المناطق مناسبة لهذه المتباينة، حيث نأخذ نقطة من المساحة ونعوض بها في المتباينة.

من أجل الوضوح، دعونا نصنع طاولة.

		عدم المساواة:

5. ابحث عن نقاط تقاطع الرسوم البيانية

6. لنضع الخط المستقيم a=const ونحوله من -¥ إلى +¥.

في

لا توجد حلول

في

فهرس

Dalinger V. A. "الهندسة تساعد الجبر". دار النشر "المدرسة - الصحافة". موسكو 1996

Dalinger V. A. "كل شيء لضمان النجاح في الامتحانات النهائية وامتحانات القبول في الرياضيات." دار النشر لجامعة أومسك التربوية. أومسك 1995

Okunev A. A. "الحل الرسومي للمعادلات ذات المعلمات." دار النشر "المدرسة - الصحافة". موسكو 1986

Pismensky D. T. "الرياضيات لطلاب المدارس الثانوية." دار النشر "إيريس". موسكو 1996

Yastribinetsky G. A. "المعادلات والمتباينات التي تحتوي على معلمات." دار النشر "Prosveshcheniye". موسكو 1972

ج. كورن وت. كورن "دليل الرياضيات". دار النشر "العلم" الأدب الفيزيائي والرياضي. موسكو 1977

Amelkin V.V. و Rabtsevich V.L. "مشاكل في المعلمات". دار النشر "أسار". موسكو 1996

الشخص الذي يعرف كيفية حل المشكلات باستخدام المعلمات يعرف النظرية تمامًا ويعرف كيفية تطبيقها ليس ميكانيكيًا، ولكن بالمنطق. إنه "يفهم" الوظيفة، و"يشعر بها"، ويعتبرها صديقه أو على الأقل أحد معارفه الجيدين، ولا يعلم بوجودها فحسب.

ما هي المعادلة مع المعلمة؟ دع المعادلة f (x; a) = 0. إذا كانت المهمة هي العثور على جميع الأزواج (x; a) التي تحقق هذه المعادلة، فإنها تعتبر معادلة ذات متغيرين متساويين x وa. ولكن يمكننا أن نطرح مشكلة أخرى، على افتراض أن المتغيرات غير متساوية. الحقيقة هي أنه إذا أعطيت المتغير أي قيمة ثابتة، فإن f (x; a) = 0 يتحول إلى معادلة بمتغير واحد x، وتعتمد حلول هذه المعادلة بشكل طبيعي على القيمة المختارة لـ a.

الصعوبة الرئيسية المرتبطة بحل المعادلات (وخاصة عدم المساواة) مع المعلمة هي ما يلي: - بالنسبة لبعض قيم المعلمة، لا يوجد للمعادلة حلول؛ - مع الآخرين - لديه عدد لا نهائي من الحلول؛ - في الحالة الثالثة، يتم حلها باستخدام نفس الصيغ؛ - مع الرابع – يتم حله باستخدام صيغ أخرى. - إذا كانت المعادلة f (x; a) = 0 بحاجة إلى حل بالنسبة للمتغير X، وتم فهم a كرقم حقيقي اعتباطي، فإن المعادلة تسمى معادلة ذات المعلمة a.

حل معادلة ذات المعلمة f (x; a) = 0 يعني حل عائلة المعادلات الناتجة عن المعادلة f (x; a) = 0 لأي قيم حقيقية للمعلمة. المعادلة ذات المعلمة هي في الواقع تمثيل قصير لمجموعة لا حصر لها من المعادلات. يتم الحصول على كل من معادلات العائلة من معادلة معينة ذات معلمة لقيمة محددة للمعلمة. ولذلك يمكن صياغة مشكلة حل المعادلة ذات المعلمة على النحو التالي:

من المستحيل كتابة كل معادلة من مجموعة لا نهائية من المعادلات، ولكن مع ذلك، يجب حل كل معادلة من عائلة لا نهائية. يمكن القيام بذلك، على سبيل المثال، عن طريق تقسيم مجموعة جميع قيم المعلمات إلى مجموعات فرعية وفقًا لبعض المعايير المناسبة، ثم حل المعادلة المعطاة على كل مجموعة من هذه المجموعات الفرعية. حل المعادلات الخطية

لتقسيم مجموعة قيم المعلمات إلى مجموعات فرعية، من المفيد استخدام قيم المعلمات تلك التي يحدث عندها أو عند المرور بها تغيير نوعي في المعادلة. يمكن تسمية قيم المعلمات هذه بالتحكم أو الخاصة. إن فن حل المعادلة باستخدام المعلمات هو على وجه التحديد القدرة على العثور على قيم التحكم الخاصة بالمعلمة.

النوع 1. المعادلات والمتباينات وأنظمتها التي يجب حلها إما لأي قيمة معلمة أو لقيم معلمات تنتمي إلى مجموعة محددة مسبقًا. يعد هذا النوع من المشكلات أمرًا أساسيًا عند إتقان موضوع "مشاكل المعلمات"، نظرًا لأن العمل المستثمر يحدد مسبقًا النجاح في حل المشكلات من جميع الأنواع الأساسية الأخرى.

النوع 2. المعادلات والمتباينات وأنظمتها والتي من الضروري تحديد عدد الحلول فيها اعتمادًا على قيمة المعلمة (المعلمات). عند حل مسائل من هذا النوع، ليست هناك حاجة لحل المعادلات أو المتباينات أو أنظمتها المعطاة، أو تقديم هذه الحلول؛ في معظم الحالات، يعد مثل هذا العمل غير الضروري خطأً تكتيكيًا يؤدي إلى إضاعة غير ضرورية للوقت. لكن في بعض الأحيان يكون الحل المباشر هو الطريقة المعقولة الوحيدة للحصول على الإجابة عند حل مشكلة من النوع الثاني.

النوع 3. المعادلات والمتباينات وأنظمتها، والتي يُطلب من أجلها العثور على جميع قيم المعلمات التي تحتوي المعادلات والمتباينات وأنظمتها المحددة على عدد معين من الحلول (على وجه الخصوص، ليس لديهم أو لديهم عدد لا نهائي من الحلول). مشاكل النوع 3 هي إلى حد ما عكس مشاكل النوع 2.

النوع 4. المعادلات والمتباينات وأنظمتها ومجموعاتها، والتي بالنسبة للقيم المطلوبة للمعلمة، فإن مجموعة الحلول تلبي الشروط المحددة في مجال التعريف. على سبيل المثال، ابحث عن قيم المعلمات التي: 1) يتم استيفاء المعادلة لأي قيمة للمتغير من فترة زمنية معينة؛ 2) مجموعة حلول المعادلة الأولى هي مجموعة فرعية من مجموعة حلول المعادلة الثانية، الخ.

الطرق (الطرق) الأساسية لحل المشكلات المتعلقة بالمعلمة. الطريقة الأولى (التحليلية). الطريقة التحليلية لحل المشكلات ذات المعلمة هي الطريقة الأكثر صعوبة، وتتطلب معرفة عالية بالقراءة والكتابة وأكبر جهد لإتقانها. الطريقة الثانية (رسومية). اعتمادًا على المشكلة (مع المتغير x والمعلمة a)، يتم أخذ الرسوم البيانية في الاعتبار إما في مستوى إحداثيات أوكسي أو في مستوى إحداثيات أوكسي. الطريقة الثالثة (القرار المتعلق بالمعلمة). عند الحل بهذه الطريقة، يفترض أن المتغيرين x و a متساويان، ويتم اختيار المتغير الذي يعتبر الحل التحليلي بالنسبة له أبسط. وبعد التبسيط الطبيعي نعود إلى المعنى الأصلي للمتغيرين x وa ونكمل الحل.

مثال 1. أوجد قيم المعلمة a التي تحتوي المعادلة a(2a + 3)x + a 2 = a 2 x + 3a على جذر سلبي واحد. حل. هذه المعادلة تعادل ما يلي:. إذا كانت a(a + 3) 0، أي a 0، a –3، فإن المعادلة لها جذر واحد x =. X

مثال 2: حل المعادلة. حل. بما أن مقام الكسر لا يمكن أن يساوي الصفر، فلدينا (b – 1)(x + 3) 0، أي b 1, x –3. بضرب طرفي المعادلة في (b – 1)(x + 3) 0 نحصل على المعادلة: هذه المعادلة خطية بالنسبة للمتغير x. بالنسبة إلى 4b – 9 = 0، أي b = 2.25، تأخذ المعادلة الشكل: بالنسبة إلى 4b – 9 0، أي b 2.25، يكون جذر المعادلة هو x =. نحتاج الآن إلى التحقق مما إذا كانت هناك أية قيم لـ b تكون قيمة x الموجودة لها تساوي –3. وبالتالي، بالنسبة لـ b 1، b 2.25، b –0.4، فإن المعادلة لها جذر واحد x =. الإجابة: بالنسبة لـ b 1، b 2.25، b –0.4 root x = for b = 2.25، b = –0.4 لا توجد حلول؛ عندما ب = 1 المعادلة لا معنى لها.

تتميز أنواع المشاكل 2 و 3 بحقيقة أنه عند حلها، ليس من الضروري الحصول على حل صريح، ولكن فقط للعثور على قيم المعلمات التي يفي فيها هذا الحل بشروط معينة. ومن أمثلة هذه الشروط للحل ما يلي: يوجد حل؛ لا يوجد حل؛ لايوجد الا حل واحد؛ هناك حل إيجابي. هناك بالضبط حلول k؛ هناك حل ينتمي إلى الفاصل الزمني المحدد. في هذه الحالات، تكون الطريقة الرسومية لحل المشكلات المتعلقة بالمعلمات مفيدة جدًا.

يمكننا التمييز بين نوعين من تطبيق الطريقة الرسومية عند حل المعادلة f (x) = f (a): على مستوى أوكسي، الرسم البياني y = f (x) وعائلة الرسوم البيانية y = f (a) هما يعتبر. يتضمن هذا أيضًا المشكلات التي تم حلها باستخدام "حزمة من الخطوط". تبين أن هذه الطريقة ملائمة في المشكلات التي تحتوي على مجهولين ومعلمة واحدة. على مستوى الثور (والذي يسمى أيضًا مستوى الطور)، يتم أخذ الرسوم البيانية بعين الاعتبار حيث x هي الوسيطة وa هي قيمة الوظيفة. تُستخدم هذه الطريقة عادةً في المشكلات التي تتضمن معلمة واحدة مجهولة وواحدة فقط (أو يمكن اختزالها إلى هذا الحد).

مثال 1. ما هي قيم المعلمة a التي تحتوي المعادلة 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 = a على ثلاثة جذور على الأقل؟ حل. لنقم بإنشاء رسوم بيانية للدوال f (x) = 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 وf (x) = a في نظام إحداثي واحد. لدينا: f "(x) = 12x x 2 - 24x = 12x(x + 2)(x - 1)، f "(x) = 0 عند x = –2 (النقطة الدنيا)، عند x = 0 (الحد الأقصى) النقطة ) وعند x = 1 (النقطة القصوى). لنجد قيم الدالة عند النقاط القصوى: f (–2) = –32، f (0) = 0، f (1) = –5. نقوم بإنشاء رسم بياني تخطيطي للدالة مع مراعاة النقاط القصوى. يسمح لنا النموذج الرسومي بالإجابة على السؤال المطروح: المعادلة 3x 4 + 4x 3 - 12x 2 = a لها ثلاثة جذور على الأقل إذا -5

مثال 2. كم عدد جذور المعادلة لقيم مختلفة للمعلمة أ؟ حل. ترتبط إجابة السؤال المطروح بعدد نقاط تقاطع الرسم البياني للنصف الدائري y = والخط المستقيم y = x + a. الخط المستقيم المماس له الصيغة y = x +. المعادلة المعطاة ليس لها جذور في a؛ له جذر واحد عند -2

مثال 3. كم عدد حلول المعادلة |x + 2| = الفأس + 1 حسب المعلمة أ؟ حل. يمكنك رسم الرسوم البيانية y = |x + 2| و y = ax + 1. لكننا سنفعل ذلك بشكل مختلف. عند x = 0 (21) لا توجد حلول. اقسم المعادلة على x: وفكر في حالتين: 1) x > –2 أو x = 2 2) 2) x –2 أو x = 2 2) 2) x

مثال على استخدام "حزمة من الخطوط" على متن الطائرة. أوجد قيم المعلمة a التي تكون لها المعادلة |3x + 3| = الفأس + 5 له حل فريد. حل. معادلة |3x + 3| = ax + 5 يعادل النظام التالي: المعادلة y – 5 = a(x – 0) تحدد على المستوى قلم رصاص من الخطوط التي مركزها A (0؛ 5). لنرسم خطوطًا مستقيمة من مجموعة من الخطوط المستقيمة التي ستكون موازية لجوانب الزاوية، وهو الرسم البياني لـ y = |3x + 3|. يتقاطع هذان الخطان l وl 1 مع الرسم البياني y = |3x + 3| عند نقطة واحدة. معادلات هذه الخطوط هي y = 3x + 5 و y = –3x + 5. بالإضافة إلى ذلك، فإن أي خط من قلم الرصاص يقع بين هذه الخطوط سيتقاطع أيضًا مع الرسم البياني y = |3x + 3| في نقطة واحدة. وهذا يعني أن القيم المطلوبة للمعلمة [–3؛ 3].

خوارزمية حل المعادلات باستخدام مستوى الطور: 1. أوجد مجال تعريف المعادلة. 2. عبر عن المعلمة a كدالة لـ x. 3. في نظام الإحداثيات xOa، نقوم ببناء رسم بياني للدالة a = f(x) لقيم x المضمنة في مجال تعريف هذه المعادلة. 4. أوجد نقاط تقاطع الخط المستقيم a = c، حيث c є (-؛ +) مع الرسم البياني للدالة a = f (x). إذا كان الخط a = c يتقاطع مع الرسم البياني a = f(x)، فإننا نحدد حدود نقاط التقاطع. للقيام بذلك، يكفي حل المعادلة a = f(x) لـ x. 5. اكتب الإجابة.

مثال على حل المتباينة باستخدام "مستوى الطور". حل عدم المساواة x. الحل: بالانتقال المكافئ الآن على مستوى Ox، سنقوم بإنشاء رسوم بيانية للدوال ونقاط تقاطع القطع المكافئ والخط المستقيم x 2 – 2x = –2x x = 0. يتم تحقيق الشرط a –2x تلقائيًا عند x 2 – 2x وهكذا، في نصف الطائرة اليسرى (x

المؤسسة التعليمية البلدية المستقلة "المدرسة الثانوية رقم 1" في نوفترويتسك

بحث

طرق حل المعادلات والمتباينات باستخدام المعلمة

نمذجة الرياضيات

مكتمل:

طالب 11 فئة MOAU

"ليسيوم رقم 1"

مشرف:

مدرس التعليم العالي

نوفوترويتسك

مقدمة. 3

معامل. 5

طرق حل المعادلات المثلثية ذات المعلمة. 9

طرق حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية والمتباينات باستخدام المعلمة. 17

طرق حل أنظمة المعادلات والمتباينات. 22

خاتمة. 31

قائمة الأدبيات المستخدمة...32

مقدمة

تسبب المعادلات ذات المعلمة صعوبة كبيرة للطلاب في الصفوف 9-11. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن حل مثل هذه المعادلات لا يتطلب فقط معرفة خصائص الدوال والمعادلات، والقدرة على إجراء التحويلات الجبرية، ولكن أيضًا يتطلب أيضًا ثقافة منطقية عالية وتقنيات بحث.

الصعوباتعند دراسة هذا النوع من المعادلات ترتبط بمميزاتها التالية:

· وفرة الصيغ والأساليب المستخدمة لحل المعادلات من هذا النوع.

· القدرة على حل نفس المعادلة التي تحتوي على معامل بطرق مختلفة.

ملاءمةيتم تحديد المواضيع من خلال المحتوى غير الكافي للمسائل حول هذا الموضوع في الكتاب المدرسي "الجبر للصف الحادي عشر".

تتحدد أهمية هذا الموضوع من خلال الحاجة إلى القدرة على حل مثل هذه المعادلات ذات المعلمات عند اجتياز امتحان الدولة الموحدة وأثناء امتحانات القبول في مؤسسات التعليم العالي.

موضوع الدراسة: المهام مع المعلمات.

الغرض من هذا العمل:

تحديد وتبرير وتوضيح طرق حل جميع أنواع المعادلات ذات المعلمات؛

حل المعادلات مع المعلمات.

تعميق المعرفة النظرية لحل المعادلات ذات المعلمات؛

لتحقيق هذا الهدف، من الضروري حل ما يلي مهام:

1. تحديد مفاهيم المعادلة مع المعلمات؛

2. عرض طرق حل المعادلات ذات المعلمات.

كرامة عمليكما يلي: تتم الإشارة إلى خوارزميات حل المعادلات ذات المعلمات؛ غالبًا ما توجد المشاكل في الامتحانات والأولمبياد المختلفة. سيساعد العمل الطلاب على اجتياز امتحان الدولة الموحدة.

أفعالي:

1. اختيار الأدب ودراسته.

2. حل المشاكل المختارة.

معامل

هناك عدة تعريفات معامل:

- معامل - هذه هي الكمية المضمنة في الصيغ والتعبيرات، وقيمتها ثابتة في حدود المشكلة قيد النظر، ولكن في مهمة أخرى تتغير قيمها (- "القاموس التوضيحي للمصطلحات الرياضية").

- المتغيرات أ, ب, ج, …, ك, والتي تعتبر ثابتة عند حل المعادلة أو المتباينة حدود، والمعادلة (المتباينة) نفسها تسمى معادلة (المتباينة) التي تحتوي على معلمات (- "مدرس الرياضيات"، روستوف أون دون "فينيكس" 1997).

يأتي الحل لمعظم المعادلات التي تحتوي على معلمة المعادلات التربيعية مع المعلمة. لذلك، لكي تتعلم كيفية حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية والمثلثية وأنظمة المعادلات ذات المعلمة، يجب عليك أولاً اكتساب مهارات الحل المعادلات التربيعية مع المعلمة.

معادلة النموذج فأس2 + bx+ ج=0 ، حيث x غير معروف، a، b، c عبارة عن تعبيرات تعتمد فقط على المعلمات، ويسمى a¹0 معادلة من الدرجة الثانيةنسبة إلى س. سننظر فقط في قيم المعلمات التي تكون a، b، c صالحة لها.

قيم التحكم في المعلمة

لحل المعادلات التربيعية ذات المعلمة، من الضروري إيجادها قيم التحكم في المعلمات.

قيم التحكم في المعلمة- تلك القيم التي يتحول عندها إلى 0:

المعامل الرئيسي في المعادلة أو المتباينة؛

المقامات في الكسور.

مميز ذات الحدين من الدرجة الثانية.

مخطط عام لحل المعادلات القابلة للاختزال إلى المعادلات التربيعية ذات المعلمة.

مخطط عام لحل المعادلات القابلة للاختزال إلى المعادلات التربيعية ذات المعلمة:

1. قم بالإشارة إلى جميع قيم المعلمة والمتغير واستبعادها حيث تصبح المعادلة بلا معنى.

2. اضرب طرفي المعادلة في قاسم مشترك ليس صفرًا.

3. تحويل المعادلة الطبيعية إلى النموذج https://pandia.ru/text/80/147/images/image002_13.png" width="128" height="24 src="> - أرقام حقيقية أو وظائف للمعلمة.

4. حل المعادلة الناتجة من خلال النظر في الحالات:

أ) ؛ ب) https://pandia.ru/text/80/147/images/image005_6.png" width = "19" height = "27">.png" width = "21" height = "27">.png" الارتفاع = "75">x=2b+1

بما أن x يجب أن تقع في النطاق من 1 إلى 6، إذن:
1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image009_4.png" width="47" height="41 src=">=2b+1

1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image010_2.png" width="18 height=98" height="98">

ص(1)>0 ص=1-4ب+4ب2– 1>0

ص(6)> 0 ص=36-24ب+4ب2– 1>0

×(1; 6) 1<-<6

بO(-∞; 0) È (1; +∞).

2) 4b2-24b+35>0

د=576 – 560=16=42>0

b1=https://pandia.ru/text/80/147/images/image016_2.png" width="47" height="41 src=">=2.5 bÎ(0.5; 3)

بO(-∞;2.5)Р(3.5;+∞)
ب(1؛ 2.5)

الإجابة: جذور المعادلة x2-4bx+4b2–1=0 تقع في الفترة من

فصل: 11

الأهداف:

التعليمية:

• تنظيم وتعميم المعرفة حول حل المعادلة مع المعلمة؛
• عرض التقنيات الأساسية لحل مثل هذه المعادلات.

التنموية: توسيع وتعميق دراسة التقنيات المختلفة لحل المعادلات ذات المعلمة.

التعليمية: إظهار أهمية اعتماد الإجابة في مشكلة ذات معلمة على القيمة المحددة للمعلمة.

طرق التدريس المستخدمة - تطبيقها.

• توضيحية وتوضيحية.
• التعميمات والقياسات والمقارنات.
• UDE – إنشاء المهام الرئيسية، وقياس الصور على متن الطائرة.
• متكامل - رسم خرائط الجبر والتفسيرات الهندسية، الشرائح.

تكوين المهارات التربوية العامة :

• تحديد السمات الأساسية للأشياء قيد الدراسة؛
• تنمية المهارات العملية؛
• الأساليب المستخدمة للعمل مع الجمهور: العمل في وضع الحوار؛
• الجوانب النفسية للدرس؛
• خلق جو عمل مريح؛
• تشجيع الحوار النشط.

خلال الفصول الدراسية

مقدمة. الكلمة الافتتاحية للمعلم.

أصبحت المعادلات جزءًا شائعًا من خيارات امتحان القبول في USE.

تسبب المعادلات ذات المعلمة صعوبات منطقية خطيرة.
كل معادلة من هذا القبيل هي في الأساس نسخة قصيرة من عائلة المعادلات. من الواضح أنه من المستحيل كتابة كل معادلة من عائلة لا نهائية، ولكن مع ذلك، يجب حل كل واحدة منها. ولذلك، هناك حاجة للنظر في نظام المفاهيم والبحث عن طرق لحل المعادلات ذات المعلمات (الخطية، العقلانية، الخ)

دع المعادلة F(x;a) = 0. إذا أعطينا المعلمة قيمة ثابتة، فيمكن اعتبار هذه المعادلة معادلة "عادية" بمتغير واحد.

دعونا نحدد المهمة: اكتشف ما قد يكون عليه الوضع مع قيمة المعلمة المحددة؟

العمل مع الطلاب بأسلوب الحوار.

دعونا نلخص المشاكل الرئيسية:

1. إنشاء المفاهيم الأساسية للمعادلات مع المعلمات.
2. لكل نوع من المعادلات في دورة الرياضيات المدرسية، قم بإنشاء طريقة عامة لحل المعادلات المقابلة ذات المعلمات - نفس الشيء لكل من المعلمة الواحدة والمعلمتين.
3. النظر في أمثلة المهام لدراسة المعادلات.
4. ما هو تحديد عدد جذور المعادلات.
5. إيجاد الجذر المشترك لمعادلتين - ما هو جوهره؟
6. التفسيرات الهندسية.

أناالمرحلة - حل المشكلة الأولى.

العمل مع الطلاب بشكل تفاعلي.

ما هي الأسئلة التي سوف تطرحها على نفسك لتأسيس المفاهيم الأساسية؟

ما هي مشكلة المعلمة؟ ما هو نطاق قيم المعلمات المقبولة؟ ماذا يعني حل مشكلة مع المعلمة؟ كم عدد أنواع المشاكل مع المعلمات الموجودة؟ ما الذي يجب مراعاته عند حلها؟

تظهر الشريحة والملخص - المهمة ذات المعلمة هي مجموعة من المهام، يتم الحصول على كل منها من شرط ما عن طريق استبدال قيمة معلمة محددة. - نطاق قيم المعلمات المسموح بها هو مجموعة قيم المعلمات، التي يؤدي استبدالها إلى مهمة منطقية. - حل مشكلة باستخدام معلمة يعني، بالنسبة لأي قيمة مقبولة للمعلمة، إيجاد مجموعة الحلول لمشكلة معينة. - سننظر في المشاكل المتعلقة بنوعين رئيسيين من المعلمات. في المسائل من النوع الأول، يلزم حل المشكلة لكل قيمة للمعلمة. للقيام بذلك تحتاج: قم بتقسيم ODZ الخاص بالمعلمة إلى أجزاء، حيث يمكن حل المشكلة في كل منها بنفس الطريقة؛ حل المشكلة على كل جزء من الأجزاء الناتجة. في مشاكل النوع الثاني، يلزم العثور على جميع قيم المعلمات التي يتم عندها استيفاء شروط محددة معينة. - الإجابة على مشكلة المعلمة هي وصف لمجموعة الإجابات على المشكلات التي تم الحصول عليها لقيم محددة للمعلمة.

على سبيل المثال.

1) حل المعادلة أ (أ – 1) = أ – 1.

حل. أمامنا معادلة خطية منطقية لجميع القيم المسموح بها لـ a. سنحلها "كالعادة": نقسم طرفي المعادلة على معامل المجهول. لكن هل الانقسام ممكن دائمًا؟

لا يمكنك القسمة على صفر. سيتعين علينا أن نفكر بشكل منفصل في الحالة التي يكون فيها معامل المجهول مساويًا لـ o. نحن نحصل:

الجواب: 1) إذا كان 0، 1، ثم x = ;

2) إذا كان a = 1، فإن x هو أي رقم؛

3) إذا كان a = 0، فلا توجد جذور.

2) حل المعادلة (أ – 1)× 2 + 2 (2أ – 1)× + 4 أ + 3 = 0.

حل. دعونا نفكر في حالتين:

النظر في المميز: D = (2a - 1) 2 - (أ – 1)(4أ + 3) = - 3أ + 4.

إذا كانت أ، فإن x 1.2 = .

الإجابة: 1) إذا كان a > فلا توجد جذور؛

2) إذا كان أ = 1، فإن س = - 3.5؛

3) إذا كان a وa1، فإن x 1.2 = .

ثانياالمرحلة - حل المشكلة الثانية.

دعونا نفكر في طريقة لتصنيف المعادلات الجزئية باستخدام نموذج الحلول العامة.
تظهر شريحة.

على سبيل المثال. في معادلة عقلانية الدالة f 1 (a) = هي الحل العام لقيم المعلمات التي لها . بسبب ال

الحل العام للمعادلة على A f1 = ).

الدالة f 2 (a) = هي حل عام للمعادلة في المجموعة A f2 = .
دعونا نبني نموذجًا للحلول العامة بالشكل التالي

في النموذج نسلط الضوء على جميع أنواع المعادلات الجزئية: ; ; .

لذلك، يتم النظر في المفاهيم الأساسية للمعادلات ذات المعلمات باستخدام الأمثلة: نطاق القيم المسموح بها؛ اِختِصاص؛ حلول عامة التحكم في قيم المعلمات أنواع المعادلات الجزئية.

بناءً على المعلمات المقدمة، نحدد مخططًا عامًا لحل أي معادلة F(a;x) = 0 مع المعلمة a (في حالة وجود معلمتين يكون المخطط مشابهًا):

• يتم تحديد نطاق القيم المسموح بها للمعلمة ونطاق التعريف؛
• يتم تحديد قيم التحكم للمعلمة، وتقسيم منطقة قيم المعلمة المسموح بها إلى مناطق تشابه المعادلات الجزئية؛
• بالنسبة لقيم التحكم للمعلمة، تتم دراسة المعادلات الجزئية المقابلة بشكل منفصل؛
• الحلول العامة x = f 1 (a)، ...، f k (a) للمعادلة F(a;x) = 0 موجودة في المجموعات المقابلة A f1, ......, A fk لقيم المعلمات ;
• يتم تجميع نموذج للحلول العامة وقيم معلمات التحكم بالشكل التالي (على الشريحة)؛

• يحدد النموذج فترات قيم المعلمات مع حلول متطابقة (مناطق التوحيد)؛
• لقيم التحكم في المعلمة ومناطق التوحيد المحددة، يتم تسجيل خصائص جميع أنواع الحلول الخاصة.

المرحلة الثالثة – أمثلة على مهام دراسة المعادلات.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لحل المشكلات باستخدام معلمات النوع 2.

من الشائع بشكل خاص المشكلات التي تتضمن موقع جذور المعادلة التربيعية. عند حلها، الرسوم التوضيحية تعمل بشكل جيد. يتم تحديد موقع الجذور بالنسبة لنقاط معينة على المستوى من خلال اتجاه فروع القطع المكافئ المقابل، وإحداثيات الرأس، وكذلك القيم عند النقاط المحددة.

على سبيل المثال.

1) ما هي قيم المعلمة a للمعادلة (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5 = 0 جذرين أحدهما أكبر من 1 و أخرى أقل من 1؟

حل. دع f(x) = (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5. بما أن a 2 + a + 1 >0، إذن بالنسبة للدالة التربيعية f(x) شرط المشكلة لا يمكن استيفاؤه إلا بشرط f (x)< 1.

حل المتراجحة f(1) = a 2 + 4a – 7< 0, получим, что -2 - < а < - 2 + .

إجابة: -2 - < а < - 2 + .

2) في ما قيم المعلمةم جذور المعادلة (م - 1) × 2 - 2مكس +م + 3 = 0 موجب؟

حل. افترض أن f(x) = (m-1)x 2 - 2 mx + m + 3 إذن:

1) إذا كانت m = 1، ثم -2x + 4 = 0، x = 2 - الجذر موجب؛

2) إذا كان m 1، فباستخدام الشكل يمكنك الحصول على العلاقات التالية:

دعونا نفكر في حالتين:

1) إذا كان 1.5 م > 0، فمن المتباينتين 2 و 3 للنظام الأخير نحصل على ذلك م > 1، أي. وأخيرا 1.5 م > 1؛

2) إذا م< 0, тогда из неравенства (m-1)m >0 نحصل على ذلك m-1< 0, откуда m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.

إجابة: م (-؛ -3)

رابعاالمرحلة - النظر في مهمة تحديد عدد جذور المعادلة.

مثال 1. عند أي قيم للمعلمة، والمعادلة 2 cos 2 x – (2a + 9)cosx + 9a = 0 ليس لها جذور.

حل.افترض أن y = cosx، فإن المعادلة الأصلية ستأخذ الشكل 2y 2 – (2 a + 9)y + 9a = 0، وجذورها هي y 1 = a، y 2 = 4.5. المعادلة cosx = 4.5 ليس لها جذور، والمعادلة cosx = a ليس لها جذور إذا كان > 1.

إجابة: (- ; -1) (1; ).

مثال 2. ابحث عن جميع قيم المعلمة a التي المعادلة لها ليس له جذور.

حل. هذه المعادلة تعادل النظام: .

المعادلة ليس لها حل في حالتين: أ = و

مثال 3 . عند أي قيم للمعلمة a تقوم بالمعادلة لديه حل واحد؟

حل. يمكن أن يكون حل المعادلة فريدًا فقط إذا كانت x = 0. إذا كانت x = 0، فإن 2 -1 = 0، وa = 1.

دعونا نفكر في حالتين:

1) إذا كان a = 1، فإن x 2 - = 0 - ثلاثة جذور؛

2). إذا كان a = -1، فإن x 2 + = 0، x = 0 هو الجذر الوحيد.

مثال 4. ما هي قيم المعلمة a التي تحتوي المعادلة على جذرين؟

حل.هذه المعادلة تعادل النظام : . لنكتشف متى يكون للمعادلة التربيعية x 2 – x – a = 0 جذران غير سالبين.

المعادلة الناتجة لها جذرين إذا كان 1+ 4a > 0؛ فهي غير سلبية إذا

0 > أ > - .

إجابة: (- ; 0] .

في كثير من الحالات، عند تحديد عدد جذور المعادلة، يكون التناظر مهمًا.

الخامسالمرحلة - إيجاد الجذر المشترك لمعادلتين.

مثال 1. في أي قيم للمعلمة a تكون للمعادلات x 2 + 3x + 7a -21 =0 و x 2 +6x +5a -6 =0 جذر مشترك؟

حل.دعونا نستبعد المعلمة أ من النظام الناتج. للقيام بذلك، اضرب المعادلة الأولى في -5، والثانية في 7، وأضف النتائج. نحصل على: 2x 2 + 27x +63 = 0، وجذورها هي x 1 = -3، x 2 = -10.5. لنعوض بالجذور في إحدى المعادلات ونجد قيمة المعلمة أ.

إجابة: 3 و – 8.25.

مثال 2. ما هي قيم المعلمة a التي تعادلها المعادلة x 2 – ax + 2 = 0 و 3x 2 + (a - 9)x + 3=0؟

حل. كما تعلم، تكون المعادلات متكافئة إذا تطابقت العديد من جذورها. دعونا ننظر في حالتين.

1) المعادلات ليس لها جذور (مجموعة الجذور فارغة). ثم تكون تمييزاتهم سلبية:

نظام عدم المساواة ليس له حلول.

2) المعادلات لها جذور مشتركة. ثم

وبالتالي، يمكن أن يكون لهذه المعادلات جذور مشتركة فقط عندما يكون a = 3 أو a = .

التحقق من ذلك بنفسك!

السادسالمرحلة – التفسيرات الهندسية.

حل المشكلات المتعلقة بالمعلمات يمكن أن يجعل استخدام الرسوم البيانية أسهل بكثير.

مثال 1 . حل المعادلة اعتمادا على المعلمة أ: .

حل. من الواضح أنه بالنسبة إلى 0:

هل جميع الجذور مناسبة؟ لمعرفة ذلك، دعونا نرسم الدالة a =.
يمكن رؤية عدد الجذور في الشكل:

1. اذا كان< 0, то корней нет;
2. إذا كان a = 0 و a > 0، فهناك جذرين.

دعونا نجد هذه الجذور.

عندما يكون a = 0 نحصل على x 2 - 2x - 3 = 0 و x 1 = -1، x 2 = 3؛ إذا كانت a > 4، فهذه هي جذور المعادلة x 2 – 2x – 3 – a = 0.

إذا 0< а < 4 – все 4 корня подходят.

إذا كان أ = 4 - ثلاثة جذور:
إجابة: 1) إذا أ< 0, то корней нет;

2) إذا كانت أ = 0، فإن x 1 = -1، x 2 = 3؛

3) إذا 0< a < 4, то х 1,2,3.4 = 1 ;

4) إذا كان أ = 4، فإن x 1 = 1؛ × 2.3 = 1؛

5) إذا كان a > 4، فإن x 1,2 = 1.

مثال 2 . ما هي قيم المعادلة التي تحتوي على أكثر من جذرين؟

حل. إذا عوضنا بـ x = 0 في المعادلة الأصلية، نحصل على 6 = 6، مما يعني أن x = 0 هو حل المعادلة لأي a.

دعونا الآن × 0، ثم يمكننا أن نكتب . دعونا نكتشف علامات التعبيرات 2x + 3 و 2x - 3.

دعونا نوسع الوحدات: a = (1)

في المستوى x0a، سنقوم ببناء مجموعة من النقاط (x;a)، التي تحقق إحداثياتها العلاقة (1).

إذا كانت a = 0 فإن المعادلة لها عدد لا نهائي من الحلول على المجال، أما بالنسبة لقيم a الأخرى فإن عدد حلول المعادلة لا يتجاوز اثنين.

إجابة: أ = 0.

مراقبة الاختبار

1 خيار	الخيار 2
1) حل المعادلة: 0 س = أ الإجابات	1) حل المعادلة: أ س = أ. الإجابات: أ) لـ ≠ 0، x = 1، لـ = 0، x R ب) لـ a = 0، x R، لـ ≠ 0 لا توجد جذور ج) لـ a = 0 لا توجد جذور، لـ ≠ x =
2) حل المعادلة: (в – 2) x = 5 + в. الإجابات:	2) حل المعادلة (ب + 1) س = 3 – ب. الإجابات: أ) بالنسبة لـ β = 2 لا توجد جذور؛ لـ β ≠2, x = ; ب) بالنسبة لـ β = -2 لا توجد جذور، بالنسبة لـ β ≠-2 x = ج) بالنسبة لـ β = -1 لا توجد جذور، بالنسبة لـ ≠ - 1
3) ما هي قيم المعلمة c التي تحتوي المعادلة على عدد لا نهائي من الحلول؟ ج (ج + 1) س = ج 2 – 1. إجابة: أ) مع ج = -1، س R، ; شابليجين في.ف.، تشابليجينا إن.بي. مشاكل مع المعلمات في الجبر والتحليل، 1998.

درس المقرر الاختياري

حول هذا الموضوع: "حل المعادلات والمتباينات باستخدام المعلمات"

(درس التعميم والتكرار)

هدف: 1. تكرار وتعميم معرفة الطلاب بطرق حل المعادلات والمتباينات ذات المعلمات. تعزيز القدرة على تطبيق المعرفة عند حل مهام محددة؛ 2. تنمية التفكير المنطقي. 3. تنمية الاهتمام والدقة.

خطة الدرس: I. اللحظة التنظيمية ______________________________ 2 دقيقة.

ثانيا. تحديث المعرفة الأساسية:

1. التكرار__________________________________3 دقائق.
2. العمل الشفهي________________________________3 دقائق.
3. العمل مع البطاقات (خلال 1 و 2)

ثالثا. حل التمارين _________________________________ 22 دقيقة.

السنة الدولية. تنفيذ الاختبار ______________________________ 8 دقائق.

Y. التلخيص، تحديد الواجب المنزلي__2 دقيقة.

خلال الفصول الدراسية:

أنا. تنظيم الوقت.

مدرس: - مرحبا يا شباب. من الجميل رؤيتكم جميعًا، لقد بدأنا درسنا. هدفنا اليوم في الدرس هو تكرار وممارسة المعرفة والمهارات والقدرات المكتسبة في الدروس السابقة أثناء دراسة هذا الموضوع.

ثانيا . تحديث المعرفة الأساسية:

1) التكرار.

المعلم: - لذلك، دعونا نكرر.

ما هي المعادلة الخطية مع المعلمات تسمى؟

ما هي الحالات التي أخذناها في الاعتبار عند حل مثل هذه المعادلات؟

أعط أمثلة على المعادلات الخطية ذات المعلمات.

أعط أمثلة على عدم المساواة الخطية مع المعلمات.

2) العمل الشفهي.

المهمة: تحويل هذه المعادلة إلى الصورة الخطية.

على المكتب:

أ) 3أ س – 1 =2 س؛

ب) 2+5 س = 5أ س؛

ج) 2 س – 4 = أ س + 1.

3) العمل باستخدام البطاقات.

ثالثا . حل التمارين .

التمرين 1. حل المعادلة مع المعلمةأ.

3(الفأس + 1) + 1 = 2(أ – س) + 1.

تم إكمال المهمة على السبورة وفي دفاتر الملاحظات.

المهمة 2. بأي قيمةأ، الخط المستقيم y = 7ax + 9، يمر عبره

ر.أ(-3;2) ؟

يتم إكمال المهمة بشكل مستقل على السبورة بواسطة طالب واحد. الباقي يعمل في دفاتر الملاحظات، ثم تحقق مع اللوحة.

التعليم الجسدي دقيقة فقط.

المهمة 3. بأي قيمةأ، المعادلة 3(ax – a) = x – 1 لها

عدد لا نهائي من الحلول؟

يُطلب من الطلاب حل هذه المهمة بشكل مستقل في دفاتر ملاحظاتهم. ثم تحقق من الإجابات.

المهمة 4. في ما قيمة المعلمةأ ، مجموع جذور المعادلة

2x² + (4a² - 2)x – (а² + 1) = 0يساوي 1؟

تكتمل المهمة بالتعليق من المكان.

المهمة 5. حل عدم المساواة مع المعلمةص :

ص(5س – 2)

يتم إكمال هذه المهمة على السبورة وفي دفاتر الملاحظات.

السنة الدولية. تنفيذ الاختبار.

يتم إعطاء الطلاب أوراقًا فردية تحتوي على المهام:

1) هي المعادلة6(الفأس + 1) + أ = 3(أ – س) + 7خطي؟

أ) نعم؛ ب) لا؛ ج) يمكن اختزالها إلى الخطية

2) المعادلة (2أكس + 1)أ = 5أ – 1 اختزال إلى شكل معادلة خطية

أ) لا؛ ب) نعم؛

3) ما قيمة المعلمةويمر الخط المستقيم y = ax – 3

ت.أ(-2;9) ?

أ) أ = 1/6؛ ب) أ = 1/2؛ ج) أ = -6؛ د) أ = 6.

4) عند أي معادلة 2ax + 1 = x له جذر يساوي -1؟

أ) أ = -1؛ ب) أ = 0؛ ج) أ = 1؛ د) أ = 1/2.

5) إذا كانت المعادلة التربيعيةالفأس² + إنكس + ج = 0 د ax² + inx + c >0 يعتمد على

أ) القيم في؛ ب) قيم أ؛ ج) القيم -v/a؛

د) ليس لديه حلول.

الإجابات على الاختبار:الخامس؛ أ؛ الخامس؛ الخامس؛ ب.

يي. تلخيص الدرس. تحديد الواجبات المنزلية.

مدرس: - قمنا اليوم في الدرس بتكرار وتوحيد المعرفة المكتسبة في الدروس السابقة، ومارسنا المهارات اللازمة عند أداء المهام المختلفة. أعتقد أنك قمت بعمل جيد، أحسنت.

بالإضافة إلى الدرجات المخصصة للدرس، يمكنك تقييم أعمال عدد من الطلاب الآخرين في الدرس.

مدرس : - أكتب واجبك المنزلي :

على المكتب:

حل عدم المساواة:س² - 2أكس + 4 > 0.

الدرس انتهى.