كيفية العثور على الحجم بالمتر المكعب. كيفية حساب حجم البضائع

تعليمات

اكتشف كثافة (ρ) المادة التي يتكون منها الجسم المادي الذي تريد حساب حجمه. الكثافة هي إحدى خاصيتين لجسم ما تدخلان في معادلة حساب الحجم. إذا كنا نتحدث عن كائنات حقيقية، واستخدام الحسابات متوسط الكثافةلأنه من الصعب تخيل جسم مادي تمامًا في ظروف حقيقية. سيكون هناك بالتأكيد فراغات مجهرية على الأقل أو شوائب من مواد غريبة موزعة بشكل غير متساو. عند تحديد هذه المعلمة، تأخذ في الاعتبار و - كلما كانت أعلى، انخفضت كثافة المادة، منذ ذلك الحين المسافة بينها .

المعلمة الثانية اللازمة لحساب الحجم هي كتلة (م) الجسم المعني. يتم تحديد هذه القيمة، كقاعدة عامة، من خلال نتائج تفاعل الكائن مع الآخرين أو مجالات الجاذبية التي أنشأوها. في أغلب الأحيان يتعين عليك التعامل مع الكتلة، والتي يتم التعبير عنها من خلال التفاعل مع قوة جاذبية الأرض - وزن الجسم. تعد طرق تحديد هذه القيمة للأشياء الصغيرة نسبيًا بسيطة - ما عليك سوى وزنها.

لحساب الحجم (V) لجسم، قم بتقسيم المعلمة المحددة في الخطوة الثانية - الكتلة - على المعلمة التي تم الحصول عليها في الخطوة الأولى - الكثافة: V = m/ρ.

في الحسابات العملية، على سبيل المثال، يمكن استخدام الحجم لإجراء العمليات الحسابية. إنها مريحة لأنها لا تتطلب البحث عن الكثافة في مكان آخر المواد المطلوبةوأدخله في الكمبيوتر - يحتوي النموذج على قائمة منسدلة تحتوي على قائمة بالمواد الأكثر استخدامًا في العمليات الحسابية. بعد تحديد السطر المطلوب فيه، أدخل الوزن في حقل "الكتلة"، وفي حقل "دقة الحساب"، حدد عدد المنازل العشرية التي يجب أن تكون موجودة نتيجة للحسابات. ستجد الحجم في الجدول أدناه. فقط في حالة وجود نصف قطر الكرة وجانب المكعب، والذي يجب أن يتوافق مع حجم المادة المحددة، سيتم تقديمه هناك.

مصادر:

حاسبة الحجم
فيزياء صيغة الحجم

هناك أشكال حجمية هندسية، يمكن حساب حجمها بسهولة باستخدام الصيغ. المهمة الأكثر صعوبة هي حساب الحجم جسمشخص، ولكن يمكن حلها أيضا بطريقة عملية.

سوف تحتاج

- حمام
- ماء
- قلم
- مساعد

بالنسبة للأجسام البسيطة، الحجم هو كمية موجبة، وقيمتها العددية لها الخصائص التالية:

1. الأجسام المتساوية لها أحجام متساوية.

2. إذا كان الجسم مقسماً إلى أجزاء هي أجسام بسيطة فإن حجم هذا الجسم يساوي مجموع أحجام أجزائه.

3. حجم المكعب الذي تساوي ضلعه وحدة طول واحدة يساوي واحدًا.

إذا كان المكعب المشار إليه في التعريف له حافة 1 سم، فيقاس الحجم بالسنتيمتر المكعب؛ إذا كانت حافة المكعب تساوي , فإن الحجم يقاس بالمكعب

متر؛ إذا كانت حافة المكعب 1 كم، فسيتم قياس الحجم بالكيلومترات المكعبة، وما إلى ذلك.

ويبين الشكل 181 جسماً بسيطاً - الهرم الرباعيسابكد. حجم هذا الهرم، استنادًا إلى الخاصية 2، يساوي مجموع أحجام أهرامات SABC وSADC.

59. حجم متوازي السطوح والمنشور والهرم.

مقدار متوازي مستطيلتم العثور عليه بواسطة الصيغة

أين تقع حواف متوازي السطوح المستطيل. بناءً على هذه الصيغة، يمكنك الحصول على صيغة لحجم المكعب. تم العثور على حجم المكعب باستخدام الصيغة

حيث a هي حافة المكعب.

يقال أحيانًا أن حجم متوازي السطوح المستطيل يساوي حاصل ضرب أبعاده الخطية أو حاصل ضرب مساحة قاعدته وارتفاعه. العبارة الأخيرة صحيحة بالنسبة لأي متوازي السطوح.

يوضح الشكل 182 متوازي السطوح المائل. حجمه يساوي حيث مساحة القاعدة وارتفاع موازي السطوح المائل.

يمكنك استخلاص قاعدة للعثور على حجم أي منشور (بما في ذلك المنشور المائل).

حجم المنشور يساوي منتج مساحة قاعدته وارتفاعه؛

في حالة المنشور المستقيم (الشكل 183)، يتطابق ارتفاعه مع الحافة الجانبية وحجم المنشور المستقيم يساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة والحافة الجانبية.

تم العثور على حجم أي هرم من خلال الصيغة

حيث S هي مساحة القاعدة، H هو ارتفاع الهرم.

يوضح الشكل 184 شكل رباعي السطوح SABC منتظم بحافة أ. حجمه هو

مثال. في متوازي السطوح المائل، تكون القاعدة والوجه الجانبي مستطيلين، مساحتهما متساوية على التوالي، والزاوية بين مستوييهما 80 درجة. مساحة أحد الوجوه الجانبية لمتوازي السطوح. أوجد حجم موازي السطوح.

حل. دع وجوه متوازي السطوح تكون مستطيلة. ثم تكون الحافة AD متعامدة مع الوجه، ويمكن إجراء حسابات أخرى دون إيجاد أطوال هذه القطع. لقد حصلنا على ضرب هذه المتساويات حدًا تلو الآخر

60. حجم الاسطوانة والمخروط.

يتم تحديد حجم أي جسم بالطريقة الآتية. يكون لجسم معين حجم V إذا كان هناك أجسام بسيطة تحتوي عليه وأجسام بسيطة تحتوي عليه ذات أحجام تختلف عن V مهما كانت قليلة.

ومن خلال تطبيق هذا التعريف لإيجاد حجمي الأسطوانة والمخروط، يمكن إثبات النظريات.

حجم الاسطوانة يساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع، أي.

إذا كان نصف قطر قاعدة الأسطوانة هو R والارتفاع H، فإن صيغة حجمها هي:

حجم المخروط يساوي ثلث حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع”، أي.

إذا كان نصف قطر قاعدة المخروط هو H والارتفاع هو II، فسيتم إيجاد حجمه بالصيغة

يمكن العثور على حجم المخروط المقطوع باستخدام الصيغة

حيث أنصاف أقطار القواعد H - ارتفاع المخروط المقطوع. تم العثور على حجم المخروط المقطوع الموضح في الشكل 185 من خلال الصيغة

61. الصيغة العامة لأحجام الأجسام الدورانية.

حجم الكرة وأجزائها. لاشتقاق صيغة حجم الجسم الذي يدور، يتم إدخال الإحداثيات الديكارتية في الفضاء، مع اعتبار محور الجسم هو المحور، ويتقاطع المستوى مع سطح الجسم على طول خط يكون فيه المحور x هو محور تناظر. لتكن المعادلة ذلك الجزء من الخط الذي يقع فوق المحور السيني (الشكل 186).

1. حساب حجم المكعب

أ- جانب المكعب

صيغة حجم المكعب ( الخامس ):

2. أوجد بالصيغة حجم متوازي السطوح المستطيل

أ، ب، ج- جوانب متوازية

في بعض الأحيان يُطلق على جانب متوازي السطوح اسم الحافة.

صيغة حجم متوازي السطوح ( الخامس):

3. صيغة لحساب حجم الكرة، المجال

ر — نصف قطر الكرة

باستخدام الصيغة، إذا تم تحديد نصف القطر، يمكنك العثور على حجم الكرة، ( الخامس):

4. كيفية حساب حجم الاسطوانة؟

ح- ارتفاع الاسطوانة

ص- نصف القطر الأساسي

باستخدام الصيغة، أوجد حجم الأسطوانة إذا كان نصف قطر قاعدتها وارتفاعها معلومين ( الخامس):

5. كيفية العثور على حجم المخروط؟

ص-نصف القطر الأساسي

ح—ارتفاع المخروط

صيغة حجم المخروط إذا كان نصف القطر والارتفاع معروفين ( الخامس):

7. صيغة لحجم المخروط المقطوع

ص —نصف قطر القاعدة العلوي

ص-نصف القطر السفلي

ح -ارتفاع المخروط

صيغة حجم المخروط المقطوع، إذا كانت معروفة - نصف قطر القاعدة السفلية ونصف قطر القاعدة العلوية وارتفاع المخروط ( الخامس):

8. حجم رباعي السطوح المنتظم

رباعي السطوح المنتظم هو هرم جميع وجوهه عبارة عن مثلثات متساوية الأضلاع.

أ- حافة رباعي الاسطح

صيغة لحساب حجم رباعي الاسطح العادي ( الخامس):

9. حجم الهرم الرباعي المنتظم

يسمى الهرم ذو القاعدة المربعة والأضلاع المثلثة المتساوية الساقين بالهرم الرباعي المنتظم.

أ- الجانب الأساسي

ح- ارتفاع الهرم

صيغة لحساب حجم الهرم الرباعي المنتظم ( الخامس):

10. حجم الهرم الثلاثي المنتظم

الهرم الذي قاعدته مثلث متساوي الأضلاع وأضلاعه متساوية ومثلثات متساوية الساقين يسمى الهرم الثلاثي المنتظم.

أ- الجانب الأساسي

ح- ارتفاع الهرم

صيغة الحجم صحيحة الهرم الثلاثي، إذا أعطيت - الارتفاع وجانب القاعدة ( الخامس):

11. أوجد حجم الهرم المنتظم

الهرم في القاعدة، والذي يحتوي على مضلع منتظم ووجوه مثلثات متساوية، ويسمى الصحيح.

ح- ارتفاع الهرم

أ- جانب قاعدة الهرم

ن- عدد أضلاع المضلع عند القاعدة

صيغة الحجم الهرم المنتظمومعرفة الارتفاع وضلع القاعدة وعدد هذه الجوانب ( الخامس):

جميع الصيغ لأحجام الأجسام الهندسية
الهندسة والجبر والفيزياء

صيغ الحجم

مقدار الشكل الهندسي - خاصية كمية للمساحة التي يشغلها جسم أو مادة. في أبسط الحالات، يتم قياس الحجم بعدد مكعبات الوحدة التي تناسب الجسم، أي مكعبات ذات حافة تساوي وحدة الطول. يتم تحديد حجم الجسم أو سعة الوعاء من خلال شكله وأبعاده الخطية.

صيغة لحجم المكعب

1) حجم المكعب يساوي مكعب حافته.

الخامس- حجم المكعب

ح- ارتفاع حافة المكعب

صيغة لحجم الهرم

1) حجم الهرم يساوي ثلث حاصل ضرب مساحة القاعدة S (ABCD) والارتفاع h (OS).

الخامس- حجم الهرم

س- مساحة قاعدة الهرم

ح- ارتفاع الهرم

صيغ لحجم المخروط

1) حجم المخروط يساوي ثلث حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع.

2) حجم المخروط يساوي ثلث حاصل ضرب باي (3.1415) في مربع نصف قطر القاعدة والارتفاع.

الخامس- حجم المخروط

س- مساحة قاعدة المخروط

ح- ارتفاع المخروط

π — رقم باي (3.1415)

ص- نصف قطر المخروط

صيغ حجم الاسطوانة

1) حجم الاسطوانة يساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع.

2) حجم الاسطوانة يساوي حاصل ضرب باي (3.1415) في مربع نصف قطر القاعدة والارتفاع.

الخامس- حجم الاسطوانة

س- مساحة قاعدة الاسطوانة

ح- ارتفاع الاسطوانة

π — رقم باي (3.1415)

ص- نصف قطر الاسطوانة

صيغة لحجم الكرة

1) يتم حساب حجم الكرة باستخدام الصيغة أدناه.

الخامس- حجم الكرة

π — رقم باي (3.1415)

ر- نصف قطر الكرة

صيغة حجم رباعي الاسطح

1) حجم رباعي السطوح يساوي الكسر في البسط الذي يكون الجذر التربيعي لاثنين مضروبًا في مكعب طول حافة رباعي السطوح، وفي المقام اثني عشر.

صيغ الحجم
صيغ الحجم و برامج على الانترنتلحساب الحجم

صيغة الحجم.

صيغة الحجماللازمة لحساب المعلمات وخصائص الشكل الهندسي.

حجم الشكلهي خاصية كمية للمساحة التي يشغلها جسم أو مادة. في أبسط الحالات، يتم قياس الحجم بعدد مكعبات الوحدة التي تناسب الجسم، أي مكعبات ذات حافة تساوي وحدة الطول. يتم تحديد حجم الجسم أو سعة الوعاء من خلال شكله وأبعاده الخطية.

متوازي الأضلاع.

حجم متوازي السطوح المستطيل يساوي منتج مساحة القاعدة والارتفاع.

اسطوانة.

حجم الاسطوانة يساوي منتج مساحة القاعدة والارتفاع.

حجم الاسطوانة يساوي حاصل ضرب باي (3.1415) في مربع نصف قطر القاعدة والارتفاع.

هرم.

حجم الهرم يساوي ثلث حاصل ضرب مساحة القاعدة S (ABCDE) والارتفاع h (OS).

الهرم الصحيح- وهو هرم، في قاعدته مضلع منتظم، ويمر ارتفاعه بمركز الدائرة المنقوشة عند القاعدة.

الهرم الثلاثي المنتظمهو هرم قاعدته مثلث متساوي الأضلاع وأضلاعه مثلثات متساوية الساقين.

هرم رباعي منتظموهو هرم قاعدته مربعة وأضلاعه مثلثات متساوية الساقين.

رباعي الاسطحهو هرم جميع وجوهه مثلثات متساوية الأضلاع.

الهرم المقطوع.

حجم الهرم المقطوع يساوي ثلث ناتج الارتفاع h (OS) بمجموع مساحات القاعدة العلوية S 1 (abcde)، والقاعدة السفلية للهرم المقطوع S 2 (ABCDE) و المتوسط المتناسب بينهما.

من السهل حساب حجم المكعب - تحتاج إلى ضرب الطول والعرض والارتفاع. بما أن طول المكعب يساوي عرضه ويساوي ارتفاعه، فإن حجم المكعب يساوي s 3 .

مخروطهو جسم في الفضاء الإقليدي يتم الحصول عليه من خلال تجميع جميع الأشعة الصادرة من نقطة واحدة (رأس المخروط) والمارة عبر سطح مستو.

فروستومسيعمل إذا قمت برسم قسم في المخروط موازٍ للقاعدة.

V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2)

حجم الكرة أقل بمرة ونصف من حجم الأسطوانة المحيطة بها.

نشور زجاجي.

حجم المنشور يساوي منتج مساحة قاعدة المنشور وارتفاعه.

قطاع الكرة.

حجم القطاع الكروي يساوي حجم الهرم الذي قاعدته لها نفس مساحة الجزء المقطوع من القطاع من السطح الكروي، والارتفاع يساوي نصف قطر الكرة.

طبقة الكرة- هذا هو الجزء من الكرة المحصور بين مستويين متوازيين قاطعين.

شريحة الكرة- يُسمى هذا الجزء من الكرة، المقطوع عنها بواسطة مستوى ما، بالجزء الكروي أو الكروي

صيغة الحجم
صيغة لحجم المكعب والكرة والهرم ومتوازي الأضلاع والأسطوانة ورباعي الأسطح والمخروط والمنشور وأحجام الأشكال الهندسية الأخرى.

في دورة القياس المجسم، أحد الأسئلة الرئيسية هو كيفية حساب حجم شيء ما. جسم هندسي. يبدأ كل شيء بمتوازي بسيط وينتهي بالكرة.

في الحياة أيضًا، غالبًا ما يتعين عليك مواجهة مشكلات مماثلة. على سبيل المثال، لحساب حجم الماء الذي يمكن وضعه في دلو أو برميل.

الخصائص صالحة لحجم كل جسم

هذه القيمة هي دائمًا رقم موجب.
إذا كان من الممكن تقسيم الجسم إلى أجزاء بحيث لا توجد تقاطعات، فإن الحجم الإجمالي يساوي مجموع أحجام الأجزاء.
الأجسام المتساوية لها أحجام متساوية.
إذا كان الجسم الأصغر موجودًا بالكامل في جسم أكبر، فإن حجم الأول يكون أقل من حجم الثاني.

التسميات العامة لجميع الهيئات

ولكل منها حواف وقواعد، ويتم بناء الارتفاعات فيها. ولذلك، يتم تعيين هذه العناصر لهم على قدم المساواة. هذا هو بالضبط كيف يتم كتابتها في الصيغ. وسوف نتعلم كذلك كيفية حساب حجم كل جسم وتطبيق مهارات جديدة في الممارسة العملية.

بعض الصيغ لها كميات أخرى. وستتم مناقشة تعيينهم عندما تنشأ مثل هذه الحاجة.

المنشور، متوازي السطوح (مستقيم ومائل) ومكعب

يتم دمج هذه الأجسام لأنها تبدو متشابهة جدًا، كما أن صيغ كيفية حساب الحجم متطابقة:

الخامس = س * ح.

فقط S سوف يختلف. وفي حالة متوازي السطوح، يتم حسابه على أنه مستطيل أو مربع. في المنشور، يمكن أن تكون القاعدة مثلثًا، أو متوازي أضلاع، أو رباعيًا عشوائيًا، أو مضلعًا آخر.

بالنسبة للمكعب، تم تبسيط الصيغة بشكل كبير لأن جميع أبعاده متساوية:

الخامس = أ 3.

الهرم، رباعي الاسطح، الهرم المقطوع

بالنسبة للأجسام الأولى، هناك صيغة لحساب الحجم:

الخامس = 1/3 * ق * ن.

رباعي الاسطح هو حالة خاصة من الهرم الثلاثي. جميع الحواف فيه متساوية. ولذلك، مرة أخرى نحصل على صيغة مبسطة:

V = (أ 3 * √2) / 12، أو V = 1/ 3 S h

يصبح الهرم مقطوعًا عند قطعه الجزء العلوي. ولذلك فإن حجمه يساوي الفرق بين الهرمين: الهرم الذي سيكون سليمًا والقمة المنزوعة. إذا كان من الممكن معرفة قاعدتي هذا الهرم (S 1 - الأكبر و S 2 - الأصغر)، فمن الملائم استخدام هذه الصيغة لحساب الحجم:

اسطوانة ومخروط ومخروط مقطوع

الخامس =π * ص 2 * ح.

الوضع مع المخروط أكثر تعقيدًا إلى حد ما. هناك صيغة لذلك:

الخامس = 1/3 π * ص 2 * ح.إنه مشابه جدًا لتلك المحددة للأسطوانة، فقط يتم تقليل القيمة بمقدار ثلاث مرات.

كما هو الحال مع الهرم المقطوع، فإن الوضع ليس سهلاً مع المخروط الذي له قاعدتان. تبدو صيغة حساب حجم المخروط المقطوع كما يلي:

V = 1/3 π * ح * (ص 1 2 + ص 1 ص 2 + ص 2 2).هنا r 1 هو نصف قطر القاعدة السفلية، r 2 هو نصف قطر القاعدة العلوية (الأصغر).

الكرة وقطاعات الكرة والقطاع

هذه هي الصيغ الأكثر صعوبة في التذكر. بالنسبة لحجم الكرة فيبدو كما يلي:

V = 4/3 π *ص 3 .

غالبًا ما يكون هناك سؤال في المشكلات حول كيفية حساب حجم القطعة الكروية - جزء من الكرة الذي يتم قطعه بالتوازي مع القطر. في هذه الحالة، سوف تأتي الصيغة التالية للإنقاذ:

V = π ح 2 * (ص - ح/3).في ذلك، يتم أخذ ارتفاع الجزء كـ h، أي الجزء الذي يمتد على طول نصف قطر الكرة.

وينقسم القطاع إلى قسمين: مخروطي وقطعة كروية. ولذلك، يتم تعريف حجمه على أنه مجموع هذه الهيئات. تبدو الصيغة بعد التحويلات كما يلي:

V = 2/3 πr 2 * h.هنا h هو أيضًا ارتفاع القطعة.

مشاكل العينة

حول أحجام الأسطوانة والكرة والمخروط

حالة:قطر الاسطوانة (الجسم الأول) يساوي ارتفاعها، قطر الكرة (الجسم الثاني) وارتفاع المخروط (الجسم الثالث)، تحقق من تناسب الحجوم V 1: V 2: V 3 = 3:2:1

حل.تحتاج أولاً إلى كتابة ثلاث صيغ للمجلدات. ثم اعتبر أن نصف القطر يساوي نصف القطر. أي أن الارتفاع سيكون مساوياً لنصف قطرين: h = 2r. من خلال إجراء استبدال بسيط، يتبين أن صيغ الأحجام ستبدو كما يلي:

V 1 = 2 π r 3، V 3 = 2/3 π r 3. لا تتغير صيغة حجم الكرة لأن الارتفاع لا يظهر فيها.

الآن يبقى كتابة نسب الحجم وإجراء التخفيض 2π و r 3. اتضح أن V 1: V 2: V 3 = 1: 2/3: 1/3. يمكن بسهولة كتابة هذه الأرقام بالشكل 3:2:1.

حول حجم الكرة

حالة:هناك بطيختان نصف قطرهما 15 و 20 سم، أيهما أكثر فائدة لتناولهما: الأولى مع أربعة أشخاص أم الثانية مع ثمانية؟

حل.للإجابة على هذا السؤال، ستحتاج إلى إيجاد نسبة أحجام الأجزاء التي ستأتي من كل بطيخة. مع الأخذ في الاعتبار أنها مجالات، نحتاج إلى كتابة صيغتين للحجم. ثم ضع في اعتبارك أنه من الأول سيحصل الجميع على الجزء الرابع فقط، ومن الثاني - الثامن.

يبقى أن نكتب نسبة أحجام الأجزاء. سوف يبدو مثل هذا:

(ف1: 4) / (ف2: 8) = (1/3 π ص 1 3) / (1/6 π ص 2 3). بعد التحويل، يبقى الكسر فقط: (2 ص 1 3) / ص 2 3. وبعد استبدال القيم والحساب يتم الحصول على الكسر 6750/8000. ويتبين منه أن حصة البطيخة الأولى ستكون أقل من حصة الثانية.

إجابة.ومن الأفضل تناول ثُمن البطيخة التي يبلغ قطرها 20 سم.

حول أحجام الهرم والمكعب

حالة:يوجد هرم مصنوع من الطين قاعدته مستطيلة 8X9 سم وارتفاعه 9 سم، مصنوع من نفس قطعة الطين مكعب، ما حافته؟

حل.إذا قمنا بتعيين جوانب المستطيل بالحرفين b و c، فسيتم حساب مساحة قاعدة الهرم كمنتجهما. ثم صيغة حجمه هي:

صيغة حجم المكعب مكتوبة في المقالة أعلاه. هاتان القيمتان متساويتان: V 1 = V 2 . كل ما تبقى هو مساواة الجوانب اليمنى من الصيغ وإجراء الحسابات اللازمة. اتضح أن حافة المكعب ستكون 6 سم.

حول حجم متوازي السطوح

حالة:تحتاج إلى صنع صندوق بسعة 0.96 م 3 وعرضه وطوله معروفان - 1.2 و 0.8 متر فماذا يجب أن يكون ارتفاعه؟

حل.بما أن قاعدة متوازي السطوح مستطيلة، فإن مساحته تعرف بأنها حاصل ضرب الطول (أ) والعرض (ب). لذلك، تبدو صيغة الحجم كما يلي:

من السهل تحديد الارتفاع عن طريق تقسيم الحجم على المساحة. اتضح أن الارتفاع يجب أن يكون 1 متر.

إجابة.ارتفاع الصندوق متر واحد.

كيفية حساب حجم الأجسام الهندسية المختلفة؟
في دورة القياس الفراغي، إحدى المهام الرئيسية هي كيفية حساب حجم جسم هندسي معين. يبدأ كل شيء بمتوازي بسيط وينتهي بالكرة.

من أكثر المسائل إثارة للاهتمام في الهندسة، والتي تعتبر نتيجتها مهمة في الفيزياء والكيمياء وغيرها من المجالات، هي تحديد الحجوم. أثناء دراسة الرياضيات في المدرسة، غالبا ما يتساءل الأطفال: "لماذا نحتاج هذا؟" يبدو العالم من حولنا بسيطًا ومفهومًا لدرجة أن بعض المعرفة المدرسية تُصنف على أنها "غير ضرورية". ولكن بمجرد أن تواجه، على سبيل المثال، النقل، فإن السؤال الذي يطرح نفسه هو كيفية حساب حجم البضائع. هل تقول أنه لا يوجد شيء أسهل؟ أنت مخطئ. تصبح معرفة الصيغ الحسابية ومفاهيم "كثافة المادة" و"الكثافة الحجمية للأجسام" ضرورية.

المعرفة المدرسية - أساس عملي

يقدم لنا معلمو المدارس، الذين يقومون بتدريس أساسيات الهندسة، التعريف التالي للحجم: الجزء من الفضاء الذي يشغله الجسم. في الوقت نفسه، تم تدوين صيغ تحديد المجلدات منذ فترة طويلة، ويمكن العثور عليها في الكتب المرجعية. تحديد حجم الجسم الشكل الصحيحلقد تعلمت البشرية قبل وقت طويل من ظهور أطروحات أرخميدس. لكن هذا المفكر اليوناني العظيم فقط هو الذي قدم تقنية تتيح تحديد حجم أي شكل. أصبحت استنتاجاته أساس حساب التفاضل والتكامل. الأشكال ثلاثية الأبعاد هي تلك التي يتم الحصول عليها عن طريق تدوير الأجسام المسطحة.

تسمح الهندسة الإقليدية بتحديد الحجم بدقة معينة:

الفرق بين الأشكال المسطحة والحجمية لا يسمح لنا بالإجابة على سؤال بعض المرضى حول كيفية حساب حجم المستطيل. وهذا يشبه تقريبًا العثور على شيء لا أعرف ما هو. من الممكن حدوث ارتباك في المادة الهندسية، في حين يُطلق على المستطيل أحيانًا اسم مكعب.

ماذا تفعل إذا لم يكن شكل جسمك محددًا بشكل واضح؟

تحديد حجم الهياكل الهندسية المعقدة ليس بالمهمة السهلة. يجدر الاسترشاد بعدة مبادئ لا تتزعزع.

يمكن تقسيم أي جسم إلى أجزاء أبسط. الحجم يساوي مجموع أحجام أجزائه الفردية.
الأجسام المتساوية في الحجم لها أحجام متساوية، والانتقال الموازي للأجسام لا يغير حجمها.
وحدة الحجم هي حجم المكعب الذي طول ضلعه وحدة.

توافر الهيئات ذو شكل غير منتظم(تذكر التاج سيئ السمعة للملك هيرون) لا يشكل مشكلة. تحديد أحجام الأجسام أمر ممكن تماما. هذه هي عملية قياس حجم السائل مباشرة بجسم مغمور فيه، والتي سيتم مناقشتها أدناه.

تطبيقات حجمية مختلفة

دعنا نعود إلى المشكلة: كيفية حساب حجم البضائع المنقولة. ما هو نوع البضائع: معبأة أم سائبة؟ ما هي معلمات الحاوية؟ هناك اسئلة اكثر من الاجوبة. لن تكون مسألة وزن البضائع ذات أهمية كبيرة، حيث تختلف وسائل النقل في القدرة الاستيعابية، والطرق لها وزن أقصى. عربة. قد يؤدي انتهاك قواعد النقل إلى فرض عقوبات.

المشكلة 1. دع البضائع تكون عبارة عن حاويات مستطيلة مملوءة بالبضائع. بمعرفة وزن البضاعة والحاوية يمكنك بسهولة تحديد الوزن الإجمالي. يتم تعريف حجم الحاوية على أنه حجم متوازي السطوح المستطيل.

من خلال معرفة القدرة الاستيعابية للمركبة وأبعادها، يمكنك حساب الحجم المحتمل للبضائع المنقولة. تتيح لك النسبة الصحيحة لهذه المعلمات تجنب الكوارث والفشل المبكر للنقل.

المشكلة 2. البضائع - المواد السائبة: الرمل والحجر المسحوق ونحو ذلك. في هذه المرحلة، لا يمكن الاستغناء عن المعرفة بالفيزياء إلا متخصص مؤهل، تسمح له خبرته في نقل البضائع بتحديد الحد الأقصى لحجم النقل المسموح به بشكل حدسي.

تفترض الطريقة العلمية معرفة معلمة مثل الحمل.

يتم استخدام الصيغة V=m/ρ، حيث m هي كتلة الحمولة، ρ هي كثافة المادة. قبل حساب الحجم، يجدر معرفة كثافة الحمل، وهو أيضًا ليس بالأمر الصعب على الإطلاق (الجداول، التحديد المختبري).

تعمل هذه التقنية أيضًا بشكل رائع عند تحديد حجم البضائع السائلة. وفي هذه الحالة يتم استخدام اللتر كوحدة قياس.

تحديد أحجام أشكال البناء

تلعب مسألة تحديد الأحجام دورًا مهمًا في البناء. بناء المنازل وغيرها من الهياكل هو عمل مكلف، ومواد البناء تتطلب اهتماما دقيقا وحسابات دقيقة للغاية.

أساس المبنى - الأساس - عادة ما يكون عبارة عن هيكل مصبوب مملوء بالخرسانة. قبل ذلك، من الضروري تحديد نوع الأساس.

أساس بلاطة - لوح على شكل متوازي مستطيل. قاعدة عمودية - أعمدة مستطيلة أو أسطوانية لقسم معين. من خلال تحديد حجم عمود واحد وضربه بالكمية، يمكنك حساب السعة المكعبة للخرسانة للأساس بأكمله.

عند حساب حجم الخرسانة للجدران أو الأسقف، تابع بكل بساطة: حدد حجم الجدار بأكمله، وضرب الطول بالعرض والارتفاع، ثم حدد بشكل منفصل أحجام النوافذ والنوافذ. المداخل. الفرق بين حجم الجدار والحجم الكلي للفتحات هو حجم الخرسانة.

كيفية تحديد حجم المبنى؟

تتطلب بعض المهام التطبيقية معرفة حجم المباني والهياكل. وتشمل هذه مشاكل الإصلاح وإعادة البناء وتحديد رطوبة الهواء والقضايا المتعلقة بإمدادات الحرارة والتهوية.

قبل الإجابة على سؤال كيفية حساب حجم المبنى، يتم إجراء القياسات على جانبه الخارجي: مساحة المقطع العرضي (الطول مضروبًا في العرض)، ارتفاع المبنى من أسفل الطابق الأول إلى العلية.

يتم تحديد الأحجام الداخلية للمباني الساخنة باستخدام الخطوط الداخلية.

تركيب أنظمة التدفئة

لا يمكن تصور الشقق والمكاتب الحديثة بدون نظام التدفئة. الجزء الرئيسي من الأنظمة هو البطاريات وأنابيب التوصيل. كيفية حساب حجم نظام التدفئة؟ يجب إضافة الحجم الإجمالي لجميع أقسام التسخين، المشار إليها على المبرد نفسه، إلى حجم الأنابيب.

وفي هذه المرحلة تنشأ مشكلة: كيفية حساب حجم الأنبوب. لنتخيل أن الأنبوب عبارة عن أسطوانة، ويأتي الحل بشكل طبيعي: نستخدم صيغة الأسطوانة. في أنظمة التدفئةتمتلئ الأنابيب بالماء، لذلك عليك أن تعرف المنطقة القسم الداخليأنابيب. للقيام بذلك، نحدد نصف قطرها الداخلي (R). صيغة تحديد مساحة الدائرة: S=πR 2. يتم تحديد الطول الإجمالي للأنابيب حسب طولها في الغرفة.

الصرف الصحي في المنزل - نظام الأنابيب

عند وضع أنابيب الصرف الصحي، من المفيد أيضًا معرفة حجم الأنبوب. في هذه المرحلة مطلوب قطر خارجي، والخطوات مشابهة للخطوات السابقة.

يعد تحديد حجم المعدن الذي يدخل في صناعة الأنابيب مهمة مثيرة للاهتمام أيضًا. هندسيًا، الأنبوب عبارة عن أسطوانة بها فراغات. يعد تحديد مساحة الحلقة الموجودة في مقطعها العرضي مهمة معقدة إلى حد ما، ولكن يمكن حلها. والطريقة الأسهل هي تحديد الحجم الخارجي والداخلي للأنبوب، والفرق بين هذه القيم سيكون حجم المعدن.

تحديد الأحجام في مسائل الفيزياء

أصبحت الأسطورة الشهيرة حول تاج الملك هيرون مشهورة ليس فقط نتيجة لحل مشكلة الاستنتاج "على" ماء نظيف» سرقة المجوهرات. كانت نتيجة النشاط العقلي المعقد لأرخميدس هو تحديد أحجام الأجسام ذات الأشكال الهندسية غير المنتظمة. الفكرة الرئيسية التي استخلصها الفيلسوف هي أن حجم السائل المزاح بواسطة الجسم يساوي حجم الجسم.

في الدراسات المختبرية، يتم استخدام اسطوانة متدرجة (كوب). يتم تحديد حجم السائل (V 1)، ويتم غمر الجسم فيه، ويتم إجراء القياسات الثانوية (V 2). الحجم يساوي الفرق بين القياسات الثانوية والأولية: V t = V 2 - V 1.

يتم استخدام هذه الطريقة لتحديد أحجام الأجسام عند حساب الكثافة الحجمية للمواد غير القابلة للذوبان. إنها مريحة للغاية لتحديد كثافة السبائك.

يمكنك حساب حجم الدبوس باستخدام هذه الطريقة. يبدو من الصعب جدًا تحديد حجم جسم صغير مثل الدبوس أو الحبيبة. لا يمكنك قياسه باستخدام المسطرة، كما أن أسطوانة القياس كبيرة جدًا أيضًا.

ولكن إذا كنت تستخدم عدة دبابيس متطابقة تماما (ن)، فيمكنك استخدام أسطوانة قياس لتحديد حجمها الإجمالي (V t = V 2 - V 1). ثم قم بتقسيم القيمة الناتجة على عدد المسامير. الخامس= الخامس ر\n.

تصبح هذه المهمة واضحة إذا كان من الضروري صب العديد من الكريات من قطعة واحدة كبيرة من الرصاص.

وحدات حجم السائل

يتضمن النظام الدولي للوحدات قياس الأحجام بالمتر المكعب. في الحياة اليومية، يتم استخدام الوحدات غير النظامية في كثير من الأحيان: لتر، مليلتر. عند تحديد كيفية حساب الحجم باللتر يتم استخدام نظام التحويل: 1 م3 = 1000 لتر.

استخدم في الحياة اليوميةالتدابير غير النظامية الأخرى قد تسبب صعوبات. يستخدم البريطانيون البراميل والجالونات والبوشل المألوفة لديهم أكثر.

نظام الترجمة:

المهام مع البيانات غير القياسية

المشكلة 1. كيفية حساب الحجم ومعرفة الارتفاع والمساحة؟ عادة، يتم حل هذه المشكلة عن طريق تحديد حجم طلاء الأجزاء المختلفة بالوسائل الكلفانية. وفي هذه الحالة يتم معرفة مساحة سطح الجزء (S). سمك الطبقة (ح) - الارتفاع. يتم تحديد الحجم بمنتج المساحة والارتفاع: V=Sh.

المشكلة 2. بالنسبة للمكعبات، قد تبدو مشكلة تحديد الحجم مثيرة للاهتمام، من وجهة نظر رياضية، إذا كانت مساحة وجه واحد معروفة. من المعروف أن حجم المكعب هو: V=a3 حيث a هو طول وجهه. مساحة السطح الجانبي للمكعب هي S=a2. وبالاستخراج من المساحة نحصل على طول وجه المكعب. نستخدم صيغة الحجم ونحسب قيمتها.

المهمة 3. احسب حجم الشكل إذا كانت المنطقة معروفة وتم إعطاء بعض المعلمات. ل معلمات إضافيةيمكن تضمين شروط نسب العرض إلى الارتفاع والارتفاعات وأقطار القاعدة وغير ذلك الكثير.

لحل مشاكل معينة، لن تحتاج فقط إلى معرفة صيغ حساب الحجم، ولكن أيضًا الصيغ الهندسية الأخرى.

تحديد حجم الذاكرة

مهمة لا علاقة لها بالهندسة على الإطلاق: تحديد مقدار الذاكرة الأجهزة الإلكترونية. في العالم الحديث المحوسب إلى حد ما، هذه المشكلة ليست زائدة عن الحاجة. فالأجهزة الدقيقة، مثل أجهزة الكمبيوتر الشخصية، لا تتحمل التقريب.

من المفيد معرفة سعة ذاكرة محرك الأقراص المحمول أو أي جهاز تخزين آخر عند نسخ المعلومات ونقلها.

من المهم معرفة مقدار ذاكرة الوصول العشوائي (RAM) والذاكرة الدائمة لجهاز الكمبيوتر الخاص بك. غالبًا ما يواجه المستخدم موقفًا حيث "اللعبة لا تعمل" أو "البرنامج معلق". المشكلة ممكنة تمامًا مع انخفاض الذاكرة.

يتم حساب البايت ومشتقاته (كيلوبايت، ميجابايت، تيرابايت).

1 كيلو بايت = 1024 ب

1 ميجابايت = 1024 كيلو بايت

1 جيجابايت = 1024 ميجابايت

الغرابة في نظام إعادة الحساب هذا تنبع من نظام ترميز المعلومات الثنائية.

حجم ذاكرة جهاز التخزين هو السمة الرئيسية له. من خلال مقارنة حجم المعلومات المنقولة وسعة تخزين محرك الأقراص، يمكنك تحديد إمكانية تشغيله الإضافي.

إن مفهوم "الحجم" واسع النطاق لدرجة أنه لا يمكن فهم تنوعه بشكل كامل إلا من خلال حل المشكلات التطبيقية المثيرة للاهتمام والمثيرة.

مراجعة عامة. صيغ القياس المجسم!

مرحبًا، أصدقائي الأعزاء! قررت في هذه المقالة تقديم لمحة عامة عن مشاكل القياس المجسم التي سيتم حلها امتحان الدولة الموحد في الرياضياتهـ- يجب القول أن المهام الموكلة إلى هذه المجموعة متنوعة تمامًا، ولكنها ليست صعبة. هذه هي مسائل إيجاد الكميات الهندسية: الأطوال، الزوايا، المساحات، الحجوم.

يعتبر: مكعب، مكعبة، المنشور، الهرم، متعدد السطوح المركب، اسطوانة، مخروط، الكرة. الحقيقة المحزنة هي أن بعض الخريجين لا يتعاملون حتى مع مثل هذه المشكلات أثناء الامتحان نفسه، على الرغم من أن أكثر من 50٪ منهم يتم حلها ببساطة، شفهيًا تقريبًا.

أما الباقي فيتطلب القليل من الجهد والمعرفة والتقنيات الخاصة. في المقالات القادمة سننظر في هذه المهام، لا تفوتها، اشترك في تحديثات المدونة.

لحل عليك أن تعرف صيغ المساحات والأحجاممتوازي السطوح، الهرم، المنشور، الاسطوانة، المخروط والكرة. المهام المعقدةلا، يتم حلها جميعًا في 2-3 خطوات، ومن المهم "معرفة" الصيغة التي يجب تطبيقها.

الجميع الصيغ اللازمةمعروضة أدناه:

الكرة أو المجال. السطح الكروي (أحيانًا مجرد كرة) هو الموقع الهندسي للنقاط في الفضاء على مسافة متساوية من نقطة واحدة - مركز الكرة.

حجم الكرةيساوي حجم الهرم الذي قاعدته تساوي مساحة سطح الكرة، والارتفاع هو نصف قطر الكرة

حجم الكرة أقل بمرة ونصف من حجم الأسطوانة المحيطة بها.

يمكن الحصول على مخروط دائري عن طريق تدوير مثلث قائم الزاوية حول أحد أرجله، ولهذا السبب يسمى المخروط الدائري أيضًا بمخروط الثورة. انظر أيضًا مساحة سطح المخروط الدائري

حجم المخروط المستديريساوي ثلث منتج مساحة القاعدة S والارتفاع H:

(H هو ارتفاع حافة المكعب)

متوازي السطوح هو منشور قاعدته متوازي أضلاع. متوازي الأضلاع له ستة وجوه، وكلها متوازيات الأضلاع. يُسمى متوازي السطوح الذي تكون أوجهه الجانبية الأربعة مستطيلة الشكل بمتوازي السطوح المستقيم. ومتوازي السطوح الأيمن الذي تكون أوجهه الستة كلها مستطيلات يسمى مستطيلاً.

حجم متوازي السطوح المستطيليساوي ناتج مساحة القاعدة والارتفاع:

(S هي مساحة قاعدة الهرم، h هو ارتفاع الهرم)

الهرم هو متعدد السطوح له وجه واحد - قاعدة الهرم - مضلع عشوائي، والباقي - وجوه جانبية - مثلثات ذات قمة مشتركة تسمى قمة الهرم.

قسم موازي لقاعدة الهرم يقسم الهرم إلى قسمين. وجزء الهرم الذي بين قاعدته وهذا القسم هو هرم مقطوع.

حجم الهرم المقطوعيساوي ثلث منتج الارتفاع ح (نظام التشغيل)بمجموع مساحات القاعدة العلوية S1 (أبدي)، القاعدة السفلية للهرم المقطوع S2 (ABCDE)والمتوسط المتناسب بينهما .

الخامس=

ن - عدد الجوانب مضلع منتظم- قواعد الهرم المنتظم
أ - جانب مضلع منتظم - قاعدة هرم منتظم
ح - ارتفاع الهرم المنتظم

الهرم الثلاثي المنتظم هو متعدد السطوح له وجه واحد - قاعدة الهرم - مثلث منتظم، والباقي - الأوجه الجانبية - مثلثات متساوية ذات قمة مشتركة. ينزل الارتفاع إلى مركز القاعدة من الأعلى.

حجم الهرم الثلاثي المنتظميساوي ثلث حاصل ضرب مساحة المثلث المنتظم الذي هو القاعدة س (اي بي سي)إلى الارتفاع ح (نظام التشغيل)

أ - جانب مثلث منتظم - قاعدة هرم ثلاثي منتظم
ح - ارتفاع الهرم الثلاثي المنتظم

اشتقاق صيغة حجم رباعي الاسطح