معادلة الطائرة العادية.
تسمى المعادلة المستوية العامة للنموذج معادلة الطائرة العادية، إذا كان طول المتجه 
يساوي واحداً، أي 
، و .
يمكنك غالبًا أن ترى أن المعادلة العادية للمستوى مكتوبة بالشكل . فيما يلي اتجاهات جيب التمام للمتجه العادي لمستوى معين من وحدة الطول، أي و ص- رقم غير سالب يساوي المسافة من نقطة الأصل إلى المستوى.
المعادلة العادية للمستوى في نظام الإحداثيات المستطيل أوكيزيحدد المستوى الذي يتم إزالته من الأصل بمسافة صفي الاتجاه الإيجابي للناقل الطبيعي لهذه الطائرة 
. لو ع = 0، ثم تمر الطائرة عبر نقطة الأصل.
دعونا نعطي مثالا على معادلة المستوى العادي.
دع المستوى محدد في نظام إحداثيات مستطيل أوكيزمعادلة المستوى العام للنموذج 
. هذه المعادلة العامة للمستوى هي المعادلة العادية للمستوى. في الواقع، المتجه الطبيعي لهذه الطائرة هو 
طوله يساوي الوحدة، منذ ذلك الحين 
.
تتيح لك معادلة المستوى في الصورة العادية إيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى.
المسافة من نقطة إلى الطائرة.
المسافة من نقطة إلى مستوى هي أصغر المسافات بين هذه النقطة ونقاط المستوى. ومن المعروف أن مسافةمن نقطة إلى مستوى يساوي طول العمودي المرسوم من هذه النقطة إلى المستوى.
إذا وأصل الإحداثيات يقع على جوانب مختلفة من المستوى، في الحالة المعاكسة. المسافة من نقطة إلى مستوى هي
الترتيب المتبادل للطائرات. شروط التوازي والتعامد بين المستويات.
المسافة بين الطائرات المتوازية
المفاهيم ذات الصلة
الطائرات متوازية ، لو
أو 
(منتج متجه)
الطائرات متعامدة، لو
أو 
. (المنتج العددي)
مباشرة في الفضاء. أنواع مختلفةمعادلات الخط المستقيم.
معادلات الخط المستقيم في الفضاء – معلومات أولية.
معادلة الخط المستقيم على المستوى أوكسيهي معادلة خطية في متغيرين سو ذ، والتي تتحقق بإحداثيات أي نقطة على الخط ولا تتحقق بإحداثيات أي نقاط أخرى. أما بالنسبة للخط المستقيم في الفضاء ثلاثي الأبعاد، فإن الوضع مختلف قليلاً - فلا توجد معادلة خطية بثلاثة متغيرات س, ذو ض، والتي لن يتم تلبيتها إلا بإحداثيات النقاط على الخط المحدد في نظام الإحداثيات المستطيل أوكيز. في الواقع، معادلة من الشكل أين س, ذو ضهي المتغيرات، و أ, ب, جو د- بعض الأرقام الحقيقية، و أ, فيو معلا تساوي الصفر في نفس الوقت، يمثل معادلة المستوى العام. ثم يطرح السؤال: كيف يمكن وصف الخط المستقيم في نظام إحداثي مستطيل؟ أوكيز»?
والإجابة على ذلك موجودة في الفقرات التالية من المقال.
معادلات الخط المستقيم في الفضاء هي معادلات مستويين متقاطعين.
دعونا نتذكر بديهية واحدة: إذا كان لطائرتين في الفضاء نقطة مشتركة، فإن لديهما خطًا مستقيمًا مشتركًا تقع عليه جميع النقاط المشتركة لهذه المستويات. وهكذا يمكن تعريف الخط المستقيم في الفضاء من خلال تحديد مستويين متقاطعين على طول هذا الخط المستقيم.
دعونا نترجم العبارة الأخيرة إلى لغة الجبر.
دع نظام الإحداثيات المستطيل يكون ثابتًا في الفضاء ثلاثي الأبعاد أوكيزومن المعلوم أن الخط المستقيم أهو خط تقاطع طائرتين والتي تتوافق مع المعادلات العامة لمستوى النموذج و، على التوالي. وبما أنه مستقيم أهي مجموعة جميع النقاط المشتركة للمستويات، ومن ثم فإن إحداثيات أي نقطة على الخط a ستحقق المعادلة والمعادلة في نفس الوقت، ولن تحقق إحداثيات أي نقطة أخرى معادلتي المستويين في نفس الوقت. وبالتالي، إحداثيات أي نقطة على الخط أفي نظام الإحداثيات مستطيلة أوكيزيمثل حل خاص للنظام المعادلات الخطية
عطوف 
، أ قرار مشتركأنظمة المعادلات 
يحدد إحداثيات كل نقطة على الخط أأي أنه يحدد خطًا مستقيمًا أ.
إذن، خط مستقيم في الفضاء في نظام إحداثيات مستطيل أوكيزيمكن أن تعطى من خلال نظام معادلات من طائرتين متقاطعتين 
.
فيما يلي مثال على تحديد خط مستقيم في الفضاء باستخدام نظام من معادلتين - 
.
يعد وصف الخط المستقيم بمعادلات طائرتين متقاطعتين أمرًا ممتازًا إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع الخط والمستوى، وأيضا متى إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع خطين في الفضاء.
نوصي بمزيد من الدراسة لهذا الموضوع من خلال الرجوع إلى المقال معادلات الخط في الفضاء - معادلات طائرتين متقاطعتين. فهو يوفر معلومات أكثر تفصيلاً، ويناقش بالتفصيل الحلول للأمثلة والمشكلات النموذجية، ويعرض أيضًا طريقة للانتقال إلى معادلات الخط المستقيم في مساحة من نوع مختلف.
وتجدر الإشارة إلى أن هناك مختلفة طرق تحديد الخط في الفضاء، ومن الناحية العملية، غالبًا ما يتم تعريف الخط المستقيم ليس من خلال طائرتين متقاطعتين، ولكن من خلال المتجه الموجه للخط المستقيم ونقطة تقع على هذا الخط المستقيم. في هذه الحالات، يكون من الأسهل الحصول على المعادلات الأساسية والبارامترية لخط في الفضاء. وسنتحدث عنهم في الفقرات التالية.
المعادلات البارامترية للخط في الفضاء.
المعادلات البارامترية للخط في الفضاءيبدو مثل 
,
أين س 1 ,ذ 1 و ض 1 - إحداثيات نقطة ما على الخط، أ س , أ ذو أ ض (أ س , أ ذو أ ضلا تساوي الصفر في نفس الوقت) - المقابلة إحداثيات المتجه الموجه للخط المستقيم، a هي بعض المعلمات التي يمكن أن تأخذ أي قيمة حقيقية.
بالنسبة لأي قيمة للمعلمة، باستخدام المعادلات البارامترية لخط في الفضاء، يمكننا حساب ثلاثة أرقام،
وسوف تتوافق مع نقطة ما على الخط (ومن هنا جاء اسم هذا النوع من المعادلات الخطية). على سبيل المثال، متى
من المعادلات البارامترية للخط المستقيم في الفضاء نحصل على الإحداثيات س 1
, ذ 1
و ض 1
: 
.
على سبيل المثال، فكر في خط مستقيم محدد بواسطة المعادلات البارامترية للنموذج 
. يمر هذا الخط عبر نقطة، ومتجه الاتجاه لهذا الخط له إحداثيات.
ونوصي بمواصلة دراسة الموضوع من خلال الرجوع إلى المقال المعادلات البارامترية للخط في الفضاء. يوضح اشتقاق المعادلات البارامترية لخط في الفضاء، ويفحص حالات خاصة للمعادلات البارامترية لخط في الفضاء، ويقدم رسومًا توضيحية، ويقدم حلولًا تفصيلية للمشكلات المميزة، ويشير إلى العلاقة بين المعادلات البارامترية للخط وأنواع أخرى من المعادلات البارامترية للخط في الفضاء. معادلات الخط.
المعادلات الكنسية للخط المستقيم في الفضاء.
وبعد حل كل من المعادلات البارامترية للخط المستقيم من النموذج 
فيما يتعلق بالمعلمة، فمن السهل الذهاب إليها المعادلات القانونية للخط المستقيم في الفضاءعطوف 
.
تحدد المعادلات الأساسية للخط في الفضاء الخط الذي يمر عبر نقطة ما 
، ومتجه الاتجاه للخط المستقيم هو المتجه 
. على سبيل المثال، معادلات الخط المستقيم في الصورة المتعارف عليها 
تتوافق مع خط يمر عبر نقطة في الفضاء بإحداثيات، فإن متجه الاتجاه لهذا الخط له إحداثيات.
تجدر الإشارة إلى أن واحدًا أو اثنين من الأرقام في المعادلات القانونية للخط يمكن أن يساوي الصفر (جميع الأرقام الثلاثة لا يمكن أن تساوي الصفر في نفس الوقت، نظرًا لأن متجه الاتجاه للخط لا يمكن أن يكون صفرًا). ثم تدوين النموذج 
يعتبر رسميًا (نظرًا لأن مقامات كسر واحد أو كسرين سيكون لها أصفار) ويجب أن تُفهم على أنها 
، أين.
إذا كان أحد الأرقام في المعادلات القانونية لخط ما يساوي صفرًا، فإن الخط يقع في أحد مستويات الإحداثيات، أو في مستوى موازٍ له. إذا كان اثنان من الأرقام صفرًا، فإن الخط إما يتطابق مع أحد محاور الإحداثيات أو يكون موازيًا له. على سبيل المثال، خط يتوافق مع المعادلات القانونية لخط في مساحة النموذج 
، يكمن في الطائرة ض=-2، وهو موازي للمستوى الإحداثي أوكسي، ومحور الإحداثيات أوييتم تحديده بواسطة المعادلات الأساسية.
للحصول على الرسوم التوضيحية لهذه الحالات، اشتقاق المعادلات القانونية لخط في الفضاء، والحلول التفصيلية للأمثلة والمسائل النموذجية، وكذلك الانتقال من المعادلات القانونية للخط إلى معادلات أخرى لخط في الفضاء، راجع شرط المعادلات القانونية للخط في الفضاء.
المعادلة العامة للخط المستقيم. الانتقال من المعادلة العامة إلى المعادلة القانونية.
| " |
في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على المعادلة العادية للطائرة. دعونا نعطي أمثلة على بناء معادلة عادية للمستوى على أساس زاوية ميل المتجه العمودي للمستوى من المحاور الثور، أوي، أوزوبالمسافة صمن الأصل إلى الطائرة. دعونا نقدم طريقة لتقليل المعادلة العامة للخط إلى الشكل الطبيعي. دعونا نفكر في الأمثلة العددية.
دعونا نعطي نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل في الفضاء. ثم معادلة الطائرة العادية Ω يتم تمثيلها بالصيغة التالية:
| xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0, | (1) |
أين ص- المسافة من نقطة الأصل إلى المستوى Ω ، أ α,β,γ - هذه هي الزوايا الواقعة بين متجه الوحدة ن، متعامد مع الطائرة Ω وتنسيق المحاور الثور، أوي، أوزعلى التوالي (الشكل 1). (لو ص>0، ثم المتجه نموجهة نحو الطائرة Ω ، إذا مر المستوى بأصل الإحداثيات، فإن اتجاه المتجه نيتم اختياره بشكل تعسفي).
دعونا نستنتج الصيغة (1). دعونا نعطي نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل ومستوى في الفضاء Ω (رسم بياني 1). دعونا نرسم خطًا مستقيمًا عبر نقطة الأصل س, عمودي على الطائرة Ω ، والإشارة إلى نقطة التقاطع بواسطة ر. على هذا الخط نختار متجه الوحدة ن، مع الاتجاه الذي يتزامن مع المتجه. (إذا كانت النقاط ياو رتتزامن، ثم الاتجاه نيمكن اتخاذها بشكل تعسفي).
دعونا نعبر عن معادلة الطائرة Ω من خلال المعلمات التالية: طول القطعة وزوايا الميل α, β, γ بين ناقلات نوالمحاور الثور، أوي، أوز، على التوالى.
منذ ناقلات نهو متجه الوحدة، ثم توقعاته على الثور، أوي، أوزسيكون لها الإحداثيات التالية:
المنتج النقطي للمتجهات نولها النموذج التالي:
معتبرا أن ن ={cosα، cosβ، cosγ}, 
، سنحصل على:
| xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0. | (7) |
لقد حصلنا على المعادلة العادية للطائرة Ω . تسمى المعادلة (7) (أو (1)) أيضًا المعادلة الطبيعية للطائرة. المتجه نمُسَمًّى ناقلات الطائرة العادية.
كما ذكرنا أعلاه، العدد صفي المعادلة (1) تبين مسافة المستوى من نقطة الأصل. ولذلك، بوجود المعادلة العادية للمستوى، فمن السهل تحديد مسافة المستوى من نقطة الأصل. للتحقق مما إذا كانت معادلة مستوية معينة معادلة في الصورة العادية، يتعين عليك التحقق من طول المتجه العمودي لهذا المستوى وإشارة الرقم ص، أي. إذا | ن|=1 و ص>0، فإن هذه المعادلة هي معادلة عادية (مطبيعية) للمستوى.
مثال 1. يتم إعطاء معادلة المستوى التالي:
دعونا نحدد طول المتجه ن:
وبما أن المعادلتين (1) و (8) يجب أن تحددا نفس الخط (البيان 2 من مقال "المعادلة العامة للمستوى")، فهناك مثل هذا الرقم ر، ماذا
دعونا نبسط التعبير ونجده ر:
| ر 2 أ 2 +ر 2 ب 2 +ر 2 ج 2 =ر 2 (أ 2 +ب 2 +ج 2)=1, |
 .
| (11) |
المقام في (11) يختلف عن الصفر، لأن واحد على الأقل من المعاملات أ، ب، جلا يساوي الصفر (وإلا فإن (8) لن يمثل معادلة الخط المستقيم).
دعونا معرفة ما علامة عليه ر. ولننتبه إلى المساواة الرابعة في (9). لأن صهي المسافة من نقطة الأصل إلى المستوى، إذن ص≥0. ثم المنتج ديجب أن يكون لديك علامة سلبية. أولئك. لافتة رفي (11) ينبغي أن يكون هناك علامة المعاكس د.
الاستبدال في (١) بدلاً من ذلك cosα وcosβ وcosγ و-rالقيم من (9)، نحصل عليها ضريبة + tBy + tCz + tD=0. أولئك. لجلب معادلة المستوى العام إلى الشكل الطبيعي، تحتاج إلى ضرب المعادلة المعطاة بالعامل (11). يسمى المضاعف (11). عامل التطبيع.
مثال 2. المعادلة العامة للمستوى معطاة
لأن د> 0، ثم العلامة رسلبي:
لاحظ أن الرقم هو المسافة من نقطة الأصل إلى الخط المستقيم (12).
- المعادلة العامة للمستوى في الفضاء
ناقل الطائرة العادي
المتجه العادي للمستوى هو متجه غير صفري متعامد مع كل متجه يقع في المستوى.
معادلة المستوى الذي يمر عبر نقطة بمتجه عادي معين
- معادلة المستوى الذي يمر عبر النقطة M0 بمتجه عادي معين
ناقلات الاتجاه الطائرة
نحن نسمي متجهين غير خطيين موازيين للمستوى بمتجهات الاتجاه للمستوى
معادلات المستوى البارامترية
– المعادلة البارامترية للمستوى في شكل متجه
- المعادلة البارامترية للمستوى في الإحداثيات
معادلة المستوى من خلال نقطة معينة ومتجهين الاتجاه
-نقطة ثابتة
-فقط نقطة لول
- متحد المستوى، وهو ما يعني بهم عمل مختلطيساوي 0.
معادلة الطائرة التي تمر عبر ثلاث نقاط معينة
- معادلة المستوى من خلال ثلاث نقاط
معادلة الطائرة في قطاعات
- معادلة الطائرة في قطاعات
دليل
لإثبات ذلك، نستخدم حقيقة أن المستوى يمر عبر A، B، C، والمتجه العمودي
لنعوض بإحداثيات النقطة والمتجه n في معادلة المستوى بمتجه عادي
دعونا نقسم كل شيء ونحصل عليه
لذلك يذهب.
معادلة الطائرة العادية
- الزاوية بين الثور والمتجه العمودي للمستوى المنبثق من O.
- الزاوية بين oy والمتجه العمودي للمستوى المنبثق من O.
- الزاوية بين oz والمتجه الطبيعي للمستوى المنبثق من O.
- المسافة من نقطة الأصل إلى المستوى.
دليل أو بعض الهراء من هذا القبيل
العلامة مقابل د.
وبالمثل بالنسبة لجيب التمام المتبقية. نهاية.
المسافة من النقطة إلى المستوى
النقطة S، الطائرة
- المسافة الموجهة من النقطة S إلى المستوى
إذا كان S وO يقعان على جانبين متقابلين من المستوى
إذا كان S وO يقعان على نفس الجانب
اضرب ب ن 
الموضع النسبي لخطين في الفضاء
الزاوية بين الطائرات
عند التقاطع يتكون زوجان من الزوايا العمودية ثنائية السطوح، أصغرها تسمى الزاوية بين المستويات
خط مستقيم في الفضاء
يمكن تحديد خط مستقيم في الفضاء على أنه
تقاطع طائرتين:
المعادلات البارامترية للخط
– المعادلة البارامترية للخط المستقيم في شكل متجه
- المعادلة البارامترية للخط المستقيم في الإحداثيات
المعادلة الكنسية
- المعادلة القانونية للخط المستقيم.
معادلة الخط الذي يمر عبر نقطتين معلومتين
- المعادلة الأساسية لخط مستقيم في شكل متجه؛
الموضع النسبي لخطين في الفضاء
الموقع النسبي للخط المستقيم والمستوى في الفضاء
الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمستوى
المسافة من نقطة إلى خط في الفضاء
a هو متجه الاتجاه لخطنا المستقيم.
- نقطة تعسفية تنتمي إلى خط معين
- النقطة التي نبحث عنها عن بعد.
المسافة بين خطين متقاطعين
المسافة بين خطين متوازيين
M1 - النقطة التي تنتمي إلى السطر الأول
M2 - النقطة التي تنتمي إلى السطر الثاني
منحنيات وأسطح من الدرجة الثانية
القطع الناقص عبارة عن مجموعة من النقاط على المستوى، ومجموع المسافات التي تصل إلى نقطتين محددتين (البؤرتين) هو قيمة ثابتة.
معادلة القطع الناقص الكنسي
استبدل ب
اقسم على
خصائص القطع الناقص
التقاطع مع محاور الإحداثيات
أصول
التماثل النسبي
القطع الناقص هو منحنى يقع في جزء محدود من المستوى
يمكن الحصول على القطع الناقص من الدائرة عن طريق تمديدها أو ضغطها
المعادلة البارامترية للقطع الناقص:
- مديرات المدرسة
القطع الزائد
القطع الزائد عبارة عن مجموعة من النقاط على المستوى الذي يكون فيه معامل الفرق في المسافات إلى نقطتين محددتين (البؤر) قيمة ثابتة (2أ)
نحن نفعل نفس الشيء كما هو الحال مع القطع الناقص، نحصل عليه
استبدل ب
اقسم على
خصائص القطع الزائد
;
- مديرات المدرسة
الخط المقارب
الخط المقارب هو خط مستقيم يقترب منه المنحنى بلا حدود، ويبتعد إلى ما لا نهاية.
القطع المكافئ
خصائص شبه العمل
العلاقة بين القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ.
العلاقة بين هذه المنحنيات لها تفسير جبري: فهي جميعها معطاة بمعادلات من الدرجة الثانية. في أي نظام إحداثي، تكون معادلات هذه المنحنيات بالشكل التالي: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0، حيث a, b, c, d, e, f هي أرقام
تحويل أنظمة الإحداثيات الديكارتية المستطيلة
نقل نظام الإحداثيات الموازية
–O’ في نظام الإحداثيات القديم
- إحداثيات النقطة في نظام الإحداثيات القديم
- إحداثيات النقطة في نظام جديدالإحداثيات
إحداثيات النقطة في نظام الإحداثيات الجديد.
الدوران في نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيلة
– نظام الإحداثيات الجديد
مصفوفة الانتقال من الأساس القديم إلى الأساس الجديد
- (تحت العمود الأول أنا’
، تحت الثاني - ي’
) مصفوفة الانتقال من الأساس أنا,يإلى القاعدة أنا’
,ي’
الحالة العامة
تدوير نظام الإحداثيات
تدوير نظام الإحداثيات
ترجمة الأصل الموازي
1 خيار
الخيار 2
المعادلة العامة لخطوط الدرجة الثانية وإرجاعها إلى الشكل القانوني
– الشكل العاممعادلات منحنى الدرجة الثانية
تصنيف منحنيات الدرجة الثانية
بيضاوي
المقاطع الإهليلجية
- الشكل البيضاوي
- الشكل البيضاوي
القطع الناقص للثورة
تكون الأشكال الإهليلجية للثورة إما كروية مفلطحة أو ممتدة، اعتمادًا على ما ندور حوله.
سطح زائد ذو شريط واحد
أقسام القطع الزائد ذو الشريط الواحد
- القطع الزائد مع المحور الحقيقي
- القطع الزائد مع المحور الحقيقي x
والنتيجة هي القطع الناقص لأي ح. لذلك يذهب.
القطع الزائد أحادية الشريط للثورة
يمكن الحصول على قطعة زائدة من ورقة واحدة عن طريق تدوير القطع الزائد حول محورها التخيلي.
سطح زائد ذو ورقتين
أقسام سطح زائد ذو صفحتين 
- الغلو في الفعل . axisoz
– القطع الزائد مع axisoz الحقيقي
مخروط 
- زوج من الخطوط المتقاطعة
- زوج من الخطوط المتقاطعة
قطع مكافئ بيضاوي الشكل 
- القطع المكافئ
- القطع المكافئ
التناوب
إذا كان القطع المكافئ الإهليلجي هو سطح دوران يتكون من دوران القطع المكافئ حول محور التماثل.
القطع المكافئ الزائدي
القطع المكافئ
- القطع المكافئ
h>0 قطع زائد مع محور حقيقي موازٍ لـ x
ح<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох
نقصد بالأسطوانة السطح الذي سيتم الحصول عليه عندما يتحرك خط مستقيم في الفضاء، دون تغيير اتجاهه، فإذا تحرك الخط المستقيم بالنسبة إلى أوز، فإن معادلة الأسطوانة هي معادلة المقطع بالمستوى xoy.
اسطوانة بيضاوية
اسطوانة زائدية
اسطوانة مكافئة
المولدات المستقيمة لأسطح الدرجة الثانية
تسمى الخطوط المستقيمة التي تقع بالكامل على السطح بالمولدات المستقيمة للسطح.
أسطح الثورة
اللعنة عليك أيها المصاص
عرض
عرضدعنا نطلق على القاعدة التي بموجبها يرتبط كل عنصر من عناصر المجموعة A بعنصر واحد أو أكثر من عناصر المجموعة B. إذا تم تعيين عنصر واحد لكل مجموعة B، فسيتم استدعاء التعيين خالية من الغموض، خلاف ذلك غامض.
تحويلالمجموعة عبارة عن تعيين واحد لواحد للمجموعة على نفسها
حقنة
الحقن أو التعيين الفردي للمجموعة A للمجموعة B
(عناصر مختلفة من a تتوافق مع عناصر مختلفة من B) على سبيل المثال y=x^2
جراحة
اجتياح أو تعيين المجموعة A إلى المجموعة B
لكل B هناك واحد على الأقل A (على سبيل المثال جيب)
كل عنصر من عناصر المجموعة B يتوافق مع عنصر واحد فقط من المجموعة A. (على سبيل المثال y=x)
سنتناول في هذا الدرس كيفية استخدام المحدد للإنشاء معادلة الطائرة. إذا كنت لا تعرف ما هو المحدد، فانتقل إلى الجزء الأول من الدرس - "المصفوفات والمحددات". وإلا فإنك تخاطر بعدم فهم أي شيء في مادة اليوم.
معادلة الطائرة باستخدام ثلاث نقاط
لماذا نحتاج إلى معادلة مستوية على الإطلاق؟ الأمر بسيط: بمعرفة ذلك، يمكننا بسهولة حساب الزوايا والمسافات وغيرها من الأشياء في المسألة C2. بشكل عام، بدون هذه المعادلة، لا يمكنك الاستغناء عنها. لذلك نقوم بصياغة المشكلة:
مهمة. يتم إعطاء ثلاث نقاط في الفضاء لا تقع على نفس الخط. إحداثياتهم:
م = (س 1، ص 1، ض 1)؛
ن = (س 2، ص 2، ض 2)؛
ك = (س 3، ص 3، ض 3)؛تحتاج إلى إنشاء معادلة للطائرة التي تمر عبر هذه النقاط الثلاث. علاوة على ذلك، يجب أن تبدو المعادلة كما يلي:
الفأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0
حيث الأرقام A وB وC وD هي المعاملات التي يجب إيجادها في الواقع.
حسنًا، كيف يمكن الحصول على معادلة المستوى إذا كانت إحداثيات النقاط معروفة فقط؟ أسهل طريقة هي استبدال الإحداثيات في المعادلة Ax + By + Cz + D = 0. وستحصل على نظام من ثلاث معادلات يمكن حلها بسهولة.
يجد العديد من الطلاب هذا الحل مملاً للغاية وغير موثوق به. أظهر امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات العام الماضي أن احتمال ارتكاب خطأ حسابي مرتفع حقًا.
ولذلك، بدأ المعلمون الأكثر تقدما في البحث عن حلول أبسط وأكثر أناقة. ووجدوها! صحيح أن التقنية التي تم الحصول عليها تتعلق إلى حد ما بالرياضيات العليا. شخصيًا، اضطررت إلى البحث في القائمة الفيدرالية للكتب المدرسية بأكملها للتأكد من أن لدينا الحق في استخدام هذه التقنية دون أي مبرر أو دليل.
معادلة المستوى من خلال المحدد
كفى من الكلمات، فلنبدأ العمل. لنبدأ بنظرية حول كيفية ارتباط محدد المصفوفة ومعادلة المستوى.
نظرية. دع إحداثيات النقاط الثلاث التي يجب رسم المستوى من خلالها: M = (x 1، y 1، z 1)؛ ن = (س 2، ص 2، ض 2)؛ ك = (س 3، ص 3، ض 3). ومن ثم يمكن كتابة معادلة هذا المستوى من خلال المحدد:
على سبيل المثال، دعونا نحاول العثور على زوج من المستويات التي تحدث بالفعل في المسائل C2. انظر إلى مدى سرعة حساب كل شيء:
أ 1 = (0، 0، 1)؛
ب = (1، 0، 0)؛
ج 1 = (1، 1، 1)؛
نؤلف محددًا ونساويه بالصفر:
نقوم بتوسيع المحدد:
أ = 1 1 (ض − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
ب = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
د = أ − ب = ض − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
د = 0 ⇒ س − ص + ض − 1 = 0;
كما ترون، عند حساب الرقم d، قمت "بتمشيط" المعادلة قليلاً حتى تكون المتغيرات x وy وz بالتسلسل الصحيح. هذا كل شئ! المعادلة المستوية جاهزة!
مهمة. اكتب معادلة المستوى الذي يمر بالنقاط:
أ = (0، 0، 0)؛
ب 1 = (1، 0، 1)؛
د 1 = (0، 1، 1)؛
نستبدل على الفور إحداثيات النقاط في المحدد:
نقوم بتوسيع المحدد مرة أخرى:
أ = 1 1 ض + 0 1 س + 1 0 ص = ض؛
ب = 1 1 س + 0 0 ض + 1 1 ص = س + ص;
د = أ − ب = ض − (x + y ) = ض − x − y;
د = 0 ⇒ ض − س − ص = 0 ⇒ س + ص − ض = 0;
وبذلك يتم الحصول على معادلة المستوى مرة أخرى! مرة أخرى، في الخطوة الأخيرة كان علينا تغيير العلامات الموجودة فيه للحصول على صيغة أكثر "جمالاً". ليس من الضروري على الإطلاق القيام بذلك في هذا الحل، ولكن لا يزال يوصى به - لتبسيط الحل الإضافي للمشكلة.
كما ترون، أصبح تكوين معادلة المستوى أسهل بكثير الآن. نعوض بالنقاط في المصفوفة، ونحسب المحدد - وهذا كل شيء، المعادلة جاهزة.
هذا يمكن أن ينهي الدرس. ومع ذلك، ينسى العديد من الطلاب باستمرار ما هو موجود داخل المحدد. على سبيل المثال، أي سطر يحتوي على x 2 أو x 3، وأي سطر يحتوي على x فقط. لتوضيح هذا الأمر حقًا، دعونا ننظر إلى مصدر كل رقم.
من أين تأتي الصيغة مع المحدد؟
لذا، دعونا نكتشف من أين تأتي هذه المعادلة القاسية مع المحدد. سيساعدك هذا على تذكرها وتطبيقها بنجاح.
يتم تعريف جميع المستويات التي تظهر في المشكلة C2 بثلاث نقاط. يتم دائمًا تحديد هذه النقاط على الرسم، أو حتى الإشارة إليها مباشرةً في نص المشكلة. على أية حال، لإنشاء معادلة سنحتاج إلى كتابة إحداثياتها:
م = (س 1، ص 1، ض 1)؛
ن = (س 2، ص 2، ض 2)؛
ك = (س 3، ص 3، ض 3).
لنفكر في نقطة أخرى على المستوى بإحداثيات عشوائية:
تي = (س، ص، ض)
خذ أي نقطة من النقاط الثلاث الأولى (على سبيل المثال، النقطة M) وارسم متجهات منها إلى كل نقطة من النقاط الثلاث المتبقية. نحصل على ثلاثة ناقلات:
MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).
الآن دعونا نكوّن مصفوفة مربعة من هذه المتجهات ونساوي محددها بالصفر. ستصبح إحداثيات المتجهات صفوفًا من المصفوفة - وسنحصل على المحدد المحدد في النظرية:
تعني هذه الصيغة أن حجم متوازي السطوح المبني على المتجهات MN وMK وMT يساوي صفرًا. وبالتالي، فإن المتجهات الثلاثة جميعها تقع في نفس المستوى. على وجه الخصوص، النقطة العشوائية T = (x, y, z) هي بالضبط ما كنا نبحث عنه.
استبدال نقاط وخطوط المحدد
تتمتع المحددات بالعديد من الخصائص الرائعة التي تجعل الأمر أسهل حل المشكلة C2. على سبيل المثال، لا يهمنا من أي نقطة نرسم المتجهات. ولذلك، فإن المحددات التالية تعطي نفس المعادلة المستوية المذكورة أعلاه:
يمكنك أيضًا تبديل خطوط المحدد. وستبقى المعادلة دون تغيير. على سبيل المثال، يحب العديد من الأشخاص كتابة سطر بإحداثيات النقطة T = (x; y; z) في الأعلى. من فضلك، إذا كان ذلك مناسبًا لك:
يرتبك بعض الناس من حقيقة أن أحد الخطوط يحتوي على متغيرات x و y و z والتي لا تختفي عند استبدال النقاط. لكن لا ينبغي أن يختفوا! استبدال الأرقام في المحدد، يجب أن تحصل على هذا البناء:
ثم يتم توسيع المحدد حسب الرسم البياني الموضح في بداية الدرس ويتم الحصول على المعادلة القياسية للمستوى:
الفأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0
نلقي نظرة على مثال. إنها الأخيرة في درس اليوم. سأقوم بتبديل الخطوط عمدًا للتأكد من أن الإجابة ستعطي نفس معادلة المستوى.
مهمة. اكتب معادلة المستوى الذي يمر بالنقاط:
ب 1 = (1، 0، 1)؛
ج = (1، 1، 0)؛
د 1 = (0، 1، 1).
ولذلك، فإننا نعتبر 4 نقاط:
ب 1 = (1، 0، 1)؛
ج = (1، 1، 0)؛
د 1 = (0، 1، 1)؛
تي = (س، ص، ض).
أولاً، لننشئ محددًا قياسيًا ونساويه بالصفر:
نقوم بتوسيع المحدد:
أ = 0 1 (ض − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
ب = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
د = أ − ب = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
د = 0 ⇒ س + ص + ض − 2 = 0;
هذا كل شيء، لقد حصلنا على الإجابة: x + y + z − 2 = 0.
الآن دعونا نعيد ترتيب سطرين في المحدد ونرى ما سيحدث. على سبيل المثال، لنكتب سطرًا يحتوي على المتغيرات x، y، z ليس في الأسفل، بل في الأعلى:
نقوم مرة أخرى بتوسيع المحدد الناتج:
أ = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
ب = (ض − 1) 1 0 + ص (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = ص;
د = أ − ب = 2 − س − ض − ص;
د = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
لقد حصلنا على نفس المعادلة المستوية تمامًا: x + y + z − 2 = 0. وهذا يعني أنها لا تعتمد حقًا على ترتيب الصفوف. كل ما تبقى هو كتابة الجواب.
إذن نحن مقتنعون بأن معادلة المستوى لا تعتمد على تسلسل الخطوط. يمكننا إجراء حسابات مماثلة وإثبات أن معادلة المستوى لا تعتمد على النقطة التي نطرح إحداثياتها من النقاط الأخرى.
في المشكلة المذكورة أعلاه، استخدمنا النقطة B 1 = (1، 0، 1)، ولكن كان من الممكن أن نأخذ C = (1، 1، 0) أو D 1 = (0، 1، 1). بشكل عام، أي نقطة ذات إحداثيات معروفة تقع على المستوى المطلوب.
1. معادلة المستوى العام
تعريف. المستوى هو سطح جميع نقاطه تحقق المعادلة العامة: Ax + By + Cz + D = 0، حيث A، B، C هي إحداثيات المتجه
N = Ai + Bj + Ck هو المتجه الطبيعي للمستوى. الحالات الخاصة التالية ممكنة:
أ = 0 – مستوى موازٍ لمحور الثور
B = 0 - مستوى موازٍ لمحور Oy C = 0 - مستوى موازٍ لمحور Oz
D = 0 - تمر الطائرة عبر نقطة الأصل
A = B = 0 – المستوى موازي لمستوى xOy A = C = 0 – المستوى موازي لمستوى xOz B = C = 0 – المستوى موازي لمستوى yOz A = D = 0 – المستوى يمر عبر الثور محور
B = D = 0 – يمر المستوى عبر محور Oy C = D = 0 – يمر المستوى عبر محور Oz
A = B = D = 0 – المستوى يتزامن مع المستوى xОу A = C = D = 0 – المستوى يتزامن مع المستوى xOz B = C = D = 0 – المستوى يتزامن مع المستوى yOz
2. المعادلة السطحية في الفضاء
تعريف. أي معادلة تتعلق بإحداثيات x، y، z لأي نقطة على سطح ما هي معادلة ذلك السطح.
3. معادلة المستوى الذي يمر بثلاث نقاط
لكي يمكن رسم مستوى واحد عبر أي ثلاث نقاط في الفضاء، من الضروري ألا تقع هذه النقاط على خط مستقيم واحد.
النظر في النقاط M1 (x1، y1، z1)، M2 (x2، y2، z2)، M3 (x3، y3، z3) في النظام الديكارتي العام
الإحداثيات |
||||||
من أجل نقطة تعسفية M (x، y، z) |
تكمن في نفس الطائرة مع النقاط |
|||||
M 1 , M 2 , M 3 من الضروري أن تكون المتجهات M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M متحدة المستوى، أي. |
||||||
M1 M = ( x − x1 ; y − y1 ; z − z1 ) |
||||||
(م 1 م 2 , م 1 م 3 , م 1 م ) = 0. وهكذا، م 1 م 2 |
= ( س 2 − س 1 ; ص 2 |
− ص 1 ; ض 2 - ض 1) |
||||
م1 م3 |
= ( س 3 − س 1 ; ص 3 − ص 1 ; ض 3 − ض 1) |
|||||
س−x1 |
ص−y1 |
ض - ض1 |
||||
معادلة الطائرة التي تمر بثلاث نقاط: |
س 2 - س 1 |
ص 2 - ص 1 |
ض 2 - ض 1 |
|||
س 3 - س 1 |
ص 3 – ص 1 |
ض 3 - ض 1 |
||||
4. معادلة المستوى بناءً على نقطتين ومتجه على خط واحد مع المستوى
دع النقاط M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) والمتجهات = (a 1, a 2, a 3) معطاة.
لنقم بإنشاء معادلة لمستوى يمر عبر هاتين النقطتين M1 وM2 بشكل تعسفي
النقطة M(x, y, z) موازية للمتجه a. |
||||||||||
المتجهات M1 M = ( x − x1 ; y − y1 ; z − z1 ) |
والمتجه أ = (أ، أ |
لا بد وأن |
||||||||
م 1M 2 = ( س 2 − س 1 ; ص 2 − ص 1 ; ض 2 − ض 1) |
||||||||||
س−x1 |
ص−y1 |
ض - ض1 |
||||||||
متحد المستوى، أي (م 1 م، م 1 م 2، أ) = 0. معادلة المستوى: |
س 2 - س 1 |
ص 2 - ص 1 |
ض 2 - ض 1 |
|||||||
5. معادلة المستوى باستخدام نقطة واحدة ومتجهين على خط واحد مع المستوى
لنفترض أن المتجهين a = (a 1، a 2، a 3) و b = (b 1، b 2، b 3)، مستويين على خط واحد. ثم بالنسبة لنقطة عشوائية M(x, y, z) تنتمي إلى المستوى، يجب أن تكون المتجهات a، b، MM 1 متحدة المستوى.
6. معادلة المستوى بالنقطة والمتجه العادي
نظرية. إذا أعطيت نقطة M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) في الفضاء، فإن معادلة المستوى الذي يمر عبر النقطة M 0 عمودي على المتجه العادي N (A , B , C ) يكون لها الشكل: A (x − x 0 ) + B (y − y 0 ) + C (z − z 0 ) = 0 .
7. معادلة الطائرة في القطاعات
إذا كان في المعادلة العامة Ax + By + Cz + D = 0 نقسم الطرفين على (-D)
س− |
ذ - |
ض − 1 = 0 , استبدال − |
ج- نحصل على معادلة المستوى |
|||||||||||||||||||
في قطاعات: |
1 . الأرقام a، b، c هي نقاط تقاطع المستوى، على التوالي |
|||||||||||||||||||||
مع المحاور س، ص، ض.
8. معادلة المستوى في شكل متجه
r n = p، حيث r = xi + yj + zk هو متجه نصف القطر للنقطة الحالية M (x، y، z)،
n = i cosα + j cos β + k cosγ - متجه الوحدة له الاتجاه العمودي،
خفضت على الطائرة من الأصل. α و β و γ هي الزوايا التي يشكلها هذا المتجه بالمحاور x و y و z. p هو طول هذا العمودي. في الإحداثيات، تبدو هذه المعادلة كما يلي:
x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0
9. المسافة من النقطة إلى المستوى
المسافة من نقطة اختيارية M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) إلى المستوى Ax + By + Cz + D = 0 هي:
د = Ax0 + By0 + Cz0 + D
أ2 + ب2 + ج 2
مثال. أوجد معادلة المستوى الذي يمر بالنقطتين A(2,-1,4) و B(3,2,-1) المتعامدين على المستوى x + y + 2z − 3 = 0.
معادلة المستوى المطلوبة لها الشكل: Ax + By + Cz + D = 0، متجه عادي لهذا المستوى n 1 (A,B,C). المتجه AB (1,3,-5) ينتمي إلى المستوى. الطائرة التي أعطيت لنا
عمودي على المطلوب لديه ناقل عادي ن 2 (1،1،2). لأن تنتمي النقطتان A وB إلى كلا المستويين، ويكون المستويان متعامدين بشكل متبادل
ن = أ ب × ن |
− 5 |
- ي |
− 5 |
11 ط − 7 ي − 2 ك . |
|||||||||||||||||
− 5 |
|||||||||||||||||||||
وبالتالي، فإن المتجه الطبيعي n هو 1 (11،-7،-2). لأن تنتمي النقطة A إلى المستوى المطلوب، فيجب أن تحقق إحداثياتها معادلة هذا المستوى، أي.
11.2 + 7.1− 2.4 + د = 0; D = − 21. في المجمل، نحصل على معادلة المستوى: 11x − 7 y − 2z − 21 = 0
10. معادلة الخط في الفضاء
سواء على المستوى أو في الفضاء، يمكن تعريف أي خط على أنه مجموعة من النقاط التي تلبي إحداثياتها في بعض أنظمة الإحداثيات المختارة في الفضاء المعادلة:
و(س، ص، ض) = 0. تسمى هذه المعادلة معادلة الخط في الفضاء.
بالإضافة إلى ذلك، يمكن تعريف الخط في الفضاء بشكل مختلف. ويمكن اعتباره خط تقاطع سطحين، يتم تحديد كل منهما بمعادلة ما.
دع F (x، y، z) = 0 و Ф (x، y، z) = 0 - معادلات الأسطح المتقاطعة على طول الخط L.
و(س، ص، ض) = 0
ثم زوج المعادلات Ф (x, y, z) = 0 سيسمى معادلة الخط في الفضاء.
11. معادلة الخط المستقيم في الفضاء بمعلومية نقطة ومتجه اتجاه 0 = M 0 M .
لأن المتجهات М 0 М و S متداخلة على خط واحد، وبالتالي فإن العلاقة М 0 М = St صحيحة، حيث t هي معلمة معينة. في المجموع، يمكننا أن نكتب: r = r 0 + St.
لأن إذا تحققت هذه المعادلة بإحداثيات أي نقطة على الخط، فإن المعادلة الناتجة هي معادلة بارامترية للخط.
س = س0 + طن متري
يمكن تمثيل هذه المعادلة المتجهة في شكل إحداثي: y = y 0 + nt
ض = ض0 + نقطة
بتحويل هذا النظام ومساواة قيم المعلمة t نحصل على القيمة الأساسية
معادلات الخط المستقيم في الفضاء: |
س−x0 |
ص−y0 |
ض - ض0 |
|||
تعريف. جيب تمام الاتجاه للخط المستقيم هو جيب تمام الاتجاه للمتجه S، والذي يمكن حسابه باستخدام الصيغ:
كوسα = |
; كوس β = |
; كوسγ = |
||||||
ن2+ص2 |
م 2 + ن 2 + ص 2 |
|||||||
من هنا نحصل على: m: n: p = cosα: cos β: cosγ.
الأرقام m، n، p تسمى منحدرات الخط. لأن S عبارة عن متجه غير صفري، وبالتالي لا يمكن أن يكون m وn وp صفرًا في نفس الوقت، ولكن يمكن أن يكون واحد أو اثنان من هذه الأرقام صفرًا. في هذه الحالة، في معادلة الخط، يجب أن تكون البسط المقابلة مساوية للصفر.
12. معادلة خط في الفضاء يمر بنقطتين
إذا وضعنا علامة على نقطتين عشوائيتين على خط مستقيم في الفضاء M 1 (x 1, y 1, z 1) و
M 2 (x 2 , y 2 , z 2 )، فإن إحداثيات هذه النقاط يجب أن تلبي معادلة الخط المستقيم التي تم الحصول عليها أعلاه:
س 2 - س 1 |
ص 2 - ص 1 |
ض 2 - ض 1 |
|||
