على سبيل المثال ، التعبير \ (x> 5 \) هو متباينة.

أنواع عدم المساواة:

إذا كان \ (أ \) و \ (ب \) أرقامًا أو ، فسيتم استدعاء المتباينة عددي. في الواقع ، هذه مجرد مقارنة بين رقمين. تنقسم هذه التفاوتات إلى مخلصو غير مخلص.

على سبيل المثال:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\ (17 + 3 \ geq 115 \) هو عدم مساواة عددية غير صالحة لأن \ (17 + 3 = 20 \) و \ (20 \) أقل من \ (115 \) (ليس أكبر من أو يساوي).

إذا كانت \ (أ \) و \ (ب \) تعابير تحتوي على متغير ، إذن لدينا عدم المساواة مع المتغير. تنقسم هذه التفاوتات إلى أنواع حسب المحتوى:

\ (2x + 1 \ geq4 (5-x) \)				متغير فقط للقوة الأولى
\ (3 س ^ 2-س + 5> 0 \)				يوجد متغير في القوة الثانية (مربع) ، لكن لا توجد قوى أعلى (الثالثة ، الرابعة ، إلخ.)
\ (\ log_ (4) ((س + 1))<3\)
\ (2 ^ (س) \ leq8 ^ (5x-2) \)

... إلخ.

ما هو حل لعدم المساواة؟

إذا تم استبدال أي رقم في المتباينة بدلاً من المتغير ، فسوف يتحول إلى رقم رقمي.

إذا كانت القيمة المعطاة لـ x تجعل المتباينة الأصلية عددية صحيحة ، فإنها تسمى حل عدم المساواة. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فهذه القيمة ليست حلاً. و ل حل عدم المساواة- تحتاج إلى إيجاد كل الحلول الخاصة به (أو إثبات عدم وجودها).

على سبيل المثال،إذا كنا في المتباينة الخطية \ (x + 6> 10 \) ، فإننا نعوض بالرقم \ (7 \) بدلاً من x ، نحصل على المتباينة العددية الصحيحة: \ (13> 10 \). وإذا عوضنا عن \ (2 \) ، فسيكون هناك متباينة عددية غير صحيحة \ (8> 10 \). وهذا يعني أن \ (7 \) هو حل للمتباينة الأصلية ، لكن \ (2 \) ليس كذلك.

لكن المتباينة \ (x + 6> 10 \) لها حلول أخرى. في الواقع ، سنحصل على المتباينات العددية الصحيحة عند استبدال كل من \ (5 \) و \ (12 \) و \ (138 \) ... وكيف يمكننا إيجاد كل شيء الحلول الممكنة؟ للقيام بذلك ، استخدم في حالتنا ، لدينا:

\ (س + 6> 10 \) \ (| -6 \)
\ (س> 4 \)

أي يمكننا استخدام أي عدد أكبر من أربعة. الآن نحن بحاجة إلى كتابة الإجابة. تتم كتابة حلول المتباينات ، كقاعدة عامة ، رقميًا ، بالإضافة إلى تمييزها على المحور العددي باستخدام التظليل. بالنسبة لحالتنا لدينا:

إجابه: \ (س \ في (4 ؛ + \ infty) \)

متى تتغير العلامة في عدم المساواة؟

هناك فخ كبير في عدم المساواة ، والذي "يحب" الطلاب حقًا الوقوع فيه:

عند ضرب (أو قسمة) عدم المساواة على رقم سالب ، يتم عكسها ("أكبر من" بـ "أقل" ، "أكبر من أو يساوي" بـ "أقل من أو يساوي" ، وهكذا)

لماذا يحدث هذا؟ لفهم هذا ، لنلقِ نظرة على تحويلات المتباينة العددية \ (3> 1 \). هذا صحيح ، فالثلاثي هو بالفعل أكثر من واحد. أولاً ، لنحاول ضربه بأي رقم موجب ، على سبيل المثال ، اثنان:

\ (3> 1 \) \ (| \ cdot2 \)
\(6>2\)

كما ترى ، بعد الضرب ، تظل المتباينة صحيحة. وبغض النظر عن العدد الموجب الذي نضربه ، سنحصل دائمًا على المتباينة الصحيحة. والآن دعونا نحاول الضرب في عدد سالب ، على سبيل المثال ، ناقص ثلاثة:

\ (3> 1 \) \ (| \ cdot (-3) \)
\(-9>-3\)

اتضح أنها متباينة غير صحيحة ، لأن سالب تسعة أقل من ناقص ثلاثة! أي ، لكي تصبح عدم المساواة صحيحة (مما يعني أن تحويل الضرب بالسالب كان "قانونيًا") ، تحتاج إلى قلب علامة المقارنة ، على النحو التالي: \ (- 9<− 3\).
مع التقسيم ، سيظهر بالمثل ، يمكنك التحقق منه بنفسك.

تنطبق القاعدة المكتوبة أعلاه على جميع أنواع المتباينات ، وليس فقط على المتباينات العددية.

مثال: حل المتباينة \ (2 (x + 1) -1<7+8x\)
المحلول:

\ (2 س + 2-1<7+8x\)	لننتقل \ (8x \) إلى اليسار و \ (2 \) و \ (- 1 \) إلى اليمين ، دون أن ننسى تغيير العلامات
\ (2x-8x<7-2+1\)
\ (- 6x<6\) \(|:(-6)\)	قسّم طرفي عدم المساواة على \ (- 6 \) ، مع عدم نسيان التغيير من "الأقل" إلى "الأكبر"
	دعنا نحدد فاصلًا رقميًا على المحور. عدم المساواة ، وبالتالي فإن القيمة \ (- 1 \) "متقطعة" ولا نأخذها ردًا
	لنكتب الإجابة في صورة فترة

إجابه: \ (س \ في (-1 ؛ \ infty) \)

عدم المساواة و DHS

يمكن أن يكون للمتباينات ، وكذلك المعادلات ، قيود على قيم x. وفقًا لذلك ، يجب استبعاد القيم غير المقبولة وفقًا لـ ODZ من الفاصل الزمني للحل.

مثال: حل المتباينة \ (\ sqrt (x + 1)<3\)

المحلول: من الواضح أنه لكي يكون الجانب الأيسر أقل من \ (3 \) ، يجب أن يكون تعبير الجذر أقل من \ (9 \) (بعد كل شيء ، من \ (9 \) فقط \ (3 \)). نحن نحصل:

\ (س + 1<9\) \(|-1\)
\ (x<8\)

كل شئ؟ أي قيمة س أقل من \ (8 \) تناسبنا؟ لا! لأننا إذا أخذنا ، على سبيل المثال ، القيمة \ (- 5 \) التي تبدو مناسبة للمتطلبات ، فلن تكون حلاً للمتباينة الأصلية ، لأنها ستقودنا إلى حساب جذر عدد سالب.

\ (\ الجذر التربيعي (-5 + 1)<3\)
\ (\ الجذر التربيعي (-4)<3\)

لذلك ، يجب أن نأخذ في الاعتبار أيضًا القيود المفروضة على قيم x - لا يمكن أن يكون هناك رقم سالب تحت الجذر. وبالتالي ، لدينا المتطلب الثاني لـ x:

\ (x + 1 \ geq0 \)
\ (س \ جيك -1 \)

ولكي يكون x حلاً نهائيًا ، يجب أن يلبي كلا المطلبين في وقت واحد: يجب أن يكون أقل من \ (8 \) (ليكون حلاً) وأكبر من \ (- 1 \) (ليكون صالحًا من حيث المبدأ). بالتخطيط على خط الأعداد ، لدينا الإجابة النهائية:

إجابه: \ (\ يسار [-1 ؛ 8 \ يمين) \)

نظرية:

عند حل عدم المساواة ، يتم استخدام القواعد التالية:

1. يمكن نقل أي حد من المتباينة من جزء واحد
متباينة إلى أخرى بعلامة معاكسة ، في حين أن علامة عدم المساواة لا تتغير.

2. يمكن ضرب أو قسمة كلا جزأي المتباينة على واحد
ونفس العدد الموجب بدون تغيير علامة عدم المساواة.

3. يمكن ضرب أو قسمة كلا جزأي المتباينة على واحد
ونفس العدد السالب ، مع تغيير علامة عدم المساواة إلى
ضد.

حل المتباينة - 8 × + 11< − 3 x − 4
المحلول.

1. تحريك العضو - 3 ×على الجانب الأيسر من المتباينة ، والمصطلح 11 - إلى الجانب الأيمن من المتباينة ، مع تغيير الإشارات إلى الجانب المقابل y - 3 ×وعلى 11 .
ثم نحصل

- 8 × + 3 ×< − 4 − 11

- 5 ×< − 15

2. نقسم طرفي المتباينة - 5 ×< − 15 إلى رقم سالب − 5 ، بينما علامة عدم المساواة < ، سوف يتغير إلى > ، بمعنى آخر. سننتقل إلى متباينة ذات معنى معاكس.
نحن نحصل:

- 5 ×< − 15 | : (− 5 )

x> 15: (−5)

س> 3

س> 3هو حل المتباينة المعطاة.

انتبه!

هناك خياران لكتابة الحل: س> 3أو كنطاق رقمي.

نحتفل بمجموعة حلول المتباينة على الخط الحقيقي ونكتب الإجابة في صورة فترة عددية.

س ∈ (3 ; + ∞ )

إجابه: س> 3أو س ∈ (3 ; + ∞ )

عدم المساواة الجبرية.

مربع عدم المساواة. عدم المساواة المنطقية من الدرجات العليا.

تعتمد طرق حل عدم المساواة بشكل أساسي على الطبقة التي تنتمي إليها الوظائف التي تشكل عدم المساواة.

1. أنا. مربع عدم المساواة، أي عدم المساواة في الشكل

الفأس 2 + bx + c> 0 (< 0), a ≠ 0.

لحل عدم المساواة ، يمكنك:

1. حلل المثلث التربيعي إلى عوامل ، أي اكتب المتباينة كـ

أ (س - س 1) (س - س 2)> 0 (< 0).

1. ضع جذور كثير الحدود على خط الأعداد. تقسم الجذور مجموعة الأعداد الحقيقية إلى فترات ، في كل منها تكون الدالة التربيعية المقابلة لها إشارة ثابتة.
2. أوجد إشارة a (x - x 1) (x - x 2) في كل فجوة واكتب الإجابة.

إذا لم يكن للثالث المربع جذور ، فعندئذٍ لـ D<0 и a>0 هو مربع ثلاثي الحدود لأي x موجب.

• حل المتباينة. س 2 + س - 6> 0.

تحليل ثلاثي الحدود إلى عوامل (x + 3) (x - 2)> 0

الجواب: س (-؛ -3) (2 ؛ +).

2) (س - 6) 2> 0

هذه المتباينة صحيحة لأي x باستثناء x = 6.

الجواب: (-؛ 6) (6 ؛ + ∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

هنا د< 0, a = 1 >0. ثلاثي الحدود المربع موجب لكل x.

الجواب: س О Ø.

حل المتباينات:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. الإجابة:
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. الإجابة:
4. 2x² - 12x + 18> 0. الإجابة:
5. ما قيم أ تفعل المتباينة

x² - الفأس> يحمل أي س؟ إجابه:

1. ثانيًا. عدم المساواة العقلانية من الدرجات العليا ،وهذا يعني عدم المساواة في الشكل

a n x n + a n-1 x n-1 +… + a 1 x + a 0> 0 (<0), n>2.

يجب أخذ كثير حدود الدرجة الأعلى في الاعتبار ، أي أنه يجب كتابة عدم المساواة في النموذج

أ ن (س - س 1) (س - س 2) ... (س - س ن)> 0 (<0).

ضع علامة على خط الأعداد على النقاط التي تختفي فيها كثير الحدود.

حدد علامات كثير الحدود في كل فترة.

1) حل المتباينة x 4-6x 3 + 11x 2-6x< 0.

x 4-6x 3 + 11x 2-6x = x (x 3-6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2-5x 2 + 5x + 6x - 6) = x (x - 1) (x 2-5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). إذن x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

الجواب: (0 ؛ 1) (2 ؛ 3).

2) حل المتباينة (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

على المحور الحقيقي ، حدد النقاط التي تختفي فيها كثير الحدود. هذا هو x \ u003d 1 ، x \ u003d -2 ، x \ u003d ½ ، x \ u003d - ½.

عند النقطة x \ u003d - ½ ، لا يوجد تغيير في الإشارة ، لأن ذات الحدين (2x + 1) يتم رفعها إلى قوة زوجية ، أي أن التعبير (2x + 1) 4 لا يغير الإشارة عند المرور عبر النقطة س \ u003d - ½.

الجواب: (-؛ -2) (½ ؛ 1).

3) حل المتباينة: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

هذه المتباينة تعادل المجموعة التالية

حل (1) هو x (-؛ -2) (3؛ + ∞). الحل (2) هو x = 0 ، x = -2 ، x = 3. بدمج الحلول التي تم الحصول عليها ، نحصل على x н (-∞ ؛ -2] (0) (0)

مثال 1هل المتباينات 5 0 ، 0 0 صحيحة؟

عدم المساواة 5 0 عبارة معقدة تتكون من عبارتين بسيطتين متصلتين بوصلة منطقية "أو" (فصل). إما 5> 0 أو 5 = 0. العبارة الأولى 5> 0 صحيحة ، العبارة الثانية 5 = 0 خاطئة. من خلال تعريف الانفصال ، يكون هذا البيان المركب صحيحًا.

سجل 00 تمت مناقشته بالمثل.

عدم المساواة في الشكل أ> ب ، أ< b سوف يسمى صارم ، وعدم المساواة من النموذج أب ، أب- غير صارم.

عدم المساواة أ> بو ج> د(أو أ< b و مع< d ) سوف تسمى عدم المساواة من نفس المعنى ، وعدم المساواة أ> بو ج< d - المتفاوتات ذات المعنى المعاكس. لاحظ أن هذين المصطلحين (المتباينات من نفس المعاني المعاكسة) يشيران فقط إلى شكل كتابة المتباينات ، وليس إلى الحقائق نفسها التي تعبر عنها هذه المتباينات. لذلك ، فيما يتعلق بعدم المساواة أ< b عدم المساواة مع< d هي متباينة لها نفس المعنى ، وفي الكتابة د> ج(يعني نفس الشيء) - عدم مساواة بالمعنى المعاكس.

جنبا إلى جنب مع عدم المساواة في الشكل أ> ب, أبيتم استخدام ما يسمى عدم المساواة المزدوجة ، أي عدم المساواة في الشكل أ< с < b , أجاد< b , أ< cb ,
أcb. بحكم التعريف ، الدخول

أ< с < b (1)
يعني أن كلا التفاوتين يحملان:

أ< с و مع< b.

المتباينات لها نفس المعنى acb ، ac< b, а < сb.

يمكن كتابة عدم المساواة المزدوجة (1) على النحو التالي:

(أ< c < b) [(a < c) & (c < b)]

و عدم المساواة المزدوجة أ ≤ ج ≤ بيمكن كتابتها بالصيغة التالية:

(أ ج ب) [(أ< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

دعونا الآن ننتقل إلى تقديم الخصائص الرئيسية وقواعد الإجراءات بشأن عدم المساواة ، والاتفاق على الرسائل الواردة في هذه المقالة أ ، ب ، جتمثل الأعداد الحقيقية ، و نيعني عددًا طبيعيًا.

1) إذا كانت a> b و b> c ، إذن a> c (انتقالية).

دليل.

منذ ذلك الحين حسب الحالة أ> بو ب> جثم الأرقام أ - بو ب - جموجبة ، وبالتالي الرقم أ - ج \ u003d (أ - ب) + (ب - ج)، كمجموع الأرقام الموجبة ، هو أيضا موجب. هذا يعني ، بالتعريف ، أن أ> ج.

2) إذا كان a> b ، فإن المتباينة a + c> b + c لأي c تبقى ثابتة.

دليل.

لأن أ> بثم الرقم أ - ببشكل ايجابي. لذلك ، العدد (أ + ج) - (ب + ج) = أ + ج - ب - ج = أ - بهي أيضًا إيجابية ، أي
أ + ج> ب + ج.

3) إذا أ + ب> ج ، إذن أ> ب - ج ،بمعنى ، يمكن نقل أي حد من جزء من المتباينة إلى جزء آخر عن طريق تغيير إشارة هذا المصطلح إلى العكس.

يأتي الدليل من الخاصية 2) كافٍ لكلا جزأي عدم المساواة أ + ب> جأضف رقمًا -ب.

4) إذا أ> ب وج> د ، إذن أ + ج> ب + د ،بمعنى ، إضافة متباينتين لهما نفس المعنى ينتج عنه عدم مساواة بنفس المعنى.

دليل.

بتعريف عدم المساواة ، يكفي أن نظهر أن الاختلاف
(أ + ج) - (ب + ج)إيجابي. يمكن كتابة هذا الاختلاف على النحو التالي:
(أ + ج) - (ب + د) = (أ - ب) + (ج - د).
منذ بشرط الرقم أ - بو ج - دإيجابية ، إذن (أ + ج) - (ب + د)هو أيضًا رقم موجب.

عاقبة. القواعد 2) و 4) تدل على ذلك القاعدة التاليةطرح المتباينات: إذا أ> ب ، ج> د، ومن بعد أ - د> ب - ج(للإثبات يكفي لكلا الجزأين من عدم المساواة أ + ج> ب + دأضف رقمًا - ج - د).

5) إذا كانت a> b ، فعندئذٍ بالنسبة لـ c> 0 لدينا ac> bc ، وللحالة c< 0 имеем ас < bc.

بعبارة أخرى ، عندما يتم ضرب كلا الجزأين من عدم المساواة ، ولا يكون أي منهما رقمًا موجبًا ، يتم الاحتفاظ بعلامة عدم المساواة (أي يتم الحصول على متباينة بنفس المعنى) ، وعندما يتم ضربها في رقم سالب ، تتغير علامة عدم المساواة إلى العكس (أي ، يتم الحصول على عدم المساواة من المعنى المعاكس.

دليل.

إذا أ> ب، ومن بعد أ - بهو رقم موجب. لذلك ، علامة الاختلاف ac-bc = سيارة أجرة)يطابق علامة الرقم مع: إذا معهو رقم موجب ، ثم الفرق تيار متردد - قبل الميلادإيجابية وبالتالي أ> قبل الميلاد، و إذا مع< 0 ، إذن هذا الاختلاف سلبي وبالتالي قبل الميلاد - acإيجابي ، أي قبل الميلاد> تيار متردد.

6) إذا كانت a> b> 0 و c> d> 0 ، ثم ac> bd ،على سبيل المثال ، إذا كانت جميع مصطلحات متباينتين لهما نفس المعنى موجبة ، فإن مضاعفة هذه التفاوتات مصطلحًا تلو الآخر ينتج عنها عدم مساواة بنفس المعنى.

دليل.

لدينا ac - bd = ac - bc + bc - bd = c (a - b) + b (c - d). لأن ج> 0 ، ب> 0 ، أ - ب> 0 ، ج - د> 0 ، ثم ac - bd> 0 ، أي ac> bd.

تعليق.يتضح من الدليل أن الشرط د> 0في صياغة الخاصية 6) غير مهم: لكي تكون هذه الخاصية صحيحة ، يكفي أن تكون الشروط أ> ب> 0 ، ج> د ، ج> 0. إذا (إذا كانت المتباينات أ> ب ، ج> د) أعداد أ ، ب ، جليست كلها إيجابية ، ثم عدم المساواة ac> bdقد لا يتم تنفيذها. على سبيل المثال ، متى أ = 2, ب =1, ج= -2, د= -3 لدينا أ> ب ، ج > د، ولكن عدم المساواة ac> bd(أي -4> -3) فشل. وبالتالي ، فإن اشتراط أن تكون الأرقام أ ، ب ، ج موجبة في بيان الملكية 6) أمر ضروري.

7) إذا أ ≥ ب> 0 و ج> د> 0 ، إذن (قسمة المتباينات).

دليل.

لدينا بسط الكسر على الجانب الأيمن موجب (انظر الخصائص 5) ، 6)) والمقام موجب أيضًا. لذلك،. هذا يثبت الملكية 7).

تعليق.نلاحظ حالة معينة مهمة من القاعدة 7) تم الحصول عليها عندما تكون a = b = 1: إذا كانت c> d> 0 ، إذن. وبالتالي ، إذا كانت شروط عدم المساواة موجبة ، فعند الانتقال إلى المعاملة بالمثل ، نحصل على متباينة بالمعنى المعاكس. ندعو القراء للتحقق من أن هذه القاعدة محفوظة أيضًا في 7) إذا كان ab> 0 و c> d> 0 ، إذن (تقسيم عدم المساواة).

دليل. ومن بعد.

لقد أثبتنا أعلاه العديد من خصائص المتباينات مكتوبة بالإشارة > (أكثر). ومع ذلك ، يمكن صياغة كل هذه الخصائص باستخدام العلامة < (أقل) ، منذ عدم المساواة ب< а يعني ، بالتعريف ، نفس عدم المساواة أ> ب. علاوة على ذلك ، نظرًا لأنه من السهل التحقق منها ، يتم أيضًا الاحتفاظ بالخصائص المثبتة أعلاه لعدم المساواة غير الصارمة. على سبيل المثال ، الخاصية 1) لعدم المساواة غير الصارمة سيكون لها الشكل التالي: إذا أب و قبل الميلاد، ومن بعد أجاد.

بطبيعة الحال ، فإن الخصائص العامة لعدم المساواة لا تقتصر على ما قيل أعلاه. لا تزال هناك سطر كاملعدم المساواة نظرة عامةالمرتبطة بالنظر في القوة ، الأسي ، اللوغاريتمي و الدوال المثلثية. النهج العام لكتابة هذه الأنواع من عدم المساواة هو كما يلي. إذا كانت بعض الوظائف ص = و (س)يزيد بشكل رتيب على المقطع [أ ، ب]، إذن بالنسبة إلى x 1> x 2 (حيث تنتمي x 1 و x 2 إلى هذا المقطع) لدينا f (x 1)> f (x 2). وبالمثل ، إذا كانت الوظيفة ص = و (س)يتناقص بشكل رتيب على المقطع [أ ، ب]، ثم في x 1> x 2 (أين × 1و X 2 تنتمي إلى هذه الشريحة) لدينا و (× 1)< f(x 2 ). بالطبع ، ما قيل لا يختلف عن تعريف الرتابة ، لكن هذه التقنية ملائمة جدًا لحفظ وكتابة عدم المساواة.

لذلك ، على سبيل المثال ، لأي دالة n طبيعية ص = س نيتزايد بشكل رتيب على الشعاع }