شرح نصي للدرس:

في القياس ، تكون الكائنات الرئيسية هي الخطوط والأجزاء والأشعة والنقاط. تشكل الأشعة المنبعثة من نقطة واحدة أحد أشكالها الهندسية - زاوية.

نعلم أن الزاوية الخطية تقاس بالدرجات والراديان.

في القياس الفراغي ، تتم إضافة مستوى إلى الكائنات. الشكل الذي يتكون من الخط المستقيم أ واثنين من أنصاف المستويات بحد مشترك أ لا ينتمي إلى نفس المستوى في الهندسة يسمى الزاوية ثنائية السطوح. نصف الطائرات هي أوجه زاوية ثنائية السطوح. الخط المستقيم أ هو حافة الزاوية ثنائية الأضلاع.

يمكن تسمية الزاوية ثنائية السطوح ، مثل الزاوية الخطية ، وقياسها ، وبنائها. هذا ما سنكتشفه في هذا الدرس.

أوجد الزاوية ثنائية السطوح في نموذج رباعي السطوح ABCD.

تسمى الزاوية ثنائية السطوح ذات الحافة AB CABD ، حيث تنتمي النقطتان C و D إلى وجوه مختلفة للزاوية وتسمى الحافة AB في المنتصف

يوجد حولنا الكثير من الأشياء التي تحتوي على عناصر على شكل زاوية ثنائية السطوح.

في العديد من المدن ، تم تركيب مقاعد خاصة للمصالحة في الحدائق. المقعد مصنوع على شكل طائرتين مائلتين تتقاربان نحو المركز.

عند بناء المنازل ، ما يسمى ب سقف الجملون. سقف هذا المنزل مصنوع على شكل زاوية ثنائية الأضلاع 90 درجة.

تُقاس الزاوية ثنائية السطوح أيضًا بالدرجات أو بالراديان ، ولكن كيف يتم قياسها.

من المثير للاهتمام أن نلاحظ أن أسطح المنازل تقع على العوارض الخشبية. ويشكل صندوق العوارض الخشبية منحدرين للسقف بزاوية معينة.

دعنا ننقل الصورة إلى الرسم. في الرسم ، لإيجاد زاوية ثنائية السطوح ، تم تحديد النقطة B على حافتها ، ومن هذه النقطة ، يتم رسم شعاعين BA و BC بشكل عمودي على حافة الزاوية. تسمى الزاوية ABC التي تشكلها هذه الأشعة بالزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح.

قياس درجة الزاوية ثنائية السطوح هو قياس الدرجةالزاوية الخطية.

لنقيس الزاوية AOB.

قياس درجة زاوية ثنائية الأضلاع هو ستون درجة.

يمكن رسم الزوايا الخطية لزاوية ثنائية السطوح بعدد لا نهائي ، ومن المهم معرفة أنها كلها متساوية.

ضع في اعتبارك زاويتين خطيتين AOB و A1O1B1. تقع الأشعة OA و O1A1 في نفس الوجه وتكون متعامدة مع الخط المستقيم OO1 ، لذلك يتم توجيههما بشكل مشترك. يتم توجيه الأشعة OB و O1B1 أيضًا. لذلك ، فإن الزاوية AOB تساوي الزاوية A1O1B1 كزاوية ذات جوانب تحويلية.

لذلك تتميز الزاوية ثنائية السطوح بزاوية خطية ، والزوايا الخطية حادة ومنفرجة ومستقيمة. ضع في اعتبارك نماذج للزوايا ثنائية الأضلاع.

الزاوية المنفرجة هي الزاوية الخطية التي تتراوح بين 90 و 180 درجة.

الزاوية القائمة إذا كانت الزاوية الخطية 90 درجة.

زاوية حادة ، إذا كانت زاوية خطيتها بين 0 و 90 درجة.

دعنا نثبت أحد خصائص مهمةزاوية خطية.

مستوى الزاوية الخطية عمودي على حافة الزاوية ثنائية السطوح.

اجعل الزاوية AOB هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح المعطاة. بالتركيب ، تكون الأشعة AO و OB متعامدة مع الخط المستقيم a.

يمر المستوى AOB عبر خطين متقاطعين AO و OB وفقًا للنظرية: يمر المستوى عبر خطين متقاطعين ، بالإضافة إلى خط واحد فقط.

الخط a عمودي على خطين متقاطعين يقعان في هذا المستوى ، مما يعني أنه بعلامة عمودية المستقيم والمستوى ، يكون الخط a عموديًا على المستوى AOB.

لحل المشكلات ، من المهم أن تكون قادرًا على بناء زاوية خطية لزاوية ثنائية السطوح معينة. بناء الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح مع الحافة AB لرباعي السطوح ABCD.

نحن نتحدث عن زاوية ثنائية السطوح تتكون ، أولاً ، من الحافة AB ، وجه واحد ABD ، الوجه الثاني ABC.

هذه طريقة واحدة للبناء.

لنرسم عموديًا من النقطة D إلى المستوى ABC ، ​​ونضع علامة على النقطة M كقاعدة للعمودي. تذكر أنه في رباعي السطوح تتطابق قاعدة العمود العمودي مع مركز الدائرة المنقوشة في قاعدة رباعي الوجوه.

ارسم ميلًا من النقطة D المتعامدة مع الحافة AB ، ضع علامة على النقطة N كقاعدة المنحدر.

في المثلث DMN ، سيكون الجزء NM إسقاطات DN المائل على المستوى ABC. وفقًا لنظرية العمودي الثلاثة ، ستكون الحافة AB متعامدة مع الإسقاط NM.

هذا يعني أن جوانب الزاوية DNM متعامدة مع الحافة AB ، مما يعني أن الزاوية DNM هي الزاوية الخطية المطلوبة.

ضع في اعتبارك مثالًا لحل مشكلة حساب الزاوية ثنائية الأضلاع.

لا يقع المثلث متساوي الساقين ABC والمثلث العادي ADB في نفس المستوى. المقطع CD متعامد مع المستوى ADB. أوجد الزاوية ثنائية الأضلاع DABC إذا كان AC = CB = 2 سم ، AB = 4 سم.

الزاوية ثنائية السطوح DABC تساوي الزاوية الخطية. دعونا نبني هذه الزاوية.

لنرسم SM مائلًا عموديًا على الحافة AB ، نظرًا لأن المثلث ACB متساوي الساقين ، فإن النقطة M ستتطابق مع نقطة منتصف الحافة AB.

الخط CD متعامد على المستوى ADB ، مما يعني أنه عمودي على الخط DM الموجود في هذا المستوى. والجزء MD هو إسقاط SM المائل على المستوى ADB.

الخط AB عمودي على CM المائل من خلال البناء ، مما يعني أنه من خلال نظرية العمودي الثلاثة يكون عموديًا على الإسقاط MD.

إذن ، يوجد عمودين CM و DM على الحافة AB. لذلك يشكلون زاوية خطية СMD لزاوية ثنائية الأضلاع DABC. ويبقى أن نجدها من المثلث القائم الزاوية СDM.

نظرًا لأن المقطع SM هو متوسط ​​ارتفاع المثلث المتساوي الساقين ASV ، فوفقًا لنظرية فيثاغورس ، يبلغ طول ضلع SM 4 سم.

من مثلث قائم الزاوية DMB ، وفقًا لنظرية فيثاغورس ، فإن الساق DM تساوي جذرين لثلاثة.

جيب التمام لزاوية من مثلث قائم الزاوية يساوي النسبةالضلع المجاور MD للوتر CM ويساوي ثلاثة جذور لثلاثة في اثنين. إذن ، الزاوية CMD تساوي 30 درجة.

خطوط وطائرات الفصل الأول

V. زوايا DIHEDRAL ، زاوية مستقيمة مع طائرة ،
زاوية من اثنين من الحقوق المتقاطعة ، زوايا متعددة السطوح

زوايا ثنائية السطوح

38- التعاريف.يسمى جزء الطائرة الذي يقع على جانب واحد من الخط الموجود في ذلك المستوى نصف الطائرة. الشكل المكون من نصفين (P و Q ، الشكل 26) ينبعثان من خط مستقيم واحد (AB) يسمى زاوية زوجية. يسمى الخط المستقيم AB حافة، وأنصاف الطائرات P و Q - حفلاتأو وجوهزاوية زوجية.

عادة ما يتم الإشارة إلى هذه الزاوية بحرفين موضوعين على حافتها (الزاوية ثنائية السطوح AB). ولكن إذا لم تكن هناك زوايا ثنائية الأضلاع عند حافة واحدة ، فسيتم الإشارة إلى كل منها بأربعة أحرف ، منها حرفان في المنتصف عند الحافة ، واثنان متطرفان عند الوجوه (على سبيل المثال ، الزاوية ثنائية الأضلاع SCDR) (الشكل 27).

إذا تم رسم الحواف AB (الشكل 28) من نقطة عشوائية D على كل وجه على طول الخط العمودي للحافة ، عندئذٍ تسمى الزاوية CDE التي شكلتها هذه الحواف زاوية خطيةزاوية زوجية.

لا تعتمد قيمة الزاوية الخطية على موضع رأسها على الحافة. وبالتالي ، فإن الزاويتين الخطيتين CDE و C 1 D 1 E 1 متساويتان لأن جانبيهما متوازيان على التوالي وموجهان بشكل متساوٍ.

مستوى الزاوية الخطية متعامد على الحافة لأنها تحتوي على خطين متعامدين معها. لذلك ، للحصول على زاوية خطية ، يكفي أن تتقاطع وجوه زاوية ثنائية الأضلاع مع مستوى عمودي على الحافة ، مع مراعاة الزاوية التي تم الحصول عليها في هذا المستوى.

39. المساواة وعدم المساواة في الزوايا ثنائية الأضلاع.تعتبر زاويتان ثنائيتان السطوح متساويتان إذا أمكن دمجهما عند تداخلهما ؛ خلاف ذلك ، تعتبر إحدى الزوايا ثنائية الأضلاع أصغر ، والتي ستشكل جزءًا من الزاوية الأخرى.

مثل الزوايا في قياس الكواكب ، يمكن أن تكون الزوايا ثنائية الأضلاع المجاور ، العموديإلخ.

إذا كانت زاويتان متجاورتان ثنائيتان الأضلاع متساويتان ، فسيتم استدعاء كل منهما الزاوية اليمنى ثنائية السطوح.

نظريات. 1) تتوافق الزوايا ثنائية الأضلاع المتساوية مع زوايا خطية متساوية.

2) تتوافق الزاوية ثنائية الأضلاع الأكبر مع زاوية خطية أكبر.

لنفترض أن PABQ و P 1 A 1 B 1 Q 1 (الشكل 29) هما زاويتان ثنائيتان السطوح. قم بتضمين الزاوية A 1 B 1 في الزاوية AB بحيث تتوافق الحافة A 1 B 1 مع الحافة AB والوجه P 1 مع الوجه P.

ثم إذا كانت هذه الزوايا ثنائية الأضلاع متساوية ، فإن الوجه Q 1 سيتزامن مع الوجه Q ؛ إذا كانت الزاوية A 1 B 1 أقل من الزاوية AB ، فسيأخذ الوجه Q 1 بعض الموضع داخل الزاوية ثنائية الأضلاع ، على سبيل المثال Q 2.

عند ملاحظة ذلك ، نأخذ نقطة ما B على حافة مشتركة ونرسم مستوى R خلالها متعامدًا على الحافة. من تقاطع هذا المستوى مع وجوه الزوايا ثنائية الأضلاع ، يتم الحصول على الزوايا الخطية. من الواضح أنه إذا تزامنت الزوايا ثنائية الأضلاع ، فسيكون لها نفس الزاوية الخطية CBD ؛ إذا لم تتطابق الزوايا ثنائية السطوح ، على سبيل المثال ، إذا اتخذ الوجه Q 1 الموضع Q 2 ، فإن الزاوية ثنائية السطوح الأكبر سيكون لها زاوية خطية أكبر (وهي: / اتفاقية التنوع البيولوجي> / C2BD).

40. معكوس النظريات. 1) تتوافق الزوايا الخطية المتساوية مع زوايا ثنائية السطوح متساوية.

2) تتوافق الزاوية الخطية الأكبر مع زاوية ثنائية الأضلاع أكبر .

يمكن إثبات هذه النظريات بسهولة عن طريق التناقض.

41- العواقب. 1) تتوافق الزاوية اليمنى ثنائية الأضلاع مع الزاوية الخطية اليمنى والعكس صحيح.

لنفترض (الشكل 30) أن تكون الزاوية ثنائية السطوح PABQ صحيحة. هذا يعني أنها تساوي الزاوية المجاورة QABP 1. لكن في هذه الحالة ، الزاويتان الخطيتان CDE و CDE 1 متساويتان أيضًا ؛ ولأنهما متجاورتان ، يجب أن يكون كل منهما مستقيمًا. على العكس من ذلك ، إذا كانت الزاويتان الخطيتان المتجاورتان CDE و CDE 1 متساويتين ، فإن الزوايا ثنائية الأضلاع المجاورة متساوية أيضًا ، أي يجب أن تكون كل منهما صحيحة.

2) جميع الزوايا الصحيحة ثنائية الأضلاع متساوية ،لأن لديهم زوايا خطية متساوية .

وبالمثل ، من السهل إثبات ما يلي:

3) الزوايا العمودية ثنائية السطوح متساوية.

4) ثنائي السطوح الزوايا ذات الوجوه المتوازية والمتساوية (أو المعاكسة) متساوية.

5) إذا أخذنا كوحدة من الزوايا ثنائية الأضلاع مثل هذه الزاوية ثنائية الأضلاع التي تتوافق مع وحدة من الزوايا الخطية ، فيمكننا القول إن الزاوية ثنائية الأضلاع تقاس بزاوية خطية.

لاستخدام معاينة العروض التقديمية ، قم بإنشاء حساب لنفسك ( الحساب) Google وقم بتسجيل الدخول: https://accounts.google.com

شرح الشرائح:

DOUBLE ANGLE مدرس الرياضيات مدرسة GOU الثانوية №10 Eremenko M.A.

الأهداف الرئيسية للدرس: تقديم مفهوم الزاوية ثنائية الأضلاع وزاويتها الخطية ، والنظر في مهام لتطبيق هذه المفاهيم

التعريف: الزاوية ثنائية الأضلاع عبارة عن شكل يتكون من نصفين مستويين بخط حد مشترك.

قيمة الزاوية ثنائية الأضلاع هي قيمة الزاوية الخطية. AF CD BF ⊥ CD AFB هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح ACD B

دعنا نثبت أن جميع الزوايا الخطية لزاوية ثنائية الأضلاع متساوية مع بعضها البعض. ضع في اعتبارك زاويتين خطيتين AOB و A 1 OB 1. تقع الأشعة OA و OA 1 على نفس الوجه وتكون متعامدة مع OO 1 ، لذلك يتم توجيههما بشكل مشترك. يتم توجيه الأشعة OB و OB 1 أيضًا. لذلك ، ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (كزوايا ذات جوانب تحويلية).

أمثلة على الزوايا ثنائية الأضلاع:

التعريف: الزاوية بين مستويين متقاطعين هي أصغر الزوايا ثنائية السطوح التي تشكلها هذه المستويات.

المهمة 1: في المكعب A ... D 1 أوجد الزاوية بين المستويين ABC و CDD 1. الجواب: 90 درجة.

المهمة 2: في المكعب A ... D 1 أوجد الزاوية بين المستويين ABC و CDA 1. الجواب: 45 درجة.

المهمة 3: في المكعب A ... D 1 أوجد الزاوية بين المستويين ABC و BDD 1. الجواب: 90 درجة.

المهمة 4: في المكعب A ... D 1 أوجد الزاوية بين المستويين ACC 1 و BDD 1. الجواب: 90 درجة.

المهمة 5: في المكعب A ... D 1 أوجد الزاوية بين المستويين BC 1 D و BA 1 D. الحل: لنفترض أن O هي نقطة منتصف B D. A 1 OC 1 هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح A 1 B D C 1.

المشكلة 6: في رباعي الوجوه DABC جميع الحواف متساوية ، النقطة M هي نقطة المنتصف للحافة AC. أثبت أن ∠ DMB هي زاوية خطية للزاوية ثنائية السطوح BACD.

الحل: المثلثات ABC و ADC منتظمة ، لذا فإن BM AC و DM ⊥ AC وبالتالي ∠ DMB هي زاوية خطية للزاوية ثنائية السطوح DACB.

المهمة 7: من الرأس B للمثلث ABC ، ​​الذي يقع جانبه AC في المستوى α ، يتم رسم BB 1 عموديًا على هذا المستوى. أوجد المسافة من النقطة B إلى الخط AC وإلى المستوى αif AB = 2 ، ∠BAC = 150 0 والزاوية ثنائية السطوح BACB 1 تساوي 45 0.

الحل: ABC - مثلث منفرج الزاويةبزاوية منفرجة A ، لذا فإن قاعدة الارتفاع BK تكمن في استمرار الضلع AC. VC هي المسافة من النقطة B إلى AC. BB 1 - المسافة من النقطة B إلى المستوى α

2) منذ AS ⊥VK ، ثم AS⊥KV 1 (حسب النظرية عكس نظرية العمودي الثلاثة). لذلك ، ∠VKV 1 هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح BACB 1 و ∠VKV 1 = 45 0. 3) ∆VAK: ∠A = 30 0 ، VK = VA sin 30 0 ، VK = 1. ∆VKV 1: VV 1 \ u003d VK sin 45 0 ، VV 1 \ u003d

يبدأ إعداد الطلاب لامتحان الرياضيات ، كقاعدة عامة ، بتكرار الصيغ الأساسية ، بما في ذلك تلك التي تسمح لك بتحديد الزاوية بين المستويات. على الرغم من حقيقة أن هذا القسم من الهندسة مغطى بتفاصيل كافية في إطار المناهج الدراسية ، يحتاج العديد من الخريجين إلى إعادة المادة الأساسية. من خلال فهم كيفية العثور على الزاوية بين المستويات ، سيتمكن طلاب المدارس الثانوية من حساب الإجابة الصحيحة بسرعة أثناء حل المشكلة والاعتماد على الحصول على درجات لائقة على أساس اختبار الحالة الموحدة.

الفروق الدقيقة الرئيسية

حتى لا تسبب مسألة كيفية العثور على الزاوية ثنائية الأضلاع صعوبات ، نوصيك باتباع خوارزمية الحل التي ستساعدك على التعامل مع مهام الاختبار.

تحتاج أولاً إلى تحديد الخط الذي تتقاطع فيه الطائرات.

ثم على هذا الخط ، تحتاج إلى اختيار نقطة ورسم عمودين عليها.

الخطوة التالية هي إيجاد دالة مثلثيةزاوية ثنائية السطوح ، والتي تتكون من الخطوط العمودية. من الأنسب القيام بذلك بمساعدة المثلث الناتج ، الذي تشكل الزاوية جزءًا منه.

ستكون الإجابة هي قيمة الزاوية أو دالة المثلثية الخاصة بها.

التحضير للاختبار مع شكولكوفو هو مفتاح نجاحك

خلال الفصل في اليوم السابق اجتياز الامتحانيواجه العديد من الطلاب مشكلة البحث عن التعريفات والصيغ التي تسمح لك بحساب الزاوية بين مستويين. الكتاب المدرسي ليس دائمًا في متناول اليد تمامًا عند الحاجة إليه. وتجد الصيغ الضروريةوأمثلة منهم التطبيق الصحيح، بما في ذلك للعثور على الزاوية بين الطائرات على الإنترنت ، تحتاج أحيانًا إلى قضاء الكثير من الوقت.

عروض البوابة الرياضية "شكولكوفو" نهج جديدللتحضير لامتحان الدولة. ستساعد الفصول الدراسية الموجودة على موقعنا على الإنترنت الطلاب في تحديد الأقسام الأكثر صعوبة لأنفسهم وسد الثغرات المعرفية.

لقد أعددنا وأعلننا كل شيء بوضوح المواد اللازمة. التعريفات والصيغ الأساسية مقدمة في قسم "المرجع النظري".

من أجل استيعاب المادة بشكل أفضل ، نقترح أيضًا ممارسة التمارين المقابلة. مجموعة كبيرةيتم عرض المهام بدرجات متفاوتة من التعقيد ، على سبيل المثال ، في ، في قسم "الفهرس". تحتوي جميع المهام على خوارزمية مفصلة للعثور على الإجابة الصحيحة. يتم استكمال وتحديث قائمة التدريبات على الموقع باستمرار.

التدرب على حل المشكلات التي تتطلب إيجاد الزاوية بين طائرتين ، تتاح للطلاب الفرصة لحفظ أي مهمة عبر الإنترنت إلى "المفضلة". بفضل هذا ، سيتمكنون من العودة إليه بالعدد اللازم من المرات ومناقشة التقدم المحرز في حله مع مدرس أو مدرس.

هذا الدرس ل دراسة ذاتيةموضوع "زاوية ثنائية السطوح". خلال هذا الدرس ، سيتعرف الطلاب على أحد أهم الأشكال الهندسية ، الزاوية ثنائية السطوح. في الدرس أيضًا ، يجب أن نتعلم كيفية تحديد الزاوية الخطية للمعنى الشكل الهندسيوما هي الزاوية ثنائية الأضلاع عند قاعدة الشكل.

دعنا نكرر ما هي الزاوية على مستوى وكيف يتم قياسها.

أرز. 1. الطائرة

ضع في اعتبارك المستوى α (الشكل 1). من وجهة نظر اشعاعان يخرجان OVو OA.

تعريف. الشكل الذي يتكون من شعاعين ينبثقان من نفس النقطة يسمى الزاوية.

تُقاس الزاوية بالدرجات والراديان.

لنتذكر ما هو راديان.

أرز. 2. راديان

إذا كانت لدينا زاوية مركزية طول قوسها يساوي نصف القطر ، فإن هذه الزاوية المركزية تسمى زاوية 1 راديان. ، ∠ AOB= 1 راد (الشكل 2).

العلاقة بين الراديان والدرجات.

مسرور.

نحن نحصل عليه ، سعداء. (). ثم،

تعريف. زاوية زوجيةيسمى الشكل المكون من خط مستقيم أواثنين من أنصاف المستويات بحد مشترك ألا ينتمون إلى نفس الطائرة.

أرز. 3. نصف طائرات

ضع في اعتبارك أنصاف طائرتين α و (الشكل 3). الحدود المشتركة بينهما هي أ. يسمى هذا الرقم بزاوية ثنائية السطوح.

المصطلح

أنصاف المستويات α و هي وجوه الزاوية ثنائية السطوح.

مستقيم أهي حافة زاوية ثنائية السطوح.

على حافة مشتركة أزاوية ثنائية السطوح اختر نقطة عشوائية ا(الشكل 4). في نصف المستوى α من النقطة ااستعادة العمودي OAإلى خط مستقيم أ. من نفس النقطة افي نصف المستوى الثاني نبني العمود العمودي OVعلى الضلع أ. حصلت على زاوية AOB، والتي تسمى الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح.

أرز. 4. قياس زاوية ثنائي السطوح

دعونا نثبت المساواة بين جميع الزوايا الخطية لزاوية ثنائية السطوح معينة.

دعونا نحصل على زاوية ثنائية الأضلاع (الشكل 5). اختر نقطة او نقطة حوالي 1على خط مستقيم أ. لنقم ببناء زاوية خطية مقابلة للنقطة ا، أي نرسم عمودين OAو OVفي المستويين α و ، على التوالي ، إلى الحافة أ. نحصل على الزاوية AOBهي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح.

أرز. 5. توضيح للإثبات

من وجهة نظر حوالي 1ارسم عمودين الزراعة العضوية 1و OB 1على الضلع أفي المستويين α و على التوالي ، ونحصل على الزاوية الخطية الثانية أ 1 س 1 ب 1.

أشعة س 1 أ 1و OAالاتجاه المشترك ، حيث أنهما يقعان في نفس نصف المستوى ومتوازيان مع بعضهما البعض كعموديين متعامدين على نفس الخط أ.

وبالمثل ، الأشعة حوالي 1 في 1و OVمحاذاة ، مما يعني ∠ AOB =∠ أ 1 س 1 ب 1كزوايا ذات جوانب توجيهية ، والتي كان من المقرر إثباتها.

مستوى الزاوية الخطية عمودي على حافة الزاوية ثنائية السطوح.

يثبت: أ ⊥ AOW.

أرز. 6. توضيح للإثبات

دليل - إثبات:

OA ⊥ أعن طريق البناء ، OV ⊥ أعن طريق البناء (الشكل 6).

لقد حصلنا على هذا الخط أعمودي على خطين متقاطعين OAو OVخارج الطائرة AOB، وهو ما يعني مستقيم أعمودي على المستوى OABالتي كان من المقرر إثباتها.

تُقاس الزاوية ثنائية السطوح بزاوية خطية. هذا يعني أنه يتم احتواء العديد من درجات الراديان في زاوية خطية ، حيث يتم احتواء العديد من درجات الراديان في زاوية ثنائية السطوح. وفقًا لهذا ، يتم تمييز الأنواع التالية من الزوايا ثنائية الأضلاع.

شارب (الشكل 6)

تكون الزاوية ثنائية الأضلاع حادة إذا كانت الزاوية الخطية حادة ، أي .

مستقيم (الشكل 7)

تكون الزاوية ثنائية السطوح صحيحة عندما تكون الزاوية الخطية 90 درجة - منفرج (الشكل 8)

تكون الزاوية ثنائية الأضلاع منفرجة عندما تكون الزاوية الخطية منفرجة ، أي .

أرز. 7. الزاوية اليمنى

أرز. 8. زاوية منفرجة

أمثلة على بناء الزوايا الخطية بأرقام حقيقية

ABCد- رباعي السطوح.

1. أنشئ زاوية خطية لزاوية ثنائية الأضلاع بحافة AB.

أرز. 9. توضيح للمشكلة

مبنى:

نحن نتحدث عن زاوية ثنائية السطوح تتكون من حافة ABووجوه ABدو ABC(الشكل 9).

لنرسم خطًا مستقيمًا دحعمودي على المستوى ABC, حهي قاعدة العمود العمودي. دعونا نرسم منحرف دمعمودي على الخط AB ،م- قاعدة مائلة. من خلال نظرية العمودي الثلاثة ، نستنتج أن إسقاط المائل NMعمودي أيضًا على الخط AB.

هذا هو ، من وجهة نظر ماستعادة عمودين متعامدين على الحافة ABعلى الجانبين ABدو ABC. لدينا زاوية خطية دMN.

لاحظ أن AB، حافة الزاوية ثنائية السطوح ، عموديًا على مستوى الزاوية الخطية ، أي المستوى دMN. تم حل المشكلة.

تعليق. يمكن تحديد زاوية ثنائية السطوح بالطريقة الآتية: دABC، أين

AB- الحافة والنقاط دو منالاستلقاء على جوانب مختلفة من الزاوية.

2. أنشئ زاوية خطية لزاوية ثنائية الأضلاع بحافة تيار متردد.

لنرسم عموديًا دحالى الطائرة ABCومائل دنعمودي على الخط كما.من خلال نظرية العمودي الثلاثة ، نحصل على ذلك HN- الإسقاط المائل دنالى الطائرة ABC ،عمودي أيضًا على الخط كما.دنيو هامبشاير- الزاوية الخطية لزاوية ثنائية الأضلاع مع ضلع تيار متردد.

في رباعي الوجوه دABCكل الحواف متساوية. نقطة م- وسط الضلع تيار متردد. إثبات أن الزاوية دMV- الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح أنتد، أي زاوية ثنائية الأضلاع بحافة تيار متردد. أحد حوافه تيار مترددد، ثانيا - DIA(الشكل 10).

أرز. 10. توضيح المشكلة

المحلول:

مثلث ADC- متساوي الاضلاع، DMهو الوسيط ومن ثم الارتفاع. وسائل، دم ⊥ كما.وبالمثل ، المثلث أفيج- متساوي الاضلاع، فيمهو الوسيط ، ومن ثم الارتفاع. وسائل، VM ⊥ كما.

إذن من هذه النقطة مضلوع تيار مترددأعادت الزاوية ثنائية السطوح عمودين DMو VMإلى هذه الحافة في وجوه الزاوية ثنائية السطوح.

إذن ∠ DMفيهي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح ، والتي كان من المقرر إثباتها.

لذلك ، حددنا الزاوية ثنائية السطوح ، الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح.

في الدرس التالي ، سنأخذ في الاعتبار عمودية الخطوط والمستويات ، ثم نتعلم ماهية الزاوية ثنائية الأضلاع في قاعدة الأشكال.

مراجع حول موضوع "الزاوية ثنائية السطوح" ، "الزاوية ثنائية السطوح عند قاعدة الأشكال الهندسية"

1. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي للتعليم العام المؤسسات التعليمية/ Sharygin IF - M: Bustard، 1999. - 208 ص: مريض.
2. الهندسة. الصف العاشر: كتاب مدرسي ل المؤسسات التعليميةمع دراسة متعمقة وملف تعريف للرياضيات / هـ. في بوتوسكويف ، إل آي زفاليتش. - الطبعة السادسة ، الصورة النمطية. - م: بوستارد ، 2008. - 233 ص: مريض.

1. Yaklass.ru ().
2. e-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

الواجب المنزليحول موضوع "الزاوية ثنائية السطوح" ، تحديد الزاوية ثنائية السطوح عند قاعدة الأشكال

الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية (أساسي و مستويات الملف الشخصي) / آي إم سميرنوفا ، ف.أ. سميرنوف. - الطبعة الخامسة مصححة ومكملة - م: Mnemozina، 2008. - 288 ص: مريضة.

المهام 2 ، 3 ص .67.

ما هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح؟ كيف نبنيها؟

ABCد- رباعي السطوح. أنشئ زاوية خطية لزاوية ثنائية الأضلاع بحافة:

أ) فيدب) دمن.

ABCDA 1 ب 1 ج 1 د 1 - مكعب زاوية الرسم الخطي للزاوية ثنائية السطوح أ 1 أ ب جمع ضلع AB. تحديد مقياس درجته.