Ось так я бачу вираз головного принципу, який завжди забезпечував людству величезну швидкість, на якій воно безтурботно і вільно мчить у бік знака. "Стоп!". Цей принцип можна висловити, звісно, і інакше: " приймемо об'єкт "А" за точку" або " тридцятьма відсотками голосів за інші ідеї можна знехтувати". Можна знехтувати чим завгодноякщо тільки це щосьзаважає однозначно відповісти на питання, що нас цікавлять. А таких питань багато, які вже багато років нас цікавлять, і якщо ми не здатні отримати на них однозначну відповідь, то просто підтасовуємо дані так, щоб однозначна відповідь таки вийшла. Підтасовування даних найчастіше відбувається за допомогою спрощення системи; ми нехтуємо деякими даними та отримуємо певний результат. Тому народжується наступне питання. А чому і виходячи з яких міркувань ми знехтували саме цими даними? Може ми просто намагаємося підігнати умови завдання під очікуваний результат? Чому ми вдаємо, що даних, якими ми нехтуємо, не існує в природі і вони ні на що не впливають?
"Звичайно ж впливають- скаже вам будь-який математик чи фізик,- але їхній вплив абсолютно незначний. І навіть цей незначний вплив ми враховуємо, якщо нам взагалі раптом захочеться його врахувати, за допомогою такого поняття, як похибкаАле ж навіть з математики відомо, що похибка зростає зі зростанням кількості вчинених дій, що мали на увазі нехтування якимись даними. Якщо, наприклад, перемножити два числа, які були округлені з точністю до семи вірних знаків після коми, то отримаємо число, яке вже не міститиме сім вірних знаків після коми. Тобто. похибка зростає.) Тут неврахований, малю-ю-сенький такий фактор, тут теж знехтуємо, і так багато разів. І в результаті ми отримуємо не просто точний результат; в ньому вже буде закладено неприпустиму неточність з точки зору використання цього результату для вирішення багатьох інших завдань. Але такі результати часто вживаються на озброєння і рідко хто помічає, що неточність неприпустима велика. Йому відразу ж наводять приклад, для якого використання неточного результату не створює жодних проблем. Принаймні так здається здавалося б. Коли помилка вилізе, а трапиться це може після вирішення пари-трійки рівнянь, що випливають із попередньої логіки, або ж це може статися через кілька сотень років - доведеться повертатися назад за розрахунками і парадигмами вниз, поки ми на якомусь з етапів не побачимо неприпустиме спрощення .
Тому не дарма кажуть диявол у дрібницяхі, цілком можливо, що не дарма слово "похибкамає в собі явну вказівку на щось невдячне. Щось погане ми робимо, виходить?
А тепер подивіться на обсяг тексту, який всього-на-всього описує вправні виверти і фокуси, які використовує людство в спробі відповісти на питання, що його цікавлять. Адже була можливість вчинити по-іншому і не намагатися спотворювати навколишню дійсність, підтасовуючи дані, і не намагатися шукати відповіді на всі запитання. Можна було просто зрозуміти і змиритися з тим, що на деякі запитання нам не дано знати відповідь хоча б тому, що людина ще навіть не навчилася правильно їх формулювати. Можна було нарешті змиритися і з тим, що світ набагато складніший, ніж наші схематичні уявлення про нього. Можна вже було змиритися і з тим, що техногенний світ, створений нами, заснований на спрощеннях, і тому він простіше влаштований, і тому не ідеальний, і йому це можна пробачити. І нам це також можна пробачити. Можна було вже нарешті змиритися і з тим, що менше не здатне пізнати більше, що менш складно влаштована система не здатна пізнати складніше влаштовану. І можна було просто жити, люблячи цей світ таким, яким він є. І любити себе у цьому світі і взагалі все, що є у цьому світі. І такі люди є, повірте =). Але є й такі, які не хочуть любити – вони хочуть досліджувати, а предмет дослідження, тим часом, зовсім не поспішає залишати категорію. недосліджений"і" до бабці не ходиЩе на дуже і дуже довгий час залишиться для людей непізнаним. Різні загалом є люди.
Що це означає і як це вплине на розв'язання задачі.
По-перше, розберемося, що таке опір повітря і чому воно виникає. Як ви знаєте (маємо знати, ви ж ходите до школи), всі речовини складаються з молекул або атомів. Атоми це дрібні частинки (уявимо, що це маленькі-маленькі кульки), а молекули – це теж маленькі, але вже складаються з кількох атомів штуки.
Наприклад, молекула води Н 2 
Про складається з двох атомів водню Н і одного атома кисню (тобто три кульки злиплися в одну штуку).
Як ми до цього сказали, що "всі речовини"складаються з них, те й повітря складається теж з атомів і молекул (ми дихаємо киснем, значить 100% він є у повітрі). Коли ми кидаємо м'ячик або якийсь предмет вниз, він починає стикатися з дрібними кульками (атомами і молекулами) повітря. Саме ці зіткнення і називають опором повітря.
Тепер спробуємо знехтувати цим опором. Для цього просто приберемо всі ці дрібні кульки (атоми і молекули) з повітря. Погодьтеся нагадує вакуум (або безповітряний простір)?Тобто тіла при падінні ні з ким не стикатимуться, а просто летітимуть вниз.
Тепер розберемося, як це вплине рішення завдання?
Уявимо, що ми кидаємо з однакової висоти м'ячик та пір'їнку. Що впаде швидше? М'ячик? Ні. Перишко? Ні. Так само впадуть? Ні. Чому ні?Та тому, що ми не знаємо у повітрі це відбувається (де є опір) або у вакуумі (немає опору). У повітрі швидше впаде м'ячик, оскільки він важчий, і йому простіше збивати зі свого шляху атоми/молекули повітря. А пір'їнка легша, вона трохи гальмуватиметься при цих зіткненнях. Якщо ж ми кидаємо їх у вакуумі, то вони впадуть однаково, тому що їм не доведеться ні з ким стикатися.
Не вірите? Дивіться відео (слухати не обов'язково, воно англійською).
Ось ще відео на цю ж тему
Завдання 10016
На підлозі стоїть візок у вигляді довгої дошки, з легкими колесами. На одному кінці дошки стоїть людина. Маса його m1=60 кг, маса дошки m2=20 кг. З якою швидкістю (щодо підлоги) рухатиметься візок, якщо людина піде вздовж нього зі швидкістю (щодо дошки) v = 1 м/с? Масою коліс і тертям знехтувати.
Завдання 13147
Тіло масою m 1 = 0,25 кг, з'єднане невагомою ниткою за допомогою блоку (у вигляді порожнистого тонкостінного циліндра) з тілом масою m 2 = 0,2 кг, ковзає по поверхні горизонтального столу. Маса блоку m = 0,15 кг Коефіцієнт тертя f тіла поверхню дорівнює 0,2. Нехтуючи тертям у підшипниках, визначте: 1) прискорення а, з яким рухатимуться ці тіла; 2) сили натягу T 1 і Т 2 нитки з обох боків блоку.
Завдання 40128
Знайти подовження буксирного троса, жорсткість якого дорівнює 100 кН/м при буксируванні автомобіля масою 2 т з прискоренням 0,5 м/с 2 . Тертям знехтувати.
Завдання 25920
На підлозі стоїть візок у вигляді довгої дошки, з легкими колесами. На одному кінці стоїть людина масою m 1 = 80 кг. З якою швидкістю v 2 щодо підлоги поїде візок, якщо людина піде дошкою зі швидкістю v 1 = 1 м/с щодо дошки? Маса m 2 візка дорівнює 40 кг. Тертям знехтувати.
Завдання 11043
Два бруски масами m 1 = 1 кг та m 2 = 4 кг, з'єднані шнуром, лежать на столі. З яким прискоренням а рухатимуться бруски, якщо до одного з них докласти силу F = 10 H, спрямовану горизонтально? Якою буде сила натягу Т шнура, що з'єднує бруски, якщо силу F = 10 Н прикласти до першого бруска? до другого бруску? Тертям знехтувати.
Завдання 11108
Камінь ковзає з найвищої точки купола, що має форму півсфери. Яку дугу α опише камінчик, перш ніж відірветься від поверхні купола? Тертям знехтувати.
Завдання 23936
Дві однакові залізничні цистерни зчеплені разом. Одна з них порожня, а інша з гасом. Маса кожної цистерни з платформою дорівнює 10 т, довжина платформи 16 м, маса гасу 60 т. Цистерни з'єднані шлангом, і гас за законом сполучених судин розподілився в обох цистернах порівну. На скільки змістяться цистерни, якщо вони не загальмовані? Тертям знехтувати.
Завдання 16538
З гірки висотою h скочується без ковзання, що прослизає. Тертя зневажливо мало. Швидкість кулі біля основи гірки вирахували за формулою. Визначити похибку результату. Результат: 1) завищено; 2) занижений; 3) вірний.
Завдання 19273
На столі лежить гнучка мотузка, одна п'ята довжина якої вільно звисає. Яку роботу потрібно виконати, щоб витягнути цю частину мотузки на стіл? Довжина мотузки l= 1 м, та її маса m = 1 кг. Тертям знехтувати.
Енергія, робота, потужність. Закони збереження у механіці.
Поле тяжіння. Рух у полі центральних сил.
Елементи спеціальної теорії відносності.
2.1. Приклади розв'язання задач
1. Санки, що рухаються горизонтальним льодом зі швидкістю v=2 м/с, в'їжджають на асфальт (рис. 2.1). Вважаючи, що довжина полозів санок дорівнює ℓ=0,8 м, а коефіцієнт тертя їх об асфальт дорівнює μ=0,2 визначити шлях S, пройдений санками по асфальту, якщо відомо, що S>ℓ. Масу санчат вважати рівномірно розподіленою за довжиною полозів. Тертям санок об лід знехтувати.
Рішення. Коли санки в'їжджають на асфальт, поступове збільшення сили тиску N полозів на асфальт від нуля до максимального значення, рівного силі тяжкості mg санок. У зв'язку з цим зростає і сила тертя 
, що діє на санки з боку асфальту.
Оскільки санки рухаються під дією змінної сили, скористаємося для вирішення завдання поняттями роботи та енергії. Робота сили тертя, що діє на санки, визначається зміною їхньої кінетичної енергії від 
до W 2 = 0. Тоді на підставі співвідношення
можна записати
. (1)
З іншого боку, роботу Атр можна обчислити за формулою
,
де F тр - Сила тертя;
α – кут між напрямком руху та напрямком, що діє сили. У цьому випадку α=180 0 .
Для цього розіб'ємо весь шлях S, пройдений санками, на дві ділянки S=ℓ+S". На шляху ℓ на санки діє змінна сила тертя 
. Знайдемо досконалу нею роботу А1. Нехай санки вже пройшли асфальтом шлях x (рис. 2.1), тоді сила тиску полозів на асфальт дорівнює
,
сила тертя
,
а робота цієї сили на шляху ℓ
.
(2)
Інтеграл узятий зі знаком « мінустому, що величина F тр і dx мають протилежні знаки. На шляху S " сила тертя постійна і дорівнює μmg, і тому робота, яку вона виконує
.
Повна робота сили тертя
.
(3)
Прирівнюючи праві частини рівностей (1) та (3) та скорочуючи на масу, знайдемо
.
Таким чином, весь шлях, пройдений санями:
.
(4)
м.
Відповідь:S= 1,42 м.
2. Гиря, покладена верхній кінець спіральної пружини, стискає їх у x 0 =1,0 мм. На скільки стисне пружину ця ж гиря, кинута вертикально вниз із висоти h=0,20 м зі швидкістю v=1,0 м/с?
Рішення.Шукана величина x деформації пружини визначається з формули потенційної енергії стиснутої пружини:
.
Тому можна скористатися законом збереження енергії. Так як на гирю діє сила тяжіння, розглянемо систему Земля-гиря-пружина. Оскільки при русі гирі та стиску пружини тертя практично не виникає, повна механічна енергія цієї ізольованої системи буде зберігатися.
Підрахуємо енергію системи у її початковому (I) та кінцевому (II) станах (рис. 2.2). Виберемо за нульовий рівень відліку висоти найнижче положення гирі, що відповідає стиснутій пружині. У початковому стані енергія системи W 1 складається з потенційної та кінетичної енергії гирі:
.
(1)
У кінцевому стані у гирі не буде кінетичної енергії, зате стиснута пружина матиме енергію пружної деформації. Таким чином, повна енергія системи W 2 дорівнюватиме:
,
(2)
Де коефіцієнт пружної деформації k, згідно з його визначенням, дорівнює
.
(3)
Прирівнюючи за законом збереження енергії праві частини виразів (1) та (2) з урахуванням співвідношення (3), отримаємо після простих перетворень квадратне рівняння щодо x:
Розв'язавши рівняння, знайдемо
.
Негативний корінь не задовольняє умову завдання, тому що x<0 означает растяжение пружины, тогда как на самом деле она сжимается.
м.
Відповідь:x=8 10 -2 м.
3. Невелике тіло зісковзує вниз з висоти h=1,0 м по похилому жолобу, що переходить у «мертву петлю» радіуса R=0,80 м (рис. 2.3). На якій висоті h "випадає тіло з петлі? Тренням знехтувати.
Рішення.Спершу з'ясуємо, чому, рухаючись уздовж петлі, тіло може відірватися від неї. На тіло в довільний момент його руху вгору по петлі діють дві сили: сила тяжіння m gта сила тиску Nпетлі, спрямована по радіусу до центру кола. За другим законом Ньютона,
. (1)
Направимо осі проекцій x і y векторами нормального і тангенціального прискорень a n aτ, тобто. за радіусом та дотичною до кола. Враховуючи що
і 
,
запишемо замість (1) два скалярні рівняння для осей x і y відповідно:
,
(2)
.
(3)
Так як при русі вгору по петлі величина 
зростає, а 
спадає, то величина 
у рівнянні (2) повинна й загалом зменшуватися. При зверненні N нанівець тіло відірветься від петлі.
Прийнявши N=0 перепишемо, скорочуючи величину m, рівняння (2) і (3) для моменту відриву тіла від петлі:
,
(2 ")
.
(3 ")
У систему (2 ") і (3 ") явно не увійшла шукана величина h ", проте вона дуже просто пов'язана з кутом α. Як видно з рис. 2.3,
.
(4)
Тому було достатньо знайти величину α. Однак знайти її із системи (2”), (3”) неможливо, тому що ця система містить більше двох невідомих.
Оскільки тертя відсутнє і, отже, на тіло діють лише потенційні сили, то повна механічна енергія тіла (точніше: замкнутої системи тіло-жолоб-Земля) під час його руху зберігатиметься.
У початковий момент часу тіло має лише потенційну енергію
У момент відриву тіла, що рухається зі швидкістю v тіла, його повна енергія
W 2 = 
.
Прирівнявши за законом збереження енергії величини W 1 і W 2 отримаємо
. (5)
Тепер з (2”), (4) та (5), матимемо
.
Виразивши величини, що входять у формулу, в одиницях СІ та підставивши їх числові значення, отримаємо:
м.
Відповідь: 
м.
Зауваження.Необхідно відзначити, що тіло випадає з петлі не за будь-яких значень h. Дійсно, так як h "не може бути більше 2R і менше R (при h" Отже, при 4 Рішення.На систему платформа з знаряддям-снарядззовні діють дві сили: сила тяжіння системи Отже, під час пострілу система не замкнута, її імпульс змінюється. Однак обидві сили, що розглядаються, діють по вертикалі, у той час як у горизонтальному напрямку ніякі сили на систему не діють (тертям платформи про рейки нехтуємо). Тому проекція імпульсу системи на горизонтальний напрямок (на вісь x) є постійна величина: Нехай станам системи до та після пострілу відповідають значення величини де Щоб зв'язати величину v з шуканою швидкістю v ", розглядатимемо рух снаряда щодо Землі як складне, що складається з двох: зі швидкістю vщодо знаряддя та зі швидкістю v/3 разом із знаряддям щодо Землі. Тоді відповідно до закону складання швидкостей матимемо: Спроектуємо вектори, що входять до (4), на вісь x: Замінивши на (3) величину Виразивши величини, що входять у формулу, в одиницях СІ та підставивши їх числові значення, отримаємо: Відповідь: v "
=774 м/с. 5. На кормі човна завдовжки ℓ=200 см та масою M=120 кг сидить людина масою m=80 кг. Внаслідок короткочасного поштовху човен з людиною набуває швидкості v 0 =2 м/с і починає рухатися від одного берега каналу шириною d=10 м до іншого берега (рис. 2.5), при цьому людина переходить із корми на ніс човна. Нехтуючи опором води, знайти час руху човна. Рішення.Розглядаючи систему човен-людинаяк замкнуту та застосовуючи закон збереження імпульсу де З 1 і З 2 – початкове та кінцеве положення центру інерції системи; v 0 –швидкість центру інерції. З формули (1) випливає, що відповідь залежить від характеру руху людини. Припустимо, що було рівномірним протягом усього проміжку часу. Тоді буде рівномірним і рух човна. Нехай p 0 та p- Імпульси системи відповідно в початковий і деякий проміжний моменти часу. Тоді, згідно із законом збереження імпульсу, де -швидкість людини (всі швидкості дано в системі відліку, пов'язаної із Землею). Розв'язавши рівняння (2) щодо t, отримаємо Виразивши величини, що входять у формулу, в одиницях СІ та підставивши їх числові значення, отримаємо: Відповідь:t= 4,4 с. 6. На спокійній воді ставка стоїть човен, довжиною L і масою M, перпендикулярно до берега, звернена до нього носом. На кормі стоїть людина масою m. На яку відстань S відійде човен від берега, якщо людина перейде з корми на ніс човна? Тертям про воду і повітря знехтувати. Рішення. Для простоти рішення вважатимемо, що людина йде човном з постійною швидкістю. Човен у цьому випадку також рухатиметься рівномірно. Тому шлях s, пройдений човном щодо берега, визначимо за такою формулою: де v – швидкість човна щодо берега; t – час руху човна. Швидкість v човна знайдемо, користуючись законом збереження імпульсу (кількості руху). Оскільки за умовою завдання система людина-човенізольована і в початковий момент щодо берега була у спокої, то згідно із законом збереження імпульсу, опустивши знак мінус, отримаємо: де u – швидкість людини щодо берега. Час t руху човна дорівнює часу переміщення людини човном, тобто. де S – шлях, пройдений людиною щодо берега. Підставивши отримані вирази v та t, знайдемо Відповідь: 7. При пострілі з пружинного пістолета вертикально вгору куля масою 20г піднялася на висоту 5 м. Визначити жорсткість k пружини пістолета, якщо вона була стиснута на 10 см. Масу пружини знехтувати. Рішення.Для вирішення задачі скористаємося законом збереження енергії у механіці. Але насамперед простежимо за енергетичними перетвореннями, з якими пов'язаний постріл. При зарядженні пістолета стискається пружина. При цьому відбувається робота A 1 , в результаті чого пружина набуває потенційної енергії W p1 . При пострілі потенційна енергія пружини перетворюється на кінетичну енергію W 2 кулі, потім при підйомі її на висоту h перетворюється на потенційну енергію W p 2 кулі. Якщо знехтувати втратами енергії у цьому ланцюжку енергетичних перетворень, то на підставі закону збереження енергії можна записати Виразимо роботу А1. Сила F 1 , що стискає пружину, є змінною. У кожний момент часу вона за напрямом протилежна силі пружності Fі чисельно дорівнює їй. Сила пружності, що виникає у пружині при її деформації, визначається за законом Гука: де x - Абсолютна деформація пружини. Роботу змінної сили обчислимо як суму елементарних робіт. Елементарна робота при стисканні пружини на dx виразиться формулою dA 1 =F 1 dx, Інтегруючи в межах від 0 до s, отримаємо Потенційна енергія кулі на висоті h визначається за формулою де g - Прискорення вільного падіння. Таким чином, маємо Тепер можемо підставити числові значення та зробити обчислення Відповідь: k = 0,2 кН/м. 8 Рішення. Частка енергії, переданої першою кулею другій, висловиться співвідношенням де W k1 - Кінетична енергія першої кулі до удару; v 1 - швидкість першої кулі до удару; W k2 – кінетична енергія другої кулі після удару; u 2 – швидкість другої кулі після удару. Як бачимо, для визначення треба знайти u 2 . При ударі абсолютно пружних тіл одночасно виконуються два закони збереження: закон збереження імпульсу та закон збереження енергії в механіці. Користуючись цими законами, знайдемо u 2 . За законом збереження імпульсу, враховуючи, що друга куля до удару спочивала, маємо: За законом збереження енергії Вирішуючи спільно дані рівняння, знайдемо Підставивши цей вираз у формулу для визначення частки енергії, скоротивши на v 1 і m 1 , отримаємо Як видно з отриманого співвідношення, частка переданої енергії залежить тільки від мас куль, що стикаються. Частка енергії, що передається, не зміниться, якщо кулі поміняються місцями. Відповідь:
9. Ящик масою m 1 =20 кг зісковзує по ідеально гладкому лотку завдовжки =2 м на нерухомий візок з піском і застряє в ньому. Візок з піском масою m 2 =80 кг може вільно (без тертя) переміщатися рейками в горизонтальному напрямку (рис. 2.7). Визначити швидкість uвізки з ящиком, якщо лоток нахилений під кутом =30 o до рейок. Рішення. Візок і ящик можна розглядати як систему двох тіл, що не пружно взаємодіють. Але ця система не замкнута, оскільки сума зовнішніх сил, що діють на систему: двох сил тяжкості m 1 gта m 2 gта сили реакції N 2, не дорівнює нулю. Тому застосувати закон збереження імпульсу до системи "ящик - візок" не можна. Але оскільки проекція суми зазначених сил напрям осі x, що з напрямом рейок, дорівнює нулю, то складову імпульсу системи у напрямі вважатимуться постійної, тобто. де p 1x та p 2x – проекції імпульсу ящика та візка з піском у момент падіння ящика на візок; p 1x і p 2x – ті самі величини після падіння ящика. Виразимо у вище записаній рівності імпульси тіл через їх маси та швидкості, врахувавши при цьому, що p 2x =0 (візок до взаємодії з ящиком покосилася), а також що після взаємодії обидва тіла системи рухаються з однією і тією ж швидкістю u: де v 1 - Швидкість ящика перед падінням на візок; v 1x =v 1 cos – проекція цієї швидкості на вісь x. Звідси висловимо потрібну швидкість: Швидкість v 1 ящика перед падінням визначимо із закону збереження енергії де h=sin. Після скорочення на m1 знайдемо Підставивши знайдений вираз для v 1 формулу для швидкості u, отримаємо Попередньо перевіривши розмірність отриманого результату, підставимо числові значення та зробимо обчислення: Відповідь: u = 0,77 м / с. 10. При пружному ударі нейтрона про ядро вуглецю він рухається після удару в напрямку перпендикулярному до початкового. Вважаючи, що маса М ядра вуглецю в n=12 разів більша за масу m нейтрону, визначити, у скільки разів зменшується енергія нейтрона в результаті удару. Рішення.Введемо позначення: v-Швидкість нейтрону до удару, v-Швидкість нейтрона після удару, V-Швидкість ядра вуглецю після удару (до удару вона дорівнює нулю). В результаті пружного удару імпульс та енергія, якими до удару володів нейтрон, розподіляються між двома частинками. При цьому за законами збереження імпульсу та енергії відповідно маємо: За умовою завдання потрібно знайти відношення Для розрахунків необхідно перейти від векторної форми запису рівняння (1) до скалярної форми. Це можна зробити, застосувавши метод проекцій, який неодноразово використовувався. Однак у цьому випадку можна зробити простіше. Зобразимо малюнку 2.8 імпульсим v" , M Vта їхню векторну суму m v, враховуючи, що кут між векторами m vта m vдорівнює π/2. З трикутника імпульсів маємо Почленно розділивши рівняння (2) на m та (3) на m 2 і враховуючи умову M/m=n, отримаємо: Щоб виключити із системи величину V, розділимо почленно (5) на (4): а чисельник і знаменник отриманого співвідношення на (v ") 2 тоді знаходимо Відповідь: α=1,2. 11. Молот масою 5,00 кг, рухаючись зі швидкістю v=4,00 м/с, ударяє по залізному виробу, що лежить на ковадлі. Маса ковадла разом з виробом дорівнює M=95 кг. Вважаючи удар абсолютно непружним, визначити енергію, що витрачається на кування (деформацію) виробу. Чому дорівнює ККД процесу кування за даних умов? Рішення.Строго кажучи, система молот-виріб-ковадлоне є замкнутою. На неї діють ззовні сила тяжіння (M+m)g і сила тиску N опори, де стоїть ковадло. Під час удару молота друга сила тією чи іншою мірою, яка визначається пружними властивостями опори, буде перевищувати першу силу і до системи, що розглядається, буде прикладена ззовні рівнодіюча Однак сили ударної взаємодії тіл дуже великі. Очевидно, умова завдання передбачає, що в порівнянні з цими силами величиною R можна знехтувати, і, таким чином, вважати систему замкненою. З закону збереження енергії можна стверджувати, що енергія, витрачена деформацію вироби, дорівнює різниці значень механічної енергії до і після удару. Оскільки під час удару змінюється лише кінетична енергія тіл (незначним переміщенням тіл по вертикалі під час удару ми нехтуємо), то енергії деформації отримуємо де v "-загальна швидкість всіх тіл системи після непружного удару, яку можна визначити на підставі закону збереження імпульсу: Підставивши формулу (1) значення v " , отримаємо: Так як енергія, що витрачається на кування виробу, є за змістом завдання корисним, то ККД процесу кування Підставивши числові значення заданих величин формули (3) і (4) і виконавши обчислення, отримаємо: Відповідь: Зауваження. З формули (4) видно, що ККД процесу кування тим більше, чим більше маса ковадла порівняно з масою молота. При (m/
M)
0
η
1.
12. Маховик, виконаний у вигляді диска радіусом 0,4 м і має масу 1 кг, розкручено до швидкості обертання 480 об/хв і надано самому собі. Під дією тертя валу підшипників він до повної зупинки зробив 240 оборотів. Визначити момент сил тертя валу про підшипники. Рішення. Так як за умови завдання дано число оборотів, зроблених маховиком до повної зупинки, то скористаємося рівнянням, що виражає зв'язок між роботою та зміною кінетичної енергії, для обертального руху: де А = М – робота сил тертя; – кут повороту; 1 та 2 – початкова та кінцева кутові швидкості маховика, при цьому 2 =0. Розмірність одержаного результату очевидна. Підставимо отримане для M 2 вираз числові значення вхідних величин і зробимо обчислення: Знак « мінус»означає, що на маховик дійсно діють сили тертя. Відповідь: М 2
=-6,7 Нм. 13. Платформа як суцільного диска радіусом R=1,5 м і масою m 1 =180 кг обертається по інерції біля вертикальної осі з частотою n=10 хв -1 (рис. 2.9). У центрі платформи стоїть людина масою m2 = 60 кг. Яку лінійну швидкість щодо підлоги приміщення матиме людина, якщо вона перейде на край платформи? Рішення. Платформа обертається за інерцією. Отже, момент зовнішніх сил щодо осі обертання z, яка збігається з геометричною віссю платформи, дорівнює нулю. При цьому момент імпульсу L z системи "платформа-людина" залишається постійним: L z =I z =const, де I z – момент інерції платформи з людиною щодо осі z; – кутова швидкість платформи. Момент інерції системи дорівнює сумі моментів інерції тіл, що входять до складу системи, тому де I 1 -Момент інерції платформи; I 2 - Момент інерції людини. З огляду на це маємо (I 1 +I 2)=const (I 1 +I 2)=(I 1 +I 2 ), де нештриховані значення величин відносяться до початкового стану системи, штриховані до кінцевого стану. Момент інерції платформи (суцільного диска) щодо осі z при переході людини не зміняться: Момент інерції людини змінюватиметься. Якщо людини розглядати як матеріальну точку, його момент інерції I z в початковому положенні (у центрі платформи) вважатимуться рівним нулю. У кінцевому положенні (на краю платформи) момент інерції людини Підставимо у формулу закону збереження знайдені вирази моментів інерції, початкову кутову швидкість обертання платформи з людиною, виражену через частоту обертання n (=2n) та кінцеву кутову швидкість, виражену через лінійну швидкість v людини щодо статі (=v/R ), отримаємо: Після простих перетворень знаходимо цікаву для нас швидкість: Перевіривши розмірність отриманого результату, підставимо числові значення фізичних величин у системі СІ, здійснимо обчислення: Відповідь: v =0,96 м/с. 14. Кругла платформа радіуса R=1,00 м, момент інерції якої I=130 кгм 2 обертається по інерції навколо вертикальної осі, роблячи n 1 =1,00 об/с. На краю платформи стоїть людина, маса якої m=70 кг (рис. 2.10). Скільки обертів за секунду n 2 здійснюватиме платформа, якщо людина перейде до її центру? Момент інерції людини розраховувати як матеріальної точки. Рішення.Переміщаючись платформою, людина взаємодіє з нею. Про характер цієї взаємодії нам нічого не відомо, тому основне рівняння динаміки обертального руху до платформи не можна застосувати. У цьому завдання немає підстав і для застосування закону збереження енергії, оскільки не виключено, що, переміщаючись по платформі, що обертається, людина буде виконувати роботу, змінюючи механічну енергію системи, що обертається платформа-людина. Відповідно до умови завдання, платформа з людиною обертається за інерцією. Це означає, що результуючий момент всіх зовнішніх сил, прикладених до системи, що обертається, дорівнює нулю. Отже, для системи платформа-людинавиконується закон збереження моменту імпульсу, який запишемо так: Початковий момент імпульсу системи L 1 (людина стоїть край платформи) і кінцевий момент імпульсу L 2 (людина стоїть у центрі платформи) відповідно рівні: де I – момент інерції платформи; ω 1 – початкова кутова швидкість системи; n 1 - початкове число оборотів системи; I 2 =I - кінцевий момент інерції системи; ω 2 – кінцева кутова швидкість системи; n 2 - кінцеве число оборотів системи. Вирішуючи систему рівнянь (1)–(3), для кінцевого числа оборотів системи матимемо: Перевіривши розмірність отриманого результату, підставивши числові значення фізичних величин у системі СІ, здійснимо обчислення: Відповідь:n 2
=1,54 про/с. 15. Маховик, що має вигляд диска радіуса R та маси М, може обертатися навколо горизонтальної осі. До його циліндричної поверхні прикріплено шнур, до іншого кінця якого підвішено вантаж маси m. Вантаж був піднятий і відпущений. Впавши вільно з висоти h, тягар натягнув шнур і завдяки цьому навів маховик у обертання (рис. 2.11). Яку кутову швидкість придбав при цьому маховик? Рішення.Коли вантаж, що падає, натягує шнур, виникає взаємодія за допомогою шнура між вантажем і маховиком. Характер взаємодії залежить від пружних властивостей тіл (переважно шнура). Внаслідок цієї взаємодії збільшується швидкість точок циліндричної поверхні маховика і зменшується швидкість падіння гирі. Шнур розтягується до тих пір, поки ці швидкості не стануть однаковими. Таку короткочасну взаємодію вантажу та маховика можна розглядати як непружний удар. За непружного удару закон збереження механічної енергії не виконується. Отже, для вирішення цього завдання цей закон не застосовується. Однак до системи вантаж-маховикможна застосувати закон збереження моменту імпульсу. На систему, що розглядається, діють три зовнішні сили: сила тяжіння маховика, реакція опори і сила тяжіння вантажу. Оскільки дві перші сили проходять перпендикулярно до осі диска, їх момент щодо цієї осі дорівнює нулю. Дія ж моменту сили тяжіння вантажу, рівного mgR, під час удару можна знехтувати порівняно з моментом сил взаємодії вантажу і маховика при ударі. Таким чином, можна вважати, що результуючий момент усіх зовнішніх сил щодо осі маховика під час удару дорівнює нулю. Тоді, згідно із законом збереження моменту імпульсу, де L 1 та L 2 – моменти імпульсу системи вантаж – маховиквідповідно на початку та в кінці удару. Так як на початку удару диск був ще нерухомий, величина L 1 являє собою момент імпульсу падаючого вантажу щодо осі обертання маховика. Приймаючи вантаж за матеріальну точку, можна записати де v 1 - швидкість гирі, яку можна знайти за відомою формулою швидкості при вільному падінні: Величина L 2 дорівнює сумарному моменту імпульсу гирі і маховика, що обертається, коли швидкості вантажу і точок циліндричної поверхні диска стали однаковими: де величини v 2 і ω пов'язані співвідношенням Підставивши в рівняння (1) значення L1 і L2. Вирішивши його щодо ω з урахуванням формул (3), (5) та Відповідь: 16. Маятник у вигляді однорідної кулі, жорстко скріплений з тонким стрижнем, довжина якого дорівнює радіусу кулі, може здійснювати коливальні рухи навколо горизонтальної осі, що проходить через кінець стрижня (рис. 2.12). У кулю нормально до поверхні ударилася куля массыm=10,0 р, що летіла горизонтально зі швидкістю v=800 м/с, і застрягла в кулі. Маса кулі М=10,0 кг, її радіус R=15 см. На який кут відхилиться маятник в результаті удару кулі? Масою стрижня знехтувати. Рішення.Як видно з малюнка, кут α, що шукається, пов'язаний з висотою h підйому центру кулі: Оскільки величина h визначає потенційну енергію, отриману кулею внаслідок удару кулі. Оскільки в результаті удару кулі в шар швидкості обох тіл будуть однаковими, то удар слід вважати непружним. Отже, механічна енергія у процесі удару не зберігається (частково перетворюється на внутрішню енергію). Однак після удару механічна енергія системи, що рухається маятник-кулязберігатиметься, оскільки тепер у ній діють лише потенційні сили. Таким чином, при підйомі кулі разом з кулею кінетична енергія обертального руху системи перетворюватиметься на потенційну енергію піднятих тіл. За законом збереження енергії, де I – момент інерції маятника разом із кулею, що застрягла в ньому; h " – висота підйому кулі. За умовою задачі M>>m, тому, нехтуючи масою кулі порівняно з масою кулі, величиною Для моменту інерції маятника, на підставі теореми Штейнера, матимемо: Для визначення кутової швидкості ω скористаємося законом збереження моменту імпульсу. Його застосування ґрунтується на тому, що під час удару на систему маятник-куляззовні діють сили тяжкості та реакції опори. Друга сила проходить перпендикулярно до осі маятника, тому її момент дорівнює нулю. Враховуючи, що за час удару маятник не встигає помітно відхилитися від вертикалі, і зважаючи на умову M>>m, можна вважати, що і перша сила під час удару теж проходить перпендикулярно осі обертання. Отже, її момент також дорівнює нулю. Відповідно до закону збереження моменту імпульсу системи під час удару, має виконуватися співвідношення: де Величина Момент імпульсу Вирішуючи систему рівнянь (4)–(6), отримуємо для кутової швидкості Виключивши із системи (1)–(3), (7) невідомі I, ω і h, знайдемо Підставивши в цю формулу числові значення величин, виражені в одиницях СІ, і здійснивши обчислення, отримаємо: Відповідь: α=26 0
.
17. Через блок, виконаний у вигляді диска і має масу m=80 г, перекинуто тонку, гнучку нитку, до кінців якої підвішено вантажі з масами m 1 =100 г і m 2 =200 г (рис. 2.13). З яким прискоренням рухатимуться вантажі, якщо їх надати самим собі? Тертям знехтувати. Рішення. Застосуємо вирішення завдання закон збереження енергії, за яким за відсутності тертя повна енергія ізольованої системи залишається незмінною. Енергія при цьому може перетворюватися тільки з потенційної на кінетичну, і навпаки. Нагадаємо, що в механіці повною енергією тіла називається сума його потенційної та кінетичної енергій. Припустимо, що у початковий момент руху потенційна енергія першого вантажу дорівнювала W p1 , другого – W p2 . Через деякий час висота першого вантажу збільшилася h, другого зменшилася на h. Потенційна енергія першого вантажу дорівнювала W 1 = W p1 + m 1 gh, W 2 = W p2 - m 2 gh. Крім того, кожен із вантажів, рухаючись з прискоренням a, придбав за цей час швидкість v і кінетичну енергію, рівну відповідно Так само диск, обертаючись рівноприскорено, придбав кутову швидкість і відповідну їй кінетичну енергію де Тоді для кінетичної енергії диска, після відповідних перетворень, матимемо Закон збереження імпульсу доцільно застосовувати на вирішення завдань, у яких потрібно визначати швидкості, а чи не сили чи прискорення. Звичайно, вирішувати такі завдання можна, використовуючи закони Ньютона. Але застосування закону збереження імпульсу полегшує рішення. Перш ніж вирішувати завдання за допомогою закону збереження імпульсу, треба з'ясувати, чи можна застосовувати його в даному випадку. Закон можна застосовувати для замкнутої системи або у випадку, коли сума проекцій сил на будь-який напрямок дорівнює нулю, а також коли імпульс зовнішніх сил можна знехтувати. Для розв'язання задачі слід записати закон у векторній формі (5.3.7). Після цього векторне рівняння записують у проекціях на осі вибраної системи координат(1). Вибір напряму осей диктується зручністю розв'язання задачі. Якщо, наприклад, всі тіла рухаються вздовж однієї прямої, то координатну вісь доцільно спрямувати вздовж цієї прямої. При вирішенні деяких завдань доводиться додатково використовувати рівняння кінематики. Деякі завдання вирішуються із застосуванням рівняння зміни імпульсу у формі (5.3.5). Завдання 1 Сталева кулька масою 0,05 кг падає з висоти 5 м на сталеву плиту. Після зіткнення кулька відскакує від плити з такою ж швидкістю за модулем. Знайдіть силу, що діє на плиту при ударі, вважаючи її постійною. Час зіткнення дорівнює 0,01 с. Рішення. При ударі куля та плита діють один на одного з силами, рівними по модулю, але протилежними у напрямку. Визначивши силу, що діє на кульку з боку плити, ми тим самим знайдемо силу, з якою кулька діяла на плиту за час Δt, протягом якої триває зіткнення. Під час зіткнення на кульку діють дві сили: сила тяжіння m та сила з боку плити (рис. 5.13). Мал. 5.13 Відповідно до рівняння (5.2.3) Позначимо через 1 швидкість кульки безпосередньо до удару об плиту, а через 2 - швидкість після удару, тоді зміна імпульсу кульки Δ = m 2 - m 1 тому У проекціях на вісь це рівняння запишеться так: Враховуючи, що v 2 = v 1 = v отримаємо Модуль швидкості кульки при падінні з висоти h визначається за формулою v = = 10 м/с. Тепер, використовуючи вираз (5.7.1), знайдемо модуль сили: За третім законом Ньютона Отже, F1 = 100,5 Н; ця сила прикладена до плити та спрямована вниз. Зауважимо, що чим менший час взаємодії Δt, тим більшим буде значення величини у формулі (5.7.1) порівняно з mg. Тому при зіткненні можна не враховувати силу важкості. Якби шар був зроблений з пластиліну, то він би прилип до плити і модуль зміни його імпульсу був би вдвічі меншим. Відповідно і сила, що діє на плиту, була б також удвічі меншою. Завдання 2 Під час маневрів на залізничній станції дві платформи масами m 1 = 2,4 10 4 кг та m 2 = 1,6 10 4 кг рухалися назустріч один одному зі швидкостями, модулі яких дорівнюють v 1 = 0,5 м/с та v 2 = 1 м/с. Знайдіть швидкість їхнього спільного руху після того, як спрацювало автозчеплення. Рішення. Зобразимо платформи, що схематично рухаються, до зіткнення (рис. 5.14). Зовнішні сили 1 і m 1 , 2 і m 2 діють на тіла системи, взаємно врівноважені. На платформи діють ще сили тертя, що є зовнішніми для системи. Мал. 5.14 При коченні платформ рейками сили тертя невеликі, тому за малий інтервал часу зіткнення вони помітно не змінять імпульс системи. Отже, можна застосувати закон збереження імпульсу: де – швидкість платформ після зчеплення. У проекціях на вісь X маємо: Оскільки v 1х = v 1 a v 2x = -v 2 то Негативний знак проекції швидкості показує, що швидкість спрямована протилежно до осі X (справа наліво). Завдання 3 Дві пластилінові кульки, відношення мас яких = 4, після зіткнення злиплися і стали рухатися по гладкій горизонтальній поверхні зі швидкістю . (Мал. 5.15, вид зверху). Мал. 5.15 Визначте швидкість легкої кулі до зіткнення(2), якщо вона рухалася втричі швидше за важку (v 1 = Зv 2), а напрямки руху куль були взаємно перпендикулярні. Тертям знехтувати. Рішення. Так як швидкості 1 і 2 куль взаємно перпендикулярні, осі прямокутної системи координат зручно направити паралельно цим швидкостям. Відповідно до закону збереження імпульсу маємо: Запишемо це рівняння у проекціях на осі X та У, проведені так, як показано на малюнку 5.15: Оскільки v 1x = v 1 , v 2x = 0, v 1y = 0 і v 2y = v 2 , то Модуль швидкості дорівнює: Отже, v1 = u, отже, v1 = Зu. Завдання 4 Коник сидить на кінці соломинки довжиною l, що лежить на гладкій підлозі. Коник стрибає та потрапляє на інший кінець соломинки. З якою мінімальною початковою швидкістю щодо підлоги min він повинен стрибнути, якщо маса М, а маса соломинки m. Опір повітря та тертя не враховувати. Рішення. Направимо вісь У вгору, а вісь X вздовж соломинки у напрямку стрибка коника (рис. 5.16). Проекції швидкості v коника на координатні осі відповідно дорівнюють: v x = vcos α і v y = vsin α. Мал. 5.16 Розглянемо систему коник – соломинка. На тіла системи зовнішні сили діють лише за вертикальним напрямом (тертя відсутня). Оскільки сума проекцій зовнішніх сил на вісь X дорівнює нулю, то зберігається сума проекцій імпульсів коника і соломинки на вісь X: де v 1x – проекція швидкості соломинки щодо статі. Звідси По горизонтальному напрямку коник щодо соломинки пролетить відстань l. Отже, модуль горизонтальної складової його швидкості щодо соломинки, що рухається, дорівнює: Але з іншого боку, Таким чином, Очевидно, що модуль швидкості коника мінімальний тоді, коли максимальний знаменник дробу отриманого виразу. Як відомо, значення синуса не може бути більше 1. Отже, Завдання 5 У початковий час ракета масою М мала швидкість v0. Наприкінці кожної секунди з ракети викидається порція газу масою m. Швидкість порції газу відрізняється від швидкості ракети до згоряння даної маси газу на постійне значення, що дорівнює u, тобто швидкість закінчення газу постійна. Визначте швидкість ракети за n секунд. Дія сили тяжкості не враховувати. Рішення. Позначимо через v k швидкість ракети наприкінці k секунди. Наприкінці (k + 1)-ї секунди з ракети викидається газ масою m, який забирає із собою імпульс, рівний m(-u + v k). Із закону збереження імпульсу, записаного для модулів векторів, випливає, що Зміна швидкості ракети за 1 с дорівнює: Знаючи зміну швидкості за 1 с, можна написати вираз для швидкості в кінці n секунди: Вправа 10 (1) Іноді доцільно вирішувати завдання, використовуючи закон складання векторів. (2) Якщо після зіткнення тіла рухаються з однаковою швидкістю, такий удар називається абсолютно непружним.
,
.
,
тіло з петлі не випадає.
. На залізничній платформі, що рухається за інерцією зі швидкістю v=10 м/с, укріплено знаряддя, ствол якого спрямований у бік руху платформи і піднятий над горизонтом на кут α=30 0 (рис. 2.4). Зброя зробила постріл, у результаті швидкість платформи зі зброєю зменшилася втричі. Знайти швидкість v" снаряда (щодо зброї) при вильоті зі стовбура. Маса снаряда m = 10 кг, маса платформи з знаряддям M = 1000 кг.
та сила нормального тиску Nрейок. До пострілу ці сили врівноважувалися, оскільки система рухалася поступово. Під час пострілу сила взаємодії між платформою та рейками зростає внаслідок явища віддачі, тому рівновага сил, прикладених до системи, порушується:
.
.
(1)
, рівні 
і 
. Розглядаючи всі рухи щодо Землі, отримаємо:
, (2)
,
(3)
– проекція на вісь швидкості v з снаряда щодо Землі.
.
(4)
.
(5)
її значенням по (5) і прирівнявши згідно (1) праві частини формул (2) та (3), знайдемо
.
м/с.
, приходимо до висновку, що оскільки закон руху людини щодо човна нам невідомий, рух човна щодо води (або Землі) не можна вважати рівномірним. Однак на підставі співвідношення 
можна стверджувати, що швидкість центру мас системи щодо води є постійна величина: 
. Звідси випливає, що шуканий час
,
(1)
, тобто.
,
(2)
-Швидкість човна;
.
с.
,
,
.
,
.
.
.
.
.
.
Н/м=0,2 кН/м.
. Куля масою m 1 , що рухається горизонтально з деякою швидкістю v 1 зіткнулася з нерухомою кулею масою m 2 . Кулі абсолютно пружні, удар прямий, центральний (рис. 2.6). Яку частку своєї кінетичної енергії перша куля передала другу?
,
.
.
.
.
,
.
,
.
.
, (1)
.
(2)
.
,
(4)
.
(5)
,
,
.
,
(1)
.
(2)
.
.
(3)
. (4)
Дж;
.
Дж; 
.
-Зміна кінетичної енергії;
-Момент інерції маховика щодо даної осі обертання;
.
Нм.
.
.
.
.
.
(1)
- Момент інерції людини;
-Початковий момент інерції системи;
.
про/с.
,
(1)
, (2)
.
(3)
,
(4)
.
(5)
, отримаємо
.
.
.
(1)
,
(2)
у рівнянні (2) можна знехтувати.
, (4)
, і 
- Моменти імпульсу системи відповідно на початку м в кінці процесу удару.
є момент імпульсу кулі, що летить відносно осі обертання маятника (сам маятник поки що нерухомий). На підставі визначення маємо
.
(5)
маятника з кулею, що застрягла в ньому, згідно з визначенням, дорівнює
. (6)
. (7)
.
; α=26 0 .
і 
.
,
- Момент інерції диска;
-кутова швидкість.
.
