متعدد الحدود هو تعبير يتكون من مجموع أحاديات الحد. الأخير هو نتاج ثابت (رقم) وجذر (أو جذور) التعبير أس k. في هذه الحالة، نتحدث عن كثيرة الحدود من الدرجة k. يتضمن توسيع كثير الحدود تحويل التعبير الذي يتم فيه استبدال المصطلحات بعوامل. دعونا نفكر في الطرق الرئيسية لتنفيذ هذا النوع من التحول.

طريقة لتوسيع كثيرة الحدود عن طريق عزل عامل مشترك

تعتمد هذه الطريقة على قوانين قانون التوزيع. إذن، mn + mk = m * (n + k).

• مثال:قم بتوسيع 7y 2 + 2uy و 2m 3 - 12m 2 + 4lm.

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u)،

2م3 – 12م2 + 4لوم = 2م(م2 – 6م + 2ل).

ومع ذلك، فإن العامل الموجود بالضرورة في كل كثيرة حدود قد لا يتم العثور عليه دائمًا هذه الطريقةليست عالمية.

طريقة توسيع كثيرات الحدود تعتمد على صيغ الضرب المختصرة

صيغ الضرب المختصرة صالحة لمتعددات الحدود من أي درجة. في منظر عاميبدو تعبير التحويل كما يلي:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1)، حيث k ممثل لـ الأعداد الطبيعية .

الصيغ الأكثر استخدامًا عمليًا هي لكثيرات الحدود من الرتبتين الثانية والثالثة:

ش 2 - ل 2 = (ش - ل)(ش + ل)،

ش 3 – ل 3 = (ش – ل)(ش 2 + ul + ل 2),

ش 3 + ل 3 = (ش + ل)(ش 2 – ل + ل 2).

• مثال:قم بتوسيع 25ع 2 - 144 ب 2 و 64 م 3 - 8ل 3.

25ع2 – 144ب2 = (5ع – 12ب)(5ع + 12ب)،

64م 3 – 8ل 3 = (4م) 3 – (2ل) 3 = (4م – 2ل)((4م) 2 + 4م * 2ل + (2ل) 2) = (4م – 2ل)(16م2 + 8مل + 4ل2) ).

طريقة توسيع كثيرات الحدود - تجميع مصطلحات التعبير

تشترك هذه الطريقة بطريقة ما مع تقنية اشتقاق العامل المشترك، ولكن بها بعض الاختلافات. على وجه الخصوص، قبل عزل العامل المشترك، يجب تجميع أحاديات الحد. يعتمد التجميع على قواعد القوانين التوافقية والتبادلية.

يتم تقسيم جميع أحاديات الحد المقدمة في التعبير إلى مجموعات، في كل منها معنى عامبحيث يكون العامل الثاني هو نفسه في جميع المجموعات. بشكل عام، يمكن تمثيل طريقة التحلل هذه بالتعبير:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).

• مثال:منتشرة 14 مليون + 16 لتر - 49 م - 56 لتر.

14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).

طريقة توسيع كثيرات الحدود - تشكيل مربع كامل

هذه الطريقة هي واحدة من أكثر الطرق فعالية في توسيع كثير الحدود. في المرحلة الأولية، من الضروري تحديد أحاديات الحد التي يمكن "طيها" في مربع الفرق أو المجموع. للقيام بذلك، استخدم إحدى العلاقات:

(ص – ب) 2 = ص 2 – 2pb + ب 2 ,

• مثال:قم بتوسيع التعبير u 4 + 4u 2 – 1.

من بين أحاديات الحد، نختار الحدود التي تشكل مربعًا كاملاً: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =

= (ش 4 + 2 * 2ش 2 + 4) – 4 – 1 = (ش 4 + 2 * 2ش 2 + 4) – 5.

أكمل التحويل باستخدام قواعد الضرب المختصرة: (ش 2 + 2) 2 – 5 = (ش 2 + 2 – √5)(ش 2 + 2 + √5).

الذي - التي. ش 4 + 4ش 2 – 1 = (ش 2 + 2 – √5)(ش 2 + 2 + √5).

ماذا حدث التخصيم؟هذه طريقة لتحويل مثال غير مريح ومعقد إلى مثال بسيط ولطيف.) تقنية قوية جدًا! تم العثور عليها في كل خطوة في الرياضيات الابتدائية والعليا.

تسمى هذه التحولات في اللغة الرياضية بالتحويلات المتماثلة للتعبيرات. لمن لا يعرف فلينظر إلى الرابط. هناك القليل جدًا، وهو بسيط ومفيد.) معنى أي تحويل للهوية هو تسجيل التعبير في شكل آخرمع الحفاظ على جوهرها.

معنى التخصيمبسيطة للغاية وواضحة. مباشرة من الاسم نفسه. قد تنسى (أو لا تعرف) ما هو المضاعف، لكن يمكنك معرفة أن هذه الكلمة تأتي من كلمة "مضاعف"؟) يعني التخصيم: تمثل تعبيرا في شكل ضرب شيء بشيء. عسى أن تغفر لي الرياضيات واللغة الروسية...) هذا كل شيء.

على سبيل المثال، تحتاج إلى توسيع الرقم 12. يمكنك الكتابة بأمان:

لذلك قدمنا ​​الرقم 12 كضرب 3 في 4. يرجى ملاحظة أن الأرقام الموجودة على اليمين (3 و 4) مختلفة تمامًا عن الأرقام الموجودة على اليسار (1 و 2). لكننا نفهم جيدًا أن 12 و3 4 نفس.جوهر الرقم 12 من التحول لم يتغير.

هل من الممكن أن تتحلل 12 بشكل مختلف؟ بسهولة!

12=3·4=2·6=3·2·2=0.5·24=..........

خيارات التحلل لا حصر لها.

إن تحليل الأرقام أمر مفيد. إنه يساعد كثيرًا، على سبيل المثال، عند العمل مع الجذور. لكن تحليل التعبيرات الجبرية ليس مفيدًا فحسب، بل هو أيضًا كذلك ضروري!فقط على سبيل المثال:

تبسيط:

أولئك الذين لا يعرفون كيفية تحليل التعبير يستريحون على الهامش. أولئك الذين يعرفون كيف - يبسطون ويحصلون على:

التأثير مذهل، أليس كذلك؟) وبالمناسبة، الحل بسيط للغاية. سترى بنفسك أدناه. أو على سبيل المثال هذه المهمة:

حل المعادلة:

× 5 - × 4 = 0

بالمناسبة، يتم تحديده في العقل. باستخدام التخصيم. سوف نقوم بحل هذا المثال أدناه. إجابة: × 1 = 0؛ × 2 = 1.

أو نفس الشيء ولكن بالنسبة لكبار السن):

حل المعادلة:

في هذه الأمثلة أظهرت الغرض الرئيسىالتحليل: تبسيط التعابير الكسرية وحل بعض أنواع المعادلات. أنصحك أن تتذكر بحكم التجربة:

إذا كان أمامنا مقدار كسري مخيف، فيمكننا تجربة تحليل البسط والمقام. في كثير من الأحيان يتم تقليل الكسر وتبسيطه.

إذا كانت لدينا معادلة أمامنا، حيث يوجد صفر على اليمين، وعلى اليسار - لا أفهم ماذا، يمكننا محاولة تحليل الجانب الأيسر. في بعض الأحيان يساعد).

الطرق الأساسية للتحليل.

وإليك الطرق الأكثر شيوعًا:

4. توسيع ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية.

يجب أن نتذكر هذه الأساليب. بالضبط بهذا الترتيب. يتم فحص الأمثلة المعقدة للجميع الطرق الممكنةتقسيم.ومن الأفضل التحقق بالترتيب حتى لا نرتبك... فلنبدأ بالترتيب.)

1. إخراج العامل المشترك من القوسين.

طريقة بسيطة وموثوقة. لا شيء سيئ يأتي منه! يحدث ذلك بشكل جيد أو لا يحدث على الإطلاق.) ولهذا السبب يأتي أولاً. دعونا معرفة ذلك.

الجميع يعرف (على ما أعتقد!) القاعدة:

أ(ب+ج) = أب+أ

أو بشكل أعم:

أ(ب+ج+د+.....) = أب+أ+إعلان+....

جميع عمليات المساواة تعمل من اليسار إلى اليمين، والعكس من اليمين إلى اليسار. يمكنك كتابة:

أب+أ = أ(ب+ج)

أب + أس + إعلان + .... = أ(ب+ج+د+.....)

هذا هو بيت القصيد من إخراج العامل المشترك من الأقواس.

على الجانب الأيسر أ - المضاعف المشتركلجميع المصطلحات. مضروبا بكل ما هو موجود). على اليمين هو الأكثر أيقع بالفعل خارج الأقواس.

الاستخدام العمليدعونا نلقي نظرة على الطريقة باستخدام الأمثلة. في البداية يكون الخيار بسيطًا، بل وحتى بدائيًا.) ولكن سأشير إلى هذا الخيار ( أخضر) جداً نقاط مهمةلأي عوامل.

حلل إلى عوامل:

آه+9x

أيّ عامهل يظهر المضاعف في كلا المصطلحين؟ × بالطبع! سنخرجه من بين قوسين. هيا بنا نقوم بذلك. نكتب على الفور X خارج الأقواس:

الفأس+9س=س(

وبين قوسين نكتب نتيجة القسمة كل مصطلحعلى هذا X بالذات. مرتب:

هذا كل شئ. وبطبيعة الحال، ليست هناك حاجة لوصف ذلك بمثل هذه التفاصيل، فهذا يتم في العقل. ولكن من المستحسن أن نفهم ما هو). نسجل في الذاكرة:

نكتب العامل المشترك خارج الأقواس. نكتب بين قوسين نتائج قسمة جميع الحدود على هذا العامل المشترك. مرتب.

لذلك قمنا بتوسيع التعبير آه+9xبواسطة المضاعفات. حولتها إلى ضرب x بواسطة (أ+9).وألاحظ أنه في التعبير الأصلي كان هناك ضرب أيضًا، حتى اثنين: الفأس و 9x.لكنه لم يتم تحليلها!لأنه بالإضافة إلى الضرب، يحتوي هذا التعبير أيضًا على إضافة، علامة "+"! وفي التعبير س(أ+9) لا يوجد شيء سوى الضرب!

كيف ذلك!؟ - أسمع صوت الشعب الغاضب - وبين قوسين!؟)

نعم، هناك إضافة داخل القوسين. لكن الحيلة هي أنه بينما لا يتم فتح الأقواس، فإننا نفكر فيها مثل حرف واحد.ونقوم بجميع الإجراءات باستخدام الأقواس بالكامل، كما هو الحال مع حرف واحد.وبهذا المعنى في التعبير س(أ+9)لا يوجد شيء سوى الضرب. هذا هو بيت القصيد من التخصيم.

بالمناسبة، هل من الممكن التحقق بطريقة أو بأخرى مما إذا كنا قد فعلنا كل شيء بشكل صحيح؟ بسهولة! يكفي أن تضرب ما وضعته (x) بين قوسين لترى ما إذا كان يعمل أم لا إبداعيتعبير؟ إذا نجح الأمر، فكل شيء على ما يرام!)

س(أ+9)=الفأس+9س

حدث.)

لا توجد مشاكل في هذا المثال البدائي. ولكن إذا كان هناك عدة شروط، وحتى مع علامات مختلفة... باختصار، كل طالب ثالث يخطئ). لذلك:

إذا لزم الأمر، تحقق من التحليل عن طريق الضرب العكسي.

حلل إلى عوامل:

3فاس + 9x

نحن نبحث عن عامل مشترك. حسنًا، كل شيء واضح مع X، ويمكن إزالته. هل يوجد المزيد عامعامل؟ نعم! هذا هو ثلاثة. يمكنك كتابة التعبير مثل هذا:

3فأس + 3 3x

من الواضح هنا على الفور أن العامل المشترك سيكون 3x. وهنا نخرجه:

3فأس+3 3س=3س(أ+3)

ينتشر.

ماذا يحدث إذا أخرجته س فقط؟لا شيء مميز:

3أكس+9س=س(3أ+9)

سيكون هذا أيضًا عاملاً. ولكن في هذه العملية الرائعة، من المعتاد وضع كل شيء إلى الحد الأقصى بينما تكون هناك فرصة. هنا بين قوسين هناك فرصة لوضع ثلاثة. سوف يتحول:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

نفس الشيء، مع إجراء إضافي واحد فقط.) تذكر:

عند إخراج العامل المشترك من الأقواس، نحاول إخراجه أقصىعامل مشترك.

هل نواصل المرح؟)

عامل التعبير:

3اخ+9x-8a-24

ماذا سنأخذ بعيدا؟ ثلاثة، اكس؟ كلا... لا يمكنك ذلك. أذكرك أنه يمكنك فقط إخراجها عامالمضاعف وهذا هو في كل شيءمصطلحات التعبير. لهذا السبب هو عام.لا يوجد مثل هذا المضاعف هنا... ماذا، ليس عليك توسيعه!؟ حسنًا، نعم، كنا سعداء جدًا... تعرف على:

2. التجمع.

في الواقع، من الصعب تسمية المجموعة بطريقة مستقلةالتخصيم. إنها أكثر من وسيلة للخروج مثال معقد.) نحن بحاجة إلى تجميع المصطلحات بحيث يعمل كل شيء. ولا يمكن إظهار ذلك إلا بالمثال. إذن لدينا التعبير:

3اخ+9x-8a-24

يمكن ملاحظة أن هناك بعض الحروف والأرقام الشائعة. لكن... عاملا يوجد مضاعف ليكون في جميع الشروط. دعونا لا نفقد القلب و كسر التعبير إلى أجزاء.التجميع. بحيث يكون لكل قطعة عامل مشترك، هناك شيء يجب إزالته. كيف نكسرها؟ نعم، لقد وضعنا بين قوسين فقط.

اسمحوا لي أن أذكرك أنه يمكن وضع الأقواس في أي مكان وكيفما تريد. فقط جوهر المثال لم يتغير.على سبيل المثال، يمكنك القيام بذلك:

3اخ+9x-8a-24=(3أ+9خ)-(8أ+24)

يرجى الانتباه إلى الأقواس الثانية! وهي مسبوقة بعلامة ناقص، و 8 أو 24 تحولت إيجابية! إذا قمنا، للتحقق، بفتح الأقواس مرة أخرى، فسوف تتغير العلامات، ونحصل على ذلك إبداعيتعبير. أولئك. جوهر التعبير من الأقواس لم يتغير.

ولكن إذا قمت فقط بإدخال قوسين دون مراعاة تغيير الإشارة، على سبيل المثال، مثل هذا:

3اخ+9x-8a-24=(3فأس + 9x) -(8أ-24 )

سيكون خطأ. على اليمين - بالفعل آخرتعبير. افتح الأقواس وسيصبح كل شيء مرئيًا. ليس عليك أن تقرر أكثر، نعم...)

ولكن دعونا نعود إلى التخصيم. دعونا ننظر إلى الأقواس الأولى (3فأس + 9x)ونفكر، هل هناك أي شيء يمكننا إخراجه؟ حسنًا، لقد قمنا بحل هذا المثال أعلاه، يمكننا أن نأخذه 3x:

(3فأس+9س)=3س(أ+3)

دعونا ندرس القوسين الثانيين، يمكننا إضافة ثمانية هناك:

(8أ+24)=8(أ+3)

سيكون تعبيرنا بالكامل:

(3ax+9x)-(8أ+24)=3x(أ+3)-8(أ+3)

في الحسبان؟ لا. يجب أن تكون نتيجة التحلل الضرب فقطولكن معنا علامة الطرح تفسد كل شيء. لكن... كلا المصطلحين لهما عامل مشترك! هذا (أ+3). لم يكن من قبيل الصدفة أنني قلت إن جميع الأقواس هي حرف واحد. وهذا يعني أنه يمكن إخراج هذه الأقواس من الأقواس. نعم، هذا بالضبط ما يبدو عليه.)

نحن نفعل كما هو موضح أعلاه. نكتب العامل المشترك (أ+3)، وفي القوسين الثانيين نكتب نتائج قسمة الحدود على (أ+3):

3x(أ+3)-8(أ+3)=(أ+3)(3x-8)

الجميع! ليس على الحق إلا الضرب! وهذا يعني أن عملية التحليل قد اكتملت بنجاح!) وها هو:

3ax+9x-8a-24=(أ+3)(3x-8)

دعونا نكرر بإيجاز جوهر المجموعة.

إذا لم يكن التعبير عامالمضاعف ل الجميعفي الحدود، نقوم بتقسيم التعبير إلى قوسين بحيث يكون داخل القوسين العامل المشترك كان.نحن نخرجه ونرى ما سيحدث. إذا كنت محظوظًا وكانت هناك تعبيرات متطابقة تمامًا بين القوسين، فسننقل هذه الأقواس خارج القوسين.

سأضيف أن التجميع هو عملية إبداعية). لا ينجح الأمر دائمًا في المرة الأولى. لا بأس. في بعض الأحيان يتعين عليك مبادلة الشروط والنظر فيها متغيرات مختلفةالمجموعات حتى يتم العثور على واحدة ناجحة. الشيء الرئيسي هنا هو عدم فقدان القلب!)

أمثلة.

الآن، بعد أن أثريت نفسك بالمعرفة، يمكنك حل الأمثلة الصعبة.) في بداية الدرس كان هناك ثلاثة من هذه...

تبسيط:

في جوهرها، لقد قمنا بالفعل بحل هذا المثال. دون علم أنفسنا.) أذكركم: إذا حصلنا على كسر رهيب، فإننا نحاول تحليل البسط والمقام. خيارات التبسيط الأخرى ببساطة لا.

حسنًا، المقام هنا ليس موسعًا، بل البسط... لقد قمنا بالفعل بتوسيع البسط خلال الدرس! مثله:

3ax+9x-8a-24=(أ+3)(3x-8)

نكتب نتيجة التوسع في بسط الكسر:

وفقًا لقاعدة تبسيط الكسور (الخاصية الرئيسية للكسر)، يمكننا قسمة (في نفس الوقت!) البسط والمقام على نفس الرقم أو التعبير. جزء من هذا لم يتغير.لذا نقسم البسط والمقام على التعبير (3x-8). وهنا وهناك سنحصل على تلك. النتيجة النهائية للتبسيط:

أود أن أؤكد بشكل خاص: تقليل الكسر ممكن إذا وفقط إذا كان في البسط والمقام، بالإضافة إلى ضرب التعبيرات لا يوجد شئ.ولهذا السبب تحول المجموع (الفرق) إلى عمليه الضربمهم جدا للتبسيط. بالطبع، إذا كانت التعبيرات مختلف،ثم لن يتم تخفيض أي شيء. سوف تحدث. لكن التخصيم يعطي فرصة.هذه الفرصة دون التحلل ليست موجودة ببساطة.

مثال مع المعادلة:

حل المعادلة:

× 5 - × 4 = 0

نخرج العامل المشترك × 4خارج الأقواس. نحن نحصل:

× 4 (س-1)=0

نحن ندرك أن حاصل ضرب العوامل يساوي صفرًا عندها وعندها فقط،عندما يكون أي منهم صفراً. إذا كنت في شك، فابحث عن عددين غير الصفر، والتي عند ضربها، ستعطي صفرًا.) لذلك نكتب أولاً العامل الأول:

ومع مثل هذه المساواة، لا يعنينا العامل الثاني. يمكن لأي شخص أن يكون كذلك، ولكن في النهاية سيظل صفرًا. ما العدد الذي يعطيه الصفر للقوة الرابعة؟ صفر فقط! ولا غيره... ولذلك:

لقد اكتشفنا العامل الأول ووجدنا جذرًا واحدًا. دعونا ننظر إلى العامل الثاني. الآن لم نعد نهتم بالعامل الأول.):

وهنا وجدنا الحل: × 1 = 0؛ × 2 = 1. أي من هذه الجذور يناسب معادلتنا.

ملاحظة مهمة جدا. يرجى ملاحظة أننا حللنا المعادلة قطعة قطعة!وكان كل عامل يساوي الصفر، بغض النظر عن العوامل الأخرى.بالمناسبة، إذا لم يكن هناك عاملان في مثل هذه المعادلة، مثل عاملنا، ولكن ثلاثة، خمسة، أي عدد تريده، فسوف نحلها مشابه.قطعة قطعة. على سبيل المثال:

(س-1)(س+5)(س-3)(س+2)=0

أي شخص يفتح الأقواس ويضرب كل شيء سيظل عالقًا في هذه المعادلة إلى الأبد.) سيرى الطالب الصحيح على الفور أنه لا يوجد شيء على اليسار سوى الضرب، وصفر على اليمين. وسيبدأ (في ذهنه!) بمساواة جميع الأقواس بالصفر. وسوف يتلقى (في 10 ثوان!) القرار الصائب: س 1 = 1؛ × 2 = -5؛ × 3 = 3؛ × 4 = -2.

رائع، أليس كذلك؟) مثل هذا الحل الأنيق ممكن إذا كان الجانب الأيسر من المعادلة حلل الى عوامل.حصلت على التلميح؟)

حسنًا، المثال الأخير، للأطفال الأكبر سنا):

حل المعادلة:

إنها تشبه إلى حد ما السابقة، ألا تعتقد ذلك؟) بالطبع. حان الوقت لنتذكر أنه في الجبر في الصف السابع، يمكن إخفاء الجيوب واللوغاريتمات وأي شيء آخر تحت الحروف! يعمل التخصيم في جميع أنحاء الرياضيات.

نخرج العامل المشترك إل جي 4xخارج الأقواس. نحن نحصل:

سجل 4 س = 0

وهذا جذر واحد. دعونا ننظر إلى العامل الثاني.

هنا هو الجواب النهائي: س 1 = 1؛ × 2 = 10.

أتمنى أن تكون قد أدركت قوة التحليل في تبسيط الكسور وحل المعادلات.)

تعلمنا في هذا الدرس عن التحليل المشترك والتجميع. يبقى أن نفهم صيغ الضرب المختصر وثلاثية الحدود التربيعية.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

تعمل WikiHow مثل الويكي، مما يعني أن العديد من مقالاتنا مكتوبة بواسطة مؤلفين متعددين. تم إنتاج هذه المقالة من قبل 23 شخصًا، بما في ذلك الأشخاص المجهولين، لتحريرها وتحسينها.

تحليل المعادلة هو عملية إيجاد تلك الحدود أو التعبيرات التي تؤدي إلى المعادلة الأولية عند ضربها. يعد التحليل مهارة مفيدة لحل مسائل الجبر الأساسية، ويصبح ضروريًا تقريبًا عند التعامل مع المعادلات التربيعية ومتعددات الحدود الأخرى. يستخدم التحليل لتبسيط المعادلات الجبرية لتسهيل حلها. يمكن أن يساعدك التحليل في استبعاد بعض الإجابات المحتملة بشكل أسرع من حل المعادلة يدويًا.

خطوات

تحليل الأعداد والتعابير الجبرية الأساسية

1. أرقام التخصيم.إن مفهوم التخصيم بسيط، ولكن من الناحية العملية، يمكن أن يكون التخصيم صعبًا (إذا تم إعطاء معادلة معقدة). لذلك، دعونا أولاً نلقي نظرة على مفهوم التحليل باستخدام الأرقام كمثال، ونواصل ذلك معادلات بسيطة، ثم انتقل إلى معادلات معقدة. عوامل عدد معين هي الأرقام التي عند ضربها تعطي العدد الأصلي. على سبيل المثال، عوامل الرقم 12 هي الأرقام: 1، 12، 2، 6، 3، 4، حيث أن 1*12=12، 2*6=12، 3*4=12.

   • وبالمثل، يمكنك اعتبار عوامل الرقم بمثابة قواسمه، أي الأرقام التي يقبل الرقم القسمة عليها.
   • أوجد جميع عوامل الرقم 60. غالبًا ما نستخدم الرقم 60 (على سبيل المثال، 60 دقيقة في الساعة، 60 ثانية في الدقيقة، وما إلى ذلك) وهذا الرقم له معنى كبير عدد كبير منمضاعفات.
     • 60 مضاعفًا: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 10، 12، 15، 20، 30 و60.

2. يتذكر:يمكن أيضًا تحليل مصطلحات التعبير الذي يحتوي على معامل (رقم) ومتغير. للقيام بذلك، أوجد عوامل المعامل للمتغير. بمعرفة كيفية تحليل حدود المعادلات، يمكنك بسهولة تبسيط هذه المعادلة.

   • على سبيل المثال، يمكن كتابة المصطلح 12x كحاصل ضرب 12 وx. يمكنك أيضًا كتابة 12x على هيئة 3(4x) و2(6x) وما إلى ذلك، مع تقسيم 12 إلى العوامل التي تناسبك بشكل أفضل.
     • يمكنك التعامل 12x عدة مرات على التوالي. بمعنى آخر، لا يجب أن تتوقف عند 3(4x) أو 2(6x)؛ تابع التوسيع: 3(2(2x)) أو 2(3(2x)) (من الواضح 3(4x)=3(2(2x)))، وما إلى ذلك)

3. تطبيق خاصية التوزيع للضرب على المعادلات الجبرية.بمعرفة كيفية تحليل الأعداد ومصطلحات التعبير (المعاملات مع المتغيرات)، يمكنك تبسيط المعادلات الجبرية البسيطة من خلال إيجاد العامل المشترك لعدد ومصطلح تعبيري. عادةً، لتبسيط المعادلة، تحتاج إلى إيجاد العامل المشترك الأكبر (GCD). هذا التبسيط ممكن بسبب خاصية التوزيع للضرب: لأي أرقام a، b، c، المساواة a(b+c) = ab+ac صحيحة.

   • مثال. حلل المعادلة 12x + 6. أولًا، أوجد gcd لـ 12x و6. 6 هو أكبر عدد، الذي يقسم كلاً من 12x و6، لذا يمكنك تحليل هذه المعادلة إلى: 6(2x+1).
   • تنطبق هذه العملية أيضًا على المعادلات التي تحتوي على حدود سالبة وكسرية. على سبيل المثال، يمكن تحليل x/2+4 إلى 1/2(x+8); على سبيل المثال، يمكن تحليل -7x+(-21) إلى -7(x+3).

   تحليل المعادلات التربيعية

   1. تأكد من أن المعادلة معطاة في الصورة التربيعية (ax 2 + bx + c = 0).المعادلات التربيعية لها الشكل: ax 2 + bx + c = 0، حيث a، b، c هي معاملات رقمية غير 0. إذا أعطيت معادلة بمتغير واحد (x) وفي هذه المعادلة يوجد حد واحد أو أكثر باستخدام متغير من الدرجة الثانية، يمكنك نقل جميع حدود المعادلة إلى أحد طرفي المعادلة وتسويتها بالصفر.

      • على سبيل المثال، في حالة المعادلة: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. يمكن تحويل ذلك إلى المعادلة x 2 + 6x + 9 = 0، وهي معادلة تربيعية.
      • المعادلات ذات المتغير x للطلبات الكبيرة، على سبيل المثال، x 3، x 4، إلخ. ليست معادلات تربيعية هذه معادلات تكعيبية، ومعادلات من الدرجة الرابعة، وما إلى ذلك (ما لم يكن من الممكن تبسيط هذه المعادلات إلى معادلات تربيعية مع رفع المتغير x إلى الأس 2).

   2. المعادلات التربيعية، حيث a = 1، يتم توسيعها إلى (x+d)(x+e)، حيث d*e=c وd+e=b.إذا كانت المعادلة التربيعية المعطاة لك بالشكل: x 2 + bx + c = 0 (أي أن معامل x 2 هو 1)، فمن الممكن (ولكن ليس مضمونًا) توسيع هذه المعادلة لتشمل العوامل المذكورة أعلاه. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على رقمين، عند ضربهما، يعطيان "ج"، وعند إضافتهما "ب". بمجرد العثور على هذين الرقمين (d وe)، عوض بهما في التعبير التالي: (x+d)(x+e)، والذي يؤدي عند فتح القوسين إلى المعادلة الأصلية.

      • على سبيل المثال، في حالة وجود معادلة تربيعية x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 و3+2=5، يمكنك تحليل هذه المعادلة إلى (x+3)(x+2).
      • بالنسبة للمصطلحات السالبة، قم بإجراء التغييرات الطفيفة التالية على عملية التحليل:
        • إذا كانت المعادلة التربيعية على الصورة x 2 -bx+c، فإنها تتوسع إلى: (x-_)(x-_).
        • إذا كانت المعادلة التربيعية على الصورة x 2 -bx-c، فإنها تتوسع إلى: (x+_)(x-_).
      • ملحوظة: يمكن استبدال المسافات بالكسور أو أرقام عشرية. على سبيل المثال، يتم توسيع المعادلة x 2 + (21/2)x + 5 = 0 إلى (x+10)(x+1/2).

   3. التخصيم عن طريق التجربة والخطأ.يمكن تحليل المعادلات التربيعية البسيطة عن طريق استبدال الأرقام ببساطة الحلول الممكنةحتى تجد القرار الصائب. إذا كانت المعادلة لها الصيغة ax 2 +bx+c، حيث a>1، تتم كتابة الحلول الممكنة في الصورة (dx +/- _)(ex +/- _)، حيث d وe معاملات عددية غير صفرية ، والتي عندما تضرب تعطي. يمكن أن يساوي d أو e (أو كلا المعاملين) 1. إذا كان كلا المعاملين يساوي 1، فاستخدم الطريقة الموضحة أعلاه.

      • على سبيل المثال، بالنظر إلى المعادلة 3x 2 - 8x + 4. هنا 3 له عاملان فقط (3 و1)، لذلك تتم كتابة الحلول الممكنة بالشكل (3x +/- _)(x +/- _). في هذه الحالة، باستبدال -2 للمسافات، ستجد الإجابة الصحيحة: -2*3x=-6x و -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x و -2*-2=4، أي أن مثل هذا التوسيع عند فتح القوسين سيؤدي إلى حدود المعادلة الأصلية.

   4. مربع كامل .في بعض الحالات، يمكن تحليل المعادلات التربيعية بسرعة وسهولة باستخدام متطابقة جبرية خاصة. أي معادلة تربيعية على الصورة x 2 + 2xh + h 2 = (x + h) 2. أي إذا كان المعامل b في معادلتك يساوي مرتين الجذر التربيعيمن المعامل c، يمكن توسيع المعادلة إلى (x + (kV.root(c))) 2 .

      • على سبيل المثال، بالنظر إلى المعادلة x 2 + 6x + 9. هنا 3 2 = 9 و3*2=6. لذلك، يتم توسيع هذه المعادلة إلى (x+3)(x+3) أو (x + 3) 2.

   5. استخدام التخصيم لحل المعادلات التربيعية.من خلال تحليل المعادلة، يمكنك تعيين كل عامل يساوي الصفر وحساب قيمة x (بحل معادلة نعني إيجاد قيم x التي تكون المعادلة لها صفر).

      • لنعد إلى المعادلة x 2 + 5x + 6 = 0. تم تحليل هذه المعادلة (x+3)(x+2)=0. إذا كان أحد العوامل 0، فإن المعادلة بأكملها هي 0. لذلك نكتب: (x+3)=0 و (x+2)=0 ونجد x=-3 وx=-2 (على التوالي).

   6. تحقق من الإجابة (قد تكون بعض الإجابات غير صحيحة).للقيام بذلك، استبدل قيم x الموجودة في المعادلة الأصلية. في بعض الأحيان، عند استبدال القيم الموجودة، فإن المعادلة الأصلية لا تساوي الصفر؛ وهذا يعني أن قيم x هذه غير صحيحة.

      • على سبيل المثال، عوض x=-2 وx=-3 في x 2 + 5x + 6 = 0. أولًا، عوض x=-2:
        • (-2) 2 + 5(-2) + 6 = 0
        • 4 + -10 + 6 = 0
        • 0 = 0. أي أن x=-2 هي الإجابة الصحيحة.
      • الآن استبدل x=-3:
        • (-3) 2 + 5(-3) + 6 = 0
        • 9 + -15 + 6 = 0
        • 0 = 0. أي أن x=-3 هي الإجابة الصحيحة.

   بالنظر إلى ضرب كثيرات الحدود، تذكرنا عدة صيغ، وهي: صيغ (a + b)²، و(a – b)²، و(a + b) (a – b)، و(a + b)³ و من أجل (أ – ب)³.

   إذا تبين أن كثيرة حدود معينة تتطابق مع إحدى هذه الصيغ، فسيكون من الممكن تحليلها. على سبيل المثال، كثيرة الحدود a² – 2ab + b²، كما نعلم، تساوي (a – b)² [أو (a – b) · (a – b)، أي أننا تمكنا من تحليل a² – 2ab + b² إلى عاملين ]; أيضًا

   دعونا ننظر إلى الثاني من هذه الأمثلة. نرى أن كثيرة الحدود الواردة هنا تناسب الصيغة التي تم الحصول عليها عن طريق تربيع الفرق بين رقمين (مربع الرقم الأول، ناقص حاصل ضرب اثنين في الرقم الأول والثاني، بالإضافة إلى مربع الرقم الثاني): x 6 هو مربع الرقم الأول، وبالتالي فإن الرقم الأول نفسه هو x 3، ومربع الرقم الثاني هو الحد الأخير من كثير الحدود المحدد، أي 1، وبالتالي فإن الرقم الثاني نفسه هو 1 أيضًا؛ حاصل ضرب اثنين بالرقم الأول والثاني هو الحد -2x 3، لأن 2x 3 = 2 x 3 1. لذلك، تم الحصول على كثيرة الحدود لدينا عن طريق تربيع الفرق بين الرقمين x 3 و 1، أي أنه يساوي (× ٣ – ١٢ . دعونا ننظر إلى المثال الرابع آخر. نرى أن كثيرة الحدود هذه a 2 b 2 – 25 يمكن اعتبارها بمثابة الفرق بين مربعي رقمين، أي مربع الرقم الأول هو a 2 b 2، وبالتالي فإن الرقم الأول نفسه هو ab، مربع العدد الرقم الثاني هو 25، لماذا الرقم الثاني نفسه هو 5. لذلك، يمكن اعتبار كثير الحدود لدينا كما لو تم الحصول عليه من ضرب مجموع رقمين في الفرق بينهما، أي.

   (أب + 5) (أب – 5).

   في بعض الأحيان يحدث أنه في كثيرة حدود معينة، لا يتم ترتيب الحدود بالترتيب الذي اعتدنا عليه، على سبيل المثال.

   9a 2 + b 2 + 6ab – يمكننا إعادة ترتيب الحدين الثاني والثالث ذهنيًا، ومن ثم سيتضح لنا أن ثلاثية الحدود = (3a + b) 2.

   ... (نعيد ترتيب الحدين الأول والثاني ذهنياً).

   25أ 6 + 1 – 10× 3 = (5× 3 – 1) 2، إلخ.

   دعونا نفكر في كثير الحدود آخر

   أ 2 + 2 أ + 4 ب 2 .

   نرى أن حده الأول هو مربع العدد أ والحد الثالث هو مربع العدد 2ب، لكن الحد الثاني ليس حاصل ضرب اثنين في العدد الأول والثاني، فمثل هذا الناتج سيكون مساويًا لـ 2 أ 2 ب = 4 أ ب. لذلك، من المستحيل تطبيق صيغة مربع مجموع رقمين على كثيرة الحدود هذه. إذا كتب شخص ما أن a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2، فسيكون هذا غير صحيح - يجب على المرء أن يدرس بعناية جميع شروط كثيرة الحدود قبل تطبيق التحليل عليها باستخدام الصيغ.

   40. مزيج من كلا التقنيتين. في بعض الأحيان، عند تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل، يتعين عليك الجمع بين أسلوب إخراج العامل المشترك من الأقواس وأسلوب استخدام الصيغ. فيما يلي أمثلة:

   1.2أ3 – 2أ2. لنأخذ أولًا العامل المشترك 2a من الأقواس، ونحصل على 2a (a 2 – b 2). ويتحلل العامل a 2 – b 2 بدوره وفقًا للصيغة إلى عوامل (a + b) و (a – b).

   في بعض الأحيان يتعين عليك استخدام تقنية تحليل الصيغة عدة مرات:

   1. أ 4 – ب 4 = (أ 2 + ب 2) (أ 2 – ب 2)

   نرى أن العامل الأول a 2 + b 2 لا يتوافق مع أي من الصيغ المألوفة؛ علاوة على ذلك، وبالتذكير بحالات القسمة الخاصة (البند 37)، سنثبت أنه لا يمكن تحليل a 2 + b 2 (مجموع مربعي رقمين) على الإطلاق. يتحلل العامل الثاني من العوامل الناتجة a 2 – b 2 (الفرق بمربع رقمين) إلى عوامل (a + b) و (a – b). لذا،

   

   41. تطبيق حالات خاصة بالقسمة. استنادا إلى الفقرة 37، يمكننا أن نكتب على الفور، على سبيل المثال،

   

   من أجل التحليل، من الضروري تبسيط التعبيرات. وهذا ضروري حتى يمكن تقليله بشكل أكبر. يكون توسع كثيرة الحدود منطقيًا عندما لا تكون درجتها أقل من اثنتين. تسمى كثيرة الحدود من الدرجة الأولى خطية.

   ستغطي المقالة جميع مفاهيم التحلل، اساس نظرىوطرق تحليل كثيرات الحدود.

   نظرية

   النظرية 1

   عند وجود أي كثيرة حدود بدرجة n، لها الصيغة P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0، يتم تمثيلها كمنتج بعامل ثابت بأعلى درجة عوامل خطية n و n (x - x i)، i = 1، 2، ...، n، ثم P n (x) = أ ن (س - س ن) (س - س ن - 1) · . . . · (x - x 1) ، حيث x i, i = 1, 2, …, n هي جذور كثيرة الحدود.

   النظرية مخصصة لجذور النوع المعقد x i، i = 1، 2، …، n وللمعاملات المعقدة a k، k = 0، 1، 2، …، n. وهذا هو أساس أي تحلل.

   عندما تكون معاملات النموذج a k، k = 0، 1، 2، …، n أرقامًا حقيقية، فإن الجذور المعقدة ستحدث في أزواج مترافقة. على سبيل المثال، الجذور x 1 و x 2 تتعلق بكثيرة الحدود بالشكل P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 تعتبر مرافقة معقدة، إذن الجذور الأخرى حقيقية، منها نحصل على أن كثيرة الحدود تأخذ الشكل P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q حيث x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

   تعليق

   يمكن تكرار جذور كثيرة الحدود. دعونا نفكر في إثبات نظرية الجبر، وهي نتيجة لنظرية بيزوت.

   النظرية الأساسية للجبر

   النظرية 2

   أي كثيرة الحدود ذات الدرجة n لها جذر واحد على الأقل.

   نظرية بيزوت

   بعد تقسيم كثيرة الحدود بالشكل P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 على (x - s)، ثم نحصل على الباقي، وهو يساوي كثيرة الحدود عند النقطة s، ثم نحصل على

   P n x = أ n x n + أ n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) حيث Q n - 1 (x) كثيرة الحدود بدرجة n - 1.

   نتيجة طبيعية لنظرية بيزوت

   عندما يعتبر جذر كثير الحدود P n (x) هو s، فإن P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + أ 1 س + أ 0 = (س - ق) · س ن - 1 (س) . هذه النتيجة الطبيعية كافية عند استخدامها لوصف الحل.

   تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية

   يمكن تحليل ثلاثية الحدود المربعة على الصورة a x 2 + b x + c إلى عوامل خطية. ثم نحصل على أن a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) حيث x 1 و x 2 جذور (معقدة أو حقيقية).

   ومن هذا يتضح أن التمدد نفسه يختزل إلى الحل معادلة من الدرجة الثانيةتبعًا.

   مثال 1

   عامل ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية.

   حل

   من الضروري إيجاد جذور المعادلة 4 × 2 - 5 × + 1 = 0. للقيام بذلك، عليك إيجاد قيمة المميز باستخدام الصيغة، ثم نحصل على D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. من هنا لدينا ذلك

   × 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 × 2 = 5 + 9 2 4 = 1

   من هذا نحصل على 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

   لإجراء الفحص، تحتاج إلى فتح الأقواس. ثم نحصل على تعبير من النموذج:

   4 س - 1 4 س - 1 = 4 س 2 - س - 1 4 س + 1 4 = 4 س 2 - 5 س + 1

   وبعد التدقيق نصل إلى التعبير الأصلي. وهذا يعني أنه يمكننا أن نستنتج أن التحلل تم بشكل صحيح.

   مثال 2

   قم بتحليل ثلاثية الحدود التربيعية بالشكل 3 x 2 - 7 x - 11 .

   حل

   نجد أنه من الضروري حساب المعادلة التربيعية الناتجة على الصورة 3 × 2 - 7 × - 11 = 0.

   للعثور على الجذور، عليك تحديد قيمة المميز. لقد حصلنا على ذلك

   3 × 2 - 7 × - 11 = 0 د = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 × 1 = 7 + د 2 3 = 7 + 181 6 × 2 = 7 - د 2 3 = 7 - 1816

   ومن هذا نحصل على 3 × 2 - 7 × - 11 = 3 × - 7 + 181 6 × - 7 - 181 6.

   مثال 3

   قم بتحليل كثير الحدود 2 × 2 + 1.

   حل

   علينا الآن حل المعادلة التربيعية 2 × 2 + 1 = 0 وإيجاد جذورها. لقد حصلنا على ذلك

   2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

   تسمى هذه الجذور مترافقة معقدة، مما يعني أنه يمكن تصوير التوسع نفسه على أنه 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

   مثال 4

   حلل ثلاثية الحدود التربيعية x 2 + 1 3 x + 1 .

   حل

   عليك أولاً حل معادلة تربيعية على الصورة x 2 + 1 3 x + 1 = 0 وإيجاد جذورها.

   x 2 + 1 3 x + 1 = 0 د = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + د 2 1 = - 1 3 + 35 3 ط 2 = - 1 + 35 · ط 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

   بعد الحصول على الجذور نكتب

   x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

   تعليق

   إذا كانت القيمة المميزة سالبة، فستظل كثيرات الحدود متعددة الحدود من الدرجة الثانية. ويترتب على ذلك أننا لن نقوم بتوسيعها إلى عوامل خطية.

   طرق تحليل كثيرة الحدود من درجة أعلى من اثنين

   عند التحلل، يفترض طريقة عالمية. تعتمد معظم الحالات على نتيجة طبيعية لنظرية بيزوت. للقيام بذلك، تحتاج إلى تحديد قيمة الجذر x 1 وتقليل درجته عن طريق القسمة على كثير الحدود على 1 عن طريق القسمة على (x - x 1). يحتاج كثير الحدود الناتج إلى العثور على الجذر x 2، وتكون عملية البحث دورية حتى نحصل على توسيع كامل.

   إذا لم يتم العثور على الجذر، فسيتم استخدام طرق أخرى للتحليل: التجميع والشروط الإضافية. يتضمن هذا الموضوع حل المعادلات ذات القوى الأعلى ومعاملات الأعداد الصحيحة.

   أخذ العامل المشترك من بين قوسين

   خذ بعين الاعتبار الحالة التي يكون فيها الحد الحر مساويًا للصفر، عندها يصبح شكل كثير الحدود P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1 × .

   يمكن ملاحظة أن جذر كثير الحدود هذا سيكون مساويًا لـ x 1 = 0، ثم يمكن تمثيل كثير الحدود بالتعبير P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + أ 1 س = = س (أ ن × ن - 1 + أ ن - 1 × ن - 2 + . . . + أ 1)

   تعتبر هذه الطريقة بمثابة إخراج العامل المشترك من الأقواس.

   مثال 5

   عامل متعدد الحدود من الدرجة الثالثة 4 x 3 + 8 x 2 - x.

   حل

   نرى أن x 1 = 0 هو جذر كثيرة الحدود المعطاة، ثم يمكننا إزالة x من قوسي التعبير بأكمله. نحن نحصل:

   4 × 3 + 8 × 2 - س = س (4 × 2 + 8 × - 1)

   لننتقل الآن إلى إيجاد جذور مربع ثلاثي الحدود 4 x 2 + 8 x - 1. دعونا نجد المميز والجذور:

   د = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + د 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - د 2 4 = - 1 - 5 2

   ثم يتبع ذلك

   4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

   في البداية، دعونا نأخذ في الاعتبار طريقة التحليل التي تحتوي على معاملات عددية بالشكل P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + أ 1 س + أ 0، حيث معامل أعلى درجة هو 1.

   عندما يكون لكثيرة الحدود جذور صحيحة، فإنها تعتبر مقسومات على الحد الحر.

   مثال 6

   حلل التعبير f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

   حل

   دعونا نفكر فيما إذا كانت هناك جذور كاملة. من الضروري كتابة قواسم الرقم - 18. لقد حصلنا على ±1، ±2، ±3، ±6، ±9، ±18. ويترتب على ذلك أن كثير الحدود هذا له جذور صحيحة. يمكنك التحقق باستخدام مخطط هورنر. إنها مريحة للغاية وتتيح لك الحصول بسرعة على معاملات التمدد لكثيرة الحدود:

   ويترتب على ذلك أن x = 2 و x = - 3 هما جذور كثيرة الحدود الأصلية، والتي يمكن تمثيلها كحاصل ضرب النموذج:

   و (خ) = س 4 + 3 × 3 - س 2 - 9 س - 18 = (س - 2) (س 3 + 5 × 2 + 9 س + 9) = = (س - 2) (س + 3) (× 2 + 2 × + 3)

   ننتقل إلى فك ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية بالشكل x 2 + 2 x + 3.

   وبما أن المميز سالب، فهذا يعني أنه لا توجد جذور حقيقية.

   إجابة:و (س) = س 4 + 3 س 3 - س 2 - 9 س - 18 = (س - 2) (س + 3) (س 2 + 2 س + 3)

   تعليق

   يُسمح باستخدام اختيار الجذر وتقسيم كثير الحدود على كثير الحدود بدلاً من مخطط هورنر. دعنا ننتقل إلى النظر في توسيع كثيرة الحدود التي تحتوي على معاملات عددية بالشكل P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 ، وأعلىها يساوي واحد.

   تحدث هذه الحالة للكسور العقلانية.

   مثال 7

   حلل f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

   حل

   من الضروري استبدال المتغير y = 2 x، ويجب الانتقال إلى كثيرة الحدود بمعاملات تساوي 1 في أعلى درجة. عليك أن تبدأ بضرب التعبير في 4. لقد حصلنا على ذلك

   4 و (س) = 2 3 × 3 + 19 2 2 × 2 + 82 2 س + 60 = = ص 3 + 19 ص 2 + 82 ص + 60 = ز (ص)

   عندما تكون الدالة الناتجة من النموذج g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 لها جذور صحيحة، فإن موقعها يكون من بين قواسم الحد الحر. سيبدو الإدخال كما يلي:

   ±1، ±2، ±3، ±4، ±5، ±6، ±10، ±12، ±15، ±20، ±30، ±60

   دعنا ننتقل إلى حساب الدالة g (y) عند هذه النقاط للحصول على صفر نتيجة لذلك. لقد حصلنا على ذلك

   جم (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 جم (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 جم (2) ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 جم (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 جم (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 جم (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 جم (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 جم (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 جم (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 جم (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

   نجد أن y = - 5 هو جذر معادلة على الصورة y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60، مما يعني أن x = y 2 = - 5 2 هو جذر الدالة الأصلية.

   مثال 8

   من الضروري القسمة بعمود 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 على x + 5 2.

   حل

   دعنا نكتبها ونحصل على:

   2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

   سيستغرق التحقق من المقسومات الكثير من الوقت، لذا من المربح تحليل ثلاثية الحدود الناتجة من الصيغة x 2 + 7 x + 3. وبالمساواة بالصفر نجد المميز.

   x 2 + 7 x + 3 = 0 د = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2س + 7 2 + 37 2

   إنه يتبع هذا

   2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

   تقنيات اصطناعية لتحليل كثير الحدود

   الجذور العقلانية ليست متأصلة في جميع كثيرات الحدود. للقيام بذلك تحتاج إلى استخدام بطرق خاصةللعثور على العوامل. ولكن ليس كل كثيرات الحدود يمكن توسيعها أو تمثيلها كمنتج.

   طريقة التجميع

   هناك حالات يمكنك فيها تجميع حدود كثيرة الحدود للعثور على عامل مشترك ووضعه خارج الأقواس.

   مثال 9

   قم بتحليل كثير الحدود x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

   حل

   نظرًا لأن المعاملات هي أعداد صحيحة، فمن المفترض أن تكون الجذور أيضًا أعدادًا صحيحة. للتحقق، خذ القيم 1، - 1، 2 و - 2 من أجل حساب قيمة كثير الحدود عند هذه النقاط. لقد حصلنا على ذلك

   1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

   وهذا يدل على عدم وجود جذور، ومن الضروري استخدام طريقة أخرى للتوسيع والحل.

   من الضروري المجموعة:

   س 4 + 4 × 3 - س 2 - 8 س - 2 = س 4 + 4 × 3 - 2 × 2 + س 2 - 8 س - 2 = = (س 4 - 2 × 2) + (4 × 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

   بعد تجميع كثيرة الحدود الأصلية، عليك تمثيلها كحاصل ضرب ثلاثيتي حدود مربعتين. للقيام بذلك، علينا التحليل. لقد حصلنا على ذلك

   x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 د = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - د 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - د 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

   س 4 + 4 × 3 - س 2 - 8 س - 2 = س 2 - 2 × 2 + 4 س + 1 = = س - 2 س + 2 س + 2 - 3 س + 2 + 3

   تعليق

   إن بساطة التجميع لا تعني أن اختيار المصطلحات أمر سهل بما فيه الكفاية. لا توجد طريقة محددة للحل، لذلك من الضروري استخدام نظريات وقواعد خاصة.

   مثال 10

   قم بتحليل كثيرة الحدود x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

   حل

   كثير الحدود المعطى ليس له جذور صحيحة. ينبغي تجميع المصطلحات. لقد حصلنا على ذلك

   س 4 + 3 × 3 - س 2 - 4 س + 2 = = (س 4 + س 3) + (2 × 3 + 2 × 2) + (- 2 × 2 - 2 س) - س 2 - 2 س + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 س - 2) - (س 2 + 2 س - 2) = (س 2 + س - 1) (س 2 + 2 س - 2)

   وبعد التحليل نحصل على ذلك

   س 4 + 3 س 3 - س 2 - 4 س + 2 = س 2 + س - 1 س 2 + 2 س - 2 = = س + 1 + 3 س + 1 - 3 س + 1 2 + 5 2 س + 1 2 - 5 2

   استخدام صيغ الضرب المختصرة ونيوتن ذات الحدين لتحليل كثيرة الحدود

   لا يوضح المظهر دائمًا الطريقة التي يجب استخدامها أثناء التحلل. بعد إجراء التحويلات، يمكنك بناء خط يتكون من مثلث باسكال، وإلا فإنها تسمى ذات الحدين لنيوتن.

   مثال 11

   قم بتحليل كثيرة الحدود x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

   حل

   من الضروري تحويل التعبير إلى النموذج

   س 4 + 4 × 3 + 6 × 2 + 4 س - 2 = س 4 + 4 × 3 + 6 × 2 + 4 س + 1 - 3

   تتم الإشارة إلى تسلسل معاملات المجموع بين قوسين بالتعبير x + 1 4 .

   هذا يعني أن لدينا x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

   وبعد تطبيق فرق المربعات نحصل على

   س 4 + 4 س 3 + 6 س 2 + 4 س - 2 = س 4 + 4 س 3 + 6 س 2 + 4 س + 1 - 3 = س + 1 4 - 3 = = س + 1 4 - 3 = س + 1 2 - 3 س + 1 2 + 3

   خذ بعين الاعتبار التعبير الموجود في القوس الثاني. من الواضح أنه لا يوجد فرسان هناك، لذا يجب علينا تطبيق صيغة فرق المربعات مرة أخرى. نحصل على تعبير عن النموذج

   س 4 + 4 س 3 + 6 س 2 + 4 س - 2 = س 4 + 4 س 3 + 6 س 2 + 4 س + 1 - 3 = س + 1 4 - 3 = = س + 1 4 - 3 = س + 1 2 - 3 س + 1 2 + 3 = = س + 1 - 3 4 س + 1 + 3 4 س 2 + 2 س + 1 + 3

   مثال 12

   حلل x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

   حل

   لنبدأ في تحويل التعبير. لقد حصلنا على ذلك

   س 3 + 6 × 2 + 12 س + 6 = س 3 + 3 2 × 2 + 3 2 2 س + 2 3 - 2 = (س + 2) 3 - 2

   من الضروري تطبيق صيغة الضرب المختصر لفرق المكعبات. نحن نحصل:

   x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 س 2 + س 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

   طريقة لاستبدال متغير عند تحليل كثيرة الحدود

   عند استبدال متغير، يتم تقليل الدرجة ويتم أخذ كثير الحدود في الاعتبار.

   مثال 13

   قم بتحليل كثير الحدود بالشكل x 6 + 5 x 3 + 6 .

   حل

   وبحسب الشرط يتضح أنه من الضروري إجراء الاستبدال y = x 3. نحن نحصل:

   س 6 + 5 × 3 + 6 = ص = × 3 = ص 2 + 5 ص + 6

   جذور المعادلة التربيعية الناتجة هي y = - 2 و y = - 3

   س 6 + 5 × 3 + 6 = ص = × 3 = ص 2 + 5 ص + 6 = = ص + 2 ص + 3 = س 3 + 2 × 3 + 3

   من الضروري تطبيق صيغة الضرب المختصر لمجموع المكعبات. نحصل على تعبيرات النموذج:

   x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 س + 3 3 س 2 - 3 3 س + 9 3

   أي أننا حصلنا على التحلل المطلوب.

   ستساعد الحالات التي تمت مناقشتها أعلاه في دراسة كثيرات الحدود وتحليلها بطرق مختلفة.

   إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter