المعادلة التربيعية - سهلة الحل! * كذلك في النص "KU".أصدقائي ، يبدو أنه في الرياضيات يمكن أن يكون أسهل من حل مثل هذه المعادلة. لكن شيئًا ما أخبرني أن الكثير من الناس لديهم مشاكل معه. قررت معرفة عدد مرات الظهور التي يقدمها Yandex لكل طلب شهريًا. إليك ما حدث ، ألق نظرة:
ماذا يعني ذلك؟ هذا يعني أن حوالي 70000 شخص في الشهر يبحثون عن هذه المعلومات ، وهذا هو الصيف ، وما سيحدث خلال العام الدراسي - سيكون هناك ضعف عدد الطلبات. هذا ليس مفاجئًا ، لأن هؤلاء الرجال والفتيات الذين تخرجوا من المدرسة منذ فترة طويلة ويستعدون للامتحان يبحثون عن هذه المعلومات ، ويحاول أطفال المدارس أيضًا تجديد ذاكرتهم.
على الرغم من وجود الكثير من المواقع التي تخبرنا عن كيفية حل هذه المعادلة ، فقد قررت أيضًا المساهمة ونشر المادة. أولاً ، أريد أن يأتي الزوار إلى موقعي بناءً على هذا الطلب ؛ ثانيًا ، في مقالات أخرى ، عندما يظهر خطاب "KU" ، سأعطي رابطًا لهذه المقالة ؛ ثالثًا ، سأخبرك قليلاً عن الحل الذي يقدمه أكثر مما هو مذكور عادةً في المواقع الأخرى. هيا بنا نبدأ!محتوى المقال:
المعادلة التربيعية هي معادلة للصيغة:
حيث المعاملات أ ،بوبأرقام عشوائية ، مع ≠ 0.
في الدورة المدرسية ، يتم تقديم المادة بالشكل التالي - يتم تقسيم المعادلات إلى ثلاث فئات بشكل مشروط:
1. لهما جذور.
2. * لها جذر واحد فقط.
3. ليس لها جذور. ومن الجدير بالذكر هنا أنه ليس لديهم جذور حقيقية
كيف يتم حساب الجذور؟ فقط!
نحسب المميز. تحت هذه الكلمة "الرهيبة" تكمن صيغة بسيطة للغاية:
صيغ الجذر هي كما يلي:
* يجب معرفة هذه الصيغ عن ظهر قلب.
يمكنك أن تكتب على الفور وتقرر ما يلي:
مثال:
1. إذا كانت D> 0 ، فإن المعادلة لها جذرين.
2. إذا كانت D = 0 ، فإن المعادلة لها جذر واحد.
3. إذا د< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
لنلقِ نظرة على المعادلة:
في هذه المناسبة ، عندما يكون المميز صفراً ، تقول الدورة المدرسية أنه تم الحصول على جذر واحد ، وهنا يساوي تسعة. هذا صحيح ، لكن ...
هذا التمثيل غير صحيح إلى حد ما. في الواقع ، هناك جذران. نعم ، نعم ، لا تتفاجأ ، فقد اتضح أن هناك جذرين متساويين ، ولكي تكون دقيقًا رياضيًا ، فيجب كتابة جذرين في الإجابة:
س 1 = 3 × 2 = 3
لكن هذا هو الحال - استطرادية صغيرة. في المدرسة ، يمكنك أن تكتب وتقول إن هناك جذرًا واحدًا فقط.
الآن المثال التالي:
كما نعلم ، لا يتم استخراج جذر العدد السالب ، لذا فإن الحلول في هذه القضيةرقم.
هذه هي عملية اتخاذ القرار برمتها.
وظيفة من الدرجة الثانية.
إليك كيف يبدو الحل هندسيًا. هذا مهم للغاية لفهمه (في المستقبل ، في إحدى المقالات ، سنحلل بالتفصيل حل عدم المساواة التربيعية).
هذه هي وظيفة النموذج:
حيث x و y متغيران
أ ، ب ، ج معطاة أرقام ، حيث أ 0
الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ:
وهذا يعني أنه من خلال حل معادلة تربيعية تساوي "y" صفر ، نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور x. يمكن أن يكون هناك نقطتان من هذه النقاط (المميز موجب) ، واحد (المميز صفر) أو لا شيء (المميز سالب). تفاصيل حول وظيفة من الدرجة الثانية يمكنك مشاهدةمقالة بقلم إينا فيلدمان.
خذ بعين الاعتبار الأمثلة:
مثال 1: قرر 2x 2 +8 x–192=0
أ = 2 ب = 8 ج = -192
د = ب 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 (–192) = 64 + 1536 = 1600
الجواب: × 1 = 8 × 2 = -12
* يمكنك على الفور قسمة الجانبين الأيمن والأيسر للمعادلة على 2 ، أي تبسيطها. ستكون الحسابات أسهل.
المثال 2: قرر x2–22 س + 121 = 0
أ = 1 ب = -22 ج = 121
د = ب 2 –4ac = (- 22) 2 –4 ∙ 1 121 = 484–484 = 0
لقد حصلنا على ذلك x 1 \ u003d 11 و x 2 \ u003d 11
في الجواب يجوز كتابة x = 11.
الجواب: س = 11
المثال 3: قرر × 2 –8 س + 72 = 0
أ = 1 ب = -8 ج = 72
د = ب 2 –4ac = (- 8) 2 –4 ∙ 1 72 = 64–288 = –224
المميز سالب ، ولا يوجد حل في الأعداد الحقيقية.
الجواب: لا يوجد حل
المميز سلبي. هل هناك حل!
هنا سنتحدث عن حل المعادلة في حالة الحصول على تمييز سلبي. هل تعرف أي شيء عن الأعداد المركبة؟ لن أخوض في التفاصيل هنا حول لماذا وأين نشأت وما هو دورها المحدد وضرورتها في الرياضيات ، فهذا موضوع لمقال منفصل كبير.
مفهوم العدد المركب.
قليلا من النظرية.
العدد المركب z هو رقم على الصورة
ض = أ + ثنائية
حيث a و b أرقام حقيقية ، فإن i هي ما يسمى بالوحدة التخيلية.
أ + ثنائي هو رقم واحد ، وليس إضافة.
الوحدة التخيلية تساوي جذر ناقص واحد:
الآن ضع في اعتبارك المعادلة:
احصل على جذرين مترافقين.
معادلة تربيعية غير كاملة.
ضع في اعتبارك حالات خاصة ، عندما يكون المعامل "b" أو "c" مساويًا للصفر (أو كلاهما يساوي الصفر). يتم حلها بسهولة دون أي تمييز.
الحالة الأولى: المعامل ب = 0.
تأخذ المعادلة الشكل:
دعنا نتحول:
مثال:
4x 2-16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2
الحالة الثانية: المعامل ج = 0.
تأخذ المعادلة الشكل:
التحويل والتحويل إلى عوامل:
* المنتج يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل مساويًا للصفر.
مثال:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x – 5) = 0 => x = 0 أو x –5 = 0
س 1 = 0 × 2 = 5
الحالة 3. المعامِلات b = 0 و c = 0.
من الواضح هنا أن حل المعادلة سيكون دائمًا x = 0.
خصائص وأنماط مفيدة للمعاملات.
هناك خصائص تسمح بحل المعادلات ذات المعاملات الكبيرة.
أx 2 + bx+ ج=0 المساواة
أ + ب+ ج = 0 ،ومن بعد
- إذا كانت لمعاملات المعادلة أx 2 + bx+ ج=0 المساواة
أ+ مع =ب, ومن بعد
تساعد هذه الخصائص في حل نوع معين من المعادلات.
مثال 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
مجموع المعاملات هو 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0 ، لذا
المثال 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
المساواة أ+ مع =ب, يعني
انتظام المعاملات.
1. إذا كان المعامل في المعادلة ax 2 + bx + c = 0 فإن المعامل "b" يساوي (a 2 +1) ، والمعامل "c" عدديًا يساوي المعامل"أ" ، إذن جذوره متساوية
ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \ u003d 0 \ u003d \ u003e x 1 \ u003d -a x 2 \ u003d -1 / a.
مثال. اعتبر المعادلة 6x 2 + 37x + 6 = 0.
× 1 \ u003d -6 × 2 \ u003d -1/6.
2. إذا كان المعامل "b" في المعادلة 2 - bx + c \ u003d 0 هو (a 2 +1) ، والمعامل "c" يساوي عدديًا المعامل "a" ، فإن جذوره تكون
الفأس 2 - (أ 2 + 1) ∙ س + أ \ u003d 0 \ u003d \ u003e × 1 \ u003d أ × 2 \ u003d 1 / أ.
مثال. ضع في اعتبارك المعادلة 15x 2 –226x +15 = 0.
× 1 = 15 × 2 = 1/15.
3. إذا كان في المعادلةالفأس 2 + ب س - ج = 0 معامل "ب" يساوي (أ 2 - 1) والمعامل "ج" يساوي عدديًا المعامل "أ", ثم جذوره متساوية
ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \ u003d 0 \ u003d \ u003e x 1 \ u003d - a x 2 \ u003d 1 / a.
مثال. اعتبر المعادلة 17x 2 + 288x - 17 = 0.
× 1 \ u003d - 17 × 2 \ u003d 1/17.
4. إذا كان في المعادلة ax 2 - bx - c \ u003d 0 ، فإن المعامل "b" يساوي (a 2 - 1) ، والمعامل c يساوي عدديًا المعامل "a" ، فإن جذوره تكون
الفأس 2 - (أ 2 -1) ∙ س - أ \ u003d 0 \ u003d \ u003e × 1 \ u003d أ × 2 \ u003d - 1 / أ.
مثال. ضع في اعتبارك المعادلة 10x2 - 99x -10 = 0.
× 1 \ u003d 10 × 2 \ u003d - 1/10
نظرية فييتا.
سميت نظرية فييتا على اسم عالم الرياضيات الفرنسي الشهير فرانسوا فييتا. باستخدام نظرية فييتا ، يمكن للمرء أن يعبر عن مجموع ومنتج جذور KU التعسفي من حيث معاملاتها.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
باختصار ، العدد 14 يعطي فقط 5 و 9. هذه هي الجذور. بمهارة معينة ، باستخدام النظرية المقدمة ، يمكنك حل العديد من المعادلات التربيعية على الفور شفهيًا.
علاوة على ذلك ، نظرية فييتا. مناسب لأنه بعد حل المعادلة التربيعية بالطريقة المعتادة (من خلال المميز) ، يمكن التحقق من الجذور الناتجة. أوصي بفعل هذا طوال الوقت.
طريقة النقل
بهذه الطريقة يتم ضرب المعامل "a" بالمصطلح الحر كما لو "تم نقله" إليه ولهذا سميت طريقة النقل.تُستخدم هذه الطريقة عندما يكون من السهل العثور على جذور المعادلة باستخدام نظرية فييتا ، والأهم من ذلك ، عندما يكون المميز مربعًا دقيقًا.
اذا كان أ± ب + ج≠ 0 ، ثم يتم استخدام تقنية النقل ، على سبيل المثال:
2X 2 – 11x + 5 = 0 (1) => X 2 – 11x + 10 = 0 (2)
وفقًا لنظرية Vieta في المعادلة (2) ، من السهل تحديد ذلك x 1 \ u003d 10 x 2 \ u003d 1
يجب تقسيم جذور المعادلة التي تم الحصول عليها على 2 (نظرًا لأن الاثنين تم "طرحهما" من × 2) ، نحصل على
× 1 \ u003d 5 × 2 \ u003d 0.5.
ما هو المبرر؟ انظر ماذا يحدث.
مميزات المعادلتين (1) و (2) هي:
إذا نظرت إلى جذور المعادلات ، فسنحصل على قواسم مختلفة فقط ، وتعتمد النتيجة بدقة على المعامل عند x 2:
الجذور الثانية (المعدلة) أكبر مرتين.
لذلك ، نقسم النتيجة على 2.
* إذا دحرجنا ثلاثة من نفس النوع ، فسنقسم النتيجة على 3 ، وهكذا.
الجواب: × 1 = 5 × 2 = 0.5
قدم مربع ur-ie والامتحان.
سأقول بإيجاز عن أهميتها - يجب أن تكون قادرًا على اتخاذ القرار بسرعة ودون تفكير ، تحتاج إلى معرفة صيغ الجذور والمميز عن ظهر قلب. ينزل الكثير من المهام التي تشكل جزءًا من مهام الاستخدام إلى حل معادلة تربيعية (بما في ذلك المعادلات الهندسية).
ما الجدير بالذكر!
1. يمكن أن يكون شكل المعادلة "ضمنيًا". على سبيل المثال ، الإدخال التالي ممكن:
15+ 9x 2-45x = 0 أو 15x + 42 + 9x 2-45x = 0 أو 15-5x + 10x 2 = 0.
تحتاج إلى إحضاره إلى النموذج القياسي(حتى لا يتم الخلط عند اتخاذ القرار).
2. تذكر أن x قيمة غير معروفة ويمكن الإشارة إليها بأي حرف آخر - t و q و p و h وغيرها.
مستوى اول
المعادلات التربيعية. دليل شامل (2019)
في مصطلح "المعادلة التربيعية" الكلمة الأساسية هي "التربيعية". هذا يعني أن المعادلة يجب أن تحتوي بالضرورة على متغير (نفس X) في المربع ، وفي نفس الوقت يجب ألا يكون هناك Xs في الدرجة الثالثة (أو أكبر).
يتم تقليل حل العديد من المعادلات إلى الحل بدقة المعادلات التربيعية.
لنتعلم تحديد أن لدينا معادلة تربيعية ، وليس معادلة أخرى.
مثال 1
تخلص من المقام واضرب كل حد من حدود المعادلة في
لننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر ونرتب الحدود بترتيب تنازلي لقوى x
الآن يمكننا القول بثقة أن هذه المعادلة من الدرجة الثانية!
مثال 2
اضرب الجانبين الأيمن والأيسر بـ:
هذه المعادلة ، رغم أنها كانت في الأصل ، ليست مربعة!
مثال 3
لنضرب كل شيء في:
مخيف؟ الدرجتان الرابعة والثانية ... ومع ذلك ، إذا قمنا باستبدالهما ، فسنرى أن لدينا معادلة تربيعية بسيطة:
مثال 4
يبدو أن الأمر كذلك ، ولكن دعونا نلقي نظرة فاحصة. لننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر:
كما ترى ، تقلصت - وهي الآن معادلة خطية بسيطة!
حاول الآن أن تحدد بنفسك أيًا من المعادلات التالية تربيعي وأيها ليس:
أمثلة:
الإجابات:
- ميدان؛
- ميدان؛
- لا مربع
- لا مربع
- لا مربع
- ميدان؛
- لا مربع
- ميدان.
يقسم علماء الرياضيات جميع المعادلات التربيعية إلى الأنواع التالية:
- أكمل المعادلات التربيعية- المعادلات التي لا تساوي فيها المعاملات وكذلك المصطلح المجاني c صفرًا (كما في المثال). بالإضافة إلى ذلك ، من بين المعادلات التربيعية الكاملة ، هناك معطىهي المعادلات التي يكون فيها المعامل (المعادلة من المثال الأول ليست كاملة فحسب ، بل مخفضة أيضًا!)
- معادلات تربيعية غير مكتملة- المعادلات التي يكون فيها المعامل و / أو المصطلح الحر c مساويًا للصفر:
إنها غير مكتملة لأن بعض العناصر مفقودة منها. لكن يجب أن تحتوي المعادلة دائمًا على x تربيع !!! وإلا فلن تكون معادلة تربيعية ، بل معادلة أخرى.
لماذا جاءوا بمثل هذا التقسيم؟ يبدو أن هناك X تربيع ، ولا بأس. هذا التقسيم يرجع إلى طرق الحل. دعونا نفكر في كل منهم بمزيد من التفصيل.
حل المعادلات التربيعية غير المكتملة
أولاً ، دعنا نركز على حل المعادلات التربيعية غير المكتملة - فهي أبسط بكثير!
المعادلات التربيعية غير المكتملة هي من الأنواع:
- ، في هذه المعادلة المعامل يساوي.
- ، في هذه المعادلة ، المصطلح المجاني يساوي.
- ، في هذه المعادلة ، المعامل والمصطلح الحر متساويان.
1. ط. لأننا نعرف كيف نستخرج الجذر التربيعي، فلنستخلص من هذه المعادلة
يمكن أن يكون التعبير سالب أو موجب. لا يمكن أن يكون العدد التربيعي سالبًا ، لأنه عند ضرب رقمين سالبين أو رقمين موجبين ، ستكون النتيجة دائمًا رقمًا موجبًا ، لذلك: إذا ، فلن يكون للمعادلة أي حلول.
وإذا حصلنا على جذرين. لا تحتاج هذه الصيغ إلى الحفظ. الشيء الرئيسي هو أنه يجب أن تعرف دائمًا وتتذكر أنه لا يمكن أن يكون أقل من ذلك.
دعنا نحاول حل بعض الأمثلة.
المثال 5:
حل المعادلة
الآن يبقى استخراج الجذر من الجزأين الأيمن والأيسر. بعد كل شيء ، هل تتذكر كيفية استخراج الجذور؟
إجابه:
لا تنسى الجذور بعلامة سلبية !!!
المثال 6:
حل المعادلة
إجابه:
المثال 7:
حل المعادلة
أوتش! لا يمكن أن يكون مربع الرقم سالبًا ، مما يعني أن المعادلة
لا جذور!
بالنسبة لمثل هذه المعادلات التي لا توجد فيها جذور ، توصل علماء الرياضيات إلى رمز خاص - (مجموعة فارغة). ويمكن كتابة الإجابة على هذا النحو:
إجابه:
وبالتالي ، فإن هذه المعادلة التربيعية لها جذرين. لا توجد قيود هنا ، لأننا لم نستخرج الجذر.
المثال 8:
حل المعادلة
لنأخذ العامل المشترك من الأقواس:
في هذا الطريق،
هذه المعادلة لها جذران.
إجابه:
أبسط نوع من المعادلات التربيعية غير المكتملة (على الرغم من أنها كلها بسيطة ، أليس كذلك؟). من الواضح أن هذه المعادلة لها دائمًا جذر واحد فقط:
هنا سنفعل بدون أمثلة.
حل المعادلات التربيعية الكاملة
نذكرك أن المعادلة التربيعية الكاملة هي معادلة الصيغة حيث
يعد حل المعادلات التربيعية الكاملة أكثر تعقيدًا قليلاً (فقط قليلاً) من تلك المعطاة.
تذكر، يمكن حل أي معادلة من الدرجة الثانية باستخدام المميز! حتى غير مكتمل.
ستساعدك بقية الطرق على القيام بذلك بشكل أسرع ، ولكن إذا كانت لديك مشاكل مع المعادلات التربيعية ، فعليك أولاً إتقان الحل باستخدام المميز.
1. حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز.
حل المعادلات التربيعية بهذه الطريقة بسيط للغاية ، الشيء الرئيسي هو تذكر تسلسل الإجراءات واثنين من الصيغ.
إذا ، فإن المعادلة لها جذر انتباه خاصارسم خطوة. يخبرنا المميز () بعدد جذور المعادلة.
- إذا ، فسيتم تقليل الصيغة في الخطوة إلى. وبالتالي ، سيكون للمعادلة جذر فقط.
- إذا ، فلن نتمكن من استخراج جذر المميز في الخطوة. يشير هذا إلى أن المعادلة ليس لها جذور.
دعنا نعود إلى معادلاتنا ونلقي نظرة على بعض الأمثلة.
المثال 9:
حل المعادلة
الخطوة 1يتخطى.
الخطوة 2
البحث عن المميز:
إذن للمعادلة جذران.
الخطوه 3
إجابه:
المثال 10:
حل المعادلة
المعادلة في شكل قياسي ، لذلك الخطوة 1يتخطى.
الخطوة 2
البحث عن المميز:
إذن للمعادلة جذر واحد.
إجابه:
المثال 11:
حل المعادلة
المعادلة في شكل قياسي ، لذلك الخطوة 1يتخطى.
الخطوة 2
البحث عن المميز:
هذا يعني أننا لن نتمكن من استخراج الجذر من المميز. لا توجد جذور للمعادلة.
الآن نحن نعرف كيفية كتابة هذه الإجابات بشكل صحيح.
إجابه:لا جذور
2. حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا.
إذا كنت تتذكر ، فهناك نوع من المعادلات يسمى مخفض (عندما يكون المعامل أ يساوي):
من السهل جدًا حل هذه المعادلات باستخدام نظرية فييتا:
مجموع الجذور معطىالمعادلة التربيعية متساوية ، وحاصل ضرب الجذور متساوي.
المثال 12:
حل المعادلة
هذه المعادلة مناسبة للحل باستخدام نظرية فييتا ، لأن .
مجموع جذور المعادلة هو ، أي نحصل على المعادلة الأولى:
والمنتج هو:
لنقم بإنشاء وحل النظام:
- و. المجموع هو
- و. المجموع هو
- و. المبلغ يساوي.
و هي حل النظام:
إجابه: ; .
المثال 13:
حل المعادلة
إجابه:
المثال 14:
حل المعادلة
يتم تقليل المعادلة ، مما يعني:
إجابه:
المعادلات التربيعية. مستوى متوسط
ما هي المعادلة التربيعية؟
بمعنى آخر ، المعادلة التربيعية هي معادلة للصيغة ، حيث - غير معروف - بعض الأرقام ، علاوة على ذلك.
الرقم يسمى الأعلى أو المعامل الأولمعادلة من الدرجة الثانية، - المعامل الثاني، أ - عضو مجاني.
لماذا ا؟ لأنه إذا ، ستصبح المعادلة خطية على الفور ، لأن سوف تختفي.
في هذه الحالة ، ويمكن أن تساوي الصفر. تسمى معادلة البراز هذه غير مكتملة. إذا كانت جميع الشروط في مكانها الصحيح ، فهذا يعني أن المعادلة كاملة.
حلول لأنواع مختلفة من المعادلات التربيعية
طرق حل المعادلات التربيعية غير المكتملة:
بادئ ذي بدء ، سنقوم بتحليل طرق حل المعادلات التربيعية غير المكتملة - فهي أبسط.
يمكن تمييز أنواع المعادلات التالية:
أولاً ، في هذه المعادلة ، المعامل والمصطلح الحر متساويان.
II. ، في هذه المعادلة المعامل يساوي.
ثالثا. ، في هذه المعادلة ، المصطلح المجاني يساوي.
فكر الآن في حل كل من هذه الأنواع الفرعية.
من الواضح أن هذه المعادلة لها دائمًا جذر واحد فقط:
لا يمكن أن يكون تربيع العدد سالبًا ، لأنه عند ضرب رقمين سالبين أو رقمين موجبين ، ستكون النتيجة دائمًا رقمًا موجبًا. لهذا:
إذا ، فإن المعادلة ليس لها حلول ؛
إذا كان لدينا جذران
لا تحتاج هذه الصيغ إلى الحفظ. الشيء الرئيسي الذي يجب تذكره هو أنه لا يمكن أن يكون أقل.
أمثلة:
حلول:
إجابه:
لا تنس أبدًا الجذور بعلامة سلبية!
لا يمكن أن يكون مربع الرقم سالبًا ، مما يعني أن المعادلة
لا جذور.
للكتابة بإيجاز أن المشكلة ليس لها حلول ، نستخدم أيقونة المجموعة الفارغة.
إجابه:
إذن ، هذه المعادلة لها جذران: و.
إجابه:
لنأخذ العامل المشترك من الأقواس:
حاصل الضرب يساوي صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. هذا يعني أن المعادلة لها حل عندما:
إذن ، هذه المعادلة التربيعية لها جذرين: و.
مثال:
حل المعادلة.
المحلول:
نقوم بتحليل الجانب الأيسر من المعادلة وإيجاد الجذور:
إجابه:
طرق حل المعادلات التربيعية الكاملة:
1. التمييز
حل المعادلات التربيعية بهذه الطريقة سهل ، الشيء الرئيسي هو تذكر تسلسل الإجراءات واثنين من الصيغ. تذكر أن أي معادلة تربيعية يمكن حلها باستخدام المميز! حتى غير مكتمل.
هل لاحظت جذر المميز في صيغة الجذر؟ لكن المميز يمكن أن يكون سالبًا. ماذا أفعل؟ نحن بحاجة إلى إيلاء اهتمام خاص للخطوة 2. المميز يخبرنا بعدد جذور المعادلة.
- إذا ، فإن المعادلة لها جذر:
- إذا ، فإن المعادلة لها نفس الجذر ، ولكن في الواقع ، جذر واحد:
تسمى هذه الجذور بجذور مزدوجة.
- إذا ، لا يتم استخراج جذر المميز. يشير هذا إلى أن المعادلة ليس لها جذور.
لماذا توجد أعداد مختلفة من الجذور؟ دعونا ننتقل إلى المعنى الهندسي للمعادلة التربيعية. الرسم البياني للدالة هو قطع مكافئ:
في حالة معينة ، وهي معادلة من الدرجة الثانية ،. وهذا يعني أن جذور المعادلة التربيعية هي نقاط التقاطع مع المحور x (المحور). قد لا يتقاطع القطع المكافئ مع المحور على الإطلاق ، أو قد يتقاطع معه عند نقطة واحدة (عندما يقع الجزء العلوي من القطع المكافئ على المحور) أو نقطتين.
بالإضافة إلى ذلك ، فإن المعامل مسؤول عن اتجاه فروع القطع المكافئ. إذا ، فإن فروع القطع المكافئ يتم توجيهها لأعلى ، وإذا - ثم للأسفل.
أمثلة:
حلول:
إجابه:
إجابه: .
إجابه:
هذا يعني أنه لا توجد حلول.
إجابه: .
2. نظرية فييتا
يعد استخدام نظرية فييتا أمرًا سهلاً للغاية: ما عليك سوى اختيار زوج من الأرقام يكون حاصل ضربهما مساويًا للمصطلح الحر للمعادلة ، ويكون المجموع مساويًا للمعامل الثاني ، مأخوذًا بعلامة معاكسة.
من المهم أن تتذكر أنه لا يمكن تطبيق نظرية فييتا إلا على بالنظر إلى المعادلات التربيعية ().
لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة:
مثال 1:
حل المعادلة.
المحلول:
هذه المعادلة مناسبة للحل باستخدام نظرية فييتا ، لأن . معاملات أخرى: .
مجموع جذور المعادلة هو:
والمنتج هو:
دعنا نختار أزواج الأرقام هذه ، حاصل ضربهما متساوي ، ونتحقق مما إذا كان مجموعهما متساويًا:
- و. المجموع هو
- و. المجموع هو
- و. المبلغ يساوي.
و هي حل النظام:
وهكذا ، هي جذور معادلتنا.
إجابه: ؛ .
المثال الثاني:
المحلول:
نختار أزواج الأرقام التي تظهر في المنتج ، ثم نتحقق مما إذا كان مجموعها متساويًا:
و: تعطي في المجموع.
و: تعطي في المجموع. للحصول عليه ، تحتاج فقط إلى تغيير علامات الجذور المزعومة: وبعد كل شيء ، المنتج.
إجابه:
المثال الثالث:
المحلول:
المصطلح الحر للمعادلة سالب ، وبالتالي يكون حاصل ضرب الجذور عددًا سالبًا. هذا ممكن فقط إذا كان أحد الجذور سالب والآخر موجب. إذن مجموع الجذور هو الاختلافات في وحداتهم.
نختار أزواج الأرقام التي تظهر في المنتج ، والفرق بينها يساوي:
و: اختلافهم - غير مناسب ؛
و: - غير مناسب ؛
و: - غير مناسب ؛
و: - مناسب. يبقى فقط أن نتذكر أن أحد الجذور سلبي. نظرًا لأن مجموعهم يجب أن يكون متساويًا ، فيجب أن يكون الجذر ، الأصغر في القيمة المطلقة ، سالبًا:. نحن نفحص:
إجابه:
المثال الرابع:
حل المعادلة.
المحلول:
يتم تقليل المعادلة ، مما يعني:
المصطلح الحر سالب ، وبالتالي يكون حاصل ضرب الجذور سالبًا. وهذا ممكن فقط عندما يكون أحد جذر المعادلة سالبًا والآخر موجبًا.
نختار أزواج الأرقام التي يكون منتجها متساويًا ، ثم نحدد الجذور التي يجب أن يكون لها علامة سالبة:
من الواضح أن الجذور فقط ومناسبة للشرط الأول:
إجابه:
المثال الخامس:
حل المعادلة.
المحلول:
يتم تقليل المعادلة ، مما يعني:
مجموع الجذور سالب ، مما يعني أن أحد الجذور على الأقل سالب. ولكن نظرًا لأن حاصل ضربهما موجب ، فهذا يعني أن كلا الجذور سالب.
نختار أزواج الأرقام هذه ، منتجها يساوي:
من الواضح أن الجذور هي الأرقام و.
إجابه:
موافق ، إنه مناسب للغاية - لاختراع الجذور شفهيًا ، بدلاً من حساب هذا التمييز المقرف. حاول استخدام نظرية فييتا بقدر الإمكان.
لكن هناك حاجة إلى نظرية فييتا من أجل تسهيل وتسريع العثور على الجذور. لجعل استخدامها مربحًا لك ، يجب عليك إحضار الإجراءات إلى الأتمتة. ولهذا ، حل خمسة أمثلة أخرى. لكن لا تغش: لا يمكنك استخدام المميز! فقط نظرية فييتا:
حلول لمهام العمل المستقل:
المهمة 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0
وفقًا لنظرية فييتا:
كالعادة نبدأ الاختيار بالمنتج:
غير مناسب لأن المبلغ ؛
: المبلغ هو ما تحتاجه.
إجابه: ؛ .
المهمة 2.
ومرة أخرى ، نظرية فييتا المفضلة لدينا: يجب أن يكون المجموع ناجحًا ، لكن حاصل الضرب متساوٍ.
لكن بما أنه لا ينبغي أن يكون كذلك ، لكننا نغير علامات الجذور: و (إجمالاً).
إجابه: ؛ .
المهمة 3.
حسنًا ... أين هي؟
من الضروري نقل جميع الشروط إلى جزء واحد:
مجموع الجذور يساوي الناتج.
نعم توقف! المعادلة غير معطاة. لكن نظرية فييتا قابلة للتطبيق فقط في المعادلات المحددة. لذا عليك أولاً إحضار المعادلة. إذا لم تتمكن من طرحها ، فقم بإسقاط هذه الفكرة وحلها بطريقة أخرى (على سبيل المثال ، من خلال المميز). دعني أذكرك أن إحضار معادلة من الدرجة الثانية يعني جعل المعامل الرئيسي يساوي:
ممتاز. ثم مجموع الجذور متساوي ، والحاصل.
من الأسهل أن تلتقط هنا: بعد كل شيء - عدد أولي (آسف على الحشو).
إجابه: ؛ .
المهمة 4.
المصطلح المجاني سلبي. ما الذي يميزه؟ وحقيقة أن الجذور ستكون من علامات مختلفة. والآن ، أثناء التحديد ، لا نتحقق من مجموع الجذور ، بل نتحقق من الفرق بين وحداتها: هذا الاختلاف متساوٍ ، لكن حاصل الضرب.
إذن ، الجذور متساوية ، لكن أحدهما سالب. تخبرنا نظرية فييتا أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني مع الإشارة المعاكسة ، أي. هذا يعني أن الجذر الأصغر سيكون له سالب: ومنذ ذلك الحين.
إجابه: ؛ .
المهمة 5.
ما الذي يجب القيام به أولا؟ هذا صحيح ، أعط المعادلة:
مرة أخرى: نختار عوامل العدد ، ويجب أن يكون فرقها مساويًا لـ:
الجذور متساوية ولكن أحدهما ناقص. أيّ؟ يجب أن يكون مجموعهم متساويًا ، مما يعني أنه مع وجود سالب سيكون هناك جذر أكبر.
إجابه: ؛ .
اسمحوا لي أن ألخص:
- تستخدم نظرية فييتا فقط في المعادلات التربيعية المعطاة.
- باستخدام نظرية Vieta ، يمكنك إيجاد الجذور عن طريق التحديد ، شفويا.
- إذا لم يتم العثور على المعادلة أو لم يتم العثور على أي منها زوجين مناسبينعوامل المصطلح الحر ، مما يعني عدم وجود جذور صحيحة ، وتحتاج إلى حلها بطريقة أخرى (على سبيل المثال ، من خلال المميز).
3. طريقة اختيار مربع كامل
إذا تم تمثيل جميع المصطلحات التي تحتوي على المجهول كمصطلحات من معادلات الضرب المختصر - مربع المجموع أو الفرق - ثم بعد تغيير المتغيرات ، من الممكن تمثيل المعادلة في شكل معادلة تربيعية غير مكتملة من النوع .
فمثلا:
مثال 1:
حل المعادلة: .
المحلول:
إجابه:
المثال 2:
حل المعادلة: .
المحلول:
إجابه:
في نظرة عامةسيبدو التحول كما يلي:
هذا يعني: .
ألا يذكرك بأي شيء؟ إنه المميز! هذا هو بالضبط كيف تم الحصول على الصيغة المميزة.
المعادلات التربيعية. باختصار حول الرئيسي
معادلة من الدرجة الثانيةهي معادلة الشكل ، حيث يكون المجهول ، معاملات المعادلة التربيعية ، هو المصطلح المجاني.
معادلة تربيعية كاملة- معادلة لا تساوي فيها المعاملات الصفر.
معادلة تربيعية مخفضة- معادلة يكون فيها المعامل هو:.
معادلة تربيعية غير كاملة- معادلة يكون فيها المعامل و / أو المصطلح الحر c مساويًا للصفر:
- إذا كان المعامل ، فإن المعادلة لها الشكل:،
- إذا كان مصطلح مجاني ، فإن المعادلة لها الشكل: ،
- إذا كان للمعادلة الشكل:.
1. خوارزمية لحل المعادلات التربيعية غير المكتملة
1.1 معادلة تربيعية غير كاملة للشكل حيث:
1) عبر عن المجهول: ،
2) تحقق من علامة التعبير:
- إذا ، فإن المعادلة ليس لها حلول ،
- إذا ، فإن المعادلة لها جذران.
1.2 معادلة تربيعية غير كاملة للشكل حيث:
1) لنأخذ العامل المشترك من الأقواس:،
2) المنتج يساوي صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. لذلك ، فإن المعادلة لها جذران:
1.3 معادلة تربيعية غير كاملة للشكل ، حيث:
هذه المعادلة لها دائمًا جذر واحد فقط:.
2. خوارزمية لحل المعادلات التربيعية الكاملة للصيغة حيث
2.1. الحل باستخدام المميز
1) لنجلب المعادلة إلى النموذج القياسي:،
2) احسب المميز باستخدام الصيغة: التي تشير إلى عدد جذور المعادلة:
3) أوجد جذور المعادلة:
- إذا ، فإن المعادلة لها جذر ، والذي تم العثور عليه بواسطة الصيغة:
- إذا ، فإن المعادلة لها جذر ، والذي تم العثور عليه بواسطة الصيغة:
- إذا ، فإن المعادلة ليس لها جذور.
2.2. الحل باستخدام نظرية فييتا
مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة (معادلة الشكل ، أين) متساوي ، وحاصل ضرب الجذور متساوٍ ، أي ، أ.
2.3 حل مربع كامل
في مجتمع حديثيمكن أن تكون القدرة على العمل مع المعادلات التي تحتوي على متغير مربع مفيدة في العديد من مجالات النشاط وتستخدم على نطاق واسع في الممارسة العملية في التطورات العلمية والتقنية. يمكن إثبات ذلك من خلال تصميم السفن البحرية والنهرية والطائرات والصواريخ. بمساعدة هذه الحسابات ، يتم تحديد مسارات حركة الأجسام المختلفة ، بما في ذلك الأجسام الفضائية. تستخدم أمثلة حل المعادلات التربيعية ليس فقط في التنبؤ الاقتصادي ، في تصميم المباني وتشييدها ، ولكن أيضًا في أكثر الظروف اليومية العادية. قد تكون هناك حاجة إليها في رحلات التخييم ، في الأحداث الرياضية ، في المتاجر عند التسوق وفي المواقف الأخرى الشائعة جدًا.
دعنا نقسم التعبير إلى عوامل مكونة
يتم تحديد درجة المعادلة من خلال القيمة القصوى لدرجة المتغير التي يحتوي عليها التعبير المحدد. إذا كانت تساوي 2 ، فإن هذه المعادلة تسمى معادلة من الدرجة الثانية.
إذا تحدثنا بلغة الصيغ ، فإن هذه التعبيرات ، بغض النظر عن شكلها ، يمكن دائمًا إحضارها إلى النموذج عندما يتكون الجانب الأيسر من التعبير من ثلاثة مصطلحات. من بينها: ax 2 (أي متغير تربيع مع معامله) ، bx (مجهول بدون مربع بمعامله) و c (مكون مجاني ، أي رقم عادي). كل هذا يساوي صفرًا على الجانب الأيمن ، في حالة عدم احتواء كثير الحدود على أحد المصطلحات المكونة له ، باستثناء المحور 2 ، يطلق عليه معادلة تربيعية غير مكتملة. ينبغي النظر أولاً في الأمثلة المتعلقة بحل مثل هذه المشكلات ، والتي لا يصعب العثور فيها على قيمة المتغيرات.
إذا بدا أن التعبير يحتوي على حدين في الجانب الأيمن من التعبير ، وبشكل أكثر دقة ax 2 و bx ، فمن الأسهل إيجاد x عن طريق وضع المتغير بين أقواس. ستبدو معادلتنا الآن كما يلي: x (ax + b). علاوة على ذلك ، يصبح من الواضح أن إما x = 0 ، أو يتم تقليل المشكلة لإيجاد متغير من التعبير التالي: ax + b = 0. هذا ما تمليه إحدى خصائص الضرب. تنص القاعدة على أن حاصل ضرب عاملين ينتج 0 فقط إذا كان أحدهما صفرًا.
مثال
س = 0 أو 8 س - 3 = 0
نتيجة لذلك ، حصلنا على جذرين للمعادلة: 0 و 0.375.
يمكن أن تصف المعادلات من هذا النوع حركة الأجسام تحت تأثير الجاذبية ، والتي بدأت تتحرك من نقطة معينة ، باعتبارها الأصل. هنا يأخذ التدوين الرياضي النموذج التالي: y = v 0 t + gt 2/2. من خلال استبدال القيم الضرورية ، معادلة الجانب الأيمن بـ 0 وإيجاد المجهول المحتمل ، يمكنك معرفة الوقت المنقضي من لحظة صعود الجسم إلى لحظة سقوطه ، بالإضافة إلى العديد من الكميات الأخرى. لكن سنتحدث عن هذا لاحقًا.
تحليل التعبير
القاعدة الموصوفة أعلاه تجعل من الممكن حل هذه المشاكل في حالات أكثر تعقيدًا. ضع في اعتبارك أمثلة لحل المعادلات التربيعية من هذا النوع.
X2 - 33x + 200 = 0
اكتمل هذا المربع ثلاثي الحدود. أولاً ، نقوم بتحويل التعبير وتفكيكه إلى عوامل. يوجد اثنان منهم: (x-8) و (x-25) = 0. ونتيجة لذلك ، لدينا جذرين 8 و 25.
تسمح أمثلة حل المعادلات التربيعية في الصف 9 لهذه الطريقة بإيجاد متغير في التعبيرات ليس فقط من الرتب الثانية ، بل حتى في الرتبتين الثالثة والرابعة.
على سبيل المثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. عند تحليل الجانب الأيمن إلى عوامل ذات متغير ، هناك ثلاثة منهم ، وهي (x + 1) و (x-3) و (x + 3).
نتيجة لذلك ، يتضح أن هذه المعادلة لها ثلاثة جذور: -3؛ -واحد؛ 3.
استخراج الجذر التربيعي
حالة أخرى من معادلة الدرجة الثانية غير المكتملة هي تعبير مكتوب بلغة الحروف بطريقة يتم فيها بناء الجانب الأيمن من المكونين ax 2 و c. هنا ، للحصول على قيمة المتغير ، يتم نقل المصطلح المجاني إلى الجانب الأيمنوبعد ذلك يتم استخراج الجذر التربيعي من طرفي المساواة. وتجدر الإشارة إلى أنه في هذه الحالة عادة ما يكون هناك جذران للمعادلة. الاستثناءات الوحيدة هي المساواة التي لا تحتوي على المصطلح c على الإطلاق ، حيث المتغير يساوي صفرًا ، بالإضافة إلى متغيرات التعبيرات عندما يكون الجانب الأيمن سالبًا. في الحالة الأخيرة ، لا توجد حلول على الإطلاق ، حيث لا يمكن تنفيذ الإجراءات المذكورة أعلاه بالجذور. ينبغي النظر في أمثلة على حلول المعادلات التربيعية من هذا النوع.
في هذه الحالة ، ستكون جذور المعادلة هي العددين -4 و 4.
حساب مساحة الارض
ظهرت الحاجة إلى هذا النوع من الحسابات في العصور القديمة ، لأن تطور الرياضيات في تلك الأوقات البعيدة كان يرجع إلى حد كبير إلى الحاجة إلى تحديد مناطق ومحيط قطع الأراضي بأكبر قدر من الدقة.
يجب أن ننظر أيضًا في أمثلة لحل المعادلات التربيعية التي تم تجميعها على أساس مشاكل من هذا النوع.
لنفترض أن هناك قطعة أرض مستطيلة يزيد طولها عن العرض بمقدار 16 مترًا. يجب أن تجد طول وعرض ومحيط الموقع إذا علم أن مساحته 612 م 2.
لنبدأ العمل ، في البداية سنقوم بعمل المعادلة اللازمة. دعنا نشير إلى عرض القسم على أنه x ، فسيكون طوله (x + 16). يستنتج مما كتب أن المساحة تحدد بالتعبير x (x + 16) ، والذي ، وفقًا لحالة مشكلتنا ، هو 612. هذا يعني أن x (x + 16) \ u003d 612.
لا يمكن حل المعادلات التربيعية الكاملة ، وهذا التعبير فقط ، بالطريقة نفسها. لماذا ا؟ على الرغم من أن الجانب الأيسر منه لا يزال يحتوي على عاملين ، إلا أن ناتجهما لا يساوي 0 على الإطلاق ، لذلك يتم استخدام طرق أخرى هنا.
مميز
بادئ ذي بدء ، نقوم بعد ذلك بالتحولات اللازمة مظهر خارجيسيبدو هذا التعبير على النحو التالي: x 2 + 16x - 612 = 0. هذا يعني أننا تلقينا تعبيرًا في الشكل المقابل للمعيار المحدد مسبقًا ، حيث أ = 1 ، ب = 16 ، ج = -612.
يمكن أن يكون هذا مثالًا على حل المعادلات التربيعية من خلال المميز. هنا الحسابات اللازمةتم إنتاجه وفقًا للمخطط: D = b 2 - 4ac. لا تتيح هذه القيمة المساعدة العثور على القيم المرغوبة في معادلة الدرجة الثانية فحسب ، بل إنها تحدد الرقم والخيارات. في حالة D> 0 ، يوجد اثنان منهم ؛ ل D = 0 هناك جذر واحد. في حالة د<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
حول الجذور وصيغتها
في حالتنا ، المميز هو: 256 - 4 (-612) = 2704. يشير هذا إلى أن مشكلتنا لها إجابة. إذا كنت تعلم ، يجب أن يستمر حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة أدناه. يسمح لك بحساب الجذور.
هذا يعني أنه في الحالة المعروضة: x 1 = 18 ، x 2 = -34. الخيار الثاني في هذه المعضلة لا يمكن أن يكون حلاً ، لأن حجم قطعة الأرض لا يمكن قياسه بقيم سالبة ، مما يعني أن x (أي عرض قطعة الأرض) هو 18 مترًا. ومن هنا نحسب الطول: 18 + 16 = 34 ، والمحيط 2 (34+ 18) = 104 (م 2).
أمثلة ومهام
نواصل دراسة المعادلات التربيعية. سيتم إعطاء أمثلة وحل مفصل للعديد منها أدناه.
1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1
دعنا ننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر من المساواة ، ونجري تحويلًا ، أي نحصل على شكل المعادلة ، والذي يُطلق عليه عادةً المعادلة القياسية ، ونساويها بالصفر.
15x 2 + 20x + 5-12x 2-27x - 1 = 0
بعد إضافة متشابهة ، نحدد المميز: D \ u003d 49-48 \ u003d 1. إذن سيكون لمعادلتنا جذرين. نحسبها وفقًا للصيغة أعلاه ، مما يعني أن أولهما سيساوي 4/3 ، والثاني 1.
2) الآن سوف نكشف عن ألغاز من نوع مختلف.
لنكتشف ما إذا كانت هناك جذور x 2 - 4x + 5 = 1 هنا على الإطلاق؟ للحصول على إجابة شاملة ، نحضر كثير الحدود إلى الشكل المألوف المقابل ونحسب المميز. في هذا المثال ، ليس من الضروري حل المعادلة التربيعية ، لأن جوهر المشكلة ليس في هذا على الإطلاق. في هذه الحالة ، D \ u003d 16-20 \ u003d -4 ، مما يعني أنه لا توجد جذور بالفعل.
نظرية فييتا
من الملائم حل المعادلات التربيعية من خلال الصيغ أعلاه والمميز ، عندما يتم استخراج الجذر التربيعي من قيمة الأخير. لكن هذا لا يحدث دائما. ومع ذلك ، هناك العديد من الطرق للحصول على قيم المتغيرات في هذه الحالة. مثال: حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا. تم تسميته على اسم رجل عاش في فرنسا في القرن السادس عشر وكان له مسيرة مهنية رائعة بفضل موهبته الرياضية وعلاقاته في المحكمة. يمكن رؤية صورته في المقال.
النمط الذي لاحظه الفرنسي الشهير كان على النحو التالي. لقد أثبت أن مجموع جذور المعادلة يساوي -p = b / a ، وحاصل ضربهم يتوافق مع q = c / a.
الآن دعونا نلقي نظرة على مهام محددة.
3 س 2 + 21 س - 54 = 0
للتبسيط ، دعنا نحول التعبير:
س 2 + 7 س - 18 = 0
باستخدام نظرية Vieta ، سيعطينا هذا ما يلي: مجموع الجذور هو -7 ، وحاصل ضربها -18. من هنا نحصل على أن جذور المعادلة هي العددين -9 و 2. بعد إجراء فحص ، سوف نتأكد من أن قيم المتغيرات هذه تتلاءم حقًا مع التعبير.
رسم بياني ومعادلة القطع المكافئ
ترتبط مفاهيم الدالة التربيعية ارتباطًا وثيقًا بالمعادلات التربيعية. تم بالفعل تقديم أمثلة على ذلك مسبقًا. الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الألغاز الرياضية بمزيد من التفصيل. يمكن تمثيل أي معادلة من النوع الموصوف بصريًا. مثل هذا الاعتماد ، المرسوم في شكل رسم بياني ، يسمى القطع المكافئ. أنواعه المختلفة موضحة في الشكل أدناه.
أي قطع مكافئ له رأس ، أي نقطة تخرج منها فروعها. إذا كانت القيمة> 0 ، فإنها ترتفع إلى ما لا نهاية ، وعندما يكون<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
تساعد التمثيلات المرئية للوظائف في حل أي معادلات ، بما في ذلك المعادلات التربيعية. هذه الطريقة تسمى الرسم. وقيمة المتغير x هي إحداثيات الإحداثي عند النقاط التي يتقاطع فيها خط الرسم البياني مع 0x. يمكن إيجاد إحداثيات الرأس بالصيغة المعطاة x 0 = -b / 2a. وباستبدال القيمة الناتجة في المعادلة الأصلية للدالة ، يمكنك معرفة y 0 ، أي الإحداثي الثاني لرأس القطع المكافئ الذي ينتمي إلى المحور y.
تقاطع فروع القطع المكافئ مع محور الإحداثية
هناك الكثير من الأمثلة لحل المعادلات التربيعية ، ولكن هناك أيضًا أنماط عامة. دعونا نفكر فيها. من الواضح أن تقاطع الرسم البياني مع المحور 0x لـ> 0 ممكن فقط إذا استغرق y 0 القيم السالبة. وللحصول على<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. خلاف ذلك د<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
من الرسم البياني للقطع المكافئ ، يمكنك أيضًا تحديد الجذور. والعكس صحيح أيضا. بمعنى ، إذا لم يكن من السهل الحصول على تمثيل مرئي لوظيفة تربيعية ، فيمكنك مساواة الجانب الأيمن من التعبير بالرقم 0 وحل المعادلة الناتجة. ومعرفة نقاط التقاطع مع المحور 0x ، يسهل رسمها.
من التاريخ
بمساعدة المعادلات التي تحتوي على متغير مربع ، في الأيام الخوالي ، لم يتم إجراء الحسابات الرياضية فقط وتحديد مساحة الأشكال الهندسية. احتاج القدماء إلى مثل هذه الحسابات من أجل الاكتشافات العظيمة في مجال الفيزياء وعلم الفلك ، وكذلك لعمل تنبؤات فلكية.
كما يقترح العلماء المعاصرون ، كان سكان بابل من بين أول من حل المعادلات التربيعية. حدث ذلك قبل أربعة قرون من ظهور عصرنا. بالطبع ، كانت حساباتهم مختلفة اختلافًا جوهريًا عن تلك المقبولة حاليًا واتضح أنها أكثر بدائية. على سبيل المثال ، لم يكن لدى علماء الرياضيات في بلاد ما بين النهرين أي فكرة عن وجود الأرقام السالبة. كما أنهم لم يكونوا على دراية بأدق التفاصيل التي يعرفها أي طالب في عصرنا.
ربما حتى قبل علماء بابل ، توصل الحكيم من الهند ، Baudhayama ، إلى حل المعادلات التربيعية. حدث هذا قبل ثمانية قرون من ظهور عصر المسيح. صحيح أن معادلات الدرجة الثانية ، طرق الحل التي قدمها ، كانت أبسط. بالإضافة إليه ، كان علماء الرياضيات الصينيون مهتمين أيضًا بأسئلة مماثلة في الأيام الخوالي. في أوروبا ، بدأ حل المعادلات التربيعية فقط في بداية القرن الثالث عشر ، ولكن لاحقًا تم استخدامها في عملهم من قبل علماء عظماء مثل نيوتن وديكارت والعديد من الآخرين.
قد يبدو هذا الموضوع معقدًا في البداية بسبب العديد من الصيغ غير البسيطة. لا يقتصر الأمر على أن المعادلات التربيعية نفسها لها مدخلات طويلة ، ولكن الجذور توجد أيضًا من خلال المميز. هناك ثلاث صيغ جديدة في المجموع. ليس من السهل تذكره. هذا ممكن فقط بعد الحل المتكرر لهذه المعادلات. ثم سيتم تذكر جميع الصيغ من تلقاء نفسها.
منظر عام للمعادلة التربيعية
هنا يتم اقتراح تدوينهم الصريح ، عندما تكتب الدرجة الأكبر أولاً ، ثم - بترتيب تنازلي. غالبًا ما تكون هناك مواقف عندما تكون الشروط منفصلة. ثم من الأفضل إعادة كتابة المعادلة بترتيب تنازلي لدرجة المتغير.
دعونا نقدم التدوين. يتم تقديمها في الجدول أدناه.
إذا قبلنا هذه الرموز ، فسيتم تقليل جميع المعادلات التربيعية إلى الترميز التالي.
علاوة على ذلك ، المعامل a ≠ 0. دع هذه الصيغة يُشار إليها بالرقم الأول.
عندما يتم إعطاء المعادلة ، ليس من الواضح عدد الجذور في الإجابة. لأن أحد الخيارات الثلاثة ممكن دائمًا:
- الحل سيكون له جذور.
- ستكون الإجابة رقمًا واحدًا ؛
- المعادلة ليس لها جذور على الإطلاق.
وبينما لم يتم إنهاء القرار ، من الصعب فهم أي من الخيارات سينتهي في حالة معينة.
أنواع تسجيلات المعادلات التربيعية
قد يكون للمهام إدخالات مختلفة. لن تبدو دائمًا مثل الصيغة العامة للمعادلة التربيعية. في بعض الأحيان سوف تفتقر إلى بعض المصطلحات. ما كتب أعلاه هو المعادلة الكاملة. إذا أزلت الحد الثاني أو الثالث فيه ، فستحصل على شيء آخر. تسمى هذه السجلات أيضًا المعادلات التربيعية ، وهي غير مكتملة فقط.
علاوة على ذلك ، يمكن فقط اختفاء المعاملين "ب" و "ج". لا يمكن أن يكون الرقم "أ" مساويًا للصفر تحت أي ظرف من الظروف. لأنه في هذه الحالة تتحول الصيغة إلى معادلة خطية. ستكون الصيغ الخاصة بالشكل غير المكتمل للمعادلات كما يلي:
لذلك ، هناك نوعان فقط ، بالإضافة إلى الأنواع الكاملة ، هناك أيضًا معادلات تربيعية غير مكتملة. دع الصيغة الأولى هي رقم اثنين والثانية ثلاثة.
المميّز واعتماد عدد الجذور على قيمته
يجب معرفة هذا الرقم لحساب جذور المعادلة. يمكن دائمًا حسابها ، بغض النظر عن صيغة المعادلة التربيعية. من أجل حساب المميز ، تحتاج إلى استخدام المساواة المكتوبة أدناه ، والتي سيكون لها الرقم أربعة.
بعد استبدال قيم المعاملات في هذه الصيغة ، يمكنك الحصول على أرقام بعلامات مختلفة. إذا كانت الإجابة بنعم ، فإن إجابة المعادلة ستكون جذرين مختلفين. مع وجود رقم سالب ، فإن جذور المعادلة التربيعية ستكون غائبة. إذا كانت تساوي صفرًا ، فستكون الإجابة واحدة.
كيف يتم حل المعادلة التربيعية الكاملة؟
في الواقع ، بدأ بالفعل النظر في هذه المسألة. لأنك تحتاج أولاً إلى إيجاد المميز. بعد أن تم توضيح وجود جذور للمعادلة التربيعية ، وعددها معروف ، تحتاج إلى استخدام الصيغ للمتغيرات. إذا كان هناك جذران ، فأنت بحاجة إلى تطبيق هذه الصيغة.
نظرًا لأنه يحتوي على علامة "±" ، فستكون هناك قيمتان. التعبير الموجود أسفل علامة الجذر التربيعي هو المميز. لذلك ، يمكن إعادة كتابة الصيغة بطريقة مختلفة.
الفورمولا خمسة. من نفس السجل ، يمكن ملاحظة أنه إذا كان المميز صفرًا ، فسيأخذ كلا الجذور نفس القيم.
إذا لم يتم حل المعادلات التربيعية بعد ، فمن الأفضل تدوين قيم جميع المعاملات قبل تطبيق الصيغ المميزة والمتغيرة. في وقت لاحق هذه اللحظة لن تسبب صعوبات. لكن في البداية كان هناك ارتباك.
كيف يتم حل المعادلة التربيعية غير المكتملة؟
كل شيء هنا أبسط من ذلك بكثير. حتى ليست هناك حاجة لصيغ إضافية. ولن تحتاج إلى تلك التي تمت كتابتها بالفعل للمميز والمجهول.
أولاً ، ضع في اعتبارك المعادلة غير المكتملة رقم اثنين. في هذه المساواة ، من المفترض إخراج الكمية غير المعروفة من الأقواس وحل المعادلة الخطية التي ستبقى بين قوسين. سيكون للإجابة جذرين. الأول يساوي صفرًا بالضرورة ، لأن هناك عاملًا يتكون من المتغير نفسه. يتم الحصول على الثاني عن طريق حل معادلة خطية.
يتم حل المعادلة غير المكتملة في الرقم ثلاثة عن طريق نقل الرقم من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين. ثم تحتاج إلى القسمة على المعامل أمام المجهول. يبقى فقط استخراج الجذر التربيعي ولا تنس كتابته مرتين بإشارات معاكسة.
فيما يلي بعض الإجراءات التي تساعدك على تعلم كيفية حل جميع أنواع المساواة التي تتحول إلى معادلات من الدرجة الثانية. سوف يساعدون الطالب على تجنب الأخطاء بسبب عدم الانتباه. هذه النواقص هي سبب ضعف الدرجات عند دراسة الموضوع الشامل "المعادلات الرباعية (الصف 8)". بعد ذلك ، لن تكون هناك حاجة إلى تنفيذ هذه الإجراءات باستمرار. لأنه ستكون هناك عادة ثابتة.
- تحتاج أولاً إلى كتابة المعادلة بالصيغة القياسية. هذا هو ، أولاً الحد الذي يحتوي على أكبر درجة من المتغير ، ثم - بدون الدرجة والأخيرة - مجرد رقم.
- إذا ظهر علامة ناقص قبل المعامل "a" ، فقد يؤدي ذلك إلى تعقيد العمل بالنسبة للمبتدئين في دراسة المعادلات التربيعية. من الأفضل التخلص منه. لهذا الغرض ، يجب ضرب كل مساواة بـ "-1". هذا يعني أن كل الحدود ستتغير إشارة إلى العكس.
- بنفس الطريقة يوصى بالتخلص من الكسور. ببساطة اضرب المعادلة في العامل المناسب بحيث تلغي المقامات.
أمثلة
مطلوب لحل المعادلات التربيعية التالية:
× 2-7 س \ u003d 0 ؛
15-2x - x 2 \ u003d 0 ؛
س 2 + 8 + 3 س = 0 ؛
12 س + س 2 + 36 = 0 ؛
(س + 1) 2 + س + 1 = (س + 1) (س + 2).
المعادلة الأولى: x 2 - 7x \ u003d 0. إنها غير مكتملة ، لذلك يتم حلها كما هو موضح للصيغة رقم 2.
بعد التصحيح ، اتضح: x (x - 7) \ u003d 0.
يأخذ الجذر الأول القيمة: x 1 \ u003d 0. سيتم العثور على الثاني من المعادلة الخطية: x - 7 \ u003d 0. من السهل رؤية ذلك x 2 \ u003d 7.
المعادلة الثانية: 5x2 + 30 = 0. مرة أخرى غير مكتملة. يتم حلها فقط كما هو موصوف في الصيغة الثالثة.
بعد نقل 30 إلى الجانب الأيمن من المعادلة: 5x 2 = 30. الآن أنت بحاجة للقسمة على 5. اتضح أن: x 2 = 6. ستكون الإجابات أرقامًا: x 1 = √6، x 2 = - 6.
المعادلة الثالثة: 15 - 2x - x 2 \ u003d 0. هنا وأدناه ، سيبدأ حل المعادلات التربيعية بإعادة كتابتها في شكل قياسي: - x 2 - 2x + 15 \ u003d 0. الآن حان الوقت لاستخدام الثانية نصيحة مفيدة واضرب كل شيء في ناقص واحد. اتضح x 2 + 2x - 15 \ u003d 0. وفقًا للصيغة الرابعة ، تحتاج إلى حساب المميز: D \ u003d 2 2-4 * (- 15) \ u003d 4 + 60 \ u003d 64. إنه أ رقم موجب، عدد إيجابي. مما قيل أعلاه ، يتضح أن للمعادلة جذرين. يجب حسابها وفقًا للصيغة الخامسة. وفقًا لذلك ، اتضح أن x \ u003d (-2 ± √64) / 2 \ u003d (-2 ± 8) / 2. ثم x 1 \ u003d 3 ، x 2 \ u003d - 5.
يتم تحويل المعادلة الرابعة x 2 + 8 + 3x \ u003d 0 إلى هذا: x 2 + 3x + 8 \ u003d 0. المميز لها يساوي هذه القيمة: -23. نظرًا لأن هذا الرقم سلبي ، فستكون الإجابة على هذه المهمة هي الإدخال التالي: "لا توجد جذور".
يجب إعادة كتابة المعادلة الخامسة 12x + x 2 + 36 = 0 على النحو التالي: x 2 + 12x + 36 = 0. بعد تطبيق الصيغة للمميز ، يتم الحصول على الرقم صفر. هذا يعني أنه سيكون له جذر واحد ، وهو: x \ u003d -12 / (2 * 1) \ u003d -6.
تتطلب المعادلة السادسة (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) تحويلات ، والتي تتمثل في حقيقة أنك بحاجة إلى إحضار شروط متشابهة ، قبل فتح القوسين. بدلاً من التعبير الأول ، سيكون هناك مثل هذا التعبير: x 2 + 2x + 1. بعد المساواة ، سيظهر هذا الإدخال: x 2 + 3x + 2. بعد حساب المصطلحات المماثلة ، ستأخذ المعادلة الشكل: x 2 - س \ u003d 0. لقد أصبح غير مكتمل. على غرار ذلك ، تم اعتباره بالفعل أعلى قليلاً. ستكون جذور هذا الرقمين 0 و 1.
"، أي معادلات من الدرجة الأولى. في هذا الدرس سوف نستكشف ما هي المعادلة التربيعيةوكيفية حلها.
ما هي المعادلة التربيعية
مهم!
يتم تحديد درجة المعادلة بأعلى درجة يقف عليها المجهول.
إذا كانت الدرجة القصوى التي يقف عندها المجهول هي "2" ، فلديك معادلة من الدرجة الثانية.
أمثلة على المعادلات التربيعية
- 5x2 - 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - س 2 + 0.25 س = 0
- × 2-8 = 0
مهم! يبدو الشكل العام للمعادلة التربيعية كما يلي:
أ س 2 + ب س + ج = 0
"أ" و "ب" و "ج" - أرقام معطاة.- "أ" - المعامل الأول أو الأعلى ؛
- "ب" - المعامل الثاني ؛
- "c" عضو مجاني.
للعثور على "أ" و "ب" و "ج" تحتاج إلى مقارنة معادلتك بالصيغة العامة للمعادلة التربيعية "ax 2 + bx + c \ u003d 0".
لنتدرب على تحديد المعاملات "أ" و "ب" و "ج" في المعادلات التربيعية.
| المعادلة | احتمال | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- أ = -1
- ب = 1
- ج =
1 3
- أ = 1
- ب = 0.25
- ج = 0
- أ = 1
- ب = 0
- ج = -8
كيفية حل المعادلات التربيعية
على عكس المعادلات الخطية ، يتم استخدام معادلة خاصة لحل المعادلات التربيعية. صيغة إيجاد الجذور.
تذكر!
لحل معادلة من الدرجة الثانية تحتاج إلى:
- أحضر المعادلة التربيعية إلى الشكل العام "ax 2 + bx + c \ u003d 0". وهذا يعني أن "0" فقط يجب أن تبقى على الجانب الأيمن ؛
- استخدم صيغة الجذور:
دعنا نستخدم مثالاً لمعرفة كيفية تطبيق الصيغة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية. لنحل المعادلة التربيعية.
س 2 - 3 س - 4 = 0
تم بالفعل اختزال المعادلة "x 2 - 3x - 4 = 0" إلى الشكل العام "ax 2 + bx + c = 0" ولا تتطلب تبسيطات إضافية. لحلها ، نحتاج فقط إلى التقديم صيغة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية.
دعنا نحدد المعاملات "أ" و "ب" و "ج" لهذه المعادلة.
× 1 ؛ 2 =
× 1 ؛ 2 =
× 1 ؛ 2 =
× 1 ؛ 2 =
بمساعدتها ، يتم حل أي معادلة من الدرجة الثانية.
في الصيغة "× 1 ؛ 2 \ u003d" غالبًا ما يتم استبدال التعبير الجذر
"b 2 - 4ac" لحرف "D" وتسمى مميز. تتم مناقشة مفهوم المميز بمزيد من التفصيل في الدرس "ما هو المميز".
فكر في مثال آخر لمعادلة تربيعية.
س 2 + 9 + س = 7 س
في هذا الشكل ، من الصعب تحديد المعاملات "أ" و "ب" و "ج". لنجلب المعادلة إلى الشكل العام "ax 2 + bx + c \ u003d 0".
س 2 + 9 + س = 7 س
س 2 + 9 + س - 7 س = 0
x2 + 9-6x = 0
س 2-6 س + 9 = 0
الآن يمكنك استخدام صيغة الجذور.
× 1 ؛ 2 =
× 1 ؛ 2 =
× 1 ؛ 2 =
× 1 ؛ 2 =
س =
| 6 |
| 2 |
س = 3
الجواب: س = 3
هناك أوقات لا توجد فيها جذور في المعادلات التربيعية. يحدث هذا الموقف عندما يظهر رقم سالب في الصيغة تحت الجذر.
