مضاعف الرقم هو رقم يقبل القسمة على رقم معين دون باقي. المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لمجموعة من الأرقام هو أصغر رقم قابل للقسمة بالتساوي على كل رقم في المجموعة. للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، عليك إيجاد العوامل الأولية للأعداد المحددة. كما يمكن حساب المضاعف المشترك الأصغر باستخدام عدد من الطرق الأخرى التي تنطبق على مجموعات مكونة من رقمين أو أكثر.

خطوات

عدد من المضاعفات

انظر إلى هذه الأرقام.من الأفضل استخدام الطريقة الموضحة هنا عند إعطاء رقمين أقل من 10. إذا تم إعطاء أرقام كبيرة، فاستخدم طريقة مختلفة.

• على سبيل المثال، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 5 و8. هذه أرقام صغيرة، لذا يمكن استخدام هذه الطريقة.

1. مضاعف الرقم هو رقم يقبل القسمة على رقم معين دون باقي. يمكن العثور على أرقام متعددة في جدول الضرب.

   • على سبيل المثال، الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد 5 هي: 5، 10، 15، 20، 25، 30، 35، 40.

2. اكتب سلسلة من الأرقام التي هي مضاعفات الرقم الأول.قم بذلك ضمن مضاعفات الرقم الأول لمقارنة صفين من الأرقام.

   • على سبيل المثال، الأرقام التي تكون من مضاعفات الرقم 8 هي: 8، 16، 24، 32، 40، 48، 56، و64.

3. أوجد أصغر عدد يظهر في سلسلتي المضاعفات.قد تضطر إلى كتابة سلسلة طويلة من المضاعفات للعثور عليها الرقم الإجمالي. أصغر رقم يظهر في سلسلتي المضاعفات هو المضاعف المشترك الأصغر.

   • على سبيل المثال، أصغر رقم يظهر في سلسلة مضاعفات العددين 5 و8 هو 40. لذلك، 40 هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين 5 و8.

   التخصيم الأولي

   1. انظر إلى هذه الأرقام.من الأفضل استخدام الطريقة الموضحة هنا عند إعطاء رقمين أكبر من 10. إذا تم إعطاء أرقام أصغر، فاستخدم طريقة مختلفة.

      • على سبيل المثال، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 20 و84. كل رقم أكبر من 10، لذلك يمكن استخدام هذه الطريقة.

   2. قم بتحليل الرقم الأول.وهذا هو، تحتاج إلى العثور على مثل هذه الأعداد الأولية، عند ضربها، تحصل على رقم معين. بعد العثور على العوامل الأولية، اكتبها في صورة مساواة.

      • على سبيل المثال، 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2)) \مرات 10=20)و 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2)) \times (\mathbf (5) )=10). وبالتالي، فإن العوامل الأولية للرقم 20 هي الأرقام 2 و 2 و 5. اكتبها كتعبير: .

   3. قم بتحليل العدد الثاني إلى عوامل أولية.افعل ذلك بنفس الطريقة التي قمت بها بتحليل الرقم الأول، أي العثور على هذه الأعداد الأولية التي ستحصل على هذا الرقم عند ضربها.

      • على سبيل المثال، 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2)) \مرات 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7)) \مرات 6=42)و 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3)) \times (\mathbf (2) )=6). وبالتالي، فإن العوامل الأولية للرقم 84 هي الأرقام 2 و 7 و 3 و 2. اكتبها كتعبير: .

   4. اكتب العوامل المشتركة بين الرقمين.اكتب عوامل مثل عملية الضرب. عندما تكتب كل عامل، قم بشطبه في كلا التعبيرين (التعبيرات التي تصف تحليل الأعداد إلى عوامل أولية).

      • على سبيل المثال، العامل المشترك لكلا الرقمين هو 2، لذا اكتب 2 × (\displaystyle 2\times )وشطب الرقم 2 في كلا التعبيرين.
      • العامل المشترك لكلا الرقمين هو عامل آخر وهو 2، لذا اكتب 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)وشطب الرقم 2 الثاني في كلا التعبيرين.

   5. أضف العوامل المتبقية إلى عملية الضرب.هذه هي العوامل التي لم يتم شطبها في كلا التعبيرين، أي العوامل غير المشتركة بين كلا الرقمين.

      • على سبيل المثال، في التعبير 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\مرات 2\مرات 5)تم شطب الاثنين (2) لأنهما عاملان مشتركان. المضاعف 5 غير مشطوب، لذا اكتب عملية الضرب كما يلي: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • في التعبير 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\مرات 7\مرات 3\مرات 2)تم شطب كلا التعادلين (2) أيضًا. العاملان 7 و3 غير مشطوبين، لذا اكتب عملية الضرب كما يلي: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. احسب المضاعف المشترك الأصغر.للقيام بذلك، قم بضرب الأرقام في عملية الضرب المكتوبة.

      • على سبيل المثال، 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). إذن المضاعف المشترك الأصغر للعددين 20 و84 هو 420.

   إيجاد القواسم المشتركة

   1. ارسم شبكة كما تفعل في لعبة تيك تاك تو.تتكون هذه الشبكة من خطين متوازيين يتقاطعان (بزاوية قائمة) مع خطين متوازيين آخرين. سينتج عن ذلك ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة (الشبكة تشبه إلى حد كبير العلامة #). اكتب الرقم الأول في الصف الأول والعمود الثاني. اكتب الرقم الثاني في الصف الأول والعمود الثالث.

      • على سبيل المثال، أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 18 و30. اكتب 18 في الصف الأول والعمود الثاني، واكتب 30 في الصف الأول والعمود الثالث.

   2. أوجد القاسم المشترك لكلا الرقمين.اكتبه في الصف الأول والعمود الأول. من الأفضل البحث عن المقسومات الأولية، لكن هذا ليس شرطا أساسيا.

      • على سبيل المثال، 18 و 30 هي حتى أرقام، إذن القاسم المشترك بينهما هو 2. لذا اكتب 2 في الصف الأول والعمود الأول.

   3. اقسم كل رقم على المقسوم عليه الأول.اكتب كل حاصل تحت الرقم المقابل. الحاصل هو نتيجة قسمة رقمين.

      • على سبيل المثال، 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9)، فاكتب 9 تحت 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15)، فاكتب 15 تحت 30.

   4. أوجد القاسم المشترك لكلا الناتجين.إذا لم يكن هناك مثل هذا المقسوم عليه، تجاوز الخطوتين التاليتين. بخلاف ذلك، اكتب المقسوم عليه في الصف الثاني والعمود الأول.

      • على سبيل المثال، 9 و15 يقبلان القسمة على 3، لذا اكتب 3 في الصف الثاني والعمود الأول.

   5. اقسم كل حاصل على المقسوم عليه الثاني.اكتب نتيجة كل قسمة تحت الحاصل المقابل لها.

      • على سبيل المثال، 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3)، فاكتب 3 تحت 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5)، فاكتب 5 تحت 15.

   6. إذا لزم الأمر، قم بتكملة الشبكة بخلايا إضافية.كرر الخطوات المذكورة أعلاه حتى يكون للقسمة قاسم مشترك.

   7. ضع دائرة حول الأرقام الموجودة في العمود الأول والصف الأخير من الشبكة.ثم اكتب الأرقام المميزة كعملية ضرب.

      • على سبيل المثال، الرقمان 2 و 3 موجودان في العمود الأول، والرقمان 3 و 5 موجودان في الصف الأخير، لذا اكتب عملية الضرب هكذا: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. العثور على نتيجة ضرب الأرقام.سيؤدي هذا إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر للرقمين المحددين.

      • على سبيل المثال، 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). إذن المضاعف المشترك الأصغر للعددين 18 و30 هو 90.

   خوارزمية إقليدس

   1. تذكر المصطلحات المرتبطة بعملية القسمة.المقسوم هو الرقم الذي يتم تقسيمه. المقسوم عليه هو الرقم الذي سيتم القسمة عليه. الحاصل هو نتيجة قسمة رقمين. والباقي هو الرقم المتبقي عند قسمة رقمين.

      • على سبيل المثال، في التعبير 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)استراحة. 3:
        15 هو القسمة
        6 هو المقسوم عليه
        2 خاص
        3 هو الباقي.

دعونا نواصل المناقشة حول المضاعف المشترك الأصغر الذي بدأناه في المضاعف المشترك الأصغر - قسم المضاعف المشترك الأصغر والتعريف والأمثلة. في هذا الموضوع، سنتطرق إلى طرق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، وسنقوم بتحليل مسألة كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعدد سالب.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) من خلال gcd

لقد أنشأنا بالفعل العلاقة بين المضاعف المشترك الأصغر والمقسوم المشترك الأكبر. الآن دعونا نتعلم كيفية تعريف LCM من خلال GCD. أولاً، دعونا نتعرف على كيفية القيام بذلك مع الأرقام الموجبة.

التعريف 1

يمكنك العثور على المضاعف المشترك الأصغر من خلال القاسم المشترك الأكبر باستخدام الصيغة LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

مثال 1

من الضروري العثور على المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 126 و70.

حل

لنأخذ أ = 126، ب = 70. استبدل القيم الموجودة في الصيغة لحساب المضاعف المشترك الأصغر من خلال القاسم المشترك الأكبر LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

يجد GCD للأرقام 70 و 126. لهذا نحتاج إلى خوارزمية إقليدس: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 ، وبالتالي gcd (126 , 70) = 14 .

دعونا نحسب LCM: م م (126، 70) = 126 70: جي سي دي (126، 70) = 126 70: 14 = 630.

إجابة:م م (126، 70) = 630.

مثال 2

أوجد نوك العددين 68 و 34.

حل

جي سي دي في هذه القضيةمن السهل العثور عليه، لأن 68 يقبل القسمة على 34. احسب المضاعف المشترك الأصغر باستخدام الصيغة: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

إجابة:م م م (68، 34) = 68.

في هذا المثال، استخدمنا قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة a وb: إذا كان الرقم الأول يقبل القسمة على الثاني، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام سيكون مساويًا للرقم الأول.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية

الآن دعونا نلقي نظرة على طريقة للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، والذي يعتمد على تحليل الأرقام إلى عوامل أولية.

التعريف 2

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، نحتاج إلى تنفيذ عدد من الخطوات البسيطة:

• نحن نشكل حاصل ضرب جميع العوامل الأولية للأعداد التي نحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لها؛
• نحن نستبعد جميع العوامل الأولية من منتجاتها التي تم الحصول عليها؛
• سيكون المنتج الذي تم الحصول عليه بعد حذف العوامل الأولية المشتركة مساوياً لـ LCM للأرقام المحددة.

تعتمد هذه الطريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر على المساواة LCM (a , b) = a · b: GCM (a , b) . إذا نظرت إلى الصيغة، فسوف يصبح واضحا: منتج الأرقام أ و ب يساوي منتج جميع العوامل المشاركة في توسيع هذين الرقمين. في هذه الحالة، فإن GCD لعددين يساوي منتج جميع العوامل الأولية الموجودة في وقت واحد في عوامل هذين الرقمين.

مثال 3

لدينا رقمان 75 و 210. يمكننا تحليلهم بالطريقة الآتية: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. إذا قمت بجمع جميع عوامل العددين الأصليين، فستحصل على: 2 3 3 5 5 5 7.

إذا استبعدنا العوامل المشتركة بين العددين 3 و5، نحصل على حاصل الضرب بالشكل التالي: 2 3 5 5 7 = 1050. سيكون هذا المنتج هو المضاعف المشترك الأصغر الخاص بنا للرقمين 75 و210.

مثال 4

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 441 و 700 ، تحليل كلا الرقمين إلى عوامل أولية.

حل

لنجد جميع العوامل الأولية للأعداد الواردة في الشرط:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

نحصل على سلسلتين من الأرقام: 441 = 3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7 .

سيكون حاصل ضرب جميع العوامل التي شاركت في توسيع هذه الأرقام كما يلي: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. دعونا نجد العوامل المشتركة. هذا الرقم هو 7 نستبعده من المنتج العام: 2 2 3 3 5 5 7 7. وتبين أن المؤسسة الوطنية للنفط (441 ، 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

إجابة:م م م (441 ، 700) = 44100 .

دعونا نعطي صياغة أخرى لطريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأرقام إلى عوامل أولية.

التعريف 3

في السابق، استبعدنا من العدد الإجمالي العوامل المشتركة بين الرقمين. الآن سنفعل ذلك بشكل مختلف:

• دعونا نحلل كلا الرقمين إلى عوامل أولية:
• أضف إلى حاصل ضرب العوامل الأولية للرقم الأول العوامل المفقودة للرقم الثاني؛
• نحصل على المنتج، والذي سيكون LCM المطلوب من رقمين.

مثال 5

دعنا نعود إلى الرقمين 75 و 210، اللذين بحثنا عنهما بالفعل عن المضاعف المشترك الأصغر في أحد الأمثلة السابقة. دعونا نقسمها إلى عوامل بسيطة: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. إلى منتج العوامل 3 و 5 و 5 العدد 75 أضف العوامل الناقصة 2 و 7 الارقام 210 . نحن نحصل: 2 3 5 5 7 .هذا هو المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و210.

مثال 6

من الضروري حساب LCM للأرقام 84 و 648.

حل

دعونا نحلل الأرقام من الشرط إلى عوامل أولية: 84 = 2 2 3 7و 648 = 2 2 2 3 3 3 3. أضف إلى منتج العوامل 2 و 2 و 3 و 7 الأرقام 84 العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و
3 الأرقام 648 . نحصل على المنتج 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .هذا هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين 84 و648.

إجابة:م م م (84, 648) = 4536.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

بغض النظر عن عدد الأرقام التي نتعامل معها، فإن خوارزمية أفعالنا ستكون دائمًا هي نفسها: سنجد باستمرار المضاعف المشترك الأصغر لرقمين. هناك نظرية لهذه الحالة.

النظرية 1

لنفترض أن لدينا أعداد صحيحة أ1، أ2،…، أ. شهادة عدم الممانعة م كمن هذه الأرقام تم العثور عليها في الحساب التسلسلي m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية تطبيق النظرية على مشاكل محددة.

مثال 7

تحتاج إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر للأرقام الأربعة 140 و 9 و 54 و 250 .

حل

دعونا نقدم الترميز: أ 1 \u003d 140، أ 2 \u003d 9، أ 3 \u003d 54، أ 4 \u003d 250.

لنبدأ بحساب m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . دعونا نستخدم الخوارزمية الإقليدية لحساب GCD للأرقام 140 و 9: 140 = 9 15 + 5 ، 9 = 5 1 + 4 ، 5 = 4 1 + 1 ، 4 = 1 4 . نحصل على: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. ولذلك م 2 = 1 260 .

الآن لنحسب بنفس الخوارزمية m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . في سياق الحسابات نحصل على م 3 = 3 780.

يبقى لنا أن نحسب م 4 \u003d LCM (م 3 ، أ 4) \u003d LCM (3 780 ، 250) . نحن نتصرف وفقا لنفس الخوارزمية. نحصل على م 4 \u003d 94500.

LCM للأرقام الأربعة من حالة المثال هو 94500 .

إجابة:م م م (140، 9، 54، 250) = 94,500.

كما ترون، الحسابات بسيطة، ولكنها شاقة للغاية. لتوفير الوقت، يمكنك الذهاب في الاتجاه الآخر.

التعريف 4

نحن نقدم لك خوارزمية الإجراءات التالية:

• تحليل جميع الأرقام إلى عوامل أولية؛
• إلى حاصل ضرب عوامل الرقم الأول، أضف العوامل المفقودة من حاصل ضرب الرقم الثاني؛
• إضافة العوامل المفقودة للرقم الثالث إلى المنتج الذي تم الحصول عليه في المرحلة السابقة، وما إلى ذلك؛
• سيكون المنتج الناتج هو المضاعف المشترك الأصغر لجميع الأرقام من الشرط.

مثال 8

من الضروري إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لخمسة أرقام 84، 6، 48، 7، 143.

حل

دعونا نحلل جميع الأرقام الخمسة إلى عوامل أولية: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . الأعداد الأولية، وهي العدد 7، لا يمكن تحليلها إلى عوامل أولية. تتزامن هذه الأرقام مع تحللها إلى عوامل أولية.

الآن لنأخذ حاصل ضرب العوامل الأولية 2 و 2 و 3 و 7 للرقم 84 ونضيف إليها العوامل الناقصة للرقم الثاني. لقد قمنا بتحليل الرقم 6 إلى 2 و 3. هذه العوامل موجودة بالفعل في حاصل ضرب الرقم الأول. ولذلك، فإننا نتجاهلهم.

نواصل إضافة المضاعفات المفقودة. ننتقل إلى الرقم 48، من حاصل ضرب العوامل الأولية التي نأخذ منها 2 و 2. ثم نضيف العامل البسيط 7 من الرقم الرابع والعاملين 11 و13 من الرقم الخامس. نحصل على: 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. هذا هو المضاعف المشترك الأصغر بين الأعداد الخمسة الأصلية.

إجابة:م م م (84، 6، 48، 7، 143) = 48,048.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد السالبة

من أجل العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام السالبة، يجب أولاً استبدال هذه الأرقام بأرقام ذات علامة المعاكس، ثم قم بإجراء العمليات الحسابية وفقًا للخوارزميات المذكورة أعلاه.

مثال 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) و LCM(−622,−46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

ومثل هذه التصرفات جائزة لأنه إذا قبل ذلك أو - أ- أرقام متضادة
ثم مجموعة المضاعفات أيتزامن مع مجموعة مضاعفات الرقم - أ.

مثال 10

من الضروري حساب LCM للأرقام السالبة − 145 و − 45 .

حل

دعونا نغير الأرقام − 145 و − 45 إلى أعدادهم المقابلة 145 و 45 . الآن، باستخدام الخوارزمية، نحسب LCM (145، 45) = 145 45: GCD (145، 45) = 145 45: 5 = 1 305، بعد تحديد GCD مسبقًا باستخدام خوارزمية إقليدس.

لقد حصلنا على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام - 145 و − 45 يساوي 1 305 .

إجابة:م م م (− 145 , − 45) = 1 305 .

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، يرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر هما مفاهيم حسابية أساسية تسمح لك بالعمل دون عناء الكسور العادية. LCM وغالبًا ما يتم استخدامها للعثور على القاسم المشترك لعدة كسور.

مفاهيم أساسية

المقسوم على عدد صحيح X هو عدد صحيح آخر Y الذي يقبل X القسمة عليه بدون باقي. على سبيل المثال، المقسوم على 4 هو 2، و36 هو 4، 6، 9. مضاعف العدد الصحيح X هو رقم Y يقبل القسمة على X بدون باقي. على سبيل المثال، 3 هو مضاعف للرقم 15، و6 هو مضاعف للرقم 12.

بالنسبة لأي زوج من الأرقام، يمكننا إيجاد المقسومات والمضاعفات المشتركة لها. على سبيل المثال، بالنسبة للعددين 6 و9، المضاعف المشترك هو 18 والمقسوم المشترك هو 3. من الواضح أن الأزواج يمكن أن تحتوي على عدة مقسومات ومضاعفات، لذلك يتم استخدام المقسوم الأكبر على GCD وأصغر مضاعف للمضاعف المشترك الأصغر في الحسابات .

المقسوم عليه الأصغر ليس له معنى، لأنه بالنسبة لأي رقم يكون دائمًا واحدًا. والمضاعف الأكبر لا معنى له أيضًا، لأن تسلسل المضاعفات يميل إلى اللانهاية.

العثور على GCD

هناك العديد من الطرق لإيجاد القاسم المشترك الأكبر، ومن أشهرها:

• التعداد المتسلسل للمقسومات، واختيار القواسم المشتركة للزوج والبحث عن أكبرها؛
• تحليل الأرقام إلى عوامل غير قابلة للتجزئة؛
• خوارزمية إقليدس.
• خوارزمية ثنائية.

اليوم في المؤسسات التعليميةالأكثر شيوعًا هي طرق التحليل الأولية وخوارزمية إقليدس. وهذا الأخير يستخدم بدوره في حل معادلات ديوفانتاين: البحث عن GCD مطلوب للتحقق من المعادلة لإمكانية حلها بالأعداد الصحيحة.

العثور على شهادة عدم الممانعة

يتم أيضًا تحديد المضاعف المشترك الأصغر تمامًا عن طريق التعداد التكراري أو التحليل إلى عوامل غير قابلة للتجزئة. بالإضافة إلى ذلك، من السهل العثور على القاسم المشترك الأصغر إذا تم تحديد القاسم الأكبر بالفعل. بالنسبة للأرقام X وY، يرتبط LCM وGCD بالعلاقة التالية:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

على سبيل المثال، إذا كان gcd(15,18) = 3، فإن المضاعف المشترك الأصغر (15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. الاستخدام الأكثر وضوحًا للمضاعف المشترك الأصغر هو إيجاد المقام المشترك، وهو المضاعف المشترك الأصغر للمضاعف المشترك الأصغر. الكسور المعطاة.

أرقام كوبريم

إذا لم يكن لزوج من الأرقام قواسم مشتركة، فإن هذا الزوج يسمى كوبريم. إن GCM لمثل هذه الأزواج يساوي دائمًا واحدًا، واستنادًا إلى اتصال المقسومات والمضاعفات، فإن GCM لـ coprime يساوي منتجها. على سبيل المثال، الرقمان 25 و28 هما رقمان أساسيان، لأنه لا يوجد لهما قواسم مشتركة، وLCM(25, 28) = 700، وهو ما يتوافق مع منتجهما. أي رقمين غير قابلين للقسمة سيكونان دائمًا أوليين.

القاسم المشترك وآلة حاسبة متعددة

باستخدام الآلة الحاسبة الخاصة بنا، يمكنك حساب GCD وLCM لأي عدد من الأرقام للاختيار من بينها. تم العثور على مهام حساب المقسومات المشتركة والمضاعفات في حساب الصفين 5 و 6، ومع ذلك، فإن GCD و LCM هي المفاهيم الأساسية للرياضيات وتستخدم في نظرية الأعداد والقياس والجبر التواصلي.

أمثلة من الحياة الحقيقية

القاسم المشترك للكسور

يتم استخدام المضاعف المشترك الأصغر عند إيجاد القاسم المشترك لعدة كسور. لنفترض أنه في مشكلة حسابية، يلزم جمع 5 كسور:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

لجمع الكسور، يجب اختزال التعبير إلى قاسم مشترك، مما يقلل من مشكلة إيجاد القاسم المشترك الأصغر. للقيام بذلك، حدد 5 أرقام في الآلة الحاسبة وأدخل قيم المقامات في الخلايا المناسبة. سيقوم البرنامج بحساب المضاعف المشترك الأصغر (8، 9، 12، 15، 18) = 360. الآن تحتاج إلى حساب عوامل إضافية لكل كسر، والتي يتم تعريفها على أنها نسبة المضاعف المشترك الأصغر إلى المقام. لذلك ستبدو المضاعفات الإضافية كما يلي:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

بعد ذلك نضرب جميع الكسور في العامل الإضافي المقابل ونحصل على:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

يمكننا بسهولة إضافة هذه الكسور والحصول على النتيجة على شكل 159/360. نقوم بتقليل الكسر بمقدار 3 ونرى الإجابة النهائية - 53/120.

حل المعادلات الديوفانتينية الخطية

المعادلات الديوفانتينية الخطية هي تعبيرات بالصيغة ax + by = d. إذا كانت النسبة d / gcd(a, b) عددًا صحيحًا، فإن المعادلة قابلة للحل بالأعداد الصحيحة. دعونا نتحقق من معادلتين لمعرفة إمكانية وجود حل صحيح. تحقق أولاً من المعادلة 150x + 8y = 37. باستخدام الآلة الحاسبة، نجد gcd (150.8) = 2. اقسم 37/2 = 18.5. الرقم ليس عددًا صحيحًا، وبالتالي فإن المعادلة ليس لها جذور صحيحة.

دعونا نتحقق من المعادلة 1320x + 1760y = 10120. استخدم الآلة الحاسبة للعثور على gcd(1320, 1760) = 440. اقسم 10120/440 = 23. ونتيجة لذلك، نحصل على عدد صحيح، وبالتالي فإن معادلة ديوفانتين قابلة للحل في معاملات الأعداد الصحيحة .

خاتمة

يلعب GCD وLCM دورًا مهمًا في نظرية الأعداد، وتُستخدم المفاهيم نفسها على نطاق واسع في مجالات مختلفة من الرياضيات. استخدم الآلة الحاسبة الخاصة بنا لحساب أكبر المقسومات وأصغر المضاعفات لأي عدد من الأرقام.

الرقم الثاني: ب=

فاصل أرقاملا يوجد فاصل مسافة " ´

نتيجة:

القاسم المشترك الأكبر gcd( أ,ب)=6

المضاعف المشترك الأصغر لـ LCM( أ,ب)=468

أعظم عدد طبيعي، التي يتم من خلالها استدعاء الأرقام a و b القابلة للقسمة بدون باقي القاسم المشترك الأكبر(gcd) من هذه الأرقام. يُشار إليه بـ gcd(a,b) أو (a,b) أو gcd(a,b) أو hcf(a,b).

أقل مضاعف مشترك(LCM) لعددين صحيحين a وb هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على a وb بدون باقي. يُشار إليه بـ LCM(a,b) أو lcm(a,b).

يتم استدعاء الأعداد الصحيحة a و b com.coprimeإذا لم يكن لديهم قواسم مشتركة غير +1 و −1.

القاسم المشترك الأكبر

دعونا نعطي رقمين موجبين أ 1 و أ 2 1). مطلوب إيجاد قاسم مشترك لهذه الأرقام، أي. العثور على مثل هذا الرقم λ ، الذي يقسم الأرقام أ 1 و أ 2 في نفس الوقت. دعونا نصف الخوارزمية.

1) في هذه المقالة، كلمة رقم تعني عدداً صحيحاً.

يترك أ 1 ≥ أ 2 ودع

أين م 1 , أ 3 هي بعض الأعداد الصحيحة، أ 3 <أ 2 ( الباقي من القسمة أ 1 على أ 2 ينبغي أن يكون أقل أ 2).

دعونا نتظاهر بذلك λ يقسم أ 1 و أ 2، ثم λ يقسم م 1 أ 2 و λ يقسم أ 1 −م 1 أ 2 =أ 3 (التأكيد 2 من مقال "قابلية قسمة الأعداد. علامة قابلية القسمة"). ويترتب على ذلك أن كل قاسم مشترك أ 1 و أ 2 هو القاسم المشترك أ 2 و أ 3 . والعكس صحيح أيضاً إذا λ القاسم المشترك أ 2 و أ 3، ثم م 1 أ 2 و أ 1 =م 1 أ 2 +أ 3 وتنقسم أيضا إلى λ . ومن هنا القاسم المشترك أ 2 و أ 3 هو أيضًا قاسم مشترك أ 1 و أ 2. لأن أ 3 <أ 2 ≤أ 1 إذن يمكننا القول أن حل مشكلة إيجاد القاسم المشترك للأعداد أ 1 و أ 2 تم اختصارها إلى مشكلة أبسط تتمثل في إيجاد قاسم مشترك للأرقام أ 2 و أ 3 .

لو أ 3 ≠0، ثم يمكننا القسمة أ 2 على أ 3 . ثم

,

أين م 1 و أ 4 هي بعض الأعداد الصحيحة، ( أ 4 باقي القسمة أ 2 على أ 3 (أ 4 <أ 3)). ومن خلال تفكير مماثل، نصل إلى استنتاج مفاده أن القواسم المشتركة للأعداد أ 3 و أ 4 هو نفس القواسم المشتركة للأرقام أ 2 و أ 3، وأيضا مع القواسم المشتركة أ 1 و أ 2. لأن أ 1 , أ 2 , أ 3 , أ 4 ، ... الأعداد التي تتناقص باستمرار، وبما أن هناك عددا منتهيا من الأعداد الصحيحة بين أ 2 و0، ثم في مرحلة ما ن، باقي القسمة أعدم أ n+1 ستكون مساوية للصفر ( أن+2=0).

.

كل قاسم مشترك λ أعداد أ 1 و أ 2 هو أيضًا مقسوم على الأرقام أ 2 و أ 3 , أ 3 و أ 4 , .... أن و أن+1 . والعكس صحيح أيضًا، وهو قواسم مشتركة للأعداد أن و أ n+1 هي أيضًا مقسومات للأرقام أن −1 و أن ، .... ، أ 2 و أ 3 , أ 1 و أ 2. لكن القاسم المشترك أن و أ n+1 هو رقم أن+1، لأن أن و أ n+1 قابلة للقسمة على أ n+1 (تذكر ذلك أن+2=0). لذلك أ n+1 هو أيضًا مقسوم على الأرقام أ 1 و أ 2 .

لاحظ أن الرقم أ n+1 هو المقسوم عليه الأكبر أن و أ n+1 ، منذ المقسوم عليه الأكبر أ n+1 هو نفسه أن+1 . لو أيمكن تمثيل n + 1 كحاصل ضرب أعداد صحيحة، فهذه الأعداد هي أيضًا قواسم مشتركة للأعداد أ 1 و أ 2. رقم أيتم استدعاء n+1 القاسم المشترك الأكبرأعداد أ 1 و أ 2 .

أعداد أ 1 و أ 2 يمكن أن تكون أرقامًا موجبة وسالبة. إذا كان أحد الأرقام يساوي صفرًا، فإن القاسم المشترك الأكبر لهذه الأرقام سيكون مساويًا للقيمة المطلقة للرقم الآخر. لم يتم تعريف القاسم المشترك الأكبر للأعداد الصفرية.

تسمى الخوارزمية المذكورة أعلاه خوارزمية إقليدسلإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين.

مثال على إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين

أوجد القاسم المشترك الأكبر لعددين 630 و 434.

• الخطوة 1. اقسم الرقم 630 على 434. والباقي هو 196.
• الخطوة 2. اقسم الرقم 434 على 196. والباقي هو 42.
• الخطوة 3. اقسم الرقم 196 على 42. والباقي هو 28.
• الخطوة 4. اقسم الرقم 42 على 28. والباقي هو 14.
• الخطوة 5. اقسم الرقم 28 على 14. والباقي هو 0.

في الخطوة 5، يكون باقي القسمة هو 0. وبالتالي، فإن القاسم المشترك الأكبر للرقمين 630 و434 هو 14. لاحظ أن الرقمين 2 و7 هما أيضًا قواسم للرقمين 630 و434.

أرقام كوبريم

تعريف 1. دع القاسم المشترك الأكبر للأرقام أ 1 و أ 2 يساوي واحد. ثم يتم استدعاء هذه الأرقام أرقام كوبريمالتي ليس لها قاسم مشترك.

نظرية 1. لو أ 1 و أ 2 أعداد أولية نسبيًا، و λ رقم ما، ثم أي قاسم مشترك للأرقام LA 1 و أ 2 هو أيضًا قاسم مشترك للأرقام λ و أ 2 .

دليل. خذ بعين الاعتبار خوارزمية إقليدس لإيجاد القاسم المشترك الأكبر للأعداد أ 1 و أ 2 (انظر أعلاه).

.

يستنتج من شروط النظرية أن القاسم المشترك الأكبر للأعداد أ 1 و أ 2، وبالتالي أن و أن +1 هو 1. أي. أن+1=1.

دعونا نضرب كل هذه المساواة في λ ، ثم

.

دع القاسم المشترك أ 1 λ و أ 2 هو δ . ثم δ يدخل كعامل في أ 1 λ , م 1 أ 2 λ و في أ 1 λ -م 1 أ 2 λ =أ 3 λ (أنظر "قابلية تقسيم الأعداد"، البيان 2). إضافي δ يدخل كعامل في أ 2 λ و م 2 أ 3 λ ، وبالتالي يدخل كعامل في أ 2 λ -م 2 أ 3 λ =أ 4 λ .

ومن خلال التفكير بهذه الطريقة، نحن مقتنعون بذلك δ يدخل كعامل في أن −1 λ و من −1 أن λ ، وبالتالي في أن −1 λ −من −1 أن λ =أن+1 λ . لأن أن+1=1 إذن δ يدخل كعامل في λ . ومن هنا الرقم δ هو القاسم المشترك للأرقام λ و أ 2 .

النظر في حالات خاصة من النظرية 1.

عاقبة 1. يترك أو جالأعداد الأولية نسبية ب. ثم منتجاتهم تيار مترددهو عدد أولي بالنسبة ل ب.

حقًا. من النظرية 1 تيار مترددو بلها نفس القواسم المشتركة مثل جو ب. لكن الأرقام جو بكوبريم، أي لديك قاسم مشترك واحد 1. ثم تيار مترددو بلدينا أيضًا قاسم مشترك واحد 1. وبالتالي تيار مترددو ببسيطة بشكل متبادل.

عاقبة 2. يترك أو بأرقام coprim والسماح بيقسم أك. ثم بيقسم و ك.

حقًا. من شرط التأكيد أكو بلها قاسم مشترك ب. بموجب النظرية 1، بيجب أن يكون القاسم المشترك بو ك. لذلك بيقسم ك.

يمكن تعميم النتيجة الطبيعية 1.

عاقبة 3. 1. دع الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 , ..., أم هي أولية بالنسبة للعدد ب. ثم أ 1 أ 2 , أ 1 أ 2 · أ 3 , ..., أ 1 أ 2 أ 3 ··· أم، حاصل ضرب هذه الأعداد أولي بالنسبة للعدد ب.

2. دعونا يكون لدينا صفين من الأرقام

بحيث يكون كل رقم في الصف الأول أوليًا بالنسبة لكل رقم في الصف الثاني. ثم المنتج

مطلوب العثور على هذه الأرقام التي تقبل القسمة على كل من هذه الأرقام.

إذا كان العدد يقبل القسمة على أ 1، ثم يبدو سا 1، حيث سبعض العدد. لو سهو القاسم المشترك الأكبر للأرقام أ 1 و أ 2، ثم

أين س 1 هو عدد صحيح. ثم

يكون المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 و أ 2 .

أ 1 و أ 2 coprime، ثم المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 و أ 2:

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.

ويترتب على ما سبق أنه أي مضاعف للأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 يجب أن يكون من مضاعفات الأرقام ε و أ 3 والعكس صحيح. دع المضاعف المشترك الأصغر للأرقام ε و أ 3 هو ε 1 . علاوة على ذلك، عدة أرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 , أ 4 يجب أن يكون من مضاعفات الأرقام ε 1 و أ 4 . دع المضاعف المشترك الأصغر للأرقام ε 1 و أ 4 هو ε 2. وهكذا اكتشفنا أن جميع الأعداد مضاعفات أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم تتزامن مع مضاعفات بعض الأرقام المحددة ε n ، وهو ما يسمى المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة.

في حالة خاصة عندما تكون الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أ m coprime، ثم المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 , أ 2 كما هو موضح أعلاه له الشكل (3). وعلاوة على ذلك، منذ ذلك الحين أ 3 أولية فيما يتعلق بالأرقام أ 1 , أ 2، ثم أ 3 هو عدد نسبي أولي أ 1 · أ 2 (النتيجة الطبيعية 1). إذن المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 ,أ 2 ,أ 3 هو رقم أ 1 · أ 2 · أ 3 . وبالمناقشة بطريقة مماثلة، نصل إلى التأكيدات التالية.

إفادة 1. المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم يساوي منتجهم أ 1 · أ 2 · أ 3 ··· أم .

إفادة 2. أي رقم يقبل القسمة على كل من الأعداد الأولية أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم قابل للقسمة أيضًا على منتجهم أ 1 · أ 2 · أ 3 ··· أم .

المادة المقدمة أدناه هي استمرار منطقي للنظرية من المقالة تحت عنوان LCM - المضاعف الأقل شيوعًا، التعريف، الأمثلة، العلاقة بين LCM وGCD. هنا سوف نتحدث عن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM)، وإيلاء اهتمام خاص لحل الأمثلة. دعونا نوضح أولاً كيف يتم حساب المضاعف المشترك الأصغر لرقمين من حيث GCD لهذه الأرقام. بعد ذلك، فكر في إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. بعد ذلك، سنركز على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، وننتبه أيضًا إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر للأرقام السالبة.

التنقل في الصفحة.

حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) من خلال gcd

إحدى الطرق للعثور على المضاعف المشترك الأصغر تعتمد على العلاقة بين LCM وGCD. تتيح لك العلاقة الحالية بين LCM وGCD حساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين من خلال القاسم المشترك الأكبر المعروف. الصيغة المقابلة لها النموذج LCM(أ، ب)=أ ب: GCM(أ، ب) . فكر في أمثلة للعثور على LCM وفقًا للصيغة المذكورة أعلاه.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 126 و 70 .

حل.

في هذا المثال أ=126 , ب=70 . دعونا نستخدم العلاقة بين LCM وGCD المعبر عنها بالصيغة LCM(أ، ب)=أ ب: GCM(أ، ب). أي أنه علينا أولاً إيجاد القاسم المشترك الأكبر للرقمين 70 و126، وبعد ذلك يمكننا حساب المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام وفقًا للصيغة المكتوبة.

أوجد gcd(126, 70) باستخدام خوارزمية إقليدس: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , وبالتالي gcd(126, 70)=14 .

الآن نجد المضاعف المشترك الأصغر المطلوب: م م(126, 70)=126 70: م م(126, 70)= 126 70:14=630 .

إجابة:

م م(126, 70)=630 .

مثال.

ما هو LCM (68، 34)؟

حل.

لأن 68 قابل للقسمة بالتساوي على 34 ، ثم gcd(68, 34)=34 . الآن نحسب المضاعف المشترك الأصغر: المضاعف المشترك الأصغر(68, 34)=68 34: المضاعف المشترك الأصغر(68, 34)= 68 34:34=68 .

إجابة:

م م(68, 34)=68 .

لاحظ أن المثال السابق يتوافق مع القاعدة التالية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة a وb: إذا كان الرقم a يقبل القسمة على b، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو a.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية

هناك طريقة أخرى للعثور على المضاعف المشترك الأصغر وهي تعتمد على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. إذا جعلنا حاصل ضرب جميع العوامل الأولية لهذه الأعداد، وبعد ذلك نستبعد من هذا حاصل الضرب جميع العوامل الأولية المشتركة الموجودة في مفكوكات هذه الأعداد، فإن حاصل الضرب الناتج سيكون مساويا للمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.

القاعدة المعلنة لإيجاد LCM تنبع من المساواة LCM(أ، ب)=أ ب: GCM(أ، ب). في الواقع، فإن حاصل ضرب العددين a وb يساوي حاصل ضرب جميع العوامل المشاركة في مفكوك العددين a وb. بدوره، gcd(a, b) يساوي منتج جميع العوامل الأولية الموجودة في نفس الوقت في توسعات الأرقام a و b (الموصوفة في القسم الخاص بإيجاد gcd باستخدام تحلل الأرقام إلى عوامل أولية ).

لنأخذ مثالا. لنعلم أن 75=3 5 5 و 210=2 3 5 7 . قم بتكوين منتج جميع عوامل هذه التوسعات: 2 3 3 5 5 5 7 . الآن نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في توسيع الرقم 75 وفي توسيع الرقم 210 (هذه العوامل هي 3 و 5)، ثم يأخذ المنتج النموذج 2 3 5 5 7 . قيمة هذا المنتج تساوي المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و 210، أي م م(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

مثال.

بعد تحليل العددين ٤٤١ و٧٠٠ إلى عوامل أولية، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.

حل.

دعونا نحلل الأرقام 441 و 700 إلى عوامل أولية:

نحصل على 441=3 7 7 و 700=2 5 5 7 .

الآن دعونا نجعل حاصل ضرب جميع العوامل المشاركة في مفكوكات هذه الأرقام: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . دعونا نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في نفس الوقت في كلا التوسعتين (يوجد عامل واحد فقط - وهذا هو الرقم 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . هكذا، م م(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

إجابة:

م م(441, 700)= 44100 .

يمكن صياغة قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام تحليل الأرقام إلى عوامل أولية بشكل مختلف قليلاً. إذا أضفنا العوامل المفقودة من مفك الرقم b إلى العوامل من مفك الرقم a، فإن قيمة المنتج الناتج ستكون مساوية للمضاعف المشترك الأصغر للرقمين a وb.

على سبيل المثال، لنأخذ نفس الأرقام 75 و 210، وتوسعاتها إلى عوامل أولية هي كما يلي: 75=3 5 5 و 210=2 3 5 7 . إلى العوامل 3 و 5 و 5 من تحليل الرقم 75، نضيف العوامل المفقودة 2 و 7 من تحليل الرقم 210، نحصل على المنتج 2 3 5 5 7 ، وقيمته هي LCM(75) ، 210).

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 84 و648.

حل.

نحصل أولاً على تحليل الأرقام 84 و 648 إلى عوامل أولية. تبدو مثل 84=2 2 3 7 و 648=2 2 2 3 3 3 3 . إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 من تحليل الرقم 84 نضيف العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و 3 من تحليل الرقم 648، نحصل على المنتج 2 2 2 3 3 3 3 7، وهو ما يساوي 4536 . وبالتالي، فإن المضاعف المشترك الأصغر المطلوب للرقمين 84 و648 هو 4536.

إجابة:

LCM(84, 648)=4536 .

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

يمكن العثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر من خلال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين على التوالي. تذكر النظرية المقابلة، والتي توفر طريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

نظرية.

دع الأعداد الصحيحة الموجبة a 1 , a 2 , …, a k، تم العثور على المضاعف المشترك الأصغر m k لهذه الأرقام في الحساب التسلسلي m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , م ك =LCM(م ك−1 , أ ك) .

خذ بعين الاعتبار تطبيق هذه النظرية على مثال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة ١٤٠، ٩، ٥٤، ٢٥٠.

حل.

في هذا المثال 1 =140، أ 2 =9، أ 3 =54، أ 4 =250.

أولا نجد م 2 \u003d م م (أ 1 ، أ 2) \u003d م م (140 ، 9). للقيام بذلك، باستخدام الخوارزمية الإقليدية، نحدد gcd(140, 9) ، لدينا 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , لذلك gcd( 140, 9)=1 , من أين المضاعف المشترك الأصغر(140, 9)=140 9: المضاعف المشترك الأصغر(140, 9)= 140 9:1=1 260 . أي أن م 2 =1 260 .

الآن نجد م 3 \u003d LCM (م 2 ، أ 3) \u003d LCM (1 260 ، 54). لنحسبها من خلال gcd(1 260, 54) ، والتي يتم تحديدها أيضًا بواسطة خوارزمية إقليدس: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . ثم gcd(1 260, 54)=18 ، حيث LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . أي م 3 \u003d 3780.

اليسار للعثور م 4 \u003d LCM (م 3 ، أ 4) \u003d LCM (3 780 ، 250). للقيام بذلك، نجد GCD(3 780, 250) باستخدام خوارزمية إقليدس: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . وبالتالي، gcd(3 780, 250)=10 ، حيث gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3780250:10=94500 . أي م 4 \u003d 94500.

إذن المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة الأصلية هو 94500.

إجابة:

م م(140، 9، 54، 250)=94,500.

في كثير من الحالات، يتم العثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر بسهولة باستخدام التحليلات الأولية لأرقام معينة. وفي هذه الحالة ينبغي اتباع القاعدة التالية. المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام يساوي حاصل الضرب الذي يتكون على النحو التالي: العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني تضاف إلى جميع العوامل من مفكوك الرقم الأول، العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الأول ويضاف الرقم الثالث إلى العوامل التي تم الحصول عليها، وهكذا.

فكر في مثال لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام تحليل الأرقام إلى عوامل أولية.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لخمسة أعداد 84، 6، 48، 7، 143.

حل.

أولاً، نحصل على توسعات هذه الأعداد إلى عوامل أولية: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 عوامل أولية) و 143=11 13 .

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام، إلى عوامل الرقم الأول 84 (هم 2 و 2 و 3 و 7) تحتاج إلى إضافة العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني 6 . لا يحتوي توسيع الرقم 6 على عوامل مفقودة، حيث أن كلا من 2 و 3 موجودان بالفعل في توسيع الرقم الأول 84 . بالإضافة إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 نضيف العوامل المفقودة 2 و 2 من مفكوك العدد الثالث 48، نحصل على مجموعة العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7. ليست هناك حاجة لإضافة عوامل إلى هذه المجموعة في الخطوة التالية، نظرًا لأن الرقم 7 موجود فيها بالفعل. أخيرًا، إلى العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7 نضيف العوامل المفقودة 11 و 13 من مفكوك العدد 143. نحصل على المنتج 2 2 2 2 3 7 11 13 والذي يساوي 48 048 .