أهداف و غايات:

التعليمية:

1. فكر في طريقة لحل المعادلات "المعقدة" من الشكل: (x + 3):8 = 5 واشتق خوارزمية لحلها.
2. تحسين مهارات الحوسبة الخاصة بك.

التعليمية:

1. تنمية القدرة على التحليل والاستدلال وشرح عمل المعادلات من الشكل: (س + 3): 8 = 5.

التعليمية:

1. تطوير القدرة على العمل بشكل ثنائي (الاستماع إلى رأي صديق، مناقشة مشكلة، التوصل إلى رأي مشترك).

توفير الصحة:

1. تعلم كيفية الاعتناء بصحتك.

معدات:

1. جهاز عرض الوسائط المتعددة والشاشة؛
2. حاسوب؛
3. عرض تقديمي؛
4. دعم التذكير؛
5. المهام على البطاقات.

خلال الفصول الدراسية:

I. اللحظة التنظيمية.

- رن الجرس. التحقق من استعدادك لدرس الرياضيات. الجميع جاهز.

دعونا نتأكد من هذا!

- BLITZ: كيفية العثور على مصطلح غير معروف؟ (المطروح، المطرح، الأرباح، المقسوم عليه، المضاعف).

- أحسنت! اجلس. يمكننا أن نبدأ العمل بأمان. افتحوا دفاتركم. اكتب الرقم، عمل رائع.

ثانيا. تحديث المعرفة الأساسية.

1) - أقترح عليك القيام بعملية الإحماء. الاهتمام بالشاشة!

(الملحق 1. العرض التقديمي -شريحة 1).

100 ∙ 29 32 ∙ 20 4800: 2

أ∙ 15 9000 - في ق: 317

س ∙ 80 = 640 ك: 50 = 500 ق + 90 = 34+56

– تقسيم بيانات التسجيل إلى مجموعات. من قسم على 2؟ ل 3 مجموعات؟

مناقشة!!! وعلى أي أساس تم تقسيمه؟ ، أ …..؟

- تسمية التعبيرات العددية. قم بتسمية الحروف. استراحة؟ (المعادلات.)

(الشريحة 2)

– العثور على معاني التعبيرات العددية.
– البحث عن معاني التعبيرات الحرفية إذا

أ = 0، ب = 1، ج = 317

- أوجد "الزيادة" بين المعادلات. اثبت ذلك!
- العثور على جذر معادلة واحدة، معادلتين. (بسيط.)
– ما الذي يجب فعله أولاً لحل معادلة معقدة من هذا النوع؟ (بسّط) - كيف؟ (نفذ إجراءً.) أي واحد؟
– بسّط المعادلة. ابحث عن الجذر.

ثالثا. الموضوع، المهام.

– من يريد أن يتعلم كيفية اتخاذ القرار معادلات معقدةنوع جديد؟ رفع اليد! أحسنت! هذا يعني أنك لست خائفًا من الصعوبات ومستعدًا للاكتشافات الجديدة!
– موضوع درسنا هو “حل المعادلات “المعقدة” من نوع جديد”.

(بما أن مفهوم المعادلة "المعقدة" نسبي، فقد وضعته بين علامتي اقتباس.)

- دعونا نحدد أهداف التعلم:

1. تعلم حل المعادلات المعقدة من نوع جديد.
2. إنشاء خوارزمية الحل. (الخوارزمية – الترتيب، تسلسل الإجراءات.)
3. تعلم التعليق على حل المعادلات.
4. تحسين مهارات الحوسبة.

التربية البدنية دقيقة 1

رابعا. العمل على الموضوع. صياغة المشكلة. اكتشاف شيء جديد.

1) من رقم 488. كتاب مدرسي.

– أريد أن أدعوكم لتكونوا باحثين مرة أخرى الآن.

□ + 30 = 50 هذا موجود على السبورة!

- اقرأ التعبير. 1 سبيكة 2 سبيكة. قيمة المبلغ.

- هل هذه معادلة؟ لماذا؟

- أدخل التعبير في "المربع"

□ + 30 = 50 – ماذا يجب أن نسمي الإدخال؟ (المستوى المتقدم) - هل يبدو مثل الذي نعرف بالفعل كيفية حله؟ - لماذا؟

– حاول إيجاد طريقة لحل هذه المعادلة. يرجى ملاحظة أنني لم أقم بتسمية مكونات الإجراء عن طريق الخطأ! التقديم بدون التحقق!

2) الشرح: – ما (أي مكون) هو التعبير الحرفي 4 ∙ x في هذا المجموع (هذا حد واحد).

هذا يعني أن الحد الواحد هو التعبير الحرفي 4 ∙ x وهو غير معروف!

القاعدة لا تتغير! كيفية العثور على سبيكة غير معروفة 1؟

4 ∙ س

= 50 – 30 – هل تستطيع الحل؟

3) – فتح الكتاب المدرسي ص . 149 رقم 488. اقرأ كيف فكر ميشا.

خامسا اشتقاق الخوارزمية. توحيد الجديد.

1) حل المعادلة: (x + 3) : 8 = 5 1 على السبورة.

يمارس! - حاول تحديد التسلسل!

2) اشتقاق الخوارزمية.

- كما فهمت، سيتم استدعاء المكونات: توزيعات الأرباح، المقسوم عليه، قيمة حاصل القسمة.

- أي قسم هو الأول أم الأخير؟ = من أين نبدأ؟

3). خوارزمية(الشريحة 3).

1. سأحدد الإجراء الأخير وأسمي المكونات.
2. سوف أقوم بتحديد المكون غير المعروف وأتذكر قاعدة العثور عليه.
3. سأكتب معادلة جديدة وأبسطها.
4. سأحل معادلة بسيطة.

4) قراءة المذكرة للتعليق عليها.

5). رقم 489. كتاب مدرسي. التعليق.

التربية البدنية الدرس 2 (للعيون).

6). العمل بروح الفريق الواحد. العمل في ازواج.

1) (ص – 5) ∙ 4 = 28
2) 3 ∙ أ – 7 = 14
3) (24 + د) : 8 = 7
4) 63: (14 - س) = 7

املأ جدول ضبط النفس!

المعادلة.	1	2	3	4
حل.

أنت تجلس في مطعم وتتصفح القائمة. تبدو جميع الأطباق لذيذة جدًا لدرجة أنك لا تعرف ماذا تختار. ربما تأمرهم جميعا؟

بالتأكيد واجهت مثل هذه المشاكل. إن لم يكن في الطعام ففي شيء آخر. نحن ننفق قدرًا هائلاً من الوقت والطاقة في محاولة الاختيار بين خيارات جذابة بنفس القدر. ولكن، من ناحية أخرى، لا يمكن أن تكون الخيارات هي نفسها، لأن كل واحد منهم جذاب بطريقته الخاصة.

بعد أن قمت بالاختيار، فإنك تواجه خيارًا جديدًا. هذه سلسلة لا نهاية لها من القرارات المهمة، والتي تتضمن أيضًا الخوف من اتخاذ القرار الخاطئ. ستساعدك هذه الطرق الثلاث على اتخاذ قرارات أفضل على جميع مستويات حياتك.

خلق عادات لتجنب القرارات اليومية

الفكرة هي أنه إذا اعتدت على تناول السلطة على الغداء، فلن تضطر إلى اتخاذ قرار بشأن ما ستطلبه في المقهى.

ومن خلال تطوير العادات التي تعالج هذه المهام اليومية البسيطة، يمكنك توفير الطاقة اللازمة لاتخاذ قرارات أكثر تعقيدًا وأهمية. بالإضافة إلى ذلك، إذا اعتدت على تناول السلطة على الإفطار، فلن تضطر إلى إضاعة إرادتك في محاولة تجنب تناول شيء دهني ومقلي بدلاً من السلطة.

ولكن هذا ينطبق على الأمور التي يمكن التنبؤ بها. ماذا عن القرارات غير المتوقعة؟

"إذا-ثم": طريقة لاتخاذ قرارات غير متوقعة

على سبيل المثال، يقاطع شخص ما حديثك باستمرار وأنت غير متأكد من كيفية الرد على ذلك أو ما إذا كان يجب عليك الرد على الإطلاق. وفقًا لطريقة "إذا - إذن" عليك أن تقرر: إذا قاطعك مرتين أخريين، فسوف تقوم بتوبيخه مهذبًا، وإذا لم ينجح ذلك، فبشكل أكثر وقاحة.

تساعدنا هاتان الطريقتان على اتخاذ معظم القرارات التي نواجهها كل يوم. ولكن عندما يتعلق الأمر بالأسئلة تخطيط استراتيجيعلى سبيل المثال، كيفية الرد على تهديد المنافسين، وفي أي المنتجات تستثمر أكثر، وأين يتم خفض الميزانية، فهم عاجزون.

هذه هي القرارات التي يمكن تأخيرها لمدة أسبوع أو شهر أو حتى سنة، مما يؤدي إلى إبطاء تطور الشركة. من المستحيل التعامل معها من خلال العادة، ولن تعمل طريقة "إذا - ثم" هنا أيضا. كقاعدة عامة، لا توجد إجابة واضحة وصحيحة على مثل هذه الأسئلة.

غالبًا ما تؤخر الإدارة اتخاذ مثل هذه القرارات. فهو يجمع المعلومات، ويزن الإيجابيات والسلبيات، ويستمر في الانتظار ومراقبة الوضع، على أمل أن يظهر شيء يشير إلى القرار الصحيح.

وإذا افترضنا أنه لا توجد إجابة صحيحة، فهل سيساعدنا ذلك على اتخاذ القرار بسرعة؟

تخيل أنه يتعين عليك اتخاذ قرار خلال الـ 15 دقيقة القادمة. ليس غدا، ليس بعد الأسبوع المقبل، عندما تجمع معلومات كافية، وليس في شهر واحد، عندما تتحدث مع كل شخص له علاقة بالمشكلة.

لديك ربع ساعة لاتخاذ القرار. أبدي فعل.

وهذه هي الطريقة الثالثة التي تساعد على القبول حلول معقدةفيما يتعلق بالتخطيط طويل المدى.

استخدم الوقت

إذا كنت قد بحثت عن مشكلة وأدركت أن خيارات حلها جذابة بنفس القدر، فتقبل أنه لا توجد إجابة صحيحة، وحدد لنفسك حدًا زمنيًا واختر ببساطة أي خيار. إذا كان التحقق من أحد الحلول يتطلب الحد الأدنى للاستثمار، حدده وتحقق منه. ولكن إذا لم يكن ذلك ممكنًا، فاختر أيًا منها وفي أسرع وقت ممكن: يمكن استخدام الوقت الذي تقضيه في التفكير غير المجدي بطريقة أفضل.

بالطبع قد لا توافق: "إذا انتظرت، فقد تظهر الإجابة الصحيحة". ربما، ولكن أولاً، أنت تضيع وقتًا ثمينًا في انتظار توضيح الوضع. ثانياً، الانتظار يسبب لك المماطلة وتأجيل القرارات الأخرى المتعلقة به، ويقلل الإنتاجية ويبطئ نمو الشركة.

جربه الآن. إذا كان لديك سؤال كنت تؤجله، فامنح نفسك ثلاث دقائق وافعله. إذا كان لديك الكثير من هذه الحلول، فاكتب قائمة وحدد وقتًا لكل حل.

سترى مع الجميع بالقرارستشعر بتحسن قليل، وسيقل قلقك، وستشعر وكأنك تتقدم للأمام.

لذلك، اخترت سلطة خفيفة. كان الاختيار الصحيح؟ من يدري... على الأقل أكلت، ولا تجلس جائعاً على قائمة الأطباق.

52. أكثر أمثلة معقدةالمعادلات.
مثال 1.

5/(س – 1) – 3/(س + 1) = 15/(س 2 – 1)

القاسم المشترك هو x 2 – 1، حيث أن x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). لنضرب طرفي هذه المعادلة في x 2 - 1. نحصل على:

أو بعد التخفيض

5(س + 1) – 3(س – 1) = 15

5س + 5 – 3س + 3 = 15

2س = 7 و س = 3½

لنفكر في معادلة أخرى:

5/(س-1) – 3/(س+1) = 4(س 2 – 1)

بالحل كما في الأعلى نحصل على:

5(س + 1) – 3(س – 1) = 4
5س + 5 – 3س – 3 = 4 أو 2س = 2 و س = 1.

دعونا نرى ما إذا كانت المساواة لدينا مبررة إذا استبدلنا x في كل من المعادلات المدروسة بالرقم الموجود.

في المثال الأول نحصل على:

ونحن نرى أنه لا مجال للشك: لقد وجدنا عدداً لـ x بحيث تكون المساواة المطلوبة مبررة.

في المثال الثاني نحصل على:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) أو 5/0 – 3/2 = 15/0

وهنا تثور الشكوك: نحن أمام القسمة على صفر، وهو أمر مستحيل. إذا تمكنا في المستقبل من إعطاء معنى معين، وإن كان غير مباشر، لهذا التقسيم، فيمكننا أن نتفق على أن الحل الذي تم العثور عليه x - 1 يرضي معادلتنا. وحتى ذلك الحين، يجب أن نعترف بأن معادلتنا ليس لها حل له معنى مباشر.

يمكن أن تحدث حالات مماثلة عندما يتم تضمين المجهول بطريقة أو بأخرى في مقامات الكسور الموجودة في المعادلة، وبعض هذه القواسم، عند العثور على الحل، تتحول إلى الصفر.

مثال 2.

يمكنك أن ترى على الفور أن هذه المعادلة لها شكل تناسب: نسبة الرقم x + 3 إلى الرقم x - 1 تساوي نسبة الرقم 2x + 3 إلى الرقم 2x - 2. دع شخصًا ما بالنظر إلى هذا الظرف، قرر أن نطبق هنا لتحرير المعادلة من الكسور، الخاصية الرئيسية للتناسب (حاصل ضرب الحدود القصوى يساوي حاصل ضرب الحدود الوسطى). ثم سيحصل على:

(س + 3) (2س – 2) = (2س + 3) (س – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.

وهنا قد تثار المخاوف من عدم قدرتنا على التعامل مع هذه المعادلة من خلال حقيقة أن المعادلة تتضمن حدودًا مع x 2. ومع ذلك، يمكننا طرح 2x2 من طرفي المعادلة - وهذا لن يكسر المعادلة؛ ثم يتم تدمير الحدود مع x 2 ونحصل على:

6س – 2س – 6 = 3س – 2س – 3

دعنا ننقل الحدود المجهولة إلى اليسار والمعروفة إلى اليمين - نحصل على:

3س = 3 أو س = 1

تذكر هذه المعادلة

(س + 3)/(س – 1) = (2س + 3)/(2س – 2)

سنلاحظ على الفور أن القيمة التي تم العثور عليها لـ x (x = 1) تجعل مقامات كل كسر تختفي؛ وعلينا أن نتخلى عن هذا الحل حتى نفكر في مسألة القسمة على صفر.

إذا لاحظنا أيضًا أن تطبيق خاصية التناسب قد أدى إلى تعقيد الأمر وأنه يمكن الحصول على معادلة أبسط عن طريق ضرب طرفي المعطى بمقام مشترك، وهو 2(x - 1) - بعد كل شيء، 2x - 2 = 2 (س – 1) فنحصل على:

2(س + 3) = 2س – 3 أو 2س + 6 = 2س – 3 أو 6 = –3،

وهو أمر مستحيل.

يشير هذا الظرف إلى أن هذه المعادلة ليس لها أي حلول لها معنى مباشر لا يحول مقامات هذه المعادلة إلى الصفر.
دعونا الآن نحل المعادلة:

(3س + 5)/(س – 1) = (2س + 18)/(2س – 2)

لنضرب طرفي المعادلة 2(س – 1)، أي بالمقام المشترك نحصل على:

6س + 10 = 2س + 18

الحل الموجود لا يجعل القاسم يختفي وله معنى مباشر:

أو 11 = 11

إذا استخدم شخص ما خاصية التناسب بدلاً من ضرب كلا الجزأين في 2(x - 1)، فسيحصل على:

(3س + 5)(2س – 2) = (2س + 18)(س – 1) أو
6س 2 + 4س – 10 = 2س 2 + 16س – 18.

هنا لن يتم تدمير المصطلحات ذات x 2. وبتحريك جميع الحدود المجهولة إلى الجانب الأيسر، والمحددات المعروفة إلى اليمين، سنحصل على ذلك

4x 2 - 12x = -8

س 2 – 3س = –2

والآن لن نتمكن من حل هذه المعادلة. في المستقبل، سوف نتعلم كيفية حل مثل هذه المعادلات وإيجاد حلين لها: 1) يمكنك أخذ x = 2 و2) يمكنك أخذ x = 1. من السهل التحقق من كلا الحلين:

1) 2 2 – 3 2 = –2 و 2) 1 2 – 3 1 = –2

إذا تذكرنا المعادلة الأولية

(3س + 5) / (س – 1) = (2س + 18) / (2س – 2)،

ثم سنرى أننا الآن حصلنا على كلا الحلين: 1) x = 2 هو الحل الذي له معنى مباشر ولا يحول المقام إلى الصفر، 2) x = 1 هو الحل الذي يحول المقام إلى الصفر و ليس لها معنى مباشر .

مثال 3.

دعونا نوجد القاسم المشترك للكسور المتضمنة في هذه المعادلة عن طريق تحليل كل من المقامات:

1) س 2 – 5س + 6 = س 2 – 3س – 2س + 6 = س(س – 3) – 2(س – 3) = (س – 3)(س – 2)،

2) س 2 – س – 2 = س 2 – 2س + س – 2 = س (س – 2) + (س – 2) = (س – 2)(س + 1)،

3) س 2 – 2س – 3 = س 2 – 3س + س – 3 = س (س – 3) + (س – 3) = (س – 3) (س + 1).

القاسم المشترك هو (س – 3)(س – 2)(س + 1).

لنضرب طرفي هذه المعادلة (ويمكننا الآن إعادة كتابتها على النحو التالي:

بواسطة قاسم مشترك (x – 3) (x – 2) (x + 1). ثم بعد تبسيط كل كسر نحصل على:

3(س + 1) – 2(س – 3) = 2(س – 2) أو
3س + 3 – 2س + 6 = 2س – 4.

ومن هنا نحصل على:

–س = –13 و س = 13.

وهذا الحل له معنى مباشر: فهو لا يختفي أيًا من القواسم.

فإذا أخذنا المعادلة:

ثم، نفعل بالضبط نفس ما ورد أعلاه، سوف نحصل عليه

3(س + 1) – 2(س – 3) = س – 2

3س + 3 – 2س + 6 = س – 2

3س – 2س – س = –3 – 6 – 2,

من أين ستحصل عليه؟

وهو أمر مستحيل. يوضح هذا الظرف أنه من المستحيل إيجاد حل للمعادلة الأخيرة التي لها معنى مباشر.

في هذا الفيديو سوف نقوم بتحليل مجموعة كاملة من المعادلات الخطية التي تم حلها باستخدام نفس الخوارزمية - ولهذا السبب يطلق عليها الأبسط.

أولاً، دعونا نحدد: ما هي المعادلة الخطية وأي منها تسمى الأبسط؟

المعادلة الخطية هي تلك التي يوجد فيها متغير واحد فقط، وحتى الدرجة الأولى فقط.

أبسط معادلة تعني البناء:

يتم تقليل جميع المعادلات الخطية الأخرى إلى أبسطها باستخدام الخوارزمية:

1. قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت؛
2. نقل الحدود التي تحتوي على متغير إلى أحد جانبي علامة التساوي، والمصطلحات التي لا تحتوي على متغير إلى الجانب الآخر؛
3. أعط مصطلحات مشابهة لليسار واليمين لعلامة المساواة؛
4. اقسم المعادلة الناتجة على معامل المتغير $x$.

وبطبيعة الحال، هذه الخوارزمية لا تساعد دائما. والحقيقة هي أنه في بعض الأحيان بعد كل هذه المكائد يكون معامل المتغير $x$ مساويًا للصفر. في هذه الحالة، هناك خياران ممكنان:

1. المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق. على سبيل المثال، عندما يظهر شيء مثل $0\cdot x=8$، أي. على اليسار صفر، وعلى اليمين رقم غير الصفر. في الفيديو أدناه سنلقي نظرة على عدة أسباب وراء حدوث هذا الموقف.
2. الحل هو كل الارقام الحالة الوحيدة التي يكون فيها ذلك ممكنًا هي عندما يتم اختزال المعادلة إلى البناء $0\cdot x=0$. من المنطقي تمامًا أنه بغض النظر عن $x$ الذي نستبدله، فسيظل "الصفر يساوي صفرًا"، أي. المساواة العددية الصحيحة

الآن دعونا نرى كيف يعمل كل هذا باستخدام أمثلة من الحياة الواقعية.

أمثلة على حل المعادلات

اليوم نحن نتعامل مع المعادلات الخطية، وأبسطها فقط. بشكل عام، المعادلة الخطية تعني أي مساواة تحتوي على متغير واحد بالضبط، ولا تصل إلا إلى الدرجة الأولى.

يتم حل هذه الإنشاءات بنفس الطريقة تقريبًا:

1. بادئ ذي بدء، تحتاج إلى فتح الأقواس، إن وجدت (كما في موقعنا المثال الأخير);
2. ثم الجمع بين مماثلة
3. وأخيرا، عزل المتغير، أي. انقل كل ما يتعلق بالمتغير – أي المصطلحات التي يحتوي عليها – إلى جهة، وانقل كل ما بقي دونه إلى الجهة الأخرى.

ثم، كقاعدة عامة، تحتاج إلى إحضار مماثلة على كل جانب من المساواة الناتجة، وبعد ذلك يبقى فقط القسمة على معامل "x"، وسنحصل على الإجابة النهائية.

من الناحية النظرية، يبدو هذا لطيفًا وبسيطًا، ولكن من الناحية العملية، حتى طلاب المدارس الثانوية ذوي الخبرة يمكن أن يرتكبوا أخطاء هجومية في معادلات خطية بسيطة إلى حد ما. عادة، يتم ارتكاب الأخطاء إما عند فتح الأقواس أو عند حساب "الإيجابيات" و"السلبيات".

بالإضافة إلى ذلك، قد يحدث أن المعادلة الخطية ليس لها حلول على الإطلاق، أو أن الحل هو خط الأعداد بأكمله، أي. أي رقم. سننظر في هذه التفاصيل الدقيقة في درس اليوم. لكننا سنبدأ، كما فهمت بالفعل، مع جدا مهام بسيطة.

مخطط لحل المعادلات الخطية البسيطة

أولاً، اسمحوا لي مرة أخرى أن أكتب المخطط بأكمله لحل أبسط المعادلات الخطية:

1. قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت.
2. نحن نعزل المتغيرات، أي. نقوم بنقل كل ما يحتوي على "X" إلى جانب واحد، وكل شيء بدون "X" إلى الجانب الآخر.
3. نقدم مصطلحات مماثلة.
4. نقسم كل شيء على معامل "x".

بالطبع، هذا المخطط لا يعمل دائما، هناك بعض التفاصيل الدقيقة والحيل فيه، والآن سوف نتعرف عليها.

حل أمثلة حقيقية للمعادلات الخطية البسيطة

المهمة رقم 1

الخطوة الأولى تتطلب منا فتح الأقواس. ولكنها ليست في هذا المثال، لذلك نحن تخطيها هذه المرحلة. في الخطوة الثانية نحتاج إلى عزل المتغيرات. يرجى ملاحظة: نحن نتحدث فقط عن المصطلحات الفردية. دعنا نكتبها:

نقدم مصطلحات مماثلة على اليسار واليمين، ولكن تم القيام بذلك بالفعل هنا. لذلك ننتقل إلى الخطوة الرابعة: القسمة على المعامل:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

لذلك حصلنا على الجواب.

المهمة رقم 2

يمكننا أن نرى الأقواس في هذه المسألة، لذلك دعونا نوسعها:

نرى على اليسار وعلى اليمين نفس التصميم تقريبًا، ولكن دعونا نتصرف وفقًا للخوارزمية، أي. فصل المتغيرات:

وهنا بعض منها مماثلة:

في أي جذور يعمل هذا؟ الجواب: لأي. لذلك، يمكننا أن نكتب أن $x$ هو أي رقم.

المهمة رقم 3

المعادلة الخطية الثالثة هي الأكثر إثارة للاهتمام:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

هناك عدة أقواس، لكن لا يتم ضربها بأي شيء، بل يسبقها ببساطة علامات مختلفة. دعونا نقسمها:

نقوم بالخطوة الثانية المعروفة لنا بالفعل:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

دعونا نفعل الرياضيات:

ننفذ الخطوة الأخيرة - نقسم كل شيء على معامل "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

أشياء يجب تذكرها عند حل المعادلات الخطية

إذا تجاهلنا المهام البسيطة جدًا، أود أن أقول ما يلي:

• كما قلت أعلاه، ليس كل معادلة خطية لها حل - في بعض الأحيان ببساطة لا توجد جذور؛
• وحتى لو كانت هناك جذور، فقد يكون بينها صفر، فلا حرج في ذلك.

الصفر هو نفس الرقم الموجود في الأرقام الأخرى، ويجب ألا تميز ضده بأي شكل من الأشكال أو تفترض أنك إذا حصلت على الصفر، فهذا يعني أنك ارتكبت خطأً ما.

ميزة أخرى تتعلق بفتح الأقواس. يرجى ملاحظة: عندما يكون هناك "ناقص" أمامهم، نقوم بإزالته، ولكن بين قوسين نقوم بتغيير العلامات إلى عكس. وبعد ذلك يمكننا فتحه باستخدام الخوارزميات القياسية: سنحصل على ما رأيناه في الحسابات أعلاه.

فهم هذا حقيقة بسيطةسيسمح لك بتجنب ارتكاب أخطاء غبية ومهينة في المدرسة الثانوية، عندما يكون القيام بمثل هذه الأفعال أمرا مفروغا منه.

حل المعادلات الخطية المعقدة

دعنا ننتقل إلى معادلات أكثر تعقيدا. الآن سوف تصبح الإنشاءات أكثر تعقيدًا وعند إجراء تحويلات مختلفة ستظهر دالة تربيعية. ومع ذلك، لا ينبغي لنا أن نخاف من ذلك، لأنه إذا كنا، وفقا لخطة المؤلف، نحل معادلة خطية، فمن المؤكد أنه أثناء عملية التحويل، سيتم إلغاء جميع أحاديات الحد التي تحتوي على دالة تربيعية.

المثال رقم 1

من الواضح أن الخطوة الأولى هي فتح الأقواس. دعونا نفعل ذلك بعناية فائقة:

والآن دعونا نلقي نظرة على الخصوصية:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

وهنا بعض منها مماثلة:

ومن الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول، لذلك سنكتب هذا في الإجابة:

\[\varnothing\]

أو لا توجد جذور.

المثال رقم 2

نحن نقوم بنفس الإجراءات. الخطوة الأولى:

دعنا ننقل كل شيء بمتغير إلى اليسار، وبدونه - إلى اليمين:

وهنا بعض منها مماثلة:

من الواضح أن هذه المعادلة الخطية ليس لها حل، لذا سنكتبها بهذه الطريقة:

\[\فارنوثينغ\]،

أو لا توجد جذور.

الفروق الدقيقة في الحل

تم حل كلتا المعادلتين بالكامل. باستخدام هذين التعبيرين كمثال، كنا مقتنعين مرة أخرى أنه حتى في أبسط المعادلات الخطية، قد لا يكون كل شيء بهذه البساطة: يمكن أن يكون هناك جذور واحدة، أو لا شيء، أو عدد لا نهائي من الجذور. في حالتنا، تناولنا معادلتين، ليس لكل منهما جذور.

لكني أود أن ألفت انتباهكم إلى حقيقة أخرى: كيفية العمل مع الأقواس وكيفية فتحها إذا كانت هناك علامة ناقص أمامها. خذ بعين الاعتبار هذا التعبير:

قبل الفتح، تحتاج إلى مضاعفة كل شيء بـ "X". يرجى ملاحظة: يتضاعف كل مصطلح على حدة. يوجد في الداخل فترتان - على التوالي، فترتان ومضروبة.

وفقط بعد الانتهاء من هذه التحولات التي تبدو بدائية ولكنها مهمة وخطيرة للغاية، يمكنك فتح القوس من وجهة نظر حقيقة وجود علامة ناقص بعدها. نعم، نعم: الآن فقط، عند اكتمال التحولات، نتذكر أن هناك علامة ناقص أمام الأقواس، مما يعني أن كل شيء أدناه يغير العلامات ببساطة. وفي الوقت نفسه، تختفي الأقواس نفسها، والأهم من ذلك، أن "الطرح" الأمامي يختفي أيضًا.

ونفعل نفس الشيء مع المعادلة الثانية:

ليس من قبيل المصادفة أن أنتبه إلى هذه الحقائق الصغيرة التي تبدو غير ذات أهمية. لأن حل المعادلات هو دائما سلسلة من التحولات الأولية، حيث عدم القدرة على الأداء بوضوح وكفاءة خطوات بسيطةيؤدي إلى حقيقة أن طلاب المدارس الثانوية يأتون إلي ويتعلمون مرة أخرى حل مثل هذه المعادلات البسيطة.

وبطبيعة الحال، سيأتي اليوم الذي ستصقل فيه هذه المهارات إلى درجة التلقائية. لن تضطر بعد الآن إلى إجراء العديد من التحويلات في كل مرة، بل ستكتب كل شيء في سطر واحد. ولكن بينما تتعلم فقط، تحتاج إلى كتابة كل إجراء على حدة.

حل المعادلات الخطية الأكثر تعقيدًا

ما سنقوم بحله الآن من الصعب أن يسمى أبسط مهمة، ولكن المعنى يبقى كما هو.

المهمة رقم 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

دعونا نضرب جميع العناصر في الجزء الأول:

دعونا نفعل بعض الخصوصية:

وهنا بعض منها مماثلة:

فلنكمل الخطوة الأخيرة:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

هنا هو جوابنا النهائي. وعلى الرغم من أنه أثناء عملية الحل كانت لدينا معاملات ذات دالة تربيعية، إلا أنها ألغت بعضها البعض، مما يجعل المعادلة خطية وليست تربيعية.

المهمة رقم 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

لننفذ الخطوة الأولى بعناية: اضرب كل عنصر من القوس الأول بكل عنصر من القوس الثاني. يجب أن يكون هناك إجمالي أربعة مصطلحات جديدة بعد التحويلات:

الآن دعونا نجري عملية الضرب بعناية في كل حد:

لننقل المصطلحات التي تحتوي على "X" إلى اليسار، وتلك التي لا تحتوي على - إلى اليمين:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

وهنا مصطلحات مماثلة:

ومرة أخرى تلقينا الجواب النهائي.

الفروق الدقيقة في الحل

والملاحظة الأكثر أهمية حول هاتين المعادلتين هي أنه بمجرد أن نبدأ في ضرب الأقواس التي تحتوي على أكثر من حد واحد، يتم ذلك عن طريق القاعدة التالية: نأخذ الحد الأول من الأول ونضربه في كل عنصر من الثاني؛ ثم نأخذ العنصر الثاني من الأول ونضربه كذلك في كل عنصر من العنصر الثاني. ونتيجة لذلك، سيكون لدينا أربعة حدود.

حول المجموع الجبري

بهذا المثال الأخير، أود أن أذكر الطلاب ما هو المجموع الجبري. في الرياضيات الكلاسيكية، نعني بـ 1-7 دولار تصميم بسيط: اطرح سبعة من واحد. ونقصد في الجبر ما يلي: إلى العدد "واحد" نضيف رقما آخر وهو "ناقص سبعة". هذه هي الطريقة التي يختلف بها المجموع الجبري عن المجموع الحسابي العادي.

بمجرد إجراء جميع التحولات، كل إضافة وضرب، تبدأ في رؤية إنشاءات مماثلة لتلك الموصوفة أعلاه، فلن تواجه أي مشاكل في الجبر عند العمل مع كثيرات الحدود والمعادلات.

أخيرًا، دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة أخرى ستكون أكثر تعقيدًا من تلك التي نظرنا إليها للتو، ولحلها، سيتعين علينا توسيع الخوارزمية القياسية لدينا قليلاً.

حل المعادلات بالكسور

لحل مثل هذه المهام، سيتعين علينا إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية الخاصة بنا. لكن أولاً، دعني أذكرك بالخوارزمية التي لدينا:

1. افتح الأقواس.
2. متغيرات منفصلة.
3. جلب مماثلة.
4. القسمة على النسبة.

للأسف، هذه الخوارزمية الرائعة، على الرغم من فعاليتها، ليست مناسبة تمامًا عندما تكون أمامنا كسور. وفيما سنراه أدناه، لدينا كسر على كل من اليسار واليمين في كلتا المعادلتين.

كيفية العمل في هذه الحالة؟ نعم، الأمر بسيط جدًا! للقيام بذلك، تحتاج إلى إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية، والتي يمكن القيام بها قبل الإجراء الأول وبعده، أي التخلص من الكسور. لذلك ستكون الخوارزمية كما يلي:

1. تخلص من الكسور.
2. افتح الأقواس.
3. متغيرات منفصلة.
4. جلب مماثلة.
5. القسمة على النسبة.

ماذا يعني "التخلص من الكسور"؟ ولماذا يمكن القيام بذلك بعد الخطوة القياسية الأولى وقبلها؟ في الواقع، في حالتنا، جميع الكسور عددية في مقامها، أي. في كل مكان القاسم هو مجرد رقم. ولذلك، إذا ضربنا طرفي المعادلة في هذا العدد، فسنتخلص من الكسور.

المثال رقم 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

دعونا نتخلص من الكسور في هذه المعادلة:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

يرجى ملاحظة: كل شيء مضروب في "أربعة" مرة واحدة، أي. فقط لأن لديك قوسين لا يعني أن عليك ضرب كل منهما بـ "أربعة". دعنا نكتب:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

الآن دعونا نتوسع:

نعزل المتغير:

نقوم بإجراء تخفيض المصطلحات المماثلة:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

لقد حصلنا على الحل النهائي، فلننتقل إلى المعادلة الثانية.

المثال رقم 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

هنا نقوم بتنفيذ جميع الإجراءات نفسها:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

حلت المشكلة.

وهذا، في الواقع، هو كل ما أردت أن أخبرك به اليوم.

النقاط الرئيسية

النتائج الرئيسية هي:

• معرفة خوارزمية حل المعادلات الخطية.
• القدرة على فتح الأقواس.
• لا تقلق إذا رأيت وظائف تربيعيةعلى الأرجح، في عملية مزيد من التحولات، سوف تنخفض.
• هناك ثلاثة أنواع من الجذور في المعادلات الخطية، حتى أبسطها: جذر واحد، وخط الأعداد بأكمله هو جذر، ولا توجد جذور على الإطلاق.

آمل أن يساعدك هذا الدرس في إتقان موضوع بسيط ولكنه مهم جدًا لمزيد من الفهم لجميع الرياضيات. إذا كان هناك شيء غير واضح، فانتقل إلى الموقع وحل الأمثلة المعروضة هناك. لا تنزعج، العديد من الأشياء الأكثر إثارة للاهتمام في انتظاركم!