في قسم سؤال كيفية إثبات أن المستقيمين متوازيان ؟؟؟؟ قدمها المؤلف أليونكا ياكوفليفاأفضل إجابة هي خصائص الخطوط المتوازية
نظرية
خطان موازيان لثالث متوازيان.
دليل.
اجعل الخطين a و b موازيين للخط c. افترض أن الخطين a وb ليسا متوازيين. ثم يتقاطعان عند نقطة ما C. وتبين أن خطين موازيين للخط C يمران عبر النقطة C. لكن هذا يتناقض مع البديهية القائلة "من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمكن الرسم على المستوى بما لا يزيد عن خط واحد موازي للخط المعطى". لقد تم إثبات النظرية.
نظرية
إذا تقاطع مستقيمان متوازيان مع خط ثالث، فإن الزوايا الداخلية المتقاطعة متساوية.
دليل.
يجب أن يكون هناك خطان متوازيان a وb يتقاطعان مع الخط القاطع c. يتقاطع الخط c مع الخط a عند النقطة A والخط b عند النقطة B. دعونا نرسم الخط a1 عبر النقطة A بحيث يشكل الخطان a1 و b مع القاطع c زوايا متقاطعة داخلية متساوية. وفقًا لمعيار توازي الخطوط، يكون الخطان a1 و b متوازيين. وبما أنه يمكن رسم خط مستقيم واحد موازي لـ b عبر النقطة A، فإن a وa1 يتطابقان.
ومن ثم، فإن الزوايا المتقاطعة الداخلية التي يشكلها الخط a وb متساوية. لقد تم إثبات النظرية.
وبناء على النظرية ثبت:
إذا تقاطع خطان متوازيان مع خط ثالث، فإن الزوايا المتناظرة تكون متساوية.
إذا تقاطع خطان متوازيان مع خط ثالث فإن مجموع الزوايا الداخلية من جانب واحد هو 180 درجة

في المستوى، تسمى الخطوط متوازية إذا لم يكن هناك نقاط مشتركة، أي أنها لا تتقاطع. للإشارة إلى التوازي استخدم أيقونة خاصة || (الخطوط المتوازية أ || ب).

بالنسبة للخطوط الموجودة في الفضاء، لا يكفي اشتراط عدم وجود نقاط مشتركة - لكي تكون متوازية في الفضاء، يجب أن تنتمي إلى نفس المستوى (وإلا فإنها ستكون منحرفة).

ليس عليك أن تذهب بعيدًا للحصول على أمثلة للخطوط المتوازية، فهي ترافقنا في كل مكان، في الغرفة هي خطوط تقاطع الجدار مع السقف والأرضية، وعلى ورقة دفتر الملاحظات توجد حواف متقابلة، وما إلى ذلك.

ومن الواضح تمامًا أنه إذا كان هناك خطان متوازيان وخط ثالث موازي لأحد الخطين الأولين، فسيكون موازيًا للثاني.

ترتبط الخطوط المتوازية في المستوى ببيان لا يمكن إثباته باستخدام بديهيات قياس التخطيط. يتم قبوله كحقيقة، كبديهية: لأي نقطة على المستوى الذي لا يقع على خط مستقيم، هناك خط مستقيم واحد يمر عبرها بالتوازي مع الخط المحدد. كل طالب في الصف السادس يعرف هذه البديهية.

إن تعميمها المكاني، أي التأكيد على أنه بالنسبة لأي نقطة في الفضاء لا تقع على خط، هناك خط فريد يمر عبرها موازيًا للخط المحدد، يمكن إثباته بسهولة باستخدام بديهية التوازي المعروفة بالفعل في طائرة.

خصائص الخطوط المتوازية

• إذا كان أحد المستقيمين المتوازيين موازيًا للثالث، فإنهما متوازيان بشكل متبادل.

الخطوط المتوازية لها هذه الخاصية سواء في المستوى أو في الفضاء.
على سبيل المثال، النظر في مبرراته في القياس المجسم.

اجعل المستقيمين b متوازيين مع المستقيم a.

سيتم ترك الحالة التي تقع فيها جميع الخطوط في نفس المستوى لقياس التخطيط.

لنفترض أن a وb ينتميان إلى مستوى بيتا، وغاما هي المستوى الذي ينتمي إليه a وc (بحسب تعريف التوازي في الفضاء، يجب أن تنتمي الخطوط إلى نفس المستوى).

إذا افترضنا أن مستويي بيتا وغاما مختلفان ووضعنا علامة على نقطة معينة B على الخط b من مستوى بيتا، فإن المستوى المرسوم عبر النقطة B والخط c يجب أن يتقاطع مع مستوى بيتا في خط مستقيم (نشير إلى هو ب1).

إذا كان الخط الناتج b1 يتقاطع مع مستوى جاما، فمن ناحية، يجب أن تقع نقطة التقاطع على a، نظرًا لأن b1 ينتمي إلى مستوى بيتا، ومن ناحية أخرى، يجب أن ينتمي أيضًا إلى c، نظرًا لأن b1 ينتمي إلى الطائرة الثالثة.
لكن الخطين المتوازيين a وc يجب ألا يتقاطعا.

وبالتالي، يجب أن ينتمي الخط B1 إلى مستوى بيتا، وفي الوقت نفسه، ليس لديه نقاط مشتركة مع أ، وبالتالي، وفقا لبديهية التوازي، فإنه يتزامن مع ب.
لقد حصلنا على خط b1 مطابق للخط b، ينتمي إلى نفس المستوى مع الخط c ولا يتقاطع معه، أي أن b وc متوازيان

• من خلال نقطة لا تقع على خط معين موازي للمستقيم المحدد، يمكن أن يمر خط واحد فقط.

• خطان مستقيمان يقعان على مستوى وعمودي على الخط الثالث متوازيان.

• إذا قطع أحد المستقيمين المتوازيين المستوى، فإن الخط الثاني يقطع نفس المستوى.

• المقابلة والكذب المتقاطع زوايا داخلية، التي تشكلت من تقاطع خطين متوازيين من الخط الثالث، متساوية، مجموع الخطوط الداخلية أحادية الجانب المتكونة في هذه الحالة هو 180 درجة.

والعبارات العكسية صحيحة أيضًا، ويمكن اعتبارها علامة على توازي خطين مستقيمين.

حالة الخطوط المتوازية

إن الخصائص والعلامات المذكورة أعلاه هي شروط توازي الخطوط، ويمكن إثباتها بالطرق الهندسية. بمعنى آخر، لإثبات توازي خطين موجودين، يكفي إثبات توازيهما للخط الثالث أو تساوي الزوايا، سواء كانتا متقابلتين أو متقابلتين، ونحو ذلك.

وللإثبات، يستخدمون بشكل أساسي طريقة "التناقض"، أي مع افتراض أن الخطوط غير متوازية. بناءً على هذا الافتراض، يمكن بسهولة إثبات أنه في هذه الحالة يتم انتهاك الشروط المحددة، على سبيل المثال، تكون الزوايا الداخلية المتقاطعة غير متساوية، مما يثبت عدم صحة الافتراض.

هذه المقالة هي عن الخطوط المتوازية وعن الخطوط المتوازية. أولاً، تم تقديم تعريف الخطوط المتوازية في المستوى وفي الفضاء، وإدخال التدوين، وإعطاء أمثلة ورسوم توضيحية للخطوط المتوازية. علاوة على ذلك، يتم تحليل علامات وشروط توازي الخطوط المستقيمة. وفي الختام تم عرض حلول للمسائل النموذجية لإثبات توازي الخطوط المستقيمة، والتي تعطى من خلال بعض معادلات الخط المستقيم في نظام إحداثيات مستطيل على مستوى وفي فضاء ثلاثي الأبعاد.

التنقل في الصفحة.

الخطوط المتوازية - معلومات أساسية.

تعريف.

يتم استدعاء خطين في الطائرة موازيإذا لم يكن لديهم نقاط مشتركة.

تعريف.

يتم استدعاء خطين في ثلاثة أبعاد موازيإذا كانا يقعان في نفس المستوى وليس بينهما نقاط مشتركة.

لاحظ أن عبارة "إذا كانوا يقعون في نفس المستوى" في تعريف الخطوط المتوازية في الفضاء مهمة جدًا. دعونا نوضح هذه النقطة: خطان مستقيمان في مساحة ثلاثية الأبعاد ليس لهما نقاط مشتركة ولا يقعان في نفس المستوى ليسا متوازيين، بل منحرفان.

فيما يلي بعض الأمثلة على الخطوط المتوازية. تقع الحواف المقابلة لورقة دفتر الملاحظات على خطوط متوازية. الخطوط المستقيمة التي يتقاطع بها مستوى جدار المنزل مع مستويات السقف والأرضية متوازية. يمكن أيضًا اعتبار مسارات السكك الحديدية الموجودة على أرض مستوية بمثابة خطوط متوازية.

يستخدم الرمز "" للدلالة على الخطوط المتوازية. وهذا هو، إذا كانت الخطوط أ و ب متوازية، فيمكنك كتابة ب لفترة وجيزة.

لاحظ أنه إذا كان المستقيمان a وb متوازيين، فيمكننا القول أن المستقيم a موازي للخط b، وأيضًا أن المستقيم b موازي للخط a.

دعونا نعرب عن عبارة تلعب دورًا مهمًا في دراسة الخطوط المتوازية في المستوى: من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمر الخط الوحيد الموازي للخط المعطى. يتم قبول هذا البيان كحقيقة (لا يمكن إثباته على أساس البديهيات المعروفة لقياس التخطيط)، ويسمى بديهية الخطوط المتوازية.

بالنسبة للحالة في الفضاء، فإن النظرية صحيحة: من خلال أي نقطة في الفضاء لا تقع على خط معين، يمر خط واحد موازي للخط المعطى. يمكن إثبات هذه النظرية بسهولة باستخدام بديهية الخطوط المتوازية المذكورة أعلاه (يمكنك العثور على إثباتها في كتاب الهندسة المدرسي للصفوف 10-11، والمدرج في نهاية المقالة في قائمة المراجع).

بالنسبة للحالة في الفضاء، فإن النظرية صحيحة: من خلال أي نقطة في الفضاء لا تقع على خط معين، يمر خط واحد موازي للخط المعطى. تم إثبات هذه النظرية بسهولة باستخدام بديهية الخطوط المتوازية المذكورة أعلاه.

توازي الخطوط - علامات وشروط التوازي.

علامة على الخطوط المتوازيةهو شرط كاف للخطوط المتوازية، أي مثل هذا الشرط الذي يضمن تحقيقه الخطوط المتوازية. وبعبارة أخرى فإن تحقيق هذا الشرط يكفي لبيان أن المستقيمين متوازيان.

كما أن هناك شروطاً ضرورية وكافية للخطوط المتوازية في المستوى وفي الفضاء الثلاثي الأبعاد.

دعونا نوضح معنى عبارة "الشرط الضروري والكافي للخطوط المتوازية".

لقد تعاملنا بالفعل مع الشرط الكافي للخطوط المتوازية. و ماهو " شرط ضروريخطوط متوازية؟ ومن اسم "ضروري" يتضح أن تحقيق هذا الشرط ضروري لكي تكون الخطوط متوازية. بمعنى آخر، إذا لم يتوفر الشرط اللازم للخطوط المتوازية، فإن المستقيمين غير متوازيين. هكذا، شرط ضروري وكاف لتكون الخطوط متوازيةهو شرط يكون تحقيقه ضروريًا وكافيًا للمستقيمين المتوازيين. وهذا هو، من ناحية، هذه علامة على الخطوط المتوازية، ومن ناحية أخرى، هذه خاصية تمتلكها الخطوط المتوازية.

قبل تحديد الشرط الضروري والكافي لكي تكون الخطوط متوازية، من المفيد أن نتذكر بعض التعريفات المساعدة.

خط قاطعهو الخط الذي يتقاطع مع كل من الخطين غير المتطابقين.

عند تقاطع خطين من القاطع، يتم تشكيل ثمانية خطوط غير منتشرة. ما يسمى الكذب بالعرض، المقابلةو زوايا من جانب واحد. دعونا نظهر لهم على الرسم.

نظرية.

إذا تم تقاطع خطين مستقيمين على المستوى بواسطة قاطع، فمن الضروري والكافي لتوازيهما أن تكون الزوايا المستقيمة المتقاطعة متساوية، أو تكون الزوايا المقابلة متساوية، أو يكون مجموع الزوايا أحادية الجانب 180 درجة .

دعونا نعرض رسمًا توضيحيًا لهذا الشرط الضروري والكافي للخطوط المتوازية في المستوى.

يمكنك العثور على أدلة على هذه الشروط للخطوط المتوازية في كتب الهندسة المدرسية للصفوف 7-9.

لاحظ أنه يمكن أيضًا استخدام هذه الشروط في الفضاء ثلاثي الأبعاد - الشيء الرئيسي هو أن الخطين والقاطع يقعان في نفس المستوى.

فيما يلي بعض النظريات الأخرى التي تُستخدم غالبًا في إثبات توازي الخطوط.

نظرية.

إذا كان مستقيمان في المستوى موازيين لخط ثالث، فإنهما متوازيان. والدليل على هذه الميزة يأتي من بديهية الخطوط المتوازية.

هناك حالة مماثلة للخطوط المتوازية في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

نظرية.

إذا كان مستقيمان في الفضاء موازيين لخط ثالث، فإنهما متوازيان. والدليل على هذه الميزة مذكور في دروس الهندسة في الصف العاشر.

دعونا نوضح النظريات المعبر عنها.

دعونا نقدم نظرية أخرى تسمح لنا بإثبات توازي الخطوط في المستوى.

نظرية.

إذا كان مستقيمان في المستوى متعامدين مع مستقيم ثالث، فإنهما متوازيان.

هناك نظرية مماثلة للخطوط في الفضاء.

نظرية.

إذا كان مستقيمان في فضاء ثلاثي الأبعاد متعامدين على نفس المستوى، فإنهما متوازيان.

دعونا نرسم الصور المقابلة لهذه النظريات.

جميع النظريات المذكورة أعلاه والعلامات والشروط الضرورية والكافية مناسبة تمامًا لإثبات توازي الخطوط المستقيمة بطرق الهندسة. وهذا يعني أنه لإثبات التوازي بين خطين محددين، من الضروري إظهار أنهما متوازيان مع الخط الثالث، أو إظهار تساوي الزوايا المتقاطعة، وما إلى ذلك. يتم حل العديد من هذه المشكلات في دروس الهندسة في المدرسة الثانوية. ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه في كثير من الحالات يكون من المناسب استخدام طريقة الإحداثيات لإثبات توازي الخطوط في المستوى أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد. دعونا نقوم بصياغة الشروط الضرورية والكافية لتوازي الخطوط الواردة في نظام الإحداثيات المستطيل.

توازي الخطوط في نظام الإحداثيات المستطيل.

في هذا القسم من المقال سوف نقوم بصياغة الشروط الضرورية والكافية للخطوط المتوازيةفي نظام إحداثي مستطيل، اعتمادًا على نوع المعادلات التي تحدد هذه الخطوط، وسنقدم أيضًا حلولًا تفصيلية للمسائل النموذجية.

لنبدأ بحالة التوازي بين خطين على المستوى في نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي. ويستند برهانه إلى تعريف المتجه الموجه للخط وتعريف المتجه العمودي للخط على المستوى.

نظرية.

لكي يكون خطان غير متطابقين متوازيين في مستوى، من الضروري والكافي أن تكون متجهات الاتجاه لهذه الخطوط على خط واحد، أو أن تكون المتجهات العمودية لهذه الخطوط على خط واحد، أو أن يكون متجه الاتجاه لخط واحد متعامدًا على العمودي ناقلات السطر الثاني.

ومن الواضح أن حالة التوازي بين خطين في المستوى تختزل إلى (متجهات الاتجاه للخطوط أو المتجهات العادية للخطوط) أو إلى (متجه الاتجاه لخط واحد ومتجه عادي للخط الثاني). وبالتالي، إذا كانت متجهات الاتجاه للخطوط a و b، و و هي المتجهات العادية للخطين a و b، على التوالي، فيمكن كتابة الشرط الضروري والكافي للخطين المتوازيين a و b على النحو التالي ، أو أو حيث t هو عدد حقيقي. بدورها، يتم العثور على إحداثيات التوجيه و (أو) المتجهات العادية للخطوط المستقيمة a و b من المعادلات المعروفة للخطوط المستقيمة.

على وجه الخصوص، إذا كان الخط a في نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي على المستوى يحدد المعادلة العامة لخط الشكل ، والخط المستقيم ب - ، فإن المتجهات العادية لهذه الخطوط لها إحداثيات وعلى التوالي، وسيتم كتابة حالة التوازي للخطين a و b بالشكل.

إذا كان الخط المستقيم a يتوافق مع معادلة الخط المستقيم مع معامل ميل النموذج . لذلك، إذا كانت الخطوط المستقيمة على المستوى في نظام إحداثيات مستطيل متوازية ويمكن الحصول عليها بمعادلات الخطوط المستقيمة مع معاملات الميل، فإن معاملات ميل الخطوط ستكون متساوية. والعكس صحيح: إذا كان من الممكن الحصول على خطوط مستقيمة غير متطابقة على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل من خلال معادلات خط مستقيم مع معاملات ميل متساوية، فإن هذه الخطوط المستقيمة متوازية.

إذا كان الخط a والخط b في نظام إحداثي مستطيل يحددان المعادلات الأساسية للخط على مستوى النموذج و أو المعادلات البارامترية لخط مستقيم على مستوى النموذج و على التوالي، فإن متجهات الاتجاه لهذه الخطوط لها إحداثيات و، ويتم كتابة شرط التوازي للخطين a و b كـ .

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال.

هل الخطوط متوازية؟ و ؟

حل.

نعيد كتابة معادلة الخط المستقيم على شكل شرائح على شكل معادلة عامة للخط المستقيم: . والآن يمكننا أن نرى أن هذا هو المتجه العمودي للخط المستقيم ، وهو المتجه الطبيعي للخط المستقيم. هذه المتجهات ليست على خط مستقيم، لأنه لا يوجد عدد حقيقي t الذي تكون المساواة فيه ( ). وبالتالي، فإن الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط على المستوى غير متوافر، وبالتالي فإن الخطوط المعطاة ليست متوازية.

إجابة:

لا، الخطوط ليست متوازية.

مثال.

هل الخطوط والمتوازيات؟

حل.

نأتي المعادلة القانونية للخط المستقيم إلى معادلة الخط المستقيم ذو الميل: . من الواضح أن معادلات الخطوط و ليست هي نفسها (في هذه الحالة، الخطوط المعطاة ستكون هي نفسها) وميل الخطوط متساوية، وبالتالي فإن الخطوط الأصلية متوازية.

في هذه المقالة سنتحدث عن الخطوط المتوازية ونقدم تعريفاتها ونحدد علامات وشروط التوازي. للتوضيح المادة النظريةسوف نستخدم الرسوم التوضيحية وحل الأمثلة النموذجية.

تعريف Yandex.RTB RA-A-339285-1 1

الخطوط المتوازية في الطائرةهما خطان مستقيمان في المستوى ليس لهما نقاط مشتركة.

التعريف 2

الخطوط المتوازية في الفضاء ثلاثي الأبعاد- خطان مستقيمان في فضاء ثلاثي الأبعاد يقعان في نفس المستوى وليس بينهما نقاط مشتركة.

تجدر الإشارة إلى أنه من أجل تحديد الخطوط المتوازية في الفضاء، فإن توضيح "الكذب في نفس المستوى" مهم للغاية: خطان في مساحة ثلاثية الأبعاد ليس لهما نقاط مشتركة ولا يقعان في نفس المستوى ليسا كذلك متوازية، ولكن متقاطعة.

للدلالة على الخطوط المتوازية، من الشائع استخدام الرمز ∥ . أي أنه إذا كان الخطان a و b متوازيان، فيجب كتابة هذا الشرط بإيجاز على النحو التالي: a ‖ b . لفظيا، يشار إلى التوازي بين الخطوط بالطريقة الآتية: الخطان a و b متوازيان، أو المستقيم a موازي للخط b، أو المستقيم b موازي للخط a.

دعونا نصيغ بيانًا يلعب دورًا مهمًا في الموضوع قيد الدراسة.

اكسيوم

من خلال نقطة لا تنتمي إلى خط معين، لا يوجد سوى خط واحد موازي للمستقيم المحدد. لا يمكن إثبات هذا البيان على أساس البديهيات المعروفة في علم القياس.

وفي حالة الفضاء، تكون النظرية صحيحة:

النظرية 1

من خلال أي نقطة في الفضاء لا تنتمي إلى خط معين، سيكون هناك خط واحد فقط موازي للخط المعطى.

من السهل إثبات هذه النظرية على أساس البديهية المذكورة أعلاه (برنامج الهندسة للصفوف 10-11).

وعلامة التوازي شرط كاف يضمن بموجبه توازي الخطوط. وبعبارة أخرى فإن تحقيق هذا الشرط كافٍ لتأكيد حقيقة التوازي.

وعلى وجه الخصوص، هناك شروط ضرورية وكافية لتوازي الخطوط في المستوى وفي الفضاء. دعونا نوضح: الضرورة تعني الشرط الذي يكون تحقيقه ضروريًا للخطوط المتوازية؛ إذا لم يكن راضيا، فإن الخطوط ليست متوازية.

تلخيصًا، الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط هو الشرط الذي يكون الالتزام به ضروريًا وكافيًا حتى تكون الخطوط متوازية مع بعضها البعض. من ناحية، هذه علامة على التوازي، من ناحية أخرى، خاصية متأصلة في الخطوط المتوازية.

قبل إعطاء صياغة دقيقة للشروط الضرورية والكافية، نتذكر بعض المفاهيم الإضافية.

التعريف 3

خط قاطعهو الخط الذي يتقاطع مع كل من الخطين غير المتطابقين.

يتقاطع القاطع مع خطين مستقيمين، ويشكل ثماني زوايا غير ممدودة. لصياغة الشرط الضروري والكافي، سوف نستخدم أنواعًا من الزوايا مثل المتقاطعة، والمقابلة، وأحادية الجانب. دعونا نوضح لهم في الرسم التوضيحي:

النظرية 2

إذا كان خطان على مستوى يتقاطعان قاطعًا، فمن الضروري ويكفي لكي تكون الخطوط المعطاة متوازية أن تكون الزوايا المستقيمة بالعرض متساوية، أو تكون الزوايا المتناظرة متساوية، أو يكون مجموع الزوايا أحادية الجانب مساويًا لـ 180 درجات.

دعونا نوضح بيانياً الشرط الضروري والكافي للخطوط المتوازية على المستوى:

والدليل على هذه الشروط موجود في برنامج الهندسة للصفوف 7-9.

بشكل عام، تنطبق هذه الشروط أيضًا على الفضاء ثلاثي الأبعاد، بشرط أن ينتمي الخطان والقاطع إلى نفس المستوى.

دعونا نشير إلى بعض النظريات الأخرى التي غالبًا ما تستخدم لإثبات حقيقة أن الخطوط متوازية.

النظرية 3

في المستوى، خطان متوازيان لخط ثالث متوازيان مع بعضهما البعض. تم إثبات هذه الميزة على أساس بديهية التوازي المذكورة أعلاه.

النظرية 4

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، خطان متوازيان لخط ثالث متوازيان مع بعضهما البعض.

تتم دراسة إثبات الصفة في برنامج الهندسة للصف العاشر.

ونقدم توضيحا لهذه النظريات:

دعونا نشير إلى زوج آخر من النظريات التي تثبت توازي الخطوط.

النظرية 5

في المستوى، خطان متعامدان مع الثلث متوازيان مع بعضهما البعض.

دعونا نقوم بصياغة نموذج مماثل لمساحة ثلاثية الأبعاد.

النظرية 6

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يكون الخطان المتعامدان مع الثلث متوازيين مع بعضهما البعض.

دعونا نوضح:

جميع النظريات والعلامات والشروط المذكورة أعلاه تجعل من الممكن إثبات توازي الخطوط بسهولة من خلال طرق الهندسة. أي أنه لإثبات توازي الخطوط، يمكن إثبات أن الزوايا المتناظرة متساوية، أو إثبات حقيقة أن خطين معلومين متعامدين مع الخط الثالث، وهكذا. لكننا نلاحظ أنه غالبًا ما يكون من الأنسب استخدام طريقة الإحداثيات لإثبات توازي الخطوط في المستوى أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

توازي الخطوط في نظام الإحداثيات المستطيل

في نظام إحداثي مستطيل معين، يتم تحديد الخط المستقيم من خلال معادلة خط مستقيم على مستوى أحدهما الأنواع الممكنة. وبالمثل، فإن الخط المستقيم المعطى في نظام الإحداثيات المستطيل في الفضاء ثلاثي الأبعاد يتوافق مع بعض معادلات الخط المستقيم في الفضاء.

دعونا نكتب الشروط الضرورية والكافية لتوازي الخطوط في نظام إحداثيات مستطيل، اعتمادًا على نوع المعادلة التي تصف الخطوط المعطاة.

لنبدأ بحالة الخطوط المتوازية في المستوى. يعتمد على تعريفات متجه الاتجاه للخط والمتجه الطبيعي للخط في المستوى.

النظرية 7

لكي يكون خطان غير متطابقين متوازيين على مستوى، من الضروري والكافي أن تكون متجهات الاتجاه للخطوط المعطاة على خط واحد، أو أن تكون المتجهات العادية للخطوط المعطاة على خط واحد، أو أن يكون متجه الاتجاه لخط واحد متعامدًا على المتجه الطبيعي للخط الآخر.

يصبح من الواضح أن حالة الخطوط المتوازية على المستوى تعتمد على حالة المتجهات المستقيمة أو حالة تعامد متجهين. أي أنه إذا كان a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) هما متجها الاتجاه للخطين a و b ؛

و n b → = (n b x , n b y) متجهات عادية للخطين a و b ، ثم نكتب الشرط الضروري والكافي أعلاه كما يلي: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y أو n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y أو a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , حيث t هو عدد حقيقي. يتم تحديد إحداثيات التوجيه أو المتجهات المباشرة بواسطة معادلات الخطوط المعطاة. دعونا نفكر في الأمثلة الرئيسية.

1. يتم تحديد الخط a في نظام الإحداثيات المستطيل بواسطة المعادلة العامة للخط: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; السطر ب - أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 = 0 . ثم سيكون للمتجهات العادية للخطوط المعطاة إحداثيات (A 1 , B 1) و (A 2 , B 2) على التوالي. نكتب شرط التوازي كما يلي:

أ 1 = ر أ 2 ب 1 = ر ب 2

1. الخط المستقيم a يوصف بمعادلة الخط المستقيم مع ميل بالصيغة y = k 1 x + b 1 . الخط المستقيم ب - ص \u003d ك 2 س + ب 2. عندها سيكون للمتجهات العادية للخطوط المعطاة إحداثيات (k 1 , - 1) و (k 2 , - 1) على التوالي، ونكتب شرط التوازي كما يلي:

ك 1 = ر ك 2 - 1 = ر (- 1) ⇔ ك 1 = ر ك 2 ر = 1 ⇔ ك 1 = ك 2

وبالتالي، إذا تم إعطاء خطوط متوازية على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل من خلال معادلات ذات معاملات ميل، فإن معاملات الميل للخطوط المعطاة ستكون متساوية. والعكس صحيح: إذا تم تحديد الخطوط غير المتطابقة على المستوى في نظام إحداثيات مستطيل بمعادلات خط له نفس معاملات الميل، فإن هذه الخطوط المعطاة متوازية.

1. يتم إعطاء الخطين a و b في نظام الإحداثيات المستطيل بواسطة المعادلات الأساسية للخط على المستوى: x - x 1 a x = y - y 1 a y و x - x 2 b x = y - y 2 b y أو المعادلات البارامترية للخط على المستوى: x = x 1 + lect a x y = y 1 + lect a y و x = x 2 + lect b x y = y 2 + lect b y .

إذن فإن متجهات الاتجاه للخطوط المعطاة ستكون: a x , a y و b x , b y على التوالي، ونكتب شرط التوازي كما يلي:

أ س = ر ب س أ ص = ر ب ص

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

مثال 1

بالنظر إلى سطرين: 2 x - 3 y + 1 = 0 و x 1 2 + y 5 = 1 . تحتاج إلى تحديد ما إذا كانت متوازية.

حل

نكتب معادلة الخط المستقيم المقطع على شكل معادلة عامة:

س 1 2 + ص 5 = 1 ⇔ 2 س + 1 5 ص - 1 = 0

نلاحظ أن n a → = (2 , - 3) هو المتجه العادي للخط 2 x - 3 y + 1 = 0 , و n b → = 2 , 1 5 هو المتجه العادي للخط x 1 2 + y 5 = 1 .

المتجهات الناتجة ليست على خط واحد، لأن لا توجد قيمة لـ t تكون المساواة فيها صحيحة:

2 = ر 2 - 3 = ر 1 5 ⇔ ر = 1 - 3 = ر 1 5 ⇔ ر = 1 - 3 = 1 5

وبالتالي، فإن الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط على المستوى غير محقق، مما يعني أن الخطوط المعطاة ليست متوازية.

إجابة:الخطوط المعطاة ليست متوازية.

مثال 2

الخطوط المعطاة y = 2 x + 1 و x 1 = y - 4 2 . هل هما متوازيان؟

حل

لنحول المعادلة الأساسية للخط المستقيم x 1 \u003d y - 4 2 إلى معادلة الخط المستقيم ذو الميل:

س 1 = ص - 4 2 ⇔ 1 (ص - 4) = 2 س ⇔ ص = 2 س + 4

نرى أن معادلات الخطين y = 2 x + 1 و y = 2 x + 4 ليستا متماثلتين (لو كان الأمر خلاف ذلك لكان المستقيمان متساويان) وميل المستقيمين متساويان، مما يعني أن الخطوط المعطاة متوازية.

دعونا نحاول حل المشكلة بشكل مختلف. أولا، نتحقق مما إذا كانت الخطوط المحددة متطابقة. نستخدم أي نقطة من الخط y \u003d 2 x + 1 مثلاً (0, 1) ، إحداثيات هذه النقطة لا تتوافق مع معادلة الخط x 1 \u003d y - 4 2 مما يعني أن الخطوط لا تتطابق.

والخطوة التالية هي تحديد مدى استيفاء شرط التوازي للخطوط المحددة.

المتجه العادي للخط y = 2 x + 1 هو المتجه n a → = (2 , - 1) ، ومتجه الاتجاه للخط الثاني المحدد هو b → = (1 , 2) . المنتج العددي لهذه المتجهات هو صفر:

ن أ → , ب → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

وبالتالي فإن المتجهات متعامدة: وهذا يوضح لنا توفر الشرط اللازم والكافي ليكون المستقيمان الأصليان متوازيين. أولئك. الخطوط المعطاة متوازية.

إجابة:هذه الخطوط متوازية.

لإثبات توازي الخطوط في نظام إحداثيات مستطيل لمساحة ثلاثية الأبعاد، يتم استخدام الشرط الضروري والكافي التالي.

النظرية 8

لكي يكون خطان غير متطابقين في فضاء ثلاثي الأبعاد متوازيين، فمن الضروري والكافي أن تكون متجهات الاتجاه لهذه الخطوط على خط واحد.

أولئك. بالنسبة لمعادلات الخطوط المعطاة في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن العثور على إجابة السؤال: هل هي متوازية أم لا، من خلال تحديد إحداثيات متجهات الاتجاه للخطوط المعطاة، وكذلك التحقق من حالة خطيتها الخطية المتداخلة. بمعنى آخر، إذا كانت a → = (a x, a y, a z) و b → = (b x, b y, b z) هي متجهات الاتجاه للخطين a و b، على التوالي، لكي يكونا متوازيين، يجب أن يكون الوجود من هذا العدد الحقيقي t ضروري، بحيث تتحقق المساواة:

أ → = ر ب → ⇔ أ س = ر ب × أ ص = ر ب ي أ ض = ر ب ض

مثال 3

الخطوط المعطاة x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 و x = 2 + 2 lect y = 1 z = - 3 - 6 lect . من الضروري إثبات التوازي بين هذه الخطوط.

حل

شروط المشكلة هي المعادلات القانونية لخط مستقيم في الفضاء والمعادلات البارامترية لخط مستقيم آخر في الفضاء. ناقلات الاتجاه أ → و ب → الخطوط المعطاة لها إحداثيات: (1 , 0 , - 3) و (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , ثم a → = 1 2 b → .

وبذلك يكون الشرط الضروري والكافي لوجود الخطوط المتوازية في الفضاء متوافراً.

إجابة:تم إثبات التوازي بين الخطوط المعطاة.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، يرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

ولا يتقاطعان مهما استمرا. يشار إلى توازي الخطوط في الكتابة على النحو التالي: أ.ب|| معه

تم إثبات إمكانية وجود مثل هذه الخطوط من خلال النظرية.

نظرية.

من خلال أي نقطة تقع خارج خط معين، يمكن رسم خط مواز لهذا الخط..

يترك أ.بهذا الخط و معنقطة ما مأخوذة خارجه. مطلوب إثبات ذلك معيمكنك رسم خط مستقيم موازيأ.ب. دعونا ننزل أ.بمن نقطة مع عموديمعدوبعد ذلك سوف نفعل معه^ معد، ما هو ممكن. مستقيم مموازي أ.ب.

أما بالنسبة للبرهان فنفترض العكس، أي ذلك ميتقاطع أ.بفي مرحلة ما م. ثم من النقطة مإلى خط مستقيم معدسيكون لدينا خطين متعامدين مختلفين مدو آنسةوهو أمر مستحيل. وسائل، ملا يمكن أن تتقاطع مع أ.ب، أي. معهموازي أ.ب.

عاقبة.

عموديان (Cهودي.بي.) إلى خط مستقيم واحد (Сد) متوازيان.

بديهية الخطوط المتوازية.

من المستحيل من خلال نفس النقطة رسم خطين مختلفين موازيين لنفس الخط.

فإذا كان على خط مستقيم معد، مرسومة من خلال النقطة معبالتوازي مع خط مستقيم أ.ب، ثم أي سطر آخر معهمن خلال نفس النقطة مع، لا يمكن أن يكون متوازيا أ.ب، أي. هي تكمل تتقاطعمع أ.ب.

تبين أن إثبات هذه الحقيقة غير الواضحة أمر مستحيل. يتم قبوله بدون دليل كافتراض ضروري (postulatum).

عواقب.

1. إذا مستقيم(معه) يتقاطع مع واحد من موازي(جنوب غرب)، ثم يتقاطع مع الآخر ( أ.ب)، لأنه بخلاف ذلك من خلال نفس النقطة معخطين مستقيمين مختلفين، متوازيين أ.بوهو أمر مستحيل.

2. إذا كان كل منهما مباشر (أوب) موازية لنفس السطر الثالث ( مع) ، بعد ذلك متوازيةبين أنفسهم.

في الواقع، إذا افترضنا ذلك أو بتتقاطع في مرحلة ما م، فإن خطين مستقيمين مختلفين، متوازيين، يمران بهذه النقطة. معوهو أمر مستحيل.

نظرية.

لو الخط المستقيم عموديعلى أحد المستقيمين المتوازيين فإنه يكون عموديا على الآخر موازي.

يترك أ.ب || معدو إي إف ^ أ.ب.ويشترط إثبات ذلك إي إف ^ معد.

عموديهF، متقاطعة مع أ.ب، سوف تتقاطع بالتأكيد و معد. دع نقطة التقاطع تكون ح.

لنفترض الآن أن معدلا عمودي على إه. ثم بعض الخط الآخر، على سبيل المثال هونج كونج، سيكون عموديًا على إهومن ثم من خلال نفس النقطة حاثنين بالتوازي على التوالي أ.ب: واحد معد، بالشرط، والآخر هونج كونجكما ثبت من قبل. وبما أن هذا مستحيل، فلا يمكن افتراض ذلك جنوب غربلم يكن عموديا على إه.