كيفية حل نظام مع مجهولين. أمثلة على أنظمة المعادلات الخطية: طريقة الحل

أكثر موثوقية من الطريقة الرسومية التي تمت مناقشتها في الفقرة السابقة.

طريقة الاستبدال

استخدمنا هذه الطريقة في الصف السابع لحل الأنظمة المعادلات الخطية. الخوارزمية التي تم تطويرها في الصف السابع مناسبة تمامًا لحل أنظمة أي معادلتين (ليست بالضرورة خطية) بمتغيرين x وy (بالطبع، يمكن تحديد المتغيرات بأحرف أخرى، وهذا لا يهم). في الواقع، استخدمنا هذه الخوارزمية في الفقرة السابقة، عندما أدت مسألة عدد مكون من رقمين إلى نموذج رياضي، وهو عبارة عن نظام من المعادلات. لقد قمنا بحل نظام المعادلات أعلاه باستخدام طريقة الاستبدال (انظر المثال 1 من الفقرة 4).

خوارزمية لاستخدام طريقة الاستبدال عند حل نظام من معادلتين بمتغيرين x، y.

1. عبر عن y بدلالة x من إحدى معادلة النظام.
2. استبدل التعبير الناتج بدلاً من y في معادلة أخرى للنظام.
3. حل المعادلة الناتجة لـ x.
4. عوض بدوره بكل من جذور المعادلة الموجودة في الخطوة الثالثة بدلاً من x في التعبير y إلى x الذي تم الحصول عليه في الخطوة الأولى.
5. اكتب الإجابة على شكل أزواج من القيم (x; y) التي وجدت في الخطوتين الثالثة والرابعة على التوالي.

4) عوض واحدًا تلو الآخر عن كل قيمة من قيم y الموجودة في الصيغة x = 5 - 3. اذا ثم
5) الأزواج (2؛ 1) وحلول نظام معين من المعادلات.

الجواب: (2؛ 1)؛

طريقة الجمع الجبرية

هذه الطريقة، مثل طريقة الاستبدال، مألوفة لك من دورة الجبر للصف السابع، حيث تم استخدامها لحل أنظمة المعادلات الخطية. دعونا نتذكر جوهر الطريقة باستخدام المثال التالي.

مثال 2.حل نظام المعادلات

دعونا نضرب جميع حدود المعادلة الأولى للنظام في 3، ونترك المعادلة الثانية دون تغيير:
اطرح المعادلة الثانية للنظام من معادلته الأولى:

ونتيجة الجمع الجبري لمعادلتين من النظام الأصلي تم الحصول على معادلة أبسط من المعادلتين الأولى والثانية من النظام المعطى. وبهذه المعادلة الأبسط يحق لنا استبدال أي معادلة لنظام معين، على سبيل المثال المعادلة الثانية. ثم سيتم استبدال نظام المعادلات المحدد بنظام أبسط:

يمكن حل هذا النظام باستخدام طريقة الاستبدال. ومن المعادلة الثانية نجد أن استبدال هذا التعبير بدلاً من y في المعادلة الأولى للنظام نحصل عليه

يبقى استبدال قيم x الموجودة في الصيغة

إذا كان س = 2

وهكذا وجدنا حلين للنظام:

طريقة إدخال المتغيرات الجديدة

لقد تعرفت على طريقة إدخال متغير جديد عند حل المعادلات العقلانية بمتغير واحد في مقرر الجبر للصف الثامن. جوهر هذه الطريقة لحل أنظمة المعادلات هو نفسه، ولكن من الناحية الفنية هناك بعض الميزات التي سنناقشها في الأمثلة التالية.

مثال 3.حل نظام المعادلات

دعونا نقدم متغيرا جديدا، ثم يمكن إعادة كتابة المعادلة الأولى للنظام إلى أكثر في شكل بسيط: دعونا نحل هذه المعادلة للمتغير t:

كل من هذه القيم تستوفي الشرط وبالتالي فهي جذور معادلة عقلانيةمع متغير ر. ولكن هذا يعني إما حيث نجد أن x = 2y، أو
وهكذا، باستخدام طريقة إدخال متغير جديد، تمكنا من "تقسيم" المعادلة الأولى للنظام، والتي كانت معقدة للغاية في المظهر، إلى معادلتين أبسط:

س = 2 ص؛ ص - 2x.

ماذا بعد؟ وبعد ذلك تلقى كل واحد من الاثنين معادلات بسيطةيجب النظر فيها واحدًا تلو الآخر في نظام يحتوي على المعادلة x 2 - y 2 = 3، والتي لم نتذكرها بعد. بمعنى آخر، تكمن المشكلة في حل نظامين من المعادلات:

نحن بحاجة إلى إيجاد حلول للنظام الأول، النظام الثاني وإدراج جميع أزواج القيم الناتجة في الإجابة. دعونا نحل النظام الأول من المعادلات:

دعونا نستخدم طريقة الاستبدال، خاصة وأن كل شيء جاهز لها هنا: دعنا نعوض بالتعبير 2y بدلاً من x في المعادلة الثانية للنظام. نحن نحصل

بما أن x = 2y، نجد، على التوالي، x 1 = 2، x 2 = 2. وبذلك يتم الحصول على حلين للنظام المعطى: (2؛ 1) و (-2؛ -1). دعونا نحل النظام الثاني من المعادلات:

لنستخدم طريقة الاستبدال مرة أخرى: استبدل التعبير 2x بدلاً من y في المعادلة الثانية للنظام. نحن نحصل

هذه المعادلة ليس لها جذور، مما يعني أن نظام المعادلات ليس له حلول. وبالتالي، يجب تضمين حلول النظام الأول فقط في الإجابة.

الجواب: (2؛ 1)؛ (-2؛-1).

يتم استخدام طريقة إدخال متغيرات جديدة عند حل أنظمة معادلتين بمتغيرين في نسختين. الخيار الأول: يتم إدخال متغير جديد واستخدامه في معادلة واحدة فقط من النظام. وهذا بالضبط ما حدث في المثال 3. الخيار الثاني: تم إدخال متغيرين جديدين واستخدامهما في وقت واحد في معادلتي النظام. سيكون هذا هو الحال في المثال 4.

مثال 4.حل نظام المعادلات

دعونا نقدم متغيرين جديدين:

فلنأخذ ذلك بعين الاعتبار إذن

هذا سيسمح لك بإعادة الكتابة هذا النظامفي شكل أبسط بكثير، ولكن متغيرات جديدة نسبيًا a وb:

بما أن a = 1، فمن المعادلة a + 6 = 2 نجد: 1 + 6 = 2؛ 6=1. وبالتالي، بالنسبة للمتغيرين a وb، لدينا حل واحد:

وبالعودة إلى المتغيرين x وy، نحصل على نظام المعادلات

دعونا نطبق طريقة الجمع الجبرى لحل هذا النظام:

ومنذ ذلك الحين من المعادلة 2x + y = 3 نجد:
وبالتالي، بالنسبة للمتغيرين x وy، لدينا حل واحد:

دعونا نختتم هذه الفقرة بمناقشة نظرية موجزة ولكنها جادة إلى حد ما. لقد اكتسبت بالفعل بعض الخبرة في حل المعادلات المختلفة: الخطية، والتربيعية، والعقلانية، وغير المنطقية. أنت تعلم أن الفكرة الرئيسية لحل المعادلة هي الانتقال تدريجياً من معادلة إلى أخرى أبسط ولكنها تعادل المعادلة المعطاة. قدمنا في الفقرة السابقة مفهوم التكافؤ للمعادلات ذات المتغيرين. يستخدم هذا المفهوم أيضًا لأنظمة المعادلات.

تعريف.

يسمى نظامان من المعادلات ذات المتغيرين x و y متكافئين إذا كان لهما نفس الحلول أو إذا لم يكن لدى كلا النظامين حلول.

جميع الطرق الثلاث (الاستبدال والجمع الجبري وإدخال متغيرات جديدة) التي ناقشناها في هذا القسم صحيحة تمامًا من وجهة نظر التكافؤ. بمعنى آخر، باستخدام هذه الطرق، نستبدل نظامًا من المعادلات بنظام آخر أبسط ولكنه مكافئ للنظام الأصلي.

طريقة رسومية لحل أنظمة المعادلات

لقد تعلمنا بالفعل كيفية حل أنظمة المعادلات بطرق شائعة وموثوقة مثل طريقة الاستبدال والإضافة الجبرية وإدخال متغيرات جديدة. الآن دعونا نتذكر الطريقة التي درستها بالفعل في الدرس السابق. أي لنكرر ما تعرفه عن طريقة الحل الرسومي.

تتضمن طريقة حل أنظمة المعادلات بيانياً إنشاء رسم بياني لكل من المعادلات المحددة المضمنة في نظام معين وتقع في نفس المستوى الإحداثي، وكذلك حيث يكون من الضروري العثور على تقاطعات نقاط هذه المعادلات الرسوم البيانية. لحل نظام المعادلات هذا هي إحداثيات هذه النقطة (x; y).

يجب أن نتذكر أنه من المعتاد أن يحتوي نظام المعادلات الرسومية على أي منهما القرار الصائبإما عدد لا نهائي من الحلول، أو لا يوجد حلول على الإطلاق.

الآن دعونا نلقي نظرة على كل من هذه الحلول بمزيد من التفصيل. ومن ثم، يمكن أن يكون لنظام المعادلات حل فريد إذا تقاطعت الخطوط التي تمثل الرسوم البيانية لمعادلات النظام. إذا كانت هذه الخطوط متوازية، فهذا يعني أن نظام المعادلات هذا ليس له حلول على الإطلاق. إذا تزامنت الرسوم البيانية المباشرة لمعادلات النظام، فإن هذا النظام يسمح بالعثور على العديد من الحلول.

حسنًا، دعونا الآن نلقي نظرة على خوارزمية حل نظام من معادلتين بمجهولين باستخدام طريقة رسومية:

أولاً، نقوم أولاً ببناء رسم بياني للمعادلة الأولى؛
ستكون الخطوة الثانية هي إنشاء رسم بياني يتعلق بالمعادلة الثانية؛
ثالثًا، علينا إيجاد نقاط تقاطع الرسوم البيانية.
ونتيجة لذلك، نحصل على إحداثيات كل نقطة تقاطع، والتي ستكون الحل لنظام المعادلات.

دعونا نلقي نظرة على هذه الطريقة بمزيد من التفصيل باستخدام مثال. لدينا نظام من المعادلات التي تحتاج إلى حل:

حل المعادلات

1. أولاً، سنقوم ببناء رسم بياني لهذه المعادلة: x2+y2=9.

لكن تجدر الإشارة إلى أن هذا التمثيل البياني للمعادلات سيكون عبارة عن دائرة مركزها نقطة الأصل، ونصف قطرها يساوي ثلاثة.

2. ستكون خطوتنا التالية هي رسم معادلة مثل: y = x – 3.

في هذه الحالة، يجب علينا إنشاء خط مستقيم وإيجاد النقطتين (0;−3) و(3;0).

3. دعونا نرى ما حصلنا عليه. نلاحظ أن الخط المستقيم يقطع الدائرة عند نقطتين منها A وB.

الآن نحن نبحث عن إحداثيات هذه النقاط. نرى أن الإحداثيات (3;0) تتوافق مع النقطة A، والإحداثيات (0;−3) تتوافق مع النقطة B.

وماذا نحصل نتيجة لذلك؟

الأرقام (3;0) و (0;−3) التي تم الحصول عليها عندما يتقاطع الخط مع الدائرة هي بالضبط الحلول لكلا معادلتي النظام. ويترتب على ذلك أن هذه الأعداد هي أيضًا حلول لنظام المعادلات هذا.

أي أن إجابة هذا الحل هي الأرقام: (3;0) و (0;−3).

تعليمات

طريقة الإضافة.
تحتاج إلى كتابة اثنين بدقة أسفل بعضهما البعض:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
في المعادلة المختارة بشكل تعسفي (من النظام)، أدخل الرقم 11 بدلاً من "اللعبة" الموجودة بالفعل واحسب المجهول الثاني:

س=61+5*11، س=61+55، س=116.
الإجابة على نظام المعادلات هذا هي x=116, y=11.

الطريقة الرسومية.
وهو يتألف من العثور عمليا على إحداثيات النقطة التي تتم عندها كتابة الخطوط رياضيا في نظام المعادلات. يجب رسم الرسوم البيانية لكلا الخطين بشكل منفصل في نفس نظام الإحداثيات. منظر عام: – y=khx+b. لبناء خط مستقيم، يكفي العثور على إحداثيات نقطتين، ويتم اختيار x بشكل تعسفي.
دع النظام يعطى: 2x – y=4

ص=-3س+1.
يتم إنشاء خط مستقيم باستخدام الخط الأول، ولتسهيل كتابته: y=2x-4. توصل إلى قيم (أسهل) لـ x، واستبدالها في المعادلة، وحلها، وإيجاد y. نحصل على نقطتين يتم على طولهما إنشاء خط مستقيم. (انظر الصورة)
× 0 1

ص -4 -2
يتم إنشاء الخط المستقيم باستخدام المعادلة الثانية: y=-3x+1.
قم أيضًا ببناء خط مستقيم. (انظر الصورة)

ص 1 -5
ابحث عن إحداثيات نقطة تقاطع خطين مبنيين على الرسم البياني (إذا كانت الخطوط لا تتقاطع، فإن نظام المعادلات لا يحتوي على ذلك).

فيديو حول الموضوع

نصائح مفيدة

إذا تم حل نفس نظام المعادلات بالثلاثة طرق مختلفةستكون الإجابة هي نفسها (إذا كان الحل صحيحًا).

مصادر:

جبر الصف الثامن
حل معادلة ذات مجهولين على الانترنت
أمثلة على حل أنظمة المعادلات الخطية ذات اثنين

نظام المعادلاتعبارة عن مجموعة من السجلات الرياضية، يحتوي كل منها على عدد من المتغيرات. هناك عدة طرق لحلها.

سوف تحتاج

- المسطرة والقلم الرصاص.
-آلة حاسبة.

تعليمات

لنفكر في تسلسل حل النظام الذي يتكون من معادلات خطية لها الشكل: a1x + b1y = c1 وa2x + b2y = c2. حيث x وy متغيران غير معروفين، وb,c مصطلحان حران. عند تطبيق هذه الطريقة، يمثل كل نظام إحداثيات النقاط المقابلة لكل معادلة. للبدء، في كل حالة، عبر عن متغير واحد بدلالة متغير آخر. ثم قم بتعيين المتغير x على أي عدد من القيم. اثنان يكفي. عوّض في المعادلة وابحث عن y. قم ببناء نظام إحداثي، وحدد النقاط الناتجة عليه وارسم خطًا من خلالها. ويجب إجراء حسابات مماثلة لأجزاء أخرى من النظام.

لدى النظام حل فريد إذا تقاطعت الخطوط المبنية ولها نقطة مشتركة واحدة. إنه غير متوافق إذا كان موازيًا لبعضه البعض. ولها عدد لا نهائي من الحلول عندما تندمج الخطوط مع بعضها البعض.

هذه الطريقةتعتبر مرئية للغاية. العيب الرئيسي هو أن المجهولات المحسوبة لها قيم تقريبية. يتم توفير نتائج أكثر دقة من خلال ما يسمى بالطرق الجبرية.

أي حل لنظام المعادلات يستحق التدقيق. للقيام بذلك، استبدل القيم الناتجة بدلا من المتغيرات. يمكنك أيضًا العثور على حل لها باستخدام عدة طرق. إذا كان حل النظام صحيحا، فيجب أن يكون الجميع نفس الشيء.

غالبًا ما تكون هناك معادلات يكون أحد المصطلحات فيها غير معروف. لحل معادلة ما، عليك أن تتذكر وتنفذ مجموعة معينة من الإجراءات باستخدام هذه الأرقام.

سوف تحتاج

- ورق؛
- قلم أو قلم رصاص.

تعليمات

تخيل أن أمامك 8 أرانب، ولديك 5 جزرات فقط. فكر في الأمر، لا تزال بحاجة إلى شراء المزيد من الجزر حتى يحصل كل أرنب على واحدة.

لنعرض هذه المشكلة على شكل معادلة: 5 + x = 8. لنعوض بالرقم 3 بدلاً من x، في الواقع 5 + 3 = 8.

عندما استبدلت رقمًا بـ x، فإنك فعلت نفس الشيء عندما طرحت 5 من 8. لذا، للعثور على مجهولالحد، اطرح الحد المعروف من المجموع.

لنفترض أن لديك 20 أرنبًا و5 جزرات فقط. دعونا نجعل الأمر. المعادلة هي مساواة تنطبق فقط على قيم معينة من الحروف المتضمنة فيها. الحروف التي يجب إيجاد معانيها تسمى . اكتب معادلة بمجهول واحد، سمها x. عند حل مسألة الأرنب نحصل على المعادلة التالية: 5 + x = 20.

دعونا نوجد الفرق بين 20 و 5. عند الطرح، فإن الرقم الذي يطرح منه هو الذي يتم تخفيضه. ويسمى الرقم الذي تم طرحه، والنتيجة النهائية تسمى الفرق. لذا، س = 20 - 5؛ س = 15. أنت بحاجة لشراء 15 جزرة للأرانب.

تحقق: 5 + 15 = 20. تم حل المعادلة بشكل صحيح. وبطبيعة الحال، عندما يتعلق الأمر بمثل هذه الأشياء البسيطة، فإن التحقق ليس ضروريا. ومع ذلك، عندما يكون لديك معادلات مكونة من ثلاثة أرقام وأربعة أرقام وما إلى ذلك، فأنت بالتأكيد بحاجة إلى التحقق للتأكد تمامًا من نتيجة عملك.

فيديو حول الموضوع

نصائح مفيدة

للعثور على الحد الأدنى المجهول، تحتاج إلى إضافة المطروح إلى الفرق.

للعثور على المطروح المجهول، عليك طرح الفرق من المطرح.

نصيحة 4: كيفية حل نظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجهولين

قد لا يكون لنظام من ثلاث معادلات ذات ثلاثة مجاهيل حلول، على الرغم من وجود عدد كاف من المعادلات. يمكنك محاولة حلها باستخدام طريقة الاستبدال أو باستخدام طريقة كرامر. تتيح لك طريقة كريمر، بالإضافة إلى حل النظام، تقييم ما إذا كان النظام قابلاً للحل قبل العثور على قيم المجهولة.

تعليمات

تتكون طريقة الاستبدال من مجهول واحد بالتتابع من خلال اثنين آخرين واستبدال النتيجة الناتجة في معادلات النظام. دعونا نعطي نظامًا من ثلاث معادلات منظر عام:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

عبر عن x من المعادلة الأولى: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - وعوض في المعادلتين الثانية والثالثة، ثم عبر y من المعادلة الثانية وعوض في الثالثة. سوف تحصل على تعبير خطي لـ z من خلال معاملات معادلات النظام. انتقل الآن إلى "الخلف": استبدل z في المعادلة الثانية وابحث عن y، ثم استبدل z وy في المعادلة الأولى وحل من أجل x. تظهر العملية بشكل عام في الشكل قبل العثور على z. مزيد من الكتابة بشكل عام سيكون مرهقًا للغاية؛ من الناحية العملية، من خلال استبدال ، يمكنك بسهولة العثور على المجهولات الثلاثة.

تتكون طريقة كريمر من بناء مصفوفة نظام وحساب محدد هذه المصفوفة، بالإضافة إلى ثلاث مصفوفات مساعدة أخرى. تتكون مصفوفة النظام من معاملات الحدود المجهولة للمعادلات. عمود يحتوي على الأرقام الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلات، وهو عمود يحتوي على الأرقام الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلات. لا يتم استخدامه في النظام، ولكن يتم استخدامه عند حل النظام.

فيديو حول الموضوع

ملحوظة

يجب أن توفر كافة المعادلات في النظام معلومات إضافية مستقلة عن المعادلات الأخرى. خلاف ذلك، سيتم تحديد النظام بشكل ناقص ولن يكون من الممكن إيجاد حل لا لبس فيه.

نصائح مفيدة

بعد حل نظام المعادلات، قم بتعويض القيم الموجودة في النظام الأصلي والتأكد من استيفائها لجميع المعادلات.

بنفسها المعادلةمع ثلاثة مجهوللها العديد من الحلول، لذلك غالبًا ما يتم استكمالها بمعادلتين أو شرطين آخرين. اعتمادًا على البيانات الأولية، سيعتمد مسار القرار إلى حد كبير.

سوف تحتاج

- نظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجهولين.

تعليمات

إذا كان اثنان من الأنظمة الثلاثة يحتويان على اثنين فقط من المجهولات الثلاثة، فحاول التعبير عن بعض المتغيرات بدلالة المتغيرات الأخرى واستبدالها في المعادلةمع ثلاثة مجهول. هدفك في هذه الحالة هو تحويله إلى الوضع الطبيعي المعادلةمع شخص مجهول. إذا كان الأمر كذلك، فإن الحل الإضافي بسيط للغاية - استبدل القيمة التي تم العثور عليها في معادلات أخرى وابحث عن جميع المجهولات الأخرى.

يمكن طرح بعض أنظمة المعادلات من معادلة إلى أخرى. معرفة ما إذا كان من الممكن ضرب أحد المتغيرين أو متغيرين بحيث يتم إلغاء مجهولين في وقت واحد. إذا كانت هناك فرصة كهذه، فاستغلها، وعلى الأرجح لن يكون الحل اللاحق صعبا. تذكر أنه عند الضرب في رقم، يجب عليك ضرب كلا الجانبين الأيسر والأيمن. وبالمثل، عند طرح المعادلات، يجب أن تتذكر أنه يجب أيضًا طرح الطرف الأيمن.

إذا لم تساعد الطرق السابقة، استخدم بشكل عامحلول أي معادلات مع ثلاثة مجهول. للقيام بذلك، أعد كتابة المعادلات في الصورة a11x1+a12x2+a13x3=b1، a21x1+a22x2+a23x3=b2، a31x1+a32x2+a33x3=b3. الآن قم بإنشاء مصفوفة معاملات x (A)، ومصفوفة المجهول (X) ومصفوفة المتغيرات الحرة (B). يرجى ملاحظة أنه بضرب مصفوفة المعاملات في مصفوفة المجهولات، ستحصل على مصفوفة من الحدود الحرة، أي A*X=B.

أوجد المصفوفة A أس (-1) من خلال إيجادها أولاً، لاحظ أنها لا ينبغي أن تساوي الصفر. بعد ذلك، اضرب المصفوفة الناتجة بالمصفوفة B، ونتيجة لذلك ستحصل على المصفوفة المطلوبة X، مع الإشارة إلى جميع القيم.

يمكنك أيضًا إيجاد حل لنظام من ثلاث معادلات باستخدام طريقة كرامر. للقيام بذلك، ابحث عن المحدد الثالث ∆ المطابق لمصفوفة النظام. ثم ابحث على التوالي عن ثلاثة محددات أخرى ∆1 و ∆2 و ∆3، مع استبدال قيم المصطلحات الحرة بدلاً من قيم الأعمدة المقابلة. الآن أوجد x: x1=∆1/∆، x2=∆2/∆، x3=∆3/∆.

مصادر:

حلول المعادلات مع ثلاثة مجهولين

عند البدء في حل نظام من المعادلات، اكتشف نوع المعادلات. تمت دراسة طرق حل المعادلات الخطية جيدًا. في أغلب الأحيان لا يتم حل المعادلات غير الخطية. هناك حالات خاصة واحدة فقط، كل منها فردية عمليا. ولذلك فإن دراسة تقنيات الحل يجب أن تبدأ بالمعادلات الخطية. ويمكن حل مثل هذه المعادلات بطريقة خوارزمية بحتة.

تعليمات

ابدأ عملية التعلم الخاصة بك من خلال تعلم كيفية حل نظام من معادلتين خطيتين بمجهولين X وY عن طريق الحذف. a11*X+a12*Y=b1 (1); أ21*س+أ22*ص=ب2 (2). تتم الإشارة إلى معاملات المعادلات بمؤشرات تشير إلى مواقعها. وهكذا فإن المعامل a21 يؤكد أنه مكتوب في المقام الأول في المعادلة الثانية. في التدوين المقبول عمومًا، تتم كتابة النظام بواسطة معادلات تقع واحدة أسفل الأخرى ويشار إليها معًا بقوس متعرج على اليمين أو اليسار (لمزيد من التفاصيل، انظر الشكل 1 أ).

ترقيم المعادلات تعسفي. اختر أبسطها، مثل الذي يكون فيه أحد المتغيرات مسبوقًا بمعامل 1 أو على الأقل عدد صحيح. إذا كانت هذه هي المعادلة (1)، فعندئذ نعبر، على سبيل المثال، عن المجهول Y بدلالة X (حالة استبعاد Y). للقيام بذلك، قم بتحويل (1) إلى النموذج a12*Y=b1-a11*X (أو a11*X=b1-a12*Y عند استبعاد X))، ثم Y=(b1-a11*X)/a12 . بتعويض الأخير في المعادلة (2) اكتب a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. حل هذه المعادلة لـ X.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) أو X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
باستخدام الاتصال الموجود بين Y وX، ستحصل أخيرًا على المجهول الثاني Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21).

ولو تم تخصيص النظام بمعاملات عددية محددة، لكانت الحسابات أقل تعقيدا. لكن قرار مشتركيجعل من الممكن النظر في حقيقة أن المجهول الذي تم العثور عليه هو نفسه تمامًا. نعم، وتظهر البسطات بعض الأنماط في بنائها. فإذا كان بُعد نظام المعادلات أكبر من اثنين، فإن طريقة الحذف ستؤدي إلى حسابات مرهقة للغاية. ولتجنبها، تم تطوير حلول خوارزمية بحتة. أبسطها هي خوارزمية كرامر (صيغ كرامر). لأنه يجب عليك معرفة ذلك النظام العامالمعادلات من المعادلات ن.

نظام من المعادلات الجبرية الخطية n مع مجهولين له الشكل (انظر الشكل 1 أ). فيه معاملات النظام
xj - مجهولة، ثنائية - مصطلحات حرة (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). يمكن كتابة مثل هذا النظام بشكل مضغوط في شكل مصفوفة AX=B. هنا A هي مصفوفة معاملات النظام، X هي مصفوفة الأعمدة للمجاهول، B هي مصفوفة الأعمدة للمصطلحات الحرة (انظر الشكل 1 ب). وفقا لطريقة كريمر، كل مجهول xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). يُطلق على المحدد ∆ لمصفوفة المعاملات اسم المحدد الرئيسي، و∆i هو المحدد المساعد. لكل مجهول، يتم إيجاد المحدد المساعد عن طريق استبدال العمود i للمحدد الرئيسي بعمود المصطلحات الحرة. يتم عرض طريقة Cramer لحالة أنظمة الدرجة الثانية والثالثة بالتفصيل في الشكل 1. 2.

النظام عبارة عن مزيج من معادلتين أو أكثر، تحتوي كل واحدة منها على مجهولين أو أكثر. هناك طريقتان رئيسيتان لحل أنظمة المعادلات الخطية المستخدمة في المناهج الدراسية. واحد منهم يسمى الطريقة، والآخر - طريقة الجمع.

النموذج القياسي لنظام من معادلتين

في النموذج القياسيالمعادلة الأولى لها الشكل a1*x+b1*y=c1، والمعادلة الثانية لها الشكل a2*x+b2*y=c2 وهكذا. على سبيل المثال، في حالة وجود جزأين من النظام، كلاهما معطى a1، a2، b1، b2، c1، c2 هي بعض المعاملات العددية الممثلة في معادلات محددة. وبدورهما، يمثل x وy المجهولين الذين يجب تحديد قيمهم. القيم المطلوبة تحول كلا المعادلتين في وقت واحد إلى مساواة حقيقية.

حل النظام باستخدام طريقة الجمع

من أجل حل النظام، أي العثور على قيم x و y التي ستحولها إلى مساواة حقيقية، عليك اتخاذ عدة خطوات بسيطة. أولهما هو تحويل أي من المعادلتين بحيث تكون المعاملات العددية للمتغير x أو y في كلتا المعادلتين هي نفسها في الحجم، ولكنها مختلفة في الإشارة.

على سبيل المثال، لنفترض أن هناك نظامًا يتكون من معادلتين. الأول له الصيغة 2x+4y=8، والثاني له الصيغة 6x+2y=6. أحد الخيارات لإكمال المهمة هو ضرب المعادلة الثانية بمعامل -2، مما سيقودها إلى الصيغة -12x-4y=-12. يعد الاختيار الصحيح للمعامل أحد المهام الرئيسية في عملية حل النظام باستخدام طريقة الإضافة، لأنه يحدد المسار الإضافي الكامل لإجراءات البحث عن المجهول.

الآن من الضروري إضافة معادلتي النظام. من الواضح أن التدمير المتبادل للمتغيرات ذات المعاملات المتساوية في القيمة ولكن المعاكسة في الإشارة سيؤدي إلى الشكل -10x=-4. بعد ذلك لا بد من حل هذه المعادلة البسيطة، والتي يترتب عليها بوضوح أن x = 0.4.

الخطوة الأخيرة في عملية الحل هي استبدال القيمة الموجودة لأحد المتغيرات في أي من المعادلات الأصلية المتوفرة في النظام. على سبيل المثال، باستبدال x=0.4 في المعادلة الأولى، يمكنك الحصول على التعبير 2*0.4+4y=8، والذي منه y=1.8. وبالتالي، x=0.4 و y=1.8 هما جذور نظام المثال.

للتأكد من العثور على الجذور بشكل صحيح، من المفيد التحقق عن طريق استبدال القيم التي تم العثور عليها في المعادلة الثانية للنظام. على سبيل المثال، في في هذه الحالةنحصل على المساواة بالشكل 0.4*6+1.8*2=6، وهذا صحيح.

فيديو حول الموضوع

في دورة الرياضيات للصف السابع نواجه لأول مرة المعادلات مع متغيرينولكن يتم دراستها فقط في سياق أنظمة المعادلات ذات المجهولين. ولهذا السبب يغيب عن الأنظار خط كاملالمشاكل التي يتم فيها إدخال شروط معينة على معاملات المعادلة التي تحد منها. بالإضافة إلى ذلك، يتم أيضًا تجاهل طرق حل المشكلات مثل "حل معادلة بأعداد طبيعية أو صحيحة"، على الرغم من أنها مواد امتحان الدولة الموحدةوفي امتحانات القبول، يتم مواجهة مشاكل من هذا النوع بشكل متزايد.

ما المعادلة التي ستسمى معادلة ذات متغيرين؟

لذا، على سبيل المثال، المعادلات 5x + 2y = 10 أو x 2 + y 2 = 20 أو xy = 12 هي معادلات في متغيرين.

خذ بعين الاعتبار المعادلة 2x – y = 1. تصبح صحيحة عندما يكون x = 2 و y = 3، لذا فإن هذا الزوج من القيم المتغيرة هو حل للمعادلة المعنية.

وبالتالي، فإن حل أي معادلة ذات متغيرين هو مجموعة من الأزواج المرتبة (x؛ y)، قيم المتغيرات التي تحول هذه المعادلة إلى مساواة عددية حقيقية.

يمكن للمعادلة ذات المجهولين أن:

أ) لديك حل واحد.على سبيل المثال، المعادلة x 2 + 5y 2 = 0 لها حل فريد (0؛ 0)؛

ب) لديها حلول متعددة.على سبيل المثال، (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 له 4 حلول: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2)؛

الخامس) ليس لديهم حلول.على سبيل المثال، المعادلة x 2 + y 2 + 1 = 0 ليس لها حلول؛

ز) لديها العديد من الحلول لا حصر لها.على سبيل المثال، x + y = 3. حلول هذه المعادلة ستكون أرقام مجموعها يساوي 3. يمكن كتابة مجموعة الحلول لهذه المعادلة في الصورة (k; 3 – k)، حيث k هي أي قيمة حقيقية رقم.

الطرق الرئيسية لحل المعادلات ذات المتغيرين هي طرق تعتمد على تحليل التعبيرات وعزل مربع كامل واستخدام الخصائص معادلة من الدرجة الثانية، حدود التعبيرات، طرق التقييم. عادة ما يتم تحويل المعادلة إلى شكل يمكن من خلاله الحصول على نظام للعثور على المجهول.

التخصيم

مثال 1.

حل المعادلة: xy – 2 = 2x – y.

حل.

نقوم بتجميع المصطلحات لغرض التحليل:

(ص + ص) – (2س + 2) = 0. من كل قوس نخرج عاملاً مشتركًا:

ص(س + 1) – 2(س + 1) = 0;

(س + 1)(ص - 2) = 0. لدينا:

y = 2، x – أي عدد حقيقي أو x = -1، y – أي عدد حقيقي.

هكذا، الجواب هو جميع أزواج النموذج (x; 2)، x € R و (-1؛ y)، y € R.

مساواة الأعداد غير السالبة بالصفر

مثال 2.

حل المعادلة: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

حل.

التجميع:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. الآن يمكن طي كل قوس باستخدام صيغة الفرق التربيعي.

(3س - 2) 2 + (2ص - 3) 2 = 0.

مجموع تعبيرين غير سالبين يكون صفرًا فقط إذا كان 3x – 2 = 0 و2y – 3 = 0.

هذا يعني أن x = 2/3 و y = 3/2.

الجواب: (2/3؛ 3/2).

طريقة التقدير

مثال 3.

حل المعادلة: (س 2 + 2س + 2)(ص 2 – 4ص + 6) = 2.

حل.

في كل قوس نختار مربعًا كاملاً:

((x + 1) 2 + 1)((ص – 2) 2 + 2) = 2. دعونا نقدر معنى العبارات الموجودة بين قوسين.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 و (y – 2) 2 + 2 ≥ 2، فإن الطرف الأيسر من المعادلة يكون دائمًا على الأقل 2. تكون المساواة ممكنة إذا:

(س + 1) 2 + 1 = 1 و (ص – 2) 2 + 2 = 2، مما يعني أن س = -1، ص = 2.

الجواب: (-1؛2).

دعونا نتعرف على طريقة أخرى لحل المعادلات ذات متغيرين من الدرجة الثانية. تتكون هذه الطريقة من معالجة المعادلة على أنها مربع فيما يتعلق ببعض المتغيرات.

مثال 4.

حل المعادلة: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

حل.

دعونا نحل المعادلة كمعادلة تربيعية لـ x. لنجد المميز:

د = 36 – 4(ص – 4√ص + 13) = -4ص + 16√ص – 16 = -4(√ص – 2) 2 . سيكون للمعادلة حل فقط عندما يكون D = 0، أي إذا كانت y = 4. نعوض بقيمة y في المعادلة الأصلية ونجد أن x = 3.

الجواب: (3؛ 4).

غالبًا ما تشير في المعادلات ذات المجهولين القيود على المتغيرات.

مثال 5.

حل المعادلة بالأعداد الصحيحة: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

حل.

لنعيد كتابة المعادلة على الصورة x 2 = -5y 2 + 20x + 2. الطرف الأيمن من المعادلة الناتجة عند القسمة على 5 يعطي الباقي 2. لذلك، x 2 لا يقبل القسمة على 5. لكن مربع a العدد الذي لا يقبل القسمة على 5 يعطي الباقي 1 أو 4. وبالتالي فإن المساواة مستحيلة ولا توجد حلول.

الجواب: لا جذور.

مثال 6.

حل المعادلة: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

حل.

دعونا نسلط الضوء على المربعات الكاملة في كل قوس:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. الطرف الأيسر من المعادلة دائمًا أكبر من أو يساوي 3. المساواة ممكنة بشرط |x| - 2 = 0 و y + 3 = 0. وبالتالي، x = ± 2، y = -3.

الجواب: (2؛ -3) و (-2؛ -3).

مثال 7.

لكل زوج من الأعداد الصحيحة السالبة (x;y) التي تحقق المعادلة
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33، احسب المجموع (x + y). يرجى الإشارة إلى أصغر مبلغ في إجابتك.

حل.

دعونا نختار المربعات الكاملة:

(س 2 – 2 س ص + ص 2) + (ص 2 + 4 ص + 4) = 37؛

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. بما أن x وy عددان صحيحان، فإن مربعاتهما هي أيضًا أعداد صحيحة. نحصل على مجموع مربعي عددين صحيحين يساوي 37 إذا أضفنا 1 + 36. وبالتالي:

(س - ص) 2 = 36 و (ص + 2) 2 = 1

(س - ص) 2 = 1 و (ص + 2) 2 = 36.

وبحل هذه الأنظمة مع مراعاة أن x و y سالبتين نجد الحلول: (-7؛ -1)، (-9؛ -3)، (-7؛ -8)، (-9؛ -8).

الجواب: -17.

لا تيأس إذا كنت تواجه صعوبة في حل المعادلات ذات المجهولين. مع القليل من الممارسة، يمكنك التعامل مع أي معادلة.

لا تزال لديك أسئلة؟ لا تعرف كيفية حل المعادلات في متغيرين؟
للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.
الدرس الأول مجاني!

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

في دورة الرياضيات للصف السابع نواجه لأول مرة المعادلات مع متغيرينولكن يتم دراستها فقط في سياق أنظمة المعادلات ذات المجهولين. وهذا هو السبب في أن سلسلة كاملة من المشاكل التي يتم فيها إدخال شروط معينة على معاملات المعادلة التي تحد منها تختفي عن الأنظار. بالإضافة إلى ذلك، يتم أيضًا تجاهل طرق حل المشكلات مثل "حل معادلة بالأعداد الطبيعية أو الصحيحة"، على الرغم من وجود مشكلات من هذا النوع بشكل متزايد في مواد امتحانات الدولة الموحدة وفي امتحانات القبول.

ما المعادلة التي ستسمى معادلة ذات متغيرين؟

لذا، على سبيل المثال، المعادلات 5x + 2y = 10 أو x 2 + y 2 = 20 أو xy = 12 هي معادلات في متغيرين.

يمكن للمعادلة ذات المجهولين أن:

أ) لديك حل واحد.على سبيل المثال، المعادلة x 2 + 5y 2 = 0 لها حل فريد (0؛ 0)؛

ب) لديها حلول متعددة.على سبيل المثال، (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 له 4 حلول: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2)؛

الخامس) ليس لديهم حلول.على سبيل المثال، المعادلة x 2 + y 2 + 1 = 0 ليس لها حلول؛

الطرق الرئيسية لحل المعادلات ذات المتغيرين هي الطرق التي تعتمد على تحليل التعبيرات، وعزل مربع كامل، واستخدام خصائص المعادلة التربيعية، والتعبيرات المحدودة، وطرق التقدير. عادة ما يتم تحويل المعادلة إلى شكل يمكن من خلاله الحصول على نظام للعثور على المجهول.

التخصيم

مثال 1.

حل المعادلة: xy – 2 = 2x – y.

حل.

نقوم بتجميع المصطلحات لغرض التحليل:

(ص + ص) – (2س + 2) = 0. من كل قوس نخرج عاملاً مشتركًا:

ص(س + 1) – 2(س + 1) = 0;

(س + 1)(ص - 2) = 0. لدينا:

y = 2، x – أي عدد حقيقي أو x = -1، y – أي عدد حقيقي.

هكذا، الجواب هو جميع أزواج النموذج (x; 2)، x € R و (-1؛ y)، y € R.

مساواة الأعداد غير السالبة بالصفر

مثال 2.

حل المعادلة: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

حل.

التجميع:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. الآن يمكن طي كل قوس باستخدام صيغة الفرق التربيعي.

(3س - 2) 2 + (2ص - 3) 2 = 0.

مجموع تعبيرين غير سالبين يكون صفرًا فقط إذا كان 3x – 2 = 0 و2y – 3 = 0.

هذا يعني أن x = 2/3 و y = 3/2.

الجواب: (2/3؛ 3/2).

طريقة التقدير

مثال 3.

حل المعادلة: (س 2 + 2س + 2)(ص 2 – 4ص + 6) = 2.

حل.

في كل قوس نختار مربعًا كاملاً:

((x + 1) 2 + 1)((ص – 2) 2 + 2) = 2. دعونا نقدر معنى العبارات الموجودة بين قوسين.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 و (y – 2) 2 + 2 ≥ 2، فإن الطرف الأيسر من المعادلة يكون دائمًا على الأقل 2. تكون المساواة ممكنة إذا:

(س + 1) 2 + 1 = 1 و (ص – 2) 2 + 2 = 2، مما يعني أن س = -1، ص = 2.

الجواب: (-1؛2).

مثال 4.

حل المعادلة: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

حل.

دعونا نحل المعادلة كمعادلة تربيعية لـ x. لنجد المميز:

الجواب: (3؛ 4).

غالبًا ما تشير في المعادلات ذات المجهولين القيود على المتغيرات.

مثال 5.

حل المعادلة بالأعداد الصحيحة: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

حل.

الجواب: لا جذور.

مثال 6.

حل المعادلة: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

حل.

دعونا نسلط الضوء على المربعات الكاملة في كل قوس:

الجواب: (2؛ -3) و (-2؛ -3).

مثال 7.

حل.

دعونا نختار المربعات الكاملة:

(س 2 – 2 س ص + ص 2) + (ص 2 + 4 ص + 4) = 37؛

(س - ص) 2 = 36 و (ص + 2) 2 = 1

(س - ص) 2 = 1 و (ص + 2) 2 = 36.

وبحل هذه الأنظمة مع مراعاة أن x و y سالبتين نجد الحلول: (-7؛ -1)، (-9؛ -3)، (-7؛ -8)، (-9؛ -8).

الجواب: -17.

لا تيأس إذا كنت تواجه صعوبة في حل المعادلات ذات المجهولين. مع القليل من الممارسة، يمكنك التعامل مع أي معادلة.

لا تزال لديك أسئلة؟ لا تعرف كيفية حل المعادلات في متغيرين؟
للحصول على مساعدة من المعلم -.
الدرس الأول مجاني!

blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.

باستخدام هذا البرنامج الرياضي، يمكنك حل نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين باستخدام طريقة الاستبدال وطريقة الجمع.

البرنامج لا يعطي إجابة المشكلة فحسب، بل يقدم حلاً تفصيلياً مع شرح خطوات الحل بطريقتين: طريقة الاستبدال وطريقة الجمع.

هذا البرنامجقد تكون مفيدة لطلاب المدارس الثانوية المدارس الثانويةاستعدادا ل الاختباراتوالامتحانات، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة، ليتمكن الآباء من التحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك تريد فقط إنجاز الأمر في أسرع وقت ممكن؟ العمل في المنزلفي الرياضيات أو الجبر؟ وفي هذه الحالة، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع الحلول التفصيلية.

بهذه الطريقة، يمكنك إجراء التدريب الخاص بك و/أو تدريب إخوتك أو أخواتك الأصغر سنًا، بينما يرتفع مستوى التعليم في مجال حل المشكلات.

قواعد لإدخال المعادلات

أي حرف لاتيني يمكن أن يكون بمثابة متغير.
على سبيل المثال: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$، إلخ.

عند إدخال المعادلات يمكنك استخدام الأقواس. في هذه الحالة، يتم تبسيط المعادلات أولاً. المعادلات بعد التبسيط يجب أن تكون خطية، أي. من النموذج ax+by+c=0 مع دقة ترتيب العناصر.
على سبيل المثال: 6س+1 = 5(س+ص)+2

في المعادلات، لا يمكنك استخدام الأعداد الصحيحة فحسب، بل يمكنك أيضًا استخدام الكسور في شكل أعداد عشرية وكسور عادية.

قواعد إدخال الكسور العشرية.
الأجزاء الصحيحة والكسرية في الكسور العشريةيمكن فصلها إما بنقطة أو بفاصلة.
على سبيل المثال: 2.1 ن + 3.5 م = 55

قواعد إدخال الكسور العادية.
يمكن للعدد الصحيح فقط أن يكون بمثابة البسط والمقام والجزء الصحيح من الكسر.
لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.
عند إدخال كسر رقمي، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة القسمة: /
يتم فصل الجزء بأكمله عن الكسر بواسطة علامة العطف: &

أمثلة.
-1&2/3ص + 5/3س = 55
2.1ع + 55 = -2/7(3.5ع - 2&1/8q)

حل نظام المعادلات

تم اكتشاف أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المشكلة لم يتم تحميلها، وقد لا يعمل البرنامج.
ربما قمت بتمكين AdBlock.
وفي هذه الحالة، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
لكي يظهر الحل، تحتاج إلى تمكين JavaScript.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الراغبين في حل المشكلة، وقد تم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
في بضع ثوان سوف يظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية...

اذا أنت لاحظت خطأ في الحل، فيمكنك الكتابة عن هذا في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى المهمةعليك أن تقرر ما أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

القليل من النظرية.

حل أنظمة المعادلات الخطية. طريقة الاستبدال

تسلسل الإجراءات عند حل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة الاستبدال:
1) التعبير عن متغير واحد من معادلة النظام بدلالة متغير آخر؛
2) استبدل التعبير الناتج بمعادلة أخرى للنظام بدلاً من هذا المتغير؛

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

لنعبر عن y بدلالة x من المعادلة الأولى: y = 7-3x. باستبدال التعبير 7-3x في المعادلة الثانية بدلاً من y نحصل على النظام:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

من السهل توضيح أن النظامين الأول والثاني لهما نفس الحلول. وفي النظام الثاني تحتوي المعادلة الثانية على متغير واحد فقط. دعونا نحل هذه المعادلة:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

باستبدال الرقم 1 بدلاً من x في المساواة y=7-3x، نجد القيمة المقابلة لـ y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

الزوج (1;4) - حل النظام

تسمى أنظمة المعادلات في متغيرين لهما نفس الحلول مقابل. الأنظمة التي ليس لديها حلول تعتبر أيضًا متكافئة.

حل أنظمة المعادلات الخطية بالجمع

لنفكر في طريقة أخرى لحل أنظمة المعادلات الخطية - طريقة الجمع. عند حل الأنظمة بهذه الطريقة، وكذلك عند الحل بالتعويض، ننتقل من هذا النظام إلى نظام آخر مكافئ، حيث تحتوي إحدى المعادلات على متغير واحد فقط.

تسلسل الإجراءات عند حل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة الجمع:
1) ضرب معادلات حد النظام تلو الآخر، واختيار العوامل بحيث تصبح معاملات أحد المتغيرات أرقامًا متضادة؛
2) أضف الجانبين الأيسر والأيمن من معادلات النظام حدًا تلو الآخر؛
3) حل المعادلة الناتجة بمتغير واحد.
4) أوجد القيمة المقابلة للمتغير الثاني.

مثال. دعونا نحل نظام المعادلات:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

في معادلات هذا النظام، معاملات y هي أرقام متضادة. وبجمع الطرفين الأيمن والأيسر من المعادلات حدًا تلو الآخر، نحصل على معادلة بمتغير واحد 3x=33. لنستبدل إحدى معادلات النظام، مثلاً الأولى، بالمعادلة 3x=33. دعونا الحصول على النظام
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

من المعادلة 3س=33 نجد أن س=11. بتعويض قيمة x هذه في المعادلة $x-3y=38$ نحصل على معادلة بالمتغير y: $11-3y=38$. دعونا نحل هذه المعادلة:
$-3y=27 \Rightarrow y=-9 $

وهكذا وجدنا حل نظام المعادلات بالجمع: $x=11; y=-9$ أو $(11;-9)$

وبالاستفادة من حقيقة أن معاملات y في معادلات النظام هي أرقام متضادة، قمنا باختزال حلها إلى حل نظام مكافئ (عن طريق جمع طرفي كل من معادلات النظام الأصلي)، حيث واحد من المعادلات تحتوي على متغير واحد فقط.

كتب (كتب مدرسية) ملخصات امتحان الدولة الموحدة واختبارات امتحان الدولة الموحدة الألعاب عبر الإنترنت والألغاز رسم الرسوم البيانية للوظائف قاموس إملائي للغة الروسية قاموس الشباب العامية كتالوج المدارس الروسية كتالوج المؤسسات التعليمية الثانوية في روسيا كتالوج الجامعات الروسية قائمة من المهام