تعريف:تسمى المعادلة التي تحتوي على عدة متغيرات مستقلة، ودالة هذه المتغيرات، ومشتقاتها الجزئية بالنسبة لهذه المتغيرات، بالمعادلة التفاضلية الجزئية. متغير الترتيب التفاضلي الخطي
على سبيل المثال، المعادلة
هي معادلة تفاضلية جزئية فيها س، ص، ضهي متغيرات مستقلة، و ج(س،ص،ض)هي الوظيفة المطلوبة. في الوصف الرياضي لمختلف عمليات الطبيعة، يكون من الضروري في كثير من الأحيان التعامل مع المعادلات التفاضلية الجزئية، لأنه في الطبيعة عادة ما يواجه المرء اعتماد المتغيرات على عدة متغيرات مستقلة. على سبيل المثال، عند دراسة توزيع الحرارة في الجسم، يجب أن نأخذ في الاعتبار درجة حرارة الجسم في أي نقطة كدالة للإحداثيات الثلاثة لهذه النقطة في الفضاء، وإذا كانت درجة الحرارة لا تزال تتغير مع مرور الوقت، فمن وظيفة أربعة متغيرات: س، ص، ضو ر. عند دراسة اهتزازات بعض الصفائح المرنة، فإننا نتعامل مع دالة مكونة من ثلاثة متغيرات، حيث أن مقدار إزاحة نقاط اللوحة يعتمد أيضًا على الإحداثيات سو ذالنقاط على اللوحة وفي الوقت المحدد.
بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية، يتم أيضًا تقديم مفهوم ترتيب المعادلة، والذي يتم تحديده حسب أعلى ترتيب للمشتقات الجزئية المدرجة في المعادلة. لذلك، على سبيل المثال، المعادلة
هي معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية.
المعادلات التفاضلية الجزئية لها أيضًا عدد لا نهائي من الحلول. يحتوي الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية على دالة اختيارية ( قرار مشتركتحتوي المعادلة التفاضلية العادية على ثوابت اعتباطية فقط). البيانات الأولية للمشكلة، والتي يمكن من خلالها تحديد حل معين من الحل العام لمعادلة تفاضلية جزئية، تنقسم عادةً إلى ما يسمى بالشروط الأولية، أي الشروط التي تلبيها الوظيفة المطلوبة بداية العملية قيد الدراسة، والشروط الحدية التي تحدد عادة بعض القيم الوظيفة المطلوبة، اعتمادًا على الجسم الذي تتم فيه العملية قيد الدراسة، وعلى موضع هذا الجسم في الفضاء أو على مستوى.
فكر في مشكلة تؤدي إلى معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية.
مشكلة الاهتزازات العرضية الصغيرة الحرة لسلسلة ممتدة.
اسمحوا على طول المحور ثوريتم شد خيط رفيع متجانس (سلسلة) يمكن أن ينحني. الشد الذي يكون عنده الخيط في حالة اتزان ومشدود على طول المحور ثور، تشير ت 0 . إذا أخرجت الخيط من التوازن، فسوف يبدأ في التأرجح. دعونا ندرس طبيعة هذه التذبذبات. سنفترض أن الحركة تحدث في مستوى واحد، وأن نقاط الخيط تتحرك بشكل عمودي على المحور ثور(تسمى هذه التذبذبات عرضية). للدلالة به ش(س،ر)إزاحة نقطة السلسلة مع الإحداثي السيني سفي الموعد ر. تعويض الشكل 1 ش = نانومتر.
سوف نقوم بدراسة الاهتزازات الصغيرة للوتر، أي تلك التي من أجلها شو (ميل المماس للمنحنى عند النقطة M) صغير. خذ بعين الاعتبار جزءًا صغيرًا من السلسلة MM".
بحكم الافتراض بأنه صغير، أي أن شكل الوتر يختلف قليلاً عن الشكل المستقيم، سيكون من الممكن استبدال طول القوس تقريبًا مم"طول القطعة ن"على المحور ثور. النظر في القوى المؤثرة على الموقع مم".
يتم تقليل القوى الداخلية الناشئة عن التشوه المحدد للخيط إلى توتر، لأنه أثناء التشوه يمتد الخيط في بعض المناطق وينقبض في مناطق أخرى.
وفي ضوء الافتراض الذي تم حول صغر التشوهات، نفترض أن الشد عند جميع نقاط الوتر هو نفسه ويساوي ت 0 . توتر ت 0 عند هذه النقطة مموجهة بشكل عرضي إلى المنحنى عند مإلى اليسار، والتوتر ت 0 عند هذه النقطة م"موجهة بشكل عرضي إلى المنحنى في م" إلى اليمين. بما أننا افترضنا أن إزاحة نقاط السلسلة تحدث بشكل عمودي فقط على المحور ثورإذن نحن مهتمون فقط بعمل مكونات التوتر الرأسية. يؤلف مجموع المكونات الرأسية للتوتر في مو م":
يستطيع Sinbاستبدال عبر com.tgb، لأنه صغير بيمكن التخلص منها باعتبارها متناهية الصغر من مرتبة أعلى من الصغر مقارنة بـ com.tgb:
ثم يأخذ مجموع المكونات الرأسية للتوتر الشكل:
بين قوسين معقوفين هو الفرق بين قيم الكمية بالنقاط م" و م; يمكن اعتباره زيادة في القيمة على القسم مم"، والزيادة
يمكن استبدال ما يصل إلى متناهية الصغر من ترتيب أعلى بفارق هذه الكمية:
وهكذا نحصل على التعبير النهائي للقوة المؤثرة على القسم مم":
إن تسارع الحركة عند أي نقطة يساوي المشتقة الثانية للمسافة المقطوعة بالنسبة إلى الزمن، أي يساوي. دعونا نشير إلى الكثافة الخطية للسلسلة كما مع(إنه ثابت حسب حالة المشكلة)، ثم كتلة مقطع السلسلة مم"مساوي ل
والآن سنقوم بتأليف معادلة الحركة حسب قانون نيوتن:
من حيث يدل
هذه معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية تحتاج منها إلى إيجاد دالة لمتغيرين ش(س،ر).
خذ بعين الاعتبار طريقة حل هذه المعادلة التي قدمها عالم الرياضيات الفرنسي دالمبرت في القرن الثامن عشر. سنفترض أن السلسلة تمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين على طول المحور ثور. في هذه الحالة، لا توجد شروط حدودية في المشكلة، والشروط الأولية للمشكلة هي أنه في اللحظة الأولى من الزمن، تكون الإزاحة عند كل نقطة من السلسلة والسرعة معروفة:
نقدم متغيرات مستقلة جديدة ياو حالمرتبطة القديمة سو رالصيغ التالية:
ثم الوظيفة ش(س،ر)يمكن اعتبارها وظيفة معقدة. التبعية سو ريتم تنفيذها من خلال المتغيرات ياو ح. ثم، باستخدام قاعدة التمايز وظيفة معقدةوظائف مشتقة جزئية شيمكن كتابتها على النحو التالي:
وبالمثل نجد مشتقات جزئية من الدرجة الثانية:
نعوض بهذه التعبيرات عن المشتقات في المعادلة (*):
أي أن المشتق يعتمد فقط على يا:
ومن هنا نجد:
(بدلاً من الثابت التعسفي، نضيف دالة عشوائية لـ حوهو ما يجوز على وجه المساواة (٢)). وهكذا من (3) نحصل على:
أين و 1 و و 2 - وظائف تعسفية. هذا هو الحل العام للمعادلة (*).
نستخدم الشروط الأولية (1) لتحديد شكل الوظائف و 1 و و 2 في هذه المهمة؛ للقيام بذلك، نستبدل هذه البيانات الأولية في الحل العام (4) وفي الحل الذي تم الحصول عليه من (4) عن طريق التفاضل فيما يتعلق بـ ر:
وبالتكامل نحصل على:
في. سوف نفترض ذلك ج = 0(وهذا مسموح به، لأنه إذا كان الثابت معكان مختلفا عن 0 ، ثم بدلاً من الوظائف و 1 (خ) و و 2 (خ) النظر في الميزات
الذي الفرق في القيم في س = 0سيكون صفراً). ثم من (6) لدينا
ونضيف إلى هذه المعادلة أول المعادلات (5) ومنها نجد:
باستبدال الوظائف التي تم الحصول عليها في الحل العام (4) نحصل على:
في هذا الحل بالذات، يتم تقديم جميع الوظائف المضمنة في الجانب الأيمن في الشروط الأولية للمسألة.
إذا كانت الشروط الأولية هكذا ج 1 (س)=0، فالحل يأخذ شكلاً أبسط:
تتيح لنا الدراسة التفصيلية للحل الذي تم الحصول عليه معرفة ذلك المعنى الجسديالصيغ وطبيعة انتشار الموجة على طول السلسلة.
مثال 1أوجد شكل السلسلة المعطاة بالمعادلة
في هذه اللحظة إذا
حل. هنا أ=أ, ج(س)=الخطيئة ج 1 (س)=1هي السرعة الأولية لاهتزاز السلسلة. لدينا
أولئك. السلسلة موازية للمحور السيني. ¦
مثال 2أوجد حلاً للمعادلة
حل. هنا أ = 2, ج(س)=0- الموضع الأولي للسلسلة، ج 1 (س)=سهي السرعة الأولية لاهتزاز السلسلة. من هنا
نعطي المزيد من الأمثلة على المعادلات التفاضلية في المشتقات الجزئية. إذا أخذنا في الاعتبار مشكلة الاهتزازات الحرة الصغيرة للغشاء، أي صفيحة رقيقة تكون في حالة توازن تحت تأثير التوتر ت 0 يكمن في الطائرة XOY، ويخرج من التوازن، ويتقلب بحيث الإزاحة يو(س،ص،ر)نقاط (س، ص)تحدث اللوحة بشكل عمودي على المستوى XOYفإن الإزاحة تحقق معادلة تفاضلية مشابهة للمعادلة (*)
عند النظر في التذبذبات الكهرومغناطيسية، نصل إلى معادلة الشكل
المعادلة (8) وحالتها الخاصة (7) و(4) تسمى "المعادلة الموجية". إن دراسة وحل المعادلة الموجية في ظل ظروف أولية وحدودية مختلفة تقابل مشاكل مختلفة، والتي أدى حلها إلى المعادلة الموجية، أمر صعب للغاية. تم إثبات وجود وتفرد حل المعادلة الموجية لبيانات أولية معينة.
المعادلات التفاضلية الجزئية للنموذج
وجدت في دراسة مجموعة واسعة من الظواهر. يجب أن تحقق هذه المعادلة التفاضلية ما يلي: إمكانات قوى الجاذبية عند جميع النقاط في الفضاء التي تقع خارج الكتل الجاذبة؛ قوة التفاعل المحتملة الشحنات الكهربائيةعند جميع النقاط في الفضاء التي تقع خارج الشحنات التي تشكل المجال؛ درجة الحرارة في جسم متجانس، إذا كانت لا تعتمد على الزمن، أي إذا كان انتقال الحرارة ثابتا، الخ. وتسمى هذه المعادلة بمعادلة لابلاس. تسمى حلول هذه المعادلة (التي لها مشتقات مستمرة من الدرجة الثانية) "بالدوال التوافقية". وهي شائعة جدًا في مختلف المسائل البدنية. تمت دراسة خصائص الدوال التوافقية جيدًا. عند حل معادلة لابلاس، لا توجد بطبيعة الحال أي شروط أولية (نظرًا لأن الدالة شلا يعتمد على الوقت)، وتتغير الشروط الحدودية تبعًا للظروف المحددة للمشكلة.
تؤدي دراسة انتشار الحرارة في وسط متجانس إلى المعادلة التفاضلية الجزئية
أين يو(س،ص،ض،ر)درجة الحرارة (التبادل الحراري ليس ثابتا). تسمى المعادلة على الشكل (9) بالمعادلة الحرارية. يتم حلها في ظل الظروف الأولية والحدية، والتي يمكن أن تكون متنوعة للغاية. وفي حالة انتشار الحرارة في جسم ذي أبعاد خطية، تأخذ المعادلة (9) الشكل
يجب حل هذه المعادلة، على سبيل المثال، عند دراسة انتشار الحرارة في قضيب.
توضح القائمة المذكورة أعلاه غير المكتملة للغاية للأنواع الرئيسية للمعادلات التفاضلية الجزئية التي يتم مواجهتها بشكل متكرر في أسئلة الفيزياء الرياضية مدى اتساع وتنوع نطاق الأسئلة التي تتطلب معرفة نظرية المعادلات التفاضلية لدراستها. المعادلات التفاضلية هي ذلك القسم من التحليل الرياضي الذي يرتبط مباشرة بالدراسة الرياضية للظواهر الفيزيائية وبدون معرفتها يستحيل صياغة وحل مشاكل الفيزياء الرياضية.
فيما يلي، سنفترض أن القارئ على دراية بأساسيات نظرية المعادلات التفاضلية العادية، أي المعادلات المتعلقة بوظيفة غير معروفة لمتغير مستقل واحد، ومشتقاته، والمتغير المستقل نفسه. سنقدم فقط المعلومات الأساسية.
تحتوي المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى على عدد لا نهائي من الحلول المحددة بواسطة صيغة تحتوي على ثابت اختياري واحد: . وبالمثل، فإن الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية يحتوي على ثابتين اعتباطيين: يمكن اختيار حل معين عن طريق تحديد الشروط الأولية، والتي عادة ما يكون لها شكل استبدال هذه القيم في المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية الحل العام وفي مشتقته، نحصل على معادلتين لإيجاد الثوابت التعسفية Q و C. إذا كان الجانب الأيمن من المعادلة - الدالة - مستمرًا في حي معين من القيم وله مشتقات جزئية مستمرة هناك، إذن هناك حل خاص فريد يلبي الشروط الأولية المحددة (نظرية الوجود وتفرد الحل).
في ما يلي، سيتم مواجهة المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية بشكل متكرر.
للمعادلة المتجانسة
الحل العام هو مزيج خطي من اثنين من القطاع الخاص
الحلول، ما لم تكن هذه الحلول مستقلة خطيًا (أي حيث k ثابت):
الحل العام للمعادلة غير المتجانسة
هو مجموع أي من حلولها الخاصة والحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة.
سوف يدرس هذا الكتاب المعادلات التفاضلية الجزئية، أي المعادلات التي تحتوي على دالة مجهولة لعدة متغيرات ومشتقاتها الجزئية. عادة يتعين على المرء أن يتعامل مع معادلات دوال ذات متغيرين أو ثلاثة متغيرات مستقلة. فيما يلي أمثلة على هذه المعادلات - المتغيرات المستقلة، u هي دالة غير معروفة):
يحتوي السطر الأول على معادلات تحتوي على مشتقات جزئية من الدرجة الأولى فقط. تسمى هذه المعادلات معادلات الدرجة الأولى. وبناء على ذلك، فإن المعادلات المكتوبة في السطر الثاني هي أمثلة على المعادلات من الدرجة الثانية.
نحن لا نحدد لأنفسنا مهمة الدراسة بشكل عام طرق حل المعادلات التفاضلية الجزئية. سننظر فقط في تلك المعادلات المحددة (وليس كلها) التي تعتبر ضرورية للفيزياء والميكانيكا والتكنولوجيا. هذه المعادلات هي التي تسمى المعادلات التفاضلية للفيزياء الرياضية.
قبل ذلك، وبدون براهين، سوف نتعرف على أبسط خصائص المعادلات التفاضلية الجزئية؛ سنفترض أن الدالة المجهولة i تعتمد على متغيرين x وy.
خذ المعادلة
من الواضح أن الدالة المطلوبة لا تعتمد على المتغير ولكن يمكن أن تكون أي دالة لـ y.
وبالفعل بتفاضل الدالة بالنسبة نحصل على صفر، مما يعني ملاحظة المساواة (1). ولذلك فإن الحل (2) للمعادلة (1) يحتوي على دالة اختيارية واحدة. هذا هو الفرق الأساسي بين حل معادلة ذات مشتقات جزئية من الدرجة الأولى والحل العام لمعادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى، والتي تحتوي فقط على ثابت اعتباطي. وقياسا على ذلك، فإن الحل (2) الذي يحتوي على دالة اختيارية واحدة سيسمى الحل العام للمعادلة (1).
يعتبر أكثر تعقيداالمعادلة
أين هي وظيفة معينة. جميع الدوال التي تحقق المعادلة (3) لها الشكل
حيث يمكن التحقق من وظيفة تعسفية من خلال التمييز بين جانبي المساواة (4) ولكن y. يعتمد الحل الموجود للمعادلة (3) على دالة اعتباطية واحدة، أي أنها عامة.
من السهل التحقق من أن المعادلة لها حل عام، حيث توجد دالة اختيارية قابلة للتفاضل.
ولتحقيق هذه الغاية، نذكر قاعدة التمييز بين دالة معقدة ذات عدة متغيرات (انظر الفقرة 116). إذا، أين هي وظائف المتغيرات إذن
تنطبق صيغ مماثلة أيضًا على المشتقات فيما يتعلق بعدد الوسائط الوسيطة، بالإضافة إلى عدد المتغيرات المستقلة، التي يمكن أن تكون موجودة.
في مثالنا، حيث . لهذا
وبالتعويض بهذه التعبيرات في المعادلة، نحصل على الهوية
وبالمثل، يمكن التحقق من أن المعادلة لها حل عام، وأن المعادلة لها حل عام، حيث تكون دالة تفاضلية اعتباطية.
دعونا الآن نفكر في المعادلات من الدرجة الثانية. يترك
وضعنا ثم المعادلة (5) سوف تأخذ الشكل . الحل العام للمعادلة سيكون دالة عشوائية . بالعودة إلى الدالة، نحصل مرة أخرى على المعادلة من الدرجة الأولى
وبحسب (4) فإن حلها العام هو الدالة
بما أنها دالة عشوائية لـ y، فإن تكاملها هو أيضًا دالة عشوائية، والتي نشير إليها بـ . ونتيجة لذلك، لدينا الحل في الصورة
أين هي وظائف قابلة للتمييز التعسفي. من السهل التحقق من أن الدالة (6) تلبي بالفعل المعادلة (5). 
وحتى الآن، لم نطرح مسألة إيجاد حلول معينة. سيتم توضيح لاحقًا ما هي الشروط الإضافية التي يجب تحديدها بحيث يمكن بمساعدتها تحديد حل معين، أي دالة تلبي كلاً من المعادلة التفاضلية والشروط الإضافية.
اتضح أن المعادلات التفاضلية للفيزياء الرياضية، والتي سنتعامل معها في المستقبل، لديها الكثير من القواسم المشتركة مع بعضها البعض: فهي جميعها من الدرجة الثانية وهي خطية بالنسبة للدالة المجهولة ومشتقاتها الجزئية .
في أغلب الأحيان، تكون جميع المعاملات الموجودة أمام الدالة ومشتقاتها أرقامًا ثابتة. الشكل العام لهذه المعادلات للدالة u بالاعتماد على متغيرين x و y هو كما يلي:
حيث A وB وC وD وE وF هي أرقام ثابتة، والجانب الأيمن هو دالة معينة للمتغيرين x وy.
ونلاحظ أن طبيعة وسلوك حلول هذه المعادلة تعتمد بشكل أساسي على معاملاتها. وسنتحدث عن ذلك في الختام بعد أن نتعرف على أبسط المعادلات من النوع (7) وطرق حلها 1).
خذ بعين الاعتبار دالة لعدة متغيرات مستقلة.
المشتقات الجزئية من الدرجة الأولىيتم حساب قيمة هذه الدالة بالنسبة للمتغير وفقا للقواعد المعتادة وصيغ التمايز، في حين تعتبر جميع المتغيرات، باستثناء ، ثوابت.
تعيين: .
المشتقات الخاصة 2- الترتيبتسمى الوظائف المشتقات الجزئية لمشتقاتها الجزئية من الدرجة الأولى.
تعيين: 
.
مثال.ابحث عن المشتقات الجزئية للطلبين الأول والثاني للدالة 
.
الحل ذمتغير ثابت فنحصل على :
عد سثابت فنحصل على : .
على التوالى: ، ، .
المعادلة التفاضليةتسمى معادلة تتعلق بالمتغيرات المستقلة ووظيفتها ومشتقاتها (أو تفاضلاتها) لهذه الوظيفة. إذا كان هناك متغير مستقل واحد فقط، تسمى المعادلة عادي. إذا كان هناك متغيران مستقلان أو أكثر، تسمى المعادلة المعادلة التفاضلية الجزئية.
يسمى أعلى ترتيب للمشتقة في المعادلة ترتيب المعادلة التفاضلية. على سبيل المثال:
1. 
- معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى؛
2. - معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية؛
3. - معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثالثة؛
4. 
- الشكل العام للمعادلة التفاضلية العادية من الدرجة الثانية؛
5. 
- المعادلة في المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى؛
6. 
هي معادلة في المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية.
من خلال حل المعادلة التفاضليةتسمى الدالة القابلة للتفاضل بحيث أنه عند استبدالها في معادلة فإنها تحولها إلى هوية.
1.1.1.المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية
تؤدي العديد من المشكلات في الميكانيكا والفيزياء إلى دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية.
على سبيل المثال:
1) عند الدراسة أنواع مختلفةالموجات - المرنة والصوتية والكهرومغناطيسية وكذلك الظواهر التذبذبية الأخرى، نأتي إلى المعادلة الموجية:
- معادلة انتشار الموجة في القضيب؛
- معادلة انتشار الموجة في صفيحة مسطحة؛
هي معادلة انتشار الموجة في الفضاء،
أين أهي سرعة انتشار الموجة في الوسط المحدد؛
2) يتم وصف عمليات انتشار الحرارة في جسم متجانس الخواص، وكذلك ظواهر الانتشار، بواسطة معادلة الحرارة:
- معادلة انتشار الحرارة في القضيب؛
- معادلة انتشار الحرارة في صفيحة مسطحة؛
- معادلة توزيع الحرارة في الفضاء،
3) عند النظر في الحالة الحرارية المستقرة في جسم متناحٍ متجانس، نصل إلى معادلة بواسون
.
وفي غياب مصادر الحرارة داخل الجسم تتحول هذه المعادلة إلى معادلة لابلاس
.
تسمى المعادلات المذكورة أعلاه المعادلات الأساسية للفيزياء الرياضية. هُم دراسة تفصيليةيجعل من الممكن بناء نظرية لمجموعة واسعة من الظواهر الفيزيائية وحل عدد من المشاكل الفيزيائية والتقنية.
الدالة التي تحقق أيًا من المعادلات المذكورة أعلاه تسمى حلها.
1.1.2.مفهوم الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية
النظر في المعادلة التفاضلية العادية ن- الترتيب الرابع : 
. تكاملها العام هو مجموعة معينة من الوظائف اعتمادًا على نثوابت اعتباطية ويتم الحصول على أي حل معين منه إذا تم إعطاء قيم معينة للمعلمات.
النظر في حلول بعض المعادلات التفاضلية الجزئية.
مثال 1دع المعادلة تعطى أين .
حل. دعونا نجد تكاملها العام، أي. الدالة التي تحقق هذه المعادلة. أولا نكتب هذه المعادلة على الصورة: . منذ المشتقة بالنسبة للمتغير Xعلى القيمة الموجودة بين قوسين تساوي الصفر، فإن الأخير هو بعض الوظائف التعسفية في: . لهذا
من خلال دمج دالة عشوائية، نحصل على دالة بالإضافة إلى دالة عشوائية. وبالتالي، فإن التكامل العام للمعادلة من الدرجة الثانية يحتوي على وظيفتين عشوائيتين.
مثال 2حل المعادلة حيث .
X:
,
أين هي وظيفة تعسفية.
مثال 3حل المعادلة حيث .
حل. دعونا ندمج طرفي المعادلة فيما يتعلق بـ في:
,
أين هي وظيفة تعسفية.
نحن نتكامل مرة أخرى فيالمساواة الناتجة:
أين هي وظائف تعسفية.
مثال 4حل المعادلة حيث .
حل. دعونا ندمج كلا جزأين المعادلة أولاً فيما يتعلق بـ X، ومن ثم في:
,
أين هي وظائف تعسفية.
تعليق.على عكس الحل العام للمعادلة التفاضلية العادية، الذي يعتمد على ثوابت عشوائية، فإن الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية يعتمد على دوال عشوائية، عددها يساوي ترتيب المعادلة.
في كثير من الأحيان مجرد إشارة المعادلات التفاضليةيجعل الطلاب غير مرتاحين. لماذا يحدث هذا؟ في أغلب الأحيان، لأنه عند دراسة أساسيات المادة، تنشأ فجوة في المعرفة، بحيث تصبح الدراسة الإضافية للفرق مجرد تعذيب. ليس هناك ما يجب فعله، كيف تقرر من أين تبدأ؟
ومع ذلك، سنحاول أن نوضح لك أن الاختلاف ليس بالصعوبة التي يبدو عليها.
المفاهيم الأساسية لنظرية المعادلات التفاضلية
من المدرسة، نعرف أبسط المعادلات التي نحتاج فيها إلى إيجاد المجهول x. في الحقيقة المعادلات التفاضليةيختلف قليلاً عنهم - بدلاً من المتغير X إنهم بحاجة إلى العثور على وظيفة ص (خ) ، والتي سوف تحول المعادلة إلى هوية.
د المعادلات التفاضليةلها أهمية عملية كبيرة. هذه ليست رياضيات مجردة لا علاقة لها بالعالم من حولنا. بمساعدة المعادلات التفاضلية، يتم وصف العديد من العمليات الطبيعية الحقيقية. على سبيل المثال، اهتزازات السلسلة، حركة المذبذب التوافقي، عن طريق المعادلات التفاضلية في مسائل الميكانيكا، تجد سرعة وتسارع الجسم. أيضًا دووتستخدم على نطاق واسع في علم الأحياء والكيمياء والاقتصاد والعديد من العلوم الأخرى.
المعادلة التفاضلية (دو) هي معادلة تحتوي على مشتقات الدالة y(x)، والدالة نفسها، والمتغيرات المستقلة والمعلمات الأخرى في مجموعات مختلفة.
هناك أنواع عديدة من المعادلات التفاضلية: المعادلات التفاضلية العادية، والمعادلات التفاضلية الخطية وغير الخطية، والمتجانسة وغير المتجانسة، والمعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى والأعلى، والمعادلات التفاضلية الجزئية، وما إلى ذلك.
حل المعادلة التفاضلية هو دالة تحولها إلى هوية. هناك حلول عامة وخاصة للتحكم عن بعد.
الحل العام للمعادلة التفاضلية هو مجموعة الحلول العامة التي تحول المعادلة إلى هوية. الحل المعين للمعادلة التفاضلية هو الحل الذي يستوفي الشروط الإضافية المحددة في البداية.
يتم تحديد ترتيب المعادلة التفاضلية حسب أعلى ترتيب للمشتقات المتضمنة فيها.
المعادلات التفاضلية العادية
المعادلات التفاضلية العاديةهي معادلات تحتوي على متغير مستقل واحد.
النظر في أبسط معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى. يبدو مثل:
يمكن حل هذه المعادلة ببساطة عن طريق تكامل جانبها الأيمن.
أمثلة على هذه المعادلات:
المعادلات المتغيرة المنفصلة
في منظر عاميبدو هذا النوع من المعادلات كما يلي:
هنا مثال:
لحل هذه المعادلة، تحتاج إلى فصل المتغيرات، وإحضارها إلى النموذج:
بعد ذلك يبقى دمج كلا الجزأين والحصول على الحل.
المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى
هذه المعادلات تأخذ الشكل:
هنا p(x) وq(x) هما بعض دوال المتغير المستقل، وy=y(x) هي الدالة المطلوبة. فيما يلي مثال على هذه المعادلة:
لحل مثل هذه المعادلة، غالبًا ما يستخدمون طريقة تغيير ثابت تعسفي أو يمثلون الوظيفة المطلوبة كمنتج لوظيفتين أخريين y(x)=u(x)v(x).
لحل مثل هذه المعادلات، هناك حاجة إلى إعداد معين، وسوف يكون من الصعب للغاية أخذها "على نزوة".
مثال على حل DE بمتغيرات منفصلة
لذلك قمنا بدراسة أبسط أنواع أجهزة التحكم عن بعد. الآن دعونا نلقي نظرة على واحد منهم. لتكن معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل.
أولاً، نعيد كتابة المشتقة بشكل مألوف أكثر:
بعد ذلك، سنقوم بفصل المتغيرات، أي أننا في جزء واحد من المعادلة سنجمع كل "الألعاب"، وفي الجزء الآخر - "Xes":
الآن يبقى دمج كلا الجزأين:
نتكامل ونحصل على الحل العام لهذه المعادلة:
بالطبع، حل المعادلات التفاضلية هو نوع من الفن. يجب أن تكون قادرًا على فهم النوع الذي تنتمي إليه المعادلة، وأن تتعلم أيضًا معرفة التحويلات التي تحتاج إلى إجرائها بها من أجل تحويلها إلى شكل أو آخر، ناهيك عن القدرة على التفريق والتكامل. ويتطلب الأمر الممارسة (كما هو الحال مع كل شيء) للنجاح في حل DE. وإذا كان لديك هذه اللحظةليس هناك وقت للتعامل مع كيفية حل المعادلات التفاضلية أو أن مشكلة كوشي قد ظهرت مثل العظمة في الحلق أو أنك لا تعرف، اتصل بمؤلفينا. في وقت قصير، سنقدم لك حلاً جاهزًا ومفصلاً، يمكنك فهم تفاصيله في أي وقت يناسبك. في هذه الأثناء نقترح مشاهدة فيديو حول موضوع "كيفية حل المعادلات التفاضلية":
النظر في معادلة تفاضلية جزئية بسيطة نسبيا:
تصنيف
البعد
يساوي عدد المتغيرات المستقلة. يجب أن يكون على الأقل 2 (عند 1، يتم الحصول على معادلة تفاضلية عادية).
الخطية
هناك معادلات خطية وغير خطية. يمكن تمثيل المعادلة الخطية كمجموعة خطية من مشتقات الدوال غير المعروفة. يمكن أن تكون المعاملات في هذه الحالة إما دوال ثابتة أو معروفة.
المعادلات الخطية مدروسة جيدًا لحلها أنواع معينةلا المعادلات الخطيةتم تخصيص جوائز الألفية.
التوحيد
تكون المعادلة غير متجانسة إذا كان هناك حد لا يعتمد على دوال مجهولة.
طلب
يتم تحديد ترتيب المعادلة من خلال الحد الأقصى لترتيب المشتق. الطلبات في جميع المتغيرات مهمة.
تصنيف المعادلات من الدرجة الثانية
تنقسم المعادلات الخطية من الدرجة الثانية في المشتقات الجزئية إلى مكافئ وإهليلجي وزائدي.
المعادلة الخطية من الدرجة الثانية التي تحتوي على متغيرين مستقلين لها الشكل:
أين أ, ب, ج- المعاملات حسب المتغيرات سو ذ، وعلامة الحذف تعني المصطلحات التي تعتمد على س, ذ, شوالمشتقات الجزئية من الدرجة الأولى : و . هذه المعادلة مشابهة لمعادلة المقطع المخروطي:
كما تنقسم المقاطع المخروطية إلى قطع ناقص، وقطع مكافئة، وقطع زائدة، اعتمادًا على إشارة المميز، يتم تصنيف المعادلات من الدرجة الثانية عند نقطة معينة:
عندما تكون جميع المعاملات أ, ب, ج- الثوابت، المعادلة لها نفس النوع في جميع النقاط في مستوى المتغيرات سو ذ. إذا كانت المعاملات أ, ب, جتعتمد بشكل مستمر على سو ذ، فإن مجموعة النقاط التي تكون عندها المعادلة المعطاة من النوع القطعي (الإهليلجي) تشكل منطقة مفتوحة على المستوى، تسمى القطع الزائد (الإهليلجي)، ويتم إغلاق مجموعة النقاط التي تكون عندها المعادلة من النوع القطعي المكافئ. المعادلة تسمى مختلط (نوع مختلط) إذا كان زائديًا في بعض نقاط المستوى وإهليلجيًا في بعض النقاط. في هذه الحالة، تشكل النقاط المكافئة، كقاعدة عامة، خطًا يسمى اكتب خط التغييرأو خط الانحطاط.
في الحالة العامةعندما تعتمد المعادلة من الدرجة الثانية على العديد من المتغيرات المستقلة:
التحول الخطي غير المنحط
يمكن دائمًا اختزال الصيغة التربيعية إلى الصيغة الأساسية:
علاوة على ذلك، وفقًا لنظرية القصور الذاتي، فإن عدد المعاملات الموجبة والسالبة والصفرية في الصورة القانونية للشكل التربيعي هو عدد ثابت ولا يعتمد على التحول الخطي. وبناء على ذلك يتم تصنيف (عند النقطة) للمعادلة قيد النظر:
في حالة وجود العديد من المتغيرات المستقلة، يمكن إجراء تصنيف أكثر تفصيلاً (لا تنشأ الحاجة إليه في حالة وجود متغيرين مستقلين):
- النوع الزائدي
- النوع الزائدي العادي، إذا كان معامل علامة واحدة، والباقي من الآخر.
- نوع فائق الضغطإذا كانت معاملات كل من الإشارة والأخرى أكثر من واحد.
- نوع مكافئويمكن تصنيفها كذلك إلى:
- نوع مكافئ بيضاوي الشكل، إذا كان معامل واحد فقط يساوي صفرًا، والباقي لهم نفس الإشارة.
- النوع القطعي المكافئ، إذا كان معامل واحد فقط يساوي الصفر، والباقي علامات مختلفة. وكما هو الحال مع النوع الزائدي، يمكن تقسيمه إلى:
- النوع العادي القطعي المكافئ
- النوع الفائق القطع المكافئ
- نوع فوق مكافئإذا كان أكثر من معامل واحد هو صفر. هنا، من الممكن أيضًا إجراء مزيد من التصنيف اعتمادًا على علامات المعاملات غير الصفرية.
وجود الحل وتفرده
على الرغم من أن الإجابة على سؤال وجود وتفرد حل للمعادلة التفاضلية العادية لها إجابة شاملة تمامًا (نظرية بيكارد-ليندلوف)، إلا أنه لا توجد إجابة لا لبس فيها على هذا السؤال لمعادلة تفاضلية جزئية. هناك نظرية عامة (نظرية كوشي-كوفالفسكايا) تنص على أن مسألة كوشي لأي معادلة تفاضلية جزئية تحليلية بالنسبة إلى دوال مجهولة ومشتقاتها لها حل تحليلي فريد. ومع ذلك، هناك أمثلة على المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية التي تحتوي معاملاتها على مشتقات من جميع الرتب وليس لها حل (ليفي (1957)). حتى لو كان الحل موجودًا وفريدًا، فقد يكون له خصائص غير مرغوب فيها.
النظر في سلسلة من مشاكل كوشي (اعتمادا على ن) لمعادلة لابلاس:
أين ن- جميع. مشتق الوظيفة شبواسطة متغير ذيميل بشكل موحد إلى 0 سمع زيادة نولكن حل المعادلة هو
الحل يميل إلى ما لا نهاية إذا nxليس مضاعفًا لأي قيمة غير الصفر ذ. تسمى مشكلة كوشي لمعادلة لابلاس بأنها غير صحيحة أو غير صحيحة، حيث لا يوجد اعتماد مستمر للحل على البيانات الأولية.
| يفتقد هذا القسم مراجع لمصادر المعلومات.
يجب أن تكون المعلومات قابلة للتحقق، وإلا فقد يتم التشكيك فيها وإزالتها. |
الحل القريب للمعادلة التفاضلية الجزئية- مفهوم قدمه V. M. Miklyukov فيما يتعلق بدراسة الحلول ذات التفردات غير القابلة للإزالة.
للحصول على مجموعة مختارة من المقالات المتعلقة بوصف خصائص الحلول القريبة (المبدأ الأقصى، متباينة هارناك، وما إلى ذلك)، راجع http://www.uchimsya.info .
أمثلة
معادلة حرارية أحادية البعد
المعادلة التي تصف انتشار الحرارة في قضيب متجانس لها الشكل
أين ش(ر,س) هي درجة الحرارة، و α هو ثابت موجب يصف معدل انتشار الحرارة. تم طرح مشكلة كوشي بالطريقة الآتية:
أين F(س) هي وظيفة تعسفية.
معادلة الاهتزازات
هنا ش(ر,س) - إزاحة الخيط من موضع التوازن، أو الضغط الزائدالهواء في الأنبوب، أو حجمه حقل كهرومغناطيسيفي الأنابيب و ج- سرعة انتشار الموجة . من أجل صياغة مسألة كوشي في اللحظة الأولى من الزمن، يجب تحديد إزاحة السلسلة وسرعتها في اللحظة الأولى من الزمن:
معادلة لابلاس ثنائية الأبعاد
العلاقة بالوظائف التحليلية
الأجزاء الحقيقية والتخيلية لأي دالة هولومورفية لمتغير معقد هي التوافقي المترافقالدوال: كلاهما يحقق معادلة لابلاس وتدرجاتهما متعامدة. لو F=ش+رابعا، فإن شروط كوشي-ريمان تنص على ما يلي:
بجمع وطرح المعادلات من بعضها البعض نحصل على:
ويمكن أيضًا إثبات أن أي دالة توافقية هي الجزء الحقيقي من بعض الوظائف التحليلية.
مشاكل الحدود
يتم طرح مشاكل الحدود على النحو التالي: العثور على وظيفة شوالتي تحقق معادلة لابلاس في جميع النقاط الداخلية للمنطقة سوعلى حدود المنطقة - إلى حد ما. اعتمادًا على نوع الحالة، يتم تمييز المشكلات الحدودية التالية:
حل معادلات الفيزياء الرياضية
هناك نوعان من طرق الحل من هذا النوعالمعادلات:
- التحليلية، حيث يتم استخلاص النتيجة من خلال التحولات الرياضية المختلفة؛
- رقمية، حيث تتوافق النتيجة التي تم الحصول عليها مع النتيجة الحقيقية بدقة معينة، ولكنها تتطلب الكثير من الحسابات الروتينية وبالتالي لا يمكن إجراؤها إلا بمساعدة تكنولوجيا الكمبيوتر (الكمبيوتر).
الحل التحليلي
معادلة التذبذب
النظر في مشكلة اهتزازات سلسلة من الطول. نفترض أن الدالة تختفي في نهاية السلسلة:
في اللحظة الأولى من الزمن، قمنا بتعيين الشروط الأولية:
دعونا نمثل الحل في النموذج:
بعد التعويض في المعادلة الأصلية للتذبذبات نقسم على حاصل الضرب فنحصل على:
يعتمد الجانب الأيمن من هذه المعادلة على، ويعتمد الجانب الأيسر على، وبالتالي لا يمكن تحقيق هذه المعادلة إلا عندما يكون الطرفان متساويين قيمة ثابتة، والتي نرمز لها ب:
ومن هنا نجد معادلة:
الحلول غير التافهة لهذه المعادلة في ظل ظروف حدود متجانسة تكون ممكنة فقط ويكون لها الشكل:
النظر في المعادلة لإيجاد:
الحل له:
لذلك، كل وظيفة من النموذج
هو حل للمعادلة الموجية.
لتحقيق حل الشروط الأولية نؤلف سلسلة:
استبدال الشروط الأولية يعطي:
تمثل الصيغ الأخيرة توسيع الوظائف إلى سلسلة فورييه على الفاصل الزمني. يتم حساب معاملات التمدد بواسطة الصيغ:
الحل العددي
معادلة الاهتزازات
ويسمى هذا الحل بطريقة التفاضلات المحدودة.من السهل جدًا تنفيذه بمساعدة البرمجة.
تعتمد هذه الطريقة على تعريف مشتق الدالة:
إذا كانت هناك دالة، فإن المشتقة الجزئية ستكون كما يلي:
وبما أننا نستخدم واحدة صغيرة إلى حد ما، فيمكن حذف علامات النهاية. ثم نحصل على التعبيرات التالية:
وللتيسير سنستخدم الترميز التالي:
,ومن ثم يمكن كتابة التعبيرات السابقة على النحو التالي:
تسمى هذه التعبيرات يمينالفوارق. ويمكن أيضًا كتابتها بطريقة أخرى: غادرالفوارق.
وبتلخيص كلا التعبيرين نحصل على ما يلي:
منها ما يلي:
ويسمى كلا التعبيرين التفاضل في النقطة المركزية. إنهم يقتربون من المشتق بدقة أكبر.
وبالمثل يمكننا الحصول على تفاضلات من الدرجة الثانية:
معادلة اهتزاز الأوتار تكتب بالشكل التالي : .
شروط إضافيةوترد في النموذج:،،،،،
أين و هي مواضع نهايات (مثبتات) السلسلة في الوقت المناسب، و و هي الحالة الأولية وسرعة السلسلة التي يمكننا من خلالها الحصول على حالة السلسلة في اللحظة التالية من الزمن باستخدام الصيغة (انظر أويلر طريقة):
