تعليمات

هناك عدة طرق لحل الوظائف الخطية. دعونا نلقي نظرة على معظمهم. الأكثر استخداما طريقة خطوة بخطوةالبدائل. في إحدى المعادلات، من الضروري التعبير عن متغير واحد بدلالة آخر، واستبداله في معادلة أخرى. وهكذا حتى يبقى متغير واحد فقط في إحدى المعادلات. لحلها، تحتاج إلى ترك المتغير على جانب واحد من علامة المساواة (يمكن أن يكون مع معامل)، وعلى الجانب الآخر من علامة المساواة جميع البيانات الرقمية، دون أن ننسى تغيير علامة الرقم إلى والعكس عند النقل. بعد حساب متغير واحد، استبدله بتعبيرات أخرى، واصل الحسابات وفقًا لنفس الخوارزمية.

على سبيل المثال، خذ النظام الخطي المهام، تتكون من معادلتين:
2x+y-7=0;
س-ص-2=0.
من المعادلة الثانية من المناسب التعبير عن x:
س=ص+2.
وكما ترون، عند النقل من جزء من المساواة إلى جزء آخر، تغيرت علامة والمتغيرات، كما هو موضح أعلاه.
نعوض بالتعبير الناتج في المعادلة الأولى، وبالتالي نستبعد المتغير x منها:
2*(ص+2)+ص-7=0.
توسيع الأقواس:
2ص+4+ص-7=0.
نؤلف المتغيرات والأرقام ونضيفها:
3ص-3=0.
ننتقل إلى الجانب الأيمن من المعادلة ونغير الإشارة:
3ص=3.
ونقسم على المعامل الكلي فنحصل على:
ص=1.
استبدل القيمة الناتجة في التعبير الأول:
س=ص+2.
نحصل على س = 3.

هناك طريقة أخرى لحل المعادلتين المتشابهتين، وهي حل معادلتين على حدة للحصول على معادلة جديدة بمتغير واحد. يمكن ضرب المعادلة بمعامل معين، والشيء الرئيسي هو ضرب كل حد من المعادلة وعدم نسيانه، ثم إضافة أو طرح معادلة واحدة منها. توفر هذه الطريقة الكثير عند العثور على خطي المهام.

لنأخذ نظام المعادلات المألوف بالفعل بمتغيرين:
2x+y-7=0;
س-ص-2=0.
من السهل أن نرى أن معامل المتغير y متطابق في المعادلتين الأولى والثانية ويختلف فقط في الإشارة. وهذا يعني أنه عند جمع هاتين المعادلتين حدًا بعد حد، نحصل على معادلة جديدة، ولكن بمتغير واحد.
2x+x+y-y-7-2=0;
3س-9=0.
نقل البيانات الرقمية إلى الجانب الأيمنالمعادلات، أثناء تغيير الإشارة:
3س=9.
إيجاد العامل المشترك يساوي المعاملنقف عند x ونقسم طرفي المعادلة عليها:
س = 3.
يمكن استبدال الناتج الناتج في أي من معادلات النظام لحساب y:
س-ص-2=0;
3-ص-2=0;
-y+1=0;
-y=-1;
ص=1.

يمكنك أيضًا حساب البيانات عن طريق إنشاء رسم بياني دقيق. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على الأصفار المهام. إذا كان أحد المتغيرات يساوي الصفر، تسمى هذه الوظيفة متجانسة. من خلال حل هذه المعادلات، ستحصل على نقطتين ضروريتين وكافية لبناء خط مستقيم - إحداهما تقع على المحور السيني والأخرى على المحور الصادي.

نأخذ أي معادلة للنظام ونستبدل القيمة x \u003d 0 هناك:
2*0+ص-7=0;
نحصل على ص = 7. وبالتالي، فإن النقطة الأولى، لنسميها A، سيكون لها إحداثيات A (0؛ 7).
من أجل حساب نقطة تقع على المحور السيني، من المناسب استبدال القيمة y \u003d 0 في المعادلة الثانية للنظام:
س-0-2=0;
س = 2.
النقطة الثانية (ب) سيكون لها إحداثيات ب (2؛0).
نحدد النقاط التي تم الحصول عليها على شبكة الإحداثيات ونرسم خطًا مستقيمًا من خلالها. إذا قمت بإنشائه بدقة إلى حد ما، فيمكن حساب قيم x و y الأخرى منه مباشرة.

مهام للخصائص والرسوم البيانية وظيفة من الدرجة الثانيةيسبب، كما تبين الممارسة، صعوبات خطيرة. هذا غريب إلى حد ما، لأنه يتم تمرير الدالة التربيعية في الصف الثامن، ثم يتم "تعذيب" الربع الأول بأكمله من الصف التاسع بخصائص القطع المكافئ وتم تصميم الرسوم البيانية الخاصة به لمعلمات مختلفة.

ويرجع ذلك إلى حقيقة أن إجبار الطلاب على بناء القطع المكافئة، فإنهم لا يكرسون وقتًا عمليًا لـ "قراءة" الرسوم البيانية، أي أنهم لا يمارسون فهم المعلومات الواردة من الصورة. على ما يبدو، من المفترض أنه بعد بناء عشرين رسمًا بيانيًا، سيكتشف الطالب الذكي نفسه ويصوغ العلاقة بين المعاملات في الصيغة و مظهرالفنون التصويرية. في الممارسة العملية، هذا لا يعمل. لمثل هذا التعميم، هناك حاجة إلى خبرة جادة في البحث الرياضي المصغر، والتي، بالطبع، معظم طلاب الصف التاسع ليس لديهم. وفي الوقت نفسه، يقترحون في GIA تحديد علامات المعاملات بدقة وفقًا للجدول الزمني.

لن نطلب المستحيل من تلاميذ المدارس ونقدم ببساطة إحدى الخوارزميات لحل مثل هذه المشكلات.

لذلك، وظيفة النموذج ص=ax2+bx+cتسمى المعادلة التربيعية، ورسمها البياني عبارة عن قطع مكافئ. كما يوحي الاسم، المكون الرئيسي هو الفأس 2. إنه ألا ينبغي أن تكون تساوي الصفر، والمعاملات المتبقية ( بو مع) يمكن أن يساوي الصفر.

دعونا نرى كيف تؤثر علامات معاملاتها على مظهر القطع المكافئ.

أبسط الاعتماد على المعامل أ. يجيب معظم تلاميذ المدارس بثقة: "إذا أ> 0، فإن فروع القطع المكافئ موجهة للأعلى، و if أ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой أ > 0.

ص = 0.5x2 - 3x + 1

في هذه القضية أ = 0,5

والآن ل أ < 0:

ص = - 0.5x2 - 3x + 1

في هذه الحالة أ = - 0,5

تأثير المعامل معكما أنها سهلة بما يكفي للمتابعة. تخيل أننا نريد إيجاد قيمة دالة عند نقطة ما X= 0. استبدل الصفر في الصيغة:

ذ = أ 0 2 + ب 0 + ج = ج. لقد أتضح أن ص = ج. إنه معهي إحداثية نقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور y. كقاعدة عامة، من السهل العثور على هذه النقطة على الرسم البياني. وتحديد هل يقع فوق الصفر أم تحته. إنه مع> 0 أو مع < 0.

مع > 0:

ص=س2+4س+3

مع < 0

ص = س 2 + 4س - 3

وبناء على ذلك، إذا مع= 0، فإن القطع المكافئ سيمر بالضرورة عبر نقطة الأصل:

ص=س2+4س

أكثر صعوبة مع المعلمة ب. النقطة التي سنجدها لا تعتمد عليها فقط بولكن أيضا من أ. هذا هو الجزء العلوي من القطع المكافئ. الإحداثي المحوري (إحداثيات المحور X) تم العثور عليها بواسطة الصيغة س في \u003d - ب / (2 أ). هكذا، ب = - 2ax في. أي أننا نتصرف بالطريقة الآتية: على الرسم البياني نجد الجزء العلوي من القطع المكافئ، ونحدد علامة الإحداثي، أي أننا ننظر إلى يمين الصفر ( × في> 0) أو إلى اليسار ( × في < 0) она лежит.

ولكن هذا ليس كل شيء. يجب علينا أيضًا الانتباه إلى إشارة المعامل أ. وهذا هو، لمعرفة أين يتم توجيه فروع القطع المكافئ. وفقط بعد ذلك حسب الصيغة ب = - 2ax فيتحديد علامة ب.

خذ بعين الاعتبار مثالا:

الفروع تشير إلى الأعلى أ> 0، القطع المكافئ يعبر المحور فيتحت الصفر يعني مع < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, × في> 0. إذن ب = - 2ax في = -++ = -. ب < 0. Окончательно имеем: أ > 0, ب < 0, مع < 0.

"النقاط الحرجة للوظيفة" - النقاط الحرجة. من بين النقاط الحرجة هناك نقاط متطرفة. شرط ضروريأقصى. الجواب: 2. التعريف. ولكن، إذا كانت f "(x0) = 0، فليس من الضروري أن تكون النقطة x0 نقطة متطرفة. النقاط القصوى (التكرار). النقاط الحرجة للدالة. النقاط القصوى.

"المستوى الإحداثي للصف السادس" - الرياضيات الصف السادس. 1.X.1. ابحث عن الإحداثيات واكتبها النقاط أ، ب، ج، د: -6. خطة تنسيق. O.-3. 7. دبليو.

"الوظائف ورسومها البيانية" - الاستمرارية. أعظم و أصغر قيمةالمهام. مفهوم الدالة العكسية. خطي. لوغاريتمي. روتيني. إذا ك> 0، ثم زاوية شكلتحاد إذا ك< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

"الوظائف من الدرجة 9" - عمليات حسابية صالحة على الوظائف. [+] - الجمع، [-] - الطرح، [*] - الضرب، [:] - القسمة. في مثل هذه الحالات، يتحدث المرء عن المواصفات الرسومية للوظيفة. تشكيل فئة من الوظائف الأولية. وظيفة الطاقةص=x0.5. Iovlev مكسيم نيكولاييفيتش، طالب في الصف التاسع من مدرسة RIOU Raduzhskaya.

"درس معادلة الظل" - 1. توضيح مفهوم المماس للرسم البياني للدالة. اعتبر لايبنتز مشكلة رسم مماس لمنحنى تعسفي. خوارزمية لتكوين معادلة الدالة المماس للرسم البياني y=f(x). موضوع الدرس: اختبار: إيجاد مشتقة دالة. معادلة الظل. الجريان. الصف 10. فك رموز الطريقة التي أطلق بها إسحاق نيوتن على مشتقة الدالة.

"إنشاء رسم بياني للدالة" - تم إعطاء الدالة y=3cosx. رسم بياني للدالة y=m*sin x. ارسم الرسم البياني للوظيفة. المحتوى: نظرا للدالة: y=sin (x+?/2). تمديد الرسم البياني y=cosx على طول المحور y. للمتابعة اضغط L. زر الفأرة. يتم إعطاء الدالة y=cosx+1. إزاحة الرسم البياني y=sinx عموديًا. يتم إعطاء الدالة y=3sinx. إزاحة الرسم البياني y=cosx أفقيًا.

هناك 25 عرضًا تقديميًا في هذا الموضوع

دعونا ننظر في المشكلة. سائق دراجة نارية يغادر مدينة أ حالياًيقع على بعد 20 كم. على أي مسافة (كم) من (أ) سيكون سائق الدراجة النارية بعد (ت) ساعة إذا تحرك بسرعة 40 كم/ساعة؟

من الواضح أنه في غضون ساعات سيسافر سائق الدراجة النارية مسافة 50 طنًا. وبالتالي، بعد ساعات t سيكون على مسافة (20 + 50t) كم من A، أي. s = 50t + 20، حيث t ≥ 0.

كل قيمة t تقابل معنى واحدس.

الصيغة s = 50t + 20، حيث t ≥ 0، تحدد دالة.

دعونا نفكر في مشكلة أخرى. لإرسال برقية، يتم فرض رسوم قدرها 3 كوبيل لكل كلمة و10 كوبيل إضافية. كم عدد الكوبيكات (u) التي يجب دفعها مقابل إرسال برقية تحتوي على عدد n من الكلمات؟

وبما أن المرسل يجب أن يدفع 3n كوبيل مقابل n من الكلمات، فيمكن العثور على تكلفة إرسال برقية بـ n من الكلمات بالصيغة u = 3n + 10، حيث n هو أي عدد طبيعي.

في كلتا المسألتين، واجهنا وظائف يتم تقديمها بواسطة صيغ بالشكل y \u003d kx + l، حيث k وl عبارة عن بعض الأرقام، وx وy متغيرات.

الدالة التي يمكن أن تعطى بصيغة y = kx + l، حيث k وl عبارة عن بعض الأرقام، تسمى خطية.

بما أن التعبير kx + l منطقي لأي x، فإن مجال الدالة الخطية يمكن أن يكون مجموعة جميع الأرقام أو أي من مجموعاتها الفرعية.

هناك حالة خاصة للدالة الخطية وهي التناسب المباشر الذي تم اعتباره سابقًا. تذكر أنه بالنسبة إلى l \u003d 0 و k ≠ 0، فإن الصيغة y \u003d kx + l تأخذ الشكل y \u003d kx، وهذه الصيغة، كما تعلمون، بالنسبة إلى k ≠ 0، يتم إعطاء التناسب المباشر.

دعونا نحتاج إلى رسم دالة خطية f المعطاة بالصيغة
ص \u003d 0.5x + 2.

لنحصل على عدة قيم مقابلة للمتغير y لبعض قيم x:

دعونا نلاحظ النقاط بالإحداثيات التي تلقيناها: (-6; -1)، (-4; 0)؛ (-2؛ 1)، (0؛ 2)، (2؛ 3)، (4؛ 4)؛ (6؛ 5)، (8؛ 6).

ومن الواضح أن النقاط المبنية تقع على خط مستقيم ما. لا يترتب على ذلك بعد أن الرسم البياني لهذه الوظيفة هو خط مستقيم.

لمعرفة شكل الرسم البياني للدالة المدروسة f، دعنا نقارنه بالرسم البياني للتناسب المباشر x - y المألوف لنا، حيث x \u003d 0.5.

بالنسبة لأي x، تكون قيمة التعبير 0.5x + 2 أكبر من القيمة المقابلة للتعبير 0.5x بمقدار وحدتين. لذلك، فإن إحداثيات كل نقطة من الرسم البياني للدالة f أكبر من الإحداثيات المقابلة لمخطط التناسب المباشر بمقدار وحدتين.

لذلك، يمكن الحصول على الرسم البياني للدالة المدروسة f من الرسم البياني للتناسب المباشر عن طريق الترجمة المتوازية بمقدار وحدتين في اتجاه المحور الصادي.

نظرًا لأن الرسم البياني للتناسب المباشر هو خط مستقيم، فإن الرسم البياني للدالة الخطية المعنية f هو أيضًا خط مستقيم.

بشكل عام، الرسم البياني للدالة المعطاة بصيغة y \u003d kx + l هو خط مستقيم.

نحن نعلم أنه لبناء خط مستقيم، يكفي تحديد موضع نقطتيه.

لنفترض، على سبيل المثال، أنك بحاجة إلى رسم دالة تعطى بواسطة الصيغة
ص \u003d 1.5x - 3.

لنأخذ قيمتين عشوائيتين لـ x، على سبيل المثال، x 1 = 0 و x 2 = 4. احسب القيم المقابلة للدالة y 1 = -3، y 2 = 3، وقم ببناء النقاط A (-3؛ 0) و B (4؛ 3) ورسم خطًا عبر هذه النقاط. هذا الخط المستقيم هو الرسم البياني المطلوب.

إذا لم يتم تمثيل مجال الدالة الخطية من قبل الجميع أرقام mi، فإن الرسم البياني الخاص به سيكون عبارة عن مجموعة فرعية من النقاط على خط مستقيم (على سبيل المثال، شعاع، قطعة، مجموعة من النقاط الفردية).

موقع الرسم البياني للدالة المعطاة بالصيغة y \u003d kx + l يعتمد على قيم l و k. على وجه الخصوص، تعتمد قيمة زاوية ميل الرسم البياني للدالة الخطية على المحور السيني على المعامل k. إذا كان k رقمًا موجبًا، فإن هذه الزاوية حادة؛ إذا كان k رقمًا سالبًا، فإن الزاوية منفرجة. الرقم k يسمى ميل الخط.

الموقع، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة، مطلوب رابط للمصدر.

تعريف الدالة الخطية

دعونا نقدم تعريف الدالة الخطية

تعريف

دالة من النموذج $y=kx+b$، حيث يكون $k$ غير صفر، تسمى دالة خطية.

الرسم البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم. الرقم $k$ يسمى ميل الخط.

بالنسبة إلى $b=0$، تسمى الدالة الخطية دالة التناسب المباشر $y=kx$.

النظر في الشكل 1.

أرز. 1. المعنى الهندسي لمنحدر الخط المستقيم

النظر في المثلث ABC. نرى أن $BC=kx_0+b$. أوجد نقطة تقاطع الخط $y=kx+b$ مع المحور $Ox$:

\ \

إذن $AC=x_0+\frac(b)(k)$. لنجد نسبة هذه الجوانب:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

من ناحية أخرى، $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

وبالتالي يمكن استخلاص الاستنتاج التالي:

خاتمة

المعنى الهندسي للمعامل $k$. ميل الخط المستقيم $k$ يساوي ظل ميل هذا الخط المستقيم إلى المحور $Ox$.

دراسة الدالة الخطية $f\left(x\right)=kx+b$ ورسمها البياني

أولاً، فكر في الدالة $f\left(x\right)=kx+b$، حيث $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. ولذلك، فإن هذه الوظيفة تزيد على نطاق التعريف بأكمله. لا توجد نقاط متطرفة.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. الرسم البياني (الشكل 2).

أرز. 2. الرسوم البيانية للدالة $y=kx+b$، لـ $k > 0$.

الآن فكر في الدالة $f\left(x\right)=kx$، حيث $k

1. النطاق هو كل الأرقام.
2. النطاق هو كل الأرقام.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. الدالة ليست زوجية ولا فردية.
4. بالنسبة إلى $x=0,f\left(0\right)=b$. بالنسبة إلى $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

نقاط التقاطع ذات المحاور الإحداثية: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ و$\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. لذلك، لا تحتوي الدالة على نقاط انعطاف.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. الرسم البياني (الشكل 3).