المهمة 4.

أحد قطري متوازي أضلاع طوله 4√6 يصنع زاوية 60 درجة مع القاعدة ، والقطري الثاني يصنع زاوية 45 درجة مع نفس القاعدة. أوجد القطر الثاني.

المحلول.

1. AO = 2√6.

2. طبق نظرية الجيب على المثلث AOD.

AO / sin D = OD / sin A.

2√6 / sin 45 o = OD / sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3 / 2) / (√2 / 2) = 2√18 / √2 = 6.

الجواب: 12.

المهمة 5.

بالنسبة إلى متوازي أضلاع ضلعين 5√2 و 7√2 ، فإن الزاوية الأصغر بين القطرين تساوي الزاوية الأصغر في متوازي الأضلاع. أوجد مجموع أطوال الأقطار.

المحلول.

لنفترض أن د 1 ، د 2 هما قطري متوازي الأضلاع ، والزاوية بين الأقطار والزاوية الأصغر في متوازي الأضلاع هي φ.

1. دعونا نعد اثنين مختلفين
طرق منطقته.

S ABCD \ u003d AB AD sin A \ u003d 5√2 7√2 sin f ،

S ABCD \ u003d 1/2 AC BD sin AOB \ u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

نحصل على المساواة 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f أو

2 5√2 7√2 = د 1 د 2 ؛

2. باستخدام النسبة بين الأضلاع والأقطار في متوازي الأضلاع ، نكتب المساواة

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = د 1 2 + د 2 2.

د 1 2 + د 2 2 = 296.

3. لنصنع نظامًا:

(د 1 2 + د 2 2 = 296 ،
(د 1 + د 2 = 140.

اضرب المعادلة الثانية للنظام في 2 وأضفها إلى الأولى.

نحصل على (د 1 + د 2) 2 = 576. ومن هنا معرف 1 + د 2 أنا = 24.

بما أن d 1 ، d 2 هي أطوال قطري متوازي الأضلاع ، إذن d 1 + d 2 = 24.

الجواب: 24.

المهمة 6.

ضلعا متوازي الأضلاع هما 4 و 6. الزاوية الحادة بين القطرين 45 o. أوجد مساحة متوازي الأضلاع.

المحلول.

1. من المثلث AOB ، باستخدام نظرية جيب التمام ، نكتب العلاقة بين ضلع متوازي الأضلاع والأقطار.

AB 2 \ u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \ u003d (د 1/2) 2 + (د 2/2) 2-2 (د 1/2) (د 2/2) cos 45 o ؛

د 1 2/4 + د 2 2/4 - 2 (د 1/2) (د 2/2) √2 / 2 = 16.

د 1 2 + د 2 2 - د 1 د 2 √2 = 64.

2. وبالمثل ، نكتب علاقة المثلث AOD.

نحن نأخذ ذلك في الاعتبار<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

نحصل على المعادلة د 1 2 + د 2 2 + د 1 د 2 √2 = 144.

3. لدينا نظام
(د 1 2 + د 2 2 - د 1 د 2 2 = 64 ،
(د 1 2 + د 2 2 + د 1 د 2 2 = 144.

بطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية ، نحصل على 2d 1 d 2 √2 = 80 أو

د 1 د 2 = 80 / (2√2) = 20√2

4. S ABCD \ u003d 1/2 AC BD sin AOB \ u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \ u003d 1/2 20√2 √2 / 2 \ u003d 10.

ملحوظة:في هذه المسألة وفي المسألة السابقة ، ليست هناك حاجة لحل النظام بالكامل ، مع توقع أننا في هذه المسألة نحتاج إلى حاصل ضرب الأقطار لحساب المساحة.

الجواب: 10.

المهمة 7.

مساحة متوازي الأضلاع 96 وضلعه 8 و 15. أوجد مربع القطر الأصغر.

المحلول.

1. S ABCD \ u003d AB AD sin VAD. لنقم بالتعويض في الصيغة.

نحصل على 96 = 8 15 sin VAD. ومن ثم الخطيئة VAD = 4/5.

2. أوجد cos BAD. الخطيئة 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

وفقًا لحالة المسألة ، نحسب طول القطر الأصغر. سيكون القطر BD أصغر إذا كانت الزاوية BAD حادة. ثم cos BAD = 3/5.

3. من المثلث ABD ، باستخدام نظرية جيب التمام ، نجد مربع القطر BD.

2 دينار بحريني \ u003d AB 2 + AD 2-2 AB BD cos BAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 = 145.

الجواب: 145.

هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيف تحل مشكلة الهندسة؟
للحصول على مساعدة مدرس - سجل.
الدرس الأول مجاني!

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية ، أي الاستلقاء على خطوط متوازية

خصائص متوازي الأضلاع:
نظرية 22. أضلاع متوازي أضلاع متساوية.
دليل. ارسم قطري AC في متوازي أضلاع ABCD. المثلثات ACD و ACB متطابقة في وجود جانب مشترك AC وزوجين من الزوايا المتساوية. بجوارها: ∠ CAB = ∠ ACD ، ∠ ASV = ∠ DAC (كزوايا متقاطعة مع خطوط متوازية AD و BC). ومن ثم ، AB = CD و BC = AD كأضلاع متقابلة لمثلثات متساوية ، إلخ. تعني المساواة بين هذه المثلثات أيضًا المساواة في الزوايا المقابلة للمثلثات:
نظرية 23. الزاويتان المتقابلتان في متوازي الأضلاع هما: ∠ A = ∠ C و ∠ B = ∠ D.
تأتي المساواة بين الزوج الأول من المساواة بين المثلثين ABD و CBD ، والثاني - ABC و ACD.
نظرية 24. الزوايا المجاورة لمتوازي الأضلاع ، أي مجموع الزوايا المجاورة لجانب واحد يصل إلى 180 درجة.
هذا لأنها زوايا داخلية من جانب واحد.
نظرية 25. قطري متوازي الأضلاع ينقسمان عند نقطة تقاطعهما.
دليل. ضع في اعتبارك المثلثات BOC و AOD. وفقًا للخاصية الأولى ، AD = BC ∠ ОАD = OSV و ∠ ОDA = ∠ ОВС على أنها تقع مع خطوط متوازية AD و BC. إذن ، المثلثان BOC و AOD متساويان في الضلع والزوايا المجاورة لهما. ومن ثم ، BO = OD و AO = OC ، مثل الأضلاع المقابلة لمثلثات متساوية ، إلخ.

ميزات متوازي الأضلاع
نظرية 26. إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج ، فهذا يعني أنه متوازي أضلاع.
دليل. دع الشكل الرباعي ABCD له جوانب AD و BC و AB و CD على التوالي متساويين (الشكل 2). لنرسم القطر AC. المثلث ABC و ACD لهما ثلاثة أضلاع متساوية. إذن ، الزاويتان BAC و DCA متساويتان ، وبالتالي AB يوازي CD. يتبع التوازي بين الجانبين BC و AD من تساوي الزوايا CAD و DIA.
نظرية 27. إذا كانت الزوايا المتقابلة للشكل الرباعي متساوية في أزواج ، فهذا يعني أنه متوازي أضلاع.
دع ∠ أ = ∠ ج و ∠ ب = ∠ د. ∠ A + ∠ B + ∠ C + D = 360 o ، ثم ∠ A + ∠ B = 180 o والجانبان AD و BC متوازيان (على أساس الخطوط المتوازية). أثبتنا أيضًا التوازي بين الجانبين AB و CD وخلصنا إلى أن ABCD هو متوازي أضلاع بحكم التعريف.
نظرية 28. إذا كانت الزوايا المجاورة للشكل الرباعي ، أي مجموع الزوايا المجاورة لجانب واحد يصل إلى 180 درجة ، إذن فهو متوازي أضلاع.
إذا كان مجموع الزوايا الداخلية أحادية الجانب 180 درجة ، فإن الخطوط تكون متوازية. هذا يعني أن AB هو زوج من الأقراص المضغوطة و BC هو زوج من AD. يتضح أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع بحكم التعريف.
نظرية 29. إذا تم تقسيم أقطار الشكل الرباعي بشكل متبادل عند نقطة التقاطع إلى نصفين ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.
دليل. إذا كانت AO = OC ، BO = OD ، فإن المثلثات AOD و BOC متساوية ، حيث أن زواياها متساوية (رأسية) عند الرأس O ، محصورة بين أزواج من الأضلاع المتساوية. من مساواة المثلثات نستنتج أن AD و BC متساويان. الضلعان AB و CD متساويان أيضًا ، ويتضح أن المربع الرباعي متوازي أضلاع وفقًا للميزة 1.
نظرية 30. إذا كان الشكل الرباعي له زوج من الأضلاع المتساوية والمتوازية ، فهو متوازي أضلاع.
دع الجانبين AB و CD متوازيين ومتساويين في الشكل الرباعي ABCD. ارسم القطرين AC و BD. من التوازي بين هذه الخطوط يتبع المساواة بين الزوايا المتقاطعة ABO = CDO و BAO = OCD. المثلثان ABO و CDO متساويان في الزوايا الجانبية والمجاورة. لذلك ، AO = OC ، BO = OD ، أي تنقسم أقطار نقطة التقاطع إلى نصفين ويتبين أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع وفقًا للميزة 4.

في الهندسة ، يتم النظر في حالات خاصة من متوازي الأضلاع.

تعريف

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية.

نظرية (أول علامة على متوازي الأضلاع)

إذا كان ضلعان في الشكل الرباعي متساويين ومتوازيين ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

دليل

اجعل الجانبين \ (AB \) و \ (CD \) للشكل الرباعي \ (ABCD \) متوازيين و \ (AB = CD \).

ارسم قطريًا \ (AC \) قسّم الشكل الرباعي المحدد إلى مثلثين متساويين: \ (ABC \) و \ (CDA \). هذه المثلثات متساوية في جانبين والزاوية بينهما (\ (AC \) هي الضلع المشترك ، \ (AB = CD \) حسب الحالة ، \ (\ الزاوية 1 = \ الزاوية 2 \) كزاوية الكذب بالعرض عند تقاطع الخطوط المتوازية \ (AB \) و \ (CD \) القاطع \ (AC \)) ، لذلك \ (\ الزاوية 3 = \ الزاوية 4 \). لكن الزوايا \ (3 \) و \ (4 \) تقعان بالعرض عند تقاطع الخطين \ (AD \) و \ (قبل الميلاد \) للقاطع \ (AC \) ، وبالتالي ، \ (AD \ موازية BC \). وبالتالي ، في الشكل الرباعي \ (ABCD \) ، يكون الضلعان المتقابلان متوازيين ، وبالتالي فإن الشكل الرباعي \ (ABCD \) هو متوازي أضلاع.

النظرية (الميزة الثانية لمتوازي الأضلاع)

إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

دليل

ارسم قطريًا \ (AC \) للرباع المعطى \ (ABCD \) قسّمه إلى مثلثات \ (ABC \) و \ (CDA \).

هذه المثلثات متساوية في ثلاثة جوانب (\ (AC \) شائع ، \ (AB = CD \) و \ (BC = DA \) حسب الحالة) ، لذلك \ (\ الزاوية 1 = \ الزاوية 2 \) كاذبة بالعرض في \ (AB \) و \ (CD \) والقاطع \ (AC \). ويترتب على ذلك \ (AB \ القرص المتوازي \). بما أن \ (AB = CD \) و \ (AB \ CD متوازي \) ، إذن وفقًا للمعيار الأول لمتوازي الأضلاع ، يكون الشكل الرباعي \ (ABCD \) متوازي أضلاع.

نظرية (العلامة الثالثة لمتوازي الأضلاع)

إذا تقاطعت الأقطار في الشكل الرباعي وكانت نقطة التقاطع منقسمة ، فإن هذا الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

دليل

ضع في اعتبارك شكل رباعي \ (ABCD \) يتقاطع فيه الأقطار \ (AC \) و \ (BD \) عند النقطة \ (O \) ويقسمان هذه النقطة.

المثلثات \ (AOB \) و \ (COD \) متساوية بالمعيار الأول للمساواة بين المثلثات (\ (AO = OC \) ، \ (BO = OD \) حسب الحالة ، \ (\ زاوية AOB = \ زاوية COD \) كأركان عمودية) ، لذلك \ (AB = CD \) و \ (\ زاوية 1 = \ زاوية 2 \). من مساواة الزوايا \ (1 \) و \ (2 \) (الكذب المتقاطع عند \ (AB \) و \ (CD \) والقاطع \ (AC \)) يتبع ذلك \ (AB \ متوازي قرص مضغوط \).

لذلك ، في الشكل الرباعي \ (ABCD \) ، تكون الأضلاع \ (AB \) و \ (CD \) متساوية ومتوازية ، مما يعني أنه من خلال العلامة الأولى لمتوازي الأضلاع ، فإن الشكل الرباعي \ (ABCD \) هو متوازي الاضلاع.

خصائص متوازي الأضلاع:

1. في متوازي الأضلاع ، الأضلاع المتقابلة متساوية والزوايا المتقابلة متساوية.

2. يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع بواسطة نقطة التقاطع.

خصائص منصف متوازي الأضلاع:

1. منصف متوازي الأضلاع يقطع منه مثلث متساوي الساقين.

2. تتقاطع منصفات الزوايا المتجاورة لمتوازي أضلاع بزاوية قائمة.

3. مقاطع المنصف ذات الزوايا المتقابلة متساوية ومتوازية.

دليل

1) لنكن \ (ABCD \) متوازي أضلاع ، \ (AE \) يكون منصف الزاوية \ (BAD \).

الزوايا \ (1 \) و \ (2 \) متساوية لأنها تقع عبر الخطوط المتوازية \ (AD \) و \ (BC \) والقاطع \ (AE \). الزاويتان \ (1 \) و \ (3 \) متساويتان لأن \ (AE \) منصف. في النهاية \ (\ الزاوية 3 = \ الزاوية 1 = \ الزاوية 2 \)ومن هنا يتبين أن المثلث \ (ABE \) متساوي الساقين.

2) لنفترض أن \ (ABCD \) متوازي أضلاع ، \ (AN \) و \ (BM \) ليكونا نصفي الزوايا \ (BAD \) و \ (ABC \) ، على التوالي.

بما أن مجموع الزوايا أحادية الجانب عند الخطوط المتوازية والقاطع هو \ (180 ^ (\ circ) \) ، إذن \ (\ زاوية داب + \ زاوية أبج = 180 ^ (\ دائرة) \).

بما أن \ (AN \) و \ (BM \) منصفان ، إذن \ (\ الزاوية BAN + \ الزاوية ABM = 0.5 (\ الزاوية DAB + \ الزاوية ABC) = 0.5 \ cdot 180 ^ \ circ = 90 ^ (\ circ) \)، أين \ (\ زاوية AOB = 180 ^ \ دائرة - (\ زاوية BAN + \ زاوية ABM) = 90 ^ \ دائرة \).

3. لنفترض أن \ (AN \) و \ (CM \) هما منصف زوايا متوازي الأضلاع \ (ABCD \).

بما أن الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية \ (\ الزاوية 2 = 0.5 \ cdot \ الزاوية BAD = 0.5 \ cdot \ الزاوية BCD = \ الزاوية 1 \). بالإضافة إلى ذلك ، فإن الزوايا \ (1 \) و \ (3 \) متساوية كما لو كانت عبر خطوط متوازية \ (AD \) و \ (BC \) والقاطع \ (سم \) ، ثم \ (\ زاوية 2 = \ زاوية 3 \) مما يدل على ذلك \ (AN \ متوازي CM \). أيضًا ، \ (AM \ متوازي CN \) ، ثم \ (ANCM \) هو متوازي أضلاع ، وبالتالي \ (AN = CM \).

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية. يوضح الشكل التالي متوازي الأضلاع ABCD. الضلع AB يوازي الضلع CD والجانب BC يوازي الضلع AD.

كما قد تكون خمنت ، متوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب. ضع في اعتبارك الخصائص الأساسية لمتوازي الأضلاع.

خصائص متوازي الأضلاع

1. في متوازي الأضلاع ، الزوايا المتقابلة والأضلاع المتقابلة متساوية. دعنا نثبت هذه الخاصية - ضع في اعتبارك متوازي الأضلاع الموضح في الشكل التالي.

يقسمها قطري BD إلى مثلثين متساويين: ABD و CBD. إنهما متساويان في الضلع BD وزاويتان مجاورتان له ، لأن الزاويتين الواقعتين عند القاطع BD هما الخطان المتوازيان BC و AD و AB و CD على التوالي. لذلك ، AB = CD و
BC = م. ومن مساواة الزوايا 1 ، 2 ، 3 ، 4 تتبع الزاوية أ = الزاوية 1 + الزاوية 3 = الزاوية 2 + الزاوية 4 = الزاوية ج.

2. يتم تقسيم أقطار متوازي الأضلاع بواسطة نقطة التقاطع. اجعل النقطة O هي نقطة تقاطع الأقطار AC و BD من متوازي الأضلاع ABCD.

ثم المثلث AOB والمثلث COD متطابقان من حيث الضلع وزاويتين متجاورتين له. (AB = CD لأنهما جانبان متقابلان من متوازي الأضلاع. والزاوية 1 = الزاوية 2 والزاوية 3 = الزاوية 4 كزاوية متقاطعة عند تقاطع الخطين AB و CD بواسطة القاطعين AC و BD على التوالي.) ويتبع ذلك أن AO = OC و OB = OD ، والتي يجب إثباتها.

جميع الخصائص الرئيسية موضحة في الأشكال الثلاثة التالية.

دليل

لنرسم القطر AC أولًا. يتم الحصول على مثلثين: ABC و ADC.

بما أن ABCD متوازي أضلاع ، فإن ما يلي صحيح:

م || BC \ Rightarrow \ angle 1 = \ angle 2مثل الكذب.

AB || قرص مضغوط \ يمين \ زاوية 3 = \ زاوية 4مثل الكذب.

لذلك ، \ مثلث ABC = \ مثلث ADC (بالميزة الثانية: و AC هو شائع).

وبالتالي ، \ مثلث ABC = \ مثلث ADC ، ثم AB = CD و AD = BC.

ثبت!

2. الزوايا المتقابلة متطابقة.

دليل

حسب الدليل الخصائص 1نحن نعلم ذلك \ الزاوية 1 = \ الزاوية 2 \ الزاوية 3 = \ الزاوية 4. إذن مجموع الزوايا المتقابلة هو: \ الزاوية 1 + \ الزاوية 3 = \ الزاوية 2 + \ الزاوية 4. بالنظر إلى أن \ مثلث ABC = \ مثلث ADC نحصل على \ الزاوية أ = \ الزاوية ج ، \ الزاوية ب = \ الزاوية د.

ثبت!

3. يتم تقسيم الأقطار بواسطة نقطة التقاطع.

دليل

لنرسم قطريًا آخر.

بواسطة الملكية 1نعلم أن الأضلاع المتقابلة متطابقة: AB = CD. مرة أخرى نلاحظ الزوايا المتساوية بالعرض.

وبالتالي ، يمكن ملاحظة أن \ triangle AOB = \ triangle COD بواسطة العلامة الثانية للمساواة بين المثلثات (زاويتان وضلع بينهما). أي BO = OD (المقابل \ الزاوية 2 و \ الزاوية 1) و AO = OC (المقابل \ الزاوية 3 و \ الزاوية 4 على التوالي).

ثبت!

ميزات متوازي الأضلاع

إذا كانت هناك علامة واحدة فقط في مشكلتك ، فإن الشكل هو متوازي أضلاع ويمكنك استخدام جميع خصائص هذا الشكل.

لتحسين الحفظ ، لاحظ أن علامة متوازي الأضلاع ستجيب على السؤال التالي - "كيف تعرف؟". أي كيفية معرفة أن الشكل المعطى متوازي أضلاع.

1. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي ضلعه متساويان ومتوازيان.

AB = قرص مضغوط ؛ AB || CD \ Rightarrow ABCD متوازي أضلاع.

دليل

دعونا نفكر بمزيد من التفصيل. لماذا م || قبل الميلاد؟

\ مثلث ABC = \ مثلث ADC به الملكية 1: AB = CD ، AC شائع و \ الزاوية 1 = \ الزاوية 2 بالعرض مع AB و CD بالتوازي والقطع AC.

لكن إذا كان \ مثلث ABC = \ مثلث ADC ، إذن \ الزاوية 3 = \ الزاوية 4 (يقعان مقابل AB و CD على التوالي). وبالتالي م || BC (\ الزاوية 3 و \ الزاوية 4 - الكذب أيضًا متساويان).

أول علامة صحيحة.

2. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متساوية.

AB = CD، AD = BC \ Rightarrow ABCD متوازي أضلاع.

دليل

دعونا ننظر في هذه الميزة. لنرسم القطر AC مرة أخرى.

بواسطة الملكية 1\ مثلث ABC = \ مثلث ACD.

إنه يتبع هذا: \ الزاوية 1 = \ الزاوية 2 \ Rightarrow AD || قبل الميلادو \ الزاوية 3 = \ الزاوية 4 \ السهم الأيمن AB || قرص مضغوط، وهذا هو ، ABCD هو متوازي الأضلاع.

العلامة الثانية صحيحة.

3. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي زواياه المتقابلة متساوية.

\ الزاوية أ = \ الزاوية ج ، \ الزاوية B = \ الزاوية D \ Rightarrow ABCD- متوازي الاضلاع.

دليل

2 \ ألفا + 2 \ بيتا = 360 ^ (\ دائرة)(لأن ABCD شكل رباعي ، و \ زاوية أ = \ زاوية ج ، \ زاوية ب = \ زاوية د حسب الاصطلاح).

لذلك \ alpha + \ beta = 180 ^ (\ circ). لكن \ alpha و \ beta داخليان من جانب واحد عند القاطع AB.

وحقيقة أن \ alpha + \ beta = 180 ^ (\ circ) تعني أيضًا أن AD || قبل الميلاد.

في نفس الوقت ، \ alpha و \ beta هما داخليان من جانب واحد مع عنصر AD قاطع. وهذا يعني AB || قرص مضغوط.

العلامة الثالثة صحيحة.

4. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي يتم تقسيم أقطاره بواسطة نقطة التقاطع.

AO = OC ؛ BO = OD \ متوازي أضلاع Rightarrow.

دليل

BO = OD ؛ AO = OC ، \ angle 1 = \ angle 2 عموديًا \ Rightarrow \ triangle AOB = \ triangle COD, \ Rightarrow \ angle 3 = \ angle 4و \ Rightarrow AB || قرص مضغوط.

وبالمثل BO = OD ؛ AO = OC ، \ الزاوية 5 = \ الزاوية 6 \ السهم الأيمن \ المثلث AOD = \ مثلث BOC \ السهم الأيمن \ الزاوية 7 = \ الزاوية 8و \ Rightarrow AD || قبل الميلاد.

العلامة الرابعة صحيحة.