دورة الهندسة واسعة وضخمة ومتعددة الأوجه: فهي تشمل العديد مواضيع مختلفةوالقواعد والنظريات والمعرفة المفيدة. يمكن تخيل أن كل شيء في عالمنا يتكون من أبسط ، بل وأكثر تعقيدًا. النقاط والخطوط والطائرات - كل هذا في حياتك. وهي تخضع لقوانين العالم الحالية بشأن العلاقة بين الأشياء في الفضاء. لإثبات ذلك ، يمكن محاولة إثبات التوازي بين الخطوط والطائرات.

الخط المستقيم هو الخط الذي يربط نقطتين على طول أقصر طريق ، دون أن ينتهي ويدوم على كلا الجانبين إلى ما لا نهاية. المستوى هو سطح يتكون أثناء الحركة الحركية لمركبة توليد لخط مستقيم على طول دليل. بمعنى آخر ، إذا كان لأي سطرين نقطة تقاطع في الفضاء ، فيمكنهما أيضًا أن يقعان في نفس المستوى. ومع ذلك ، كيف يمكن التعبير عن البيانات المباشرة إذا لم تكن هذه البيانات كافية لمثل هذا التأكيد؟

الشرط الرئيسي لتوازي الخط المستقيم والمستوى هو عدم وجود نقاط مشتركة بينهما. على عكس الخطوط المستقيمة ، والتي ، في حالة عدم وجود نقاط مشتركة ، قد لا تكون متوازية ، ولكنها متباعدة ، يكون المستوى ثنائي الأبعاد ، مما يستبعد شيئًا مثل الخطوط المستقيمة المتباعدة. اذا كان هذا الشرطلا يتم ملاحظة التوازي - فهذا يعني أن الخط يتقاطع مع المستوى المحدد عند نقطة واحدة أو يقع فيه تمامًا.

ما هو الشرط الأكثر وضوحًا لتوازي الخط المستقيم والمستوى؟ حقيقة أنه في أي نقطة في الفضاء ، ستكون المسافة بين الخط الموازي والمستوى ثابتة. مع وجود حتى أدنى منحدر ، في المليار من الدرجة ، فإن الخط المستقيم سوف يعبر المستوى عاجلاً أم آجلاً بسبب اللانهاية المتبادلة. هذا هو السبب في أن التوازي بين الخط المستقيم والمستوى ممكن فقط إذا تمت مراعاة هذه القاعدة ، وإلا فإن شرطها الرئيسي - عدم وجود نقاط مشتركة - لن يتم ملاحظته.

ما الذي يمكن إضافته بالحديث عن التوازي بين الخطوط والطائرات؟ حقيقة أنه إذا كان أحد الخطوط المتوازية ينتمي إلى المستوى ، فإن الخط الثاني يكون إما موازيًا للمستوى ، أو ينتمي إليه أيضًا. كيف تثبت ذلك؟ تم إثبات التوازي بين الخط والمستوى الذي يحتوي على خط موازٍ لخط معين بكل بساطة. ليس لديهم نقاط مشتركة - لذلك لا تتقاطع. وإذا لم يتقاطع الخط مع المستوى عند نقطة واحدة ، فهو إما موازٍ أو يقع على المستوى. هذا يثبت مرة أخرى التوازي بين الخط المستقيم والمستوى الذي لا يحتوي على نقاط تقاطع.

توجد أيضًا نظرية في الهندسة تنص على أنه إذا كان هناك مستويين وخط مستقيم عمودي على كليهما ، فإن المستويين يكونان متوازيين. تنص نظرية مماثلة على أنه إذا كان الخطان متعامدين مع أي مستوى ، فسيكونان بالضرورة متوازيين مع بعضهما البعض. هل التوازي بين الخطوط والمستويات ، الذي عبرت عنه هذه النظريات ، صحيح ويمكن إثباته؟

اتضح أنه كذلك. سيكون الخط العمودي على المستوى دائمًا متعامدًا تمامًا مع أي خط يقع في المستوى المحدد وله أيضًا نقطة تقاطع مع خط آخر. إذا كان للخط تقاطعات متشابهة مع عدة مستويات وكان عموديًا عليها في جميع الحالات ، فإن كل هذه المستويات تكون موازية لبعضها البعض. مثال جيديمكن أن يخدم هرم الأطفال: سيكون محوره هو الخط العمودي المطلوب ، وستكون حلقات الهرم عبارة عن طائرات.

لذلك ، من السهل جدًا إثبات التوازي بين الخط والمستوى. يتم الحصول على هذه المعرفة من قبل تلاميذ المدارس عند دراسة أساسيات الهندسة ويحدد إلى حد كبير الاستيعاب الإضافي للمادة. إذا كنت تعرف كيفية استخدام المعرفة المكتسبة في بداية التدريب بشكل صحيح ، فسيكون من الممكن العمل بعدد أكبر بكثير من الصيغ وتخطي الروابط المنطقية غير الضرورية بينها. الشيء الرئيسي هو فهم الأساسيات. إذا لم يكن موجودًا ، فيمكن مقارنة دراسة الهندسة بالبناء بدون أساس. هذا هو السبب في أن هذا الموضوع يتطلب اهتمامًا وثيقًا وبحثًا شاملاً.

تعريف الخطوط المتوازية وخصائصها في الفضاء هي نفسها كما في المستوى (انظر البند 11).

في الوقت نفسه ، هناك حالة أخرى لترتيب الخطوط ممكنة في الفضاء - خطوط الانحراف. الخطوط التي لا تتقاطع ولا تقع في نفس المستوى تسمى الخطوط المتقاطعة.

يوضح الشكل 121 تخطيط غرفة المعيشة. ترى أن الخطوط التي ينتمي إليها المقاطع AB و BC منحرفة.

الزاوية بين الخطوط المتقاطعة هي الزاوية بين الخطوط المتقاطعة الموازية لها. لا تعتمد هذه الزاوية على الخطوط المتقاطعة التي يتم أخذها.

يُفترض أن تكون درجة قياس الزاوية بين الخطوط المتوازية صفرًا.

العمود العمودي المشترك لخطين متقاطعين هو مقطع له نهايات على هذين المستقيمين ، وهو عمودي على كل منهما. يمكن إثبات أن خطين متقاطعين لهما خط عمودي مشترك ، بالإضافة إلى خط واحد فقط. إنه عمودي شائع للمستويات المتوازية التي تمر عبر هذه الخطوط.

المسافة بين الخطوط المتقاطعة هي طول عموديها المشترك. إنها تساوي المسافة بين المستويات المتوازية التي تمر عبر هذه الخطوط.

وبالتالي ، لإيجاد المسافة بين المستقيمين المتقاطعين أ وب (الشكل 122) ، من الضروري رسم مستويات متوازية أ وعبر كل من هذه الخطوط. ستكون المسافة بين هذين المستويين هي المسافة بين المستقيمين المتقاطعين أ وب. في الشكل 122 ، هذه المسافة هي ، على سبيل المثال ، المسافة AB.

مثال. الخطان a و b متوازيان ويتقاطع المستقيمان c و d. هل يمكن أن يتقاطع كل من الخطين a مع كلا الخطين

المحلول. يقع الخطان a و b في نفس المستوى ، وبالتالي فإن أي خط يتقاطع مع كل منهما يقع في نفس المستوى. لذلك ، إذا تقاطع كل من الخطين a و b مع كلا المستقيمين c و d ، فإن الخطين سيكونان في نفس المستوى مع الخطين a و b ، وهذا لا يمكن أن يكون ، لأن المستقيمين يتقاطعان.

42. موازاة الخط المستقيم والمستوى.

يسمى الخط والمستوى بالتوازي إذا لم يتقاطعوا ، أي أنهما لا توجد بينهما نقاط مشتركة. إذا كان الخط a موازيًا للمستوى a ، فيكتبون :.

يوضح الشكل 123 خطًا مستقيمًا موازيًا للمستوى أ.

إذا كان الخط الذي لا ينتمي إلى المستوى موازيًا لخط ما في هذا المستوى ، فهو أيضًا موازٍ للمستوى نفسه (علامة على التوازي بين الخط والمستوى).

تسمح هذه النظرية في حالة معينة بإثبات أن الخط والمستوى متوازيان. يوضح الشكل 124 خطًا مستقيمًا ب موازيًا لخط مستقيم أ يقع في المستوى أ ، أي على طول الخط المستقيم ب الموازي للمستوى أ ، أي على طول الخط المستقيم ب الموازي للمستوى أ ، أي

مثال. من خلال القمة زاوية مستقيمةمن مثلث قائم ABC هو مستوى مرسوم بالتوازي مع الوتر على مسافة 10 سم منه. أبعاد الأرجل على هذا المستوى هي 30 و 50 سم. أوجد إسقاط الوتر على نفس المستوى.

المحلول. من المثلثات القائمة BBVC و (الشكل 125) نجد:

من المثلث ABC نجد:

إسقاط الوتر AB على المستوى a هو. بما أن AB يوازي المستوى a ، إذن ،.

43. طائرات موازية.

طائرتان تسمى متوازية. إذا لم يتقاطعوا.

مستويان متوازيان "إذا كان أحدهما موازيًا لخطين متقاطعين في مستوى آخر (علامة على التوازي بين مستويين).

في الشكل 126 ، يكون المستوي a موازيًا للخطين المتقاطعين a و b الموجودين في المستوى ، ثم يكون المستويان متوازيين على طول هذين المستويين.

من خلال نقطة خارج مستوى معين ، يمكن للمرء أن يرسم مستوى موازيًا للمستوى المحدد ، وعلاوة على ذلك ، يمكن رسم مستوى واحد فقط.

إذا تقاطعت طائرتان متوازيتان مع مستوى ثالث ، فإن خطي التقاطع يكونان متوازيين.

يوضح الشكل 127 مستويين متوازيين ، ويتقاطع المستوي y بينهما على طول خطوط مستقيمة a و b. بعد ذلك ، من خلال النظرية 2.7 ، يمكننا التأكيد على أن المستقيمين أ وب متوازيان.

أجزاء الخطوط المتوازية المحاطة بين مستويين متوازيين متساوية.

وفقًا لـ T.2.8 ، فإن المقاطع AB والموضحة في الشكل 128 متساوية ، منذ ذلك الحين

دع هذه الطائرات تتقاطع. ارسم مستوى عموديًا على خط تقاطعهم. يتقاطع مع هذه الطائرات على طول خطين مستقيمين. الزاوية بين هذه الخطوط تسمى الزاوية بين هذين المستويين (الشكل 129). لا تعتمد الزاوية بين المستويات المحددة بهذه الطريقة على اختيار المستوى القاطع.

الخطوط موازية للخط الثالث ، ثم تكون متوازية. 3. قم بإنشاء قسم من ABCDA1B1C1D1 المتوازي بواسطة مستو يمر عبر النقاط A و C و M ، حيث M هي نقطة المنتصف للحافة AlDl.

2. مباشرةأ وب العبور. كيف هو الخطب نسبة إلى المستوى α إذا كان الخط هو ϵ α؟

1) الصلبان 2) موازية 3) تقع في طائرة. 4) الصلبان.

3. تحديد العبارة الصحيحة:

1) العمود العمودي أطول من المائل.

2) إذا كان المائلان غير متساويين ، فإن المائل الأكبر يكون له إسقاط أصغر.

3) يكون الخط عموديًا على مستوى إذا كان متعامدًا على ضلعي مثلث يقعان في هذا المستوى.

4) الزاوية بين الخط الموازي والمستوى تساوي 90 درجة.

4. المسافة بين مستويين متوازيين هي 8 سم ، يقع بينهما جزء من خط مستقيم طوله 17 سم بحيث تنتمي نهاياته للمستويين. ابحث عن إسقاط هذا الجزء على كل مستوى.

1) 15 سم ؛ 2) 9 سم ؛ 3) 25 سم) 4) 12 سم.

5. يتم رسم TE عمودي يساوي 6 dm على مستوى MKRT. احسب المسافة من النقطة E إلى أعلى المعين K ، إذا كان MK = 8 dm ، فإن الزاوية M للمعين تساوي 60º.

1) 10 دسم ؛ 2) 14 دسم ​​؛ 3) 8 دسم ؛ 4) 12 دسم.

6. طول وتر المثلث القائم هو 12 سم ، خارج مستوى المثلث توجد نقطة على بعد 10 سم من كل رأس في المثلث ، أوجد المسافة من النقطة إلى مستوى المثلث.

1) 4 سم ؛ 2) 16 سم ؛ 3) 8 سم ؛ 4) 10 سم.

7. من نقطة معينة ، يتم رسم خط عمودي ومائل إلى مستوى معين ، والزاوية بينهما 60º. أوجد إسقاط المائل على المستوى الآتي إذا كان العمودي ٥ سم.

1) 5√3 سم ؛ 2) 10 سم ؛ 3) 5 سم ؛ 4) 10√3 سم.

8. ابحث عن السطح الجانبي الصحيح الهرم الثلاثي، إذا كان جانب القاعدة 2 سم ، وكل شيء زوايا ثنائية السطوحفي القاعدة 30 درجة.

1) 2 سم 2 ؛ 2) 2√3 سم 2 ؛ 3) √3 سم 2 ؛ 4) 3√2 سم 2.

9. البحث عن مساحة السطح مكعباني شبيه بالمكعبحسب أبعادها الثلاثة ، 3 سم ، 4 سم ، 5 سم.

1) 94 سم 2 ؛ 2) 47 سم 2 ؛ 3) 20 سم 2 ؛ 4) 54 سم 2.

طائرات.

ب) إذا تقاطع أحد الخطين المتوازيين مع مستوى معين ، فإن الخط الآخر يتقاطع أيضًا مع هذا المستوى.

ج) إذا كان خطان موازيان لخط ثالث ، فإنهما يتقاطعان

د) إذا لم يكن للخط والمستوى نقاط مشتركة ، فإن الخط يقع في المستوى

هـ) يسمى الخط والمستوى متقاطعين إذا لم يكن لديهما نقاط مشتركة

المستوى ؛ ب) إذا تقاطع أحد الخطين المتوازيين مع المستوى المحدد ، فإن الخط الآخر يتقاطع أيضًا مع هذا المستوى ؛ ج) إذا كان هناك خطان متوازيان مع الخط الثالث ، فإنهما يتقاطعان ؛ د) إذا كان الخط والمستوى يتقاطعان ليس لديهم نقاط مشتركة ، فإن الخط يكمن في المستويات هـ) يسمى الخط والمستوى بالتقاطع إذا لم يكن لديهم نقاط مشتركة.
2. يتقاطع الخط c ، الموازي للخط a ، مع المستوى. الخط ب موازي للخط أ ، ثم: