أرقام الأعداد الطبيعية. تدوين الأعداد الطبيعية

تعريف

تسمى الأعداد الطبيعية بالأرقام المخصصة لعد الأشياء. لكتابة الأعداد الطبيعية ، يتم استخدام 10 أرقام عربية (0-9) ، وهي أساس المقبول عمومًا للحسابات الرياضية النظام العشريحساب.

تسلسل الأعداد الطبيعية

تشكل الأعداد الطبيعية سلسلة تبدأ من 1 وتغطي مجموعة جميع الأعداد الصحيحة الموجبة. يتكون هذا التسلسل من أرقام 1،2،3 ، .... هذا يعني أنه في السلسلة الطبيعية:

هنالك أصغر عددولا يوجد أعظم.
كل الرقم القادمأكثر من سابقتها بمقدار 1 (الاستثناء هو الوحدة نفسها).
مع انتقال الأرقام إلى ما لا نهاية ، فإنها تنمو إلى أجل غير مسمى.

أحيانًا يتم إدخال الصفر أيضًا في سلسلة من الأعداد الطبيعية ، وهذا مسموح به ، ثم يتحدثون عنه وسعواسلسلة طبيعية.

فئات الأعداد الطبيعية

كل رقم من عدد طبيعي يعبر عن رقم معين. دائمًا ما تكون الأخيرة هي عدد الوحدات في العدد ، والوحدة التي تسبقها هي عدد العشرات ، والثالث من النهاية هو عدد المئات ، والرابع هو عدد الآلاف ، وهكذا.

في العدد 276: 2 مئات ، 7 عشرات ، 6 وحدات
في العدد 1098: ألف ، 9 عشرات ، 8 آحاد ؛ لا يوجد مكان للمئات هنا ، حيث يتم التعبير عنه على أنه صفر.

بالنسبة للأعداد الكبيرة والكبيرة جدًا ، يمكنك رؤية اتجاه ثابت (إذا قمت بفحص الرقم من اليمين إلى اليسار ، أي من آخر رقم إلى الأول):

الأرقام الثلاثة الأخيرة في العدد هي الوحدات والعشرات والمئات ؛
الثلاثة السابقة هي وحدات وعشرات ومئات الآلاف ؛
الثلاثة الموجودة أمامهم (أي الأرقام 7 و 8 و 9 من العدد ، العد من النهاية) هي وحدات وعشرات ومئات الملايين ، إلخ.

أي أننا في كل مرة نتعامل مع ثلاثة أرقام ، أي وحدات وعشرات ومئات من الاسم الأكبر. هذه المجموعات تشكل الطبقات. وإذا كان مع الفصول الثلاثة الأولى في الحياة اليوميةيجب أن تتعامل مع أكثر أو أقل في كثير من الأحيان ، ثم يجب إدراج الآخرين ، لأنه لا يتذكر الجميع أسمائهم عن ظهر قلب.

الفئة الرابعة ، التي تتبع فئة الملايين وتمثل الأعداد من 10 إلى 12 رقمًا ، تسمى مليار (أو مليار) ؛
الصف الخامس - تريليون ؛
الصف السادس - كوادريليون.
الصف السابع - كوينتيليون ؛
الصف الثامن - سكستيليون ؛
الصف التاسع - سبتيليون.

جمع الأعداد الطبيعية

إضافة الأعداد الطبيعية هي عملية حسابية تسمح لك بالحصول على رقم يحتوي على عدد من الوحدات كما هو الحال في الأرقام المضافة معًا.

علامة الجمع هي علامة "+". الأرقام المضافة تسمى المصطلحات ، والنتيجة تسمى المجموع.

يتم إضافة (تلخيص) الأرقام الصغيرة شفويا ، في كتابة مثل هذه الإجراءات مكتوبة في سطر.

عادةً ما تُضاف الأرقام متعددة الأرقام ، والتي يصعب إضافتها في العقل ، في عمود. لهذا ، يتم كتابة الأعداد واحدة تحت الأخرى ، محاذية للرقم الأخير ، أي أنها تكتب رقم الوحدات تحت خانة الوحدات ، وخانة المئات تحت خانة المئات ، وهكذا. بعد ذلك ، تحتاج إلى إضافة الأرقام في أزواج. إذا حدثت إضافة الأرقام مع انتقال إلى عشرة ، فسيتم إصلاح هذه العشرة كوحدة فوق الرقم الموجود على اليسار (أي بعد ذلك) وتضاف مع أرقام هذا الرقم.

إذا لم يكن هناك 2 ، ولكن تمت إضافة المزيد من الأرقام إلى العمود ، فعند تلخيص أرقام الفئة ، قد لا يكون هناك 1 دزينة ، بل عدة أرقام ، زائدة عن الحاجة. في هذه الحالة ، يتم نقل عدد هذه العشرات إلى الرقم التالي.

طرح الأعداد الطبيعية

الطرح هو عملية حسابية ، عكس الجمع ، والذي يتلخص في حقيقة أنه ، بالنظر إلى المقدار وأحد المصطلحات ، تحتاج إلى إيجاد مصطلح آخر - مصطلح غير معروف. الرقم الذي يتم طرحه منه يسمى الحد الأدنى ؛ العدد الذي يتم طرحه هو المطروح. نتيجة الطرح تسمى الفرق. العلامة التي تدل على عملية الطرح هي "-".

في الانتقال إلى الجمع ، يتحول المطروح والفرق إلى شروط ، ويختزل إلى المجموع. عادة ما تتحقق عملية الجمع من صحة عملية الطرح والعكس صحيح.

هنا 74 هو المطروح ، 18 هو المطروح ، 56 هو الفرق.

الشرط الأساسي لطرح الأعداد الطبيعية هو ما يلي: يجب أن يكون الحد الأدنى بالضرورة أكبر من المطروح. فقط في هذه الحالة سيكون الاختلاف الناتج عددًا طبيعيًا. إذا تم تنفيذ إجراء الطرح لسلسلة طبيعية ممتدة ، فمن المسموح أن يكون الحد الأدنى مساويًا للطرح الفرعي. وستكون نتيجة الطرح في هذه الحالة 0.

ملاحظة: إذا كان المطروح يساوي صفرًا ، فإن عملية الطرح لا تغير قيمة المطروح.

الطرح أعداد متعددة الخاناتعادة ما يتم إنتاجه في عمود. اكتب الأرقام بنفس طريقة الجمع. يتم إجراء الطرح للأرقام المقابلة. إذا اتضح أن الحد الأدنى أقل من المطروح الفرعي ، فسيتم أخذ واحد من الرقم السابق (الموجود على اليسار) ، والذي يتحول بشكل طبيعي بعد النقل إلى 10. يتم تلخيص هذا الرقم مع الرقم المخفض رقم معين ثم طرحه. علاوة على ذلك ، عند طرح الرقم التالي ، من الضروري مراعاة أن الرقم المختزل أصبح أقل بمقدار 1.

نتاج الأعداد الطبيعية

حاصل ضرب (أو ضرب) الأعداد الطبيعية هو عملية حسابية ، والتي هي إيجاد مجموع عدد عشوائي من المصطلحات المتطابقة. لتسجيل عملية الضرب ، استخدم علامة "·" (أحيانًا "×" أو "*"). على سبيل المثال: 3 5 = 15.

لا غنى عن عمل الضرب عند الضرورة للإضافة عدد كبير منمصلحات. على سبيل المثال ، إذا كنت بحاجة إلى إضافة الرقم 4 7 مرات ، فإن ضرب 4 في 7 أسهل من القيام بهذه الإضافة: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4.

الأعداد التي يتم ضربها تسمى عوامل ، نتيجة الضرب هي حاصل الضرب. وفقًا لذلك ، يمكن لمصطلح "العمل" ، اعتمادًا على السياق ، التعبير عن كل من عملية الضرب ونتائجها.

يتم ضرب الأرقام متعددة الأرقام في عمود. لهذا الرقم مكتوب بنفس طريقة الجمع والطرح. من المستحسن أن تكتب أولاً (أعلاه) أيًا من الرقمين أطول. في هذه الحالة ، ستكون عملية الضرب أبسط ، وبالتالي أكثر عقلانية.

عند الضرب في عمود ، يتم ضرب أرقام كل رقم من أرقام الرقم الثاني بالتسلسل بأرقام الرقم الأول ، بدءًا من نهايته. بعد العثور على أول عمل من هذا القبيل ، قاموا بتدوين عدد الوحدات ، واحتفظوا بعدد العشرات في الاعتبار. عند ضرب رقم الرقم الثاني في الرقم التالي من الرقم الأول ، تتم إضافة الرقم الذي يتم الاحتفاظ به في الاعتبار إلى المنتج. ومرة أخرى يكتبون عدد وحدات النتيجة التي تم الحصول عليها ، ويتذكرون عدد العشرات. عند الضرب في الرقم الأخير من الرقم الأول ، يتم تدوين الرقم الذي تم الحصول عليه بهذه الطريقة بالكامل.

تتم كتابة نتائج ضرب أرقام الرقم الثاني من الرقم الثاني في الصف الثاني ، وتحويله إلى خلية واحدة إلى اليمين. وهلم جرا. نتيجة لذلك ، سيتم الحصول على "سلم". يجب إضافة جميع صفوف الأرقام الناتجة (وفقًا لقاعدة الجمع في عمود). يجب اعتبار الخلايا الفارغة مليئة بالأصفار. المجموع الناتج هو المنتج النهائي.

ملحوظة

حاصل ضرب أي عدد طبيعي بنسبة 1 (أو 1 برقم) يساوي الرقم نفسه. على سبيل المثال: 376 1 = 376 ؛ 86 1 = 86.
عندما يكون أحد العاملين أو كلاهما مساويًا للصفر ، فإن المنتج يساوي 0. على سبيل المثال: 32 · 0 = 0؛ 0845 = 845 ؛ 0 0 = 0.

تقسيم الأعداد الطبيعية

يُطلق على القسمة عملية حسابية ، وبمساعدتها ، وفقًا لمنتج معروف وأحد العوامل ، يمكن العثور على عامل آخر - غير معروف -. القسمة هي معكوس الضرب وتستخدم للتحقق مما إذا كان الضرب قد تم إجراؤه بشكل صحيح (والعكس صحيح).

الرقم الذي يتم تقسيمه يسمى القسمة ؛ الرقم الذي تقسم عليه هو القاسم ؛ تسمى نتيجة القسمة حاصل القسمة. علامة القسمة هي ":" (أحيانًا ، أقل - "").

هنا 48 هو المقسوم ، و 6 هو المقسوم عليه ، و 8 هو حاصل القسمة.

ليس كل شيء أعداد صحيحةيمكن تقسيمها فيما بينها. في هذه الحالة ، يتم القسمة مع الباقي. وهو يتألف من حقيقة أنه بالنسبة للمقسوم عليه ، يتم تحديد هذا العامل بحيث يكون ناتجه بواسطة المقسوم عليه رقمًا أقرب ما يمكن من حيث القيمة إلى المقسوم ، ولكن أقل منه. يضرب القاسم في هذا العامل ويطرح من المقسوم. سيكون الفرق هو باقي القسمة. يسمى حاصل ضرب المقسوم عليه بعامل حاصل غير مكتمل. انتبه: يجب أن يكون الباقي أقل من المضاعف المحدد! إذا كان الباقي أكبر ، فهذا يعني أنه تم اختيار المضاعف بشكل غير صحيح ، ويجب زيادته.

نختار مضاعفًا لـ 7. In هذه القضيةهذا الرقم هو 5. أوجد حاصل القسمة غير المكتمل: 7 5 = 35. احسب الباقي: 38-35 = 3. منذ 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

يتم تقسيم الأرقام متعددة الأرقام إلى عمود. للقيام بذلك ، تتم كتابة المقسوم والمقسوم عليه جنبًا إلى جنب ، مع الفصل بين القاسم بخط رأسي وأفقي. في المقسوم ، يتم تحديد الرقم الأول أو الأرقام القليلة الأولى (على اليمين) ، والذي يجب أن يكون رقمًا يكفي الحد الأدنى للقسمة على المقسوم عليه (أي يجب أن يكون هذا الرقم أكبر من المقسوم عليه). بالنسبة لهذا الرقم ، يتم تحديد حاصل غير مكتمل ، كما هو موضح في قاعدة القسمة مع الباقي. رقم المضاعف المستخدم لإيجاد حاصل القسمة الجزئي مكتوب تحت المقسوم عليه. حاصل القسمة غير المكتمل مكتوب تحت الرقم الذي تم تقسيمه ، بمحاذاة اليمين. ابحث عن اختلافهم. يتم هدم الرقم التالي من المقسوم بكتابته بجوار هذا الاختلاف. بالنسبة للرقم الناتج ، يتم العثور مرة أخرى على حاصل غير مكتمل عن طريق كتابة رقم العامل المحدد ، بجانب الرقم السابق تحت المقسوم عليه. وهلم جرا. يتم تنفيذ هذه الإجراءات حتى نفاد أرقام الأرباح. بعد ذلك يعتبر التقسيم مكتملاً. إذا تم تقسيم المقسوم والمقسوم عليه بالكامل (بدون الباقي) ، فإن الفرق الأخير سيعطي صفرًا. خلاف ذلك ، سيتم إرجاع الرقم المتبقي.

الأس

الأُس هو عملية حسابية تتكون من ضرب عدد عشوائي من الأرقام المتطابقة. على سبيل المثال: 2 2 2 2.

تتم كتابة هذه التعبيرات على النحو التالي: فأس,

أين أهو رقم مضروب في نفسه xهو عدد هذه العوامل.

الأعداد الطبيعية الأولية والمركبة

يمكن قسمة أي عدد طبيعي ، باستثناء الرقم 1 ، على رقمين على الأقل - واحد ونفسه. بناءً على هذا المعيار ، يتم تقسيم الأعداد الطبيعية إلى أعداد أولية ومركبة.

الأعداد الأولية هي الأعداد التي لا تقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسها. تسمى الأرقام التي تقبل القسمة على أكثر من هذين الرقمين بالأرقام المركبة. الوحدة التي تقبل القسمة على نفسها وحدها ليست أولية ولا مركبة.

الأعداد أولية: 2،3،5،7،11،13،17،19 ، إلخ. أمثلة على الأرقام المركبة: 4 (قابلة للقسمة على 1،2،4) ، 6 (قابلة للقسمة على 1،2،3،6) ، 20 (قابلة للقسمة على 1،2،4،5،10،20).

يمكن أن يتحلل أي رقم مركب إلى عوامل أولية. في هذه الحالة ، تُفهم العوامل الأولية على أنها قواسمها ، وهي الأعداد الأولية.

مثال على التحليل إلى العوامل الأولية:

قواسم الأعداد الطبيعية

القاسم هو رقم يمكن من خلاله قسمة رقم معين بدون باقي.

وفقًا لهذا التعريف ، تحتوي الأعداد الطبيعية البسيطة على مقسومتين ، بينما تحتوي الأرقام المركبة على أكثر من مقسومين.

العديد من الأرقام لها قواسم مشتركة. القاسم المشترك هو الرقم الذي يمكن من خلاله القسمة على الأرقام المعطاة بدون باقي.

العددان 12 و 15 لهما قاسم مشترك 3
العددان 20 و 30 لهما قواسم مشتركة 2.5 و 10

يعتبر القاسم المشترك الأكبر (GCD) ذا أهمية خاصة. هذا الرقم ، على وجه الخصوص ، مفيد لتكون قادرًا على إيجاد الكسور المختزلة. للعثور عليه ، يلزم تحليل الأرقام المعطاة إلى عوامل أولية وتقديمها على أنها ناتج عواملها الأولية المشتركة ، المأخوذة في أصغر قوىها.

مطلوب إيجاد GCD للأرقام 36 و 48.

قسمة الأعداد الطبيعية

ليس من الممكن دائمًا تحديد "بالعين" ما إذا كان أحد الأرقام قابلاً للقسمة على رقم آخر بدون باقي. في مثل هذه الحالات ، يكون اختبار القسمة المقابل مفيدًا ، أي القاعدة التي يمكنك من خلالها تحديد ما إذا كان من الممكن قسمة الأرقام دون الباقي في غضون ثوانٍ. تُستخدم العلامة "" للإشارة إلى القابلية للقسمة.

أقل مضاعف مشترك

هذه القيمة (المشار إليها بـ LCM) هي أصغر رقم يقبل القسمة على كل من الأرقام المعطاة. يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لمجموعة عشوائية من الأعداد الطبيعية.

LCM ، مثل GCD ، له معنى تطبيقي كبير. إذن ، المضاعف المشترك الأصغر (LCM) هو الذي يجب إيجاده باختزال الكسور العادية إلى مقام مشترك.

يتم تحديد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأرقام المعطاة إلى عوامل أولية. لتشكيله ، يتم أخذ منتج ، يتكون من كل من العوامل الأولية التي تحدث (على الأقل لعدد واحد) ممثلة إلى أقصى درجة.

مطلوب إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 14 و 24.

متوسط

المتوسط الحسابي لعدد عشوائي (ولكن محدود) من الأعداد الطبيعية هو مجموع كل هذه الأرقام مقسومًا على عدد المصطلحات:

المتوسط الحسابي هو قيمة متوسطة لمجموعة أرقام.

الأرقام 2،84،53،176،17،28 معطاة. مطلوب للعثور على الوسط الحسابي الخاص بهم.

نشأت الرياضيات من الفلسفة العامة حوالي القرن السادس قبل الميلاد. هـ ، ومنذ تلك اللحظة بدأت مسيرتها المنتصرة حول العالم. قدمت كل مرحلة من مراحل التطور شيئًا جديدًا - تطور العد الأولي ، وتحول إلى حساب التفاضل والتكامل التفاضلي ، وتغيرت القرون ، وأصبحت الصيغ مربكة أكثر فأكثر ، وجاءت اللحظة التي "بدأت فيها الرياضيات الأكثر تعقيدًا - اختفت جميع الأرقام منها." لكن ما هو الأساس؟

بداية الوقت

ظهرت الأعداد الطبيعية مع العمليات الحسابية الأولى. مرة واحدة في العمود الفقري ، واثنين من العمود الفقري ، وثلاثة أشواك ... ظهروا بفضل العلماء الهنود الذين استنتجوا الموضع الأول

تعني كلمة "الموضع" أن موقع كل رقم في رقم محدد بدقة ويتوافق مع فئته. على سبيل المثال ، الأرقام 784 و 487 هي نفس الأرقام ، لكن الأرقام ليست متكافئة ، لأن الأول يشمل 7 مئات ، في حين أن الرقم الثاني فقط 4. التقط العرب ابتكار الهنود ، الذين جلبوا الأرقام إلى الشكل الذي نعرفه الآن.

في العصور القديمة ، أعطيت الأرقام معنى صوفيًا ، اعتقد فيثاغورس أن الرقم يكمن وراء خلق العالم إلى جانب العناصر الرئيسية - النار والماء والأرض والهواء. إذا أخذنا في الاعتبار كل شيء من الناحية الرياضية فقط ، فما هو العدد الطبيعي؟ يُشار إلى مجال الأعداد الطبيعية بالرمز N وهو عبارة عن سلسلة لا نهائية من الأعداد الصحيحة والموجبة: 1 ، 2 ، 3 ، ... + ∞. الصفر مستبعد. يتم استخدامه بشكل أساسي لعد العناصر والإشارة إلى الطلب.

ما هو في الرياضيات؟ بديهيات بينو

الحقل N هو الحقل الأساسي الذي تعتمد عليه الرياضيات الابتدائية. مع مرور الوقت ، حقول الأعداد الصحيحة ، عقلانية ،

أتاح عمل عالم الرياضيات الإيطالي جوزيبي بينو مزيدًا من الهيكلة الحسابية ، وحقق شكليته ومهد الطريق لمزيد من الاستنتاجات التي تجاوزت المجال N.

تم توضيح ما هو الرقم الطبيعي مسبقًا بلغة بسيطة ، أدناه سننظر في تعريف رياضي يعتمد على بديهيات بينو.

واحد يعتبر عددًا طبيعيًا.
الرقم الذي يلي رقم طبيعي هو رقم طبيعي.
لا يوجد رقم طبيعي قبل واحد.
إذا كان الرقم ب يتبع كلاً من الرقم ج والرقم د ، فإن ج = د.
بديهية الاستقراء ، والتي تُظهر بدورها ما هو الرقم الطبيعي: إذا كانت بعض العبارات التي تعتمد على معلمة صحيحة بالنسبة للرقم 1 ، فإننا نفترض أنها تعمل أيضًا مع الرقم n من مجال الأعداد الطبيعية N. العبارة صحيحة أيضًا لـ n = 1 من مجال الأعداد الطبيعية N.

العمليات الأساسية لمجال الأعداد الطبيعية

نظرًا لأن الحقل N أصبح الأول للحسابات الرياضية ، فإن كل من مجالات التعريف ونطاقات قيم عدد من العمليات أدناه تشير إليه. هم مغلقون وليسوا. الفرق الرئيسي هو أن العمليات المغلقة مضمونة لترك نتيجة داخل المجموعة N ، بغض النظر عن الأرقام المعنية. يكفي أنها طبيعية. لم تعد نتيجة التفاعلات العددية المتبقية واضحة تمامًا وتعتمد بشكل مباشر على نوع الأرقام المتضمنة في التعبير ، نظرًا لأنها قد تتعارض مع التعريف الرئيسي. لذلك ، العمليات المغلقة:

إضافة - x + y = z ، حيث يتم تضمين x ، y ، z في الحقل N ؛
الضرب - x * y = z ، حيث يتم تضمين x ، y ، z في الحقل N ؛
الأس - x y ، حيث يتم تضمين x ، y في الحقل N.

أما العمليات المتبقية ، التي قد لا تكون نتيجتها موجودة في سياق تعريف "ما هو الرقم الطبيعي" ، فهي كالتالي:

خصائص الأرقام التي تنتمي إلى المجال N

كل المزيد من التفكير الرياضي سوف يعتمد على الخصائص التالية ، الأكثر تافهًا ، ولكن ليس أقل أهمية.

الخاصية التبادلية للجمع هي x + y = y + x ، حيث يتم تضمين الأرقام x ، y في الحقل N. أو المعروف جيدًا "المجموع لا يتغير من تغيير في أماكن المصطلحات".
الخاصية التبادلية للضرب هي x * y = y * x ، حيث يتم تضمين الأرقام x ، y في الحقل N.
الخاصية الترابطية للجمع هي (x + y) + z = x + (y + z) ، حيث يتم تضمين x ، y ، z في الحقل N.
الخاصية الترابطية للضرب هي (x * y) * z = x * (y * z) ، حيث يتم تضمين الأرقام x ، y ، z في الحقل N.
خاصية التوزيع - x (y + z) = x * y + x * z ، حيث يتم تضمين الأرقام x ، y ، z في الحقل N.

طاولة فيثاغورس

يعد جدول فيثاغورس أحد الخطوات الأولى في معرفة التركيب الكامل للرياضيات الابتدائية من قبل تلاميذ المدارس ، بعد أن فهموا لأنفسهم أي الأرقام تسمى طبيعية. يمكن اعتباره ليس فقط من وجهة نظر العلم ، ولكن أيضًا كنصب علمي قيم.

خضع جدول الضرب هذا لعدد من التغييرات بمرور الوقت: تمت إزالة الصفر منه ، والأرقام من 1 إلى 10 تدل على نفسها ، دون مراعاة الطلبات (مئات ، آلاف ...). إنه جدول تكون فيه عناوين الصفوف والأعمدة أرقامًا ، ومحتويات خلايا تقاطعها مساوية لمنتجها.

في ممارسة التدريس في العقود الأخيرة ، كانت هناك حاجة لحفظ جدول فيثاغورس "بالترتيب" ، أي أن الحفظ ذهب أولاً. تم استبعاد الضرب في 1 لأن النتيجة كانت 1 أو أكبر. في غضون ذلك ، في الجدول بالعين المجردة ، يمكنك رؤية نمط: ينمو حاصل ضرب الأرقام بخطوة واحدة ، وهو ما يساوي عنوان السطر. وهكذا ، يوضح لنا العامل الثاني عدد المرات التي نحتاج فيها إلى أخذ العامل الأول من أجل الحصول على المنتج المطلوب. يعتبر هذا النظام أكثر ملاءمة من ذلك الذي تم ممارسته في العصور الوسطى: حتى فهم ماهية الرقم الطبيعي ومدى تافهته ، تمكن الناس من تعقيد حسابهم اليومي باستخدام نظام قائم على قوى اثنين.

مجموعة جزئية كمهد الرياضيات

في الوقت الحالي ، يعتبر مجال الأعداد الطبيعية N واحدًا فقط من مجموعات فرعية من الأعداد المركبة ، لكن هذا لا يجعلها أقل قيمة في العلم. الرقم الطبيعي هو أول ما يتعلمه الطفل من خلال دراسة نفسه والعالم من حوله. إصبع واحد بإصبعين ... بفضله يطور الإنسان التفكير المنطقي ، وكذلك القدرة على تحديد السبب واستنتاج النتيجة ، مما يمهد الطريق لاكتشافات عظيمة.

من أين تبدأ دراسة الرياضيات؟ نعم هذا صحيح من دراسة الأعداد الطبيعية والأفعال معهم.عدد صحيح (مناللات. ناتوراليس- طبيعي؛ الأعداد الطبيعية)أعداد التي تظهر بشكل طبيعي عند العد (على سبيل المثال ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ...). يُطلق على تسلسل جميع الأعداد الطبيعية المرتبة بترتيب تصاعدي الرقم الطبيعي.

هناك طريقتان لتعريف الأعداد الطبيعية:

العد (الترقيم) العناصر ( الأول, ثانيا, الثالث, الرابع, الخامس "...) ؛
الأعداد الطبيعية هي الأعداد التي تحدث عندما تعيين الكمية العناصر ( 0 عنصر ، 1 عنصر ، 2 عناصر ، 3 العناصر ، 4 عناصر ، 5 عناصر ).

في الحالة الأولى ، تبدأ سلسلة الأعداد الطبيعية من واحد ، في الحالة الثانية - من الصفر. لا يوجد رأي مشترك لمعظم علماء الرياضيات حول تفضيل النهج الأول أو الثاني (أي ما إذا كان سيتم اعتبار الصفر عددًا طبيعيًا أم لا). اعتمدت الغالبية العظمى من المصادر الروسية تقليديًا النهج الأول. الطريقة الثانية ، على سبيل المثال ، تستخدم في الأعمالنيكولا بوربكي ، حيث يتم تعريف الأعداد الطبيعية على أنهاقوة مجموعات محدودة .

سلبي وغير صحيح (معقول , حقا ،…) الأرقام غير مصنفة على أنها طبيعية.

مجموعة الأعداد الطبيعيةعادةً ما يُشار إليها بالرمز N (مناللات. ناتوراليس- طبيعي). مجموعة الأعداد الطبيعية لانهائية ، لأنه لأي عدد طبيعي n يوجد عدد طبيعي أكبر من n.

يسهل وجود الصفر صياغة وإثبات العديد من النظريات في حساب الأعداد الطبيعية ، لذا فإن النهج الأول يقدم الفكرة المفيدة سلسلة طبيعية ممتدة ، بما في ذلك الصفر. يتم الإشارة إلى الصف الممتد بواسطة N 0 أو Z0.

إلىالعمليات المغلقة (العمليات التي لا تُخرج نتيجة من مجموعة الأعداد الطبيعية) على الأعداد الطبيعية تشمل العمليات الحسابية التالية:

إضافة:مصطلح + مصطلح = مجموع ؛
عمليه الضرب:المضاعف × المضاعف = المنتج ؛
الأس:أب ، حيث أ هو أساس الدرجة ، ب هو الأس. إذا كان a و b عددًا طبيعيًا ، فستكون النتيجة أيضًا عددًا طبيعيًا.

بالإضافة إلى ذلك ، يتم النظر في عمليتين أخريين (من وجهة نظر رسمية ، فهي ليست عمليات على الأعداد الطبيعية ، لأنها غير محددة للجميعأزواج من الأرقام (أحيانًا تكون موجودة ، وأحيانًا لا تكون موجودة)):

الطرح: minuend - المطروح = الفرق. في هذه الحالة ، يجب أن يكون الحد الأدنى أكبر من المطروح (أو مساويًا له ، إذا اعتبرنا الصفر عددًا طبيعيًا)
قسمة مع الباقي:المقسوم / المقسوم = (الحاصل ، الباقي). يتم تعريف حاصل القسمة p والباقي r من قسمة a على b على النحو التالي: a = p * r + b ، و 0<=r

وتجدر الإشارة إلى أن عمليتي الجمع والضرب أساسيتان. خاصه،

عدد صحيح- الأعداد الطبيعية هي الأعداد التي تستخدم لعد الأشياء. تسمى مجموعة الأعداد الطبيعية أحيانًا السلسلة الطبيعية: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، 17 ، 18 ، إلخ. .

لكتابة الأعداد الطبيعية ، يتم استخدام عشرة أرقام: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9. بمساعدتها ، يمكنك كتابة أي عدد طبيعي. يسمى هذا الترميز العشري.

يمكن متابعة السلسلة الطبيعية للأرقام إلى أجل غير مسمى. لا يوجد رقم يمكن أن يكون الأخير ، لأنه يمكن دائمًا إضافة أحد إلى الرقم الأخير وسيحصل الآخر على رقم أكبر بالفعل من الرقم المطلوب. في هذه الحالة ، نقول إنه لا يوجد رقم أكبر في المتسلسلة الطبيعية.

أرقام الأعداد الطبيعية

عند كتابة أي رقم باستخدام الأرقام ، فإن المكان الذي يقف عليه الرقم في الرقم أمر بالغ الأهمية. على سبيل المثال ، الرقم 3 يعني: 3 وحدات إذا كان آخر رقم ؛ ثلاث عشرات إذا كان العدد في المكان قبل الأخير ؛ 4 مئات ، إذا كانت في المركز الثالث من النهاية.

الرقم الأخير يعني رقم الوحدات ، الرقم قبل الأخير - رقم العشرات ، 3 من النهاية - رقم المئات.