في المرة الأخيرة التي وضعنا فيها خطة، يمكنك من خلالها تعلم كيفية تقليل الكسور بسرعة. الآن دعونا نفكر أمثلة محددةالحد من الكسور.

أمثلة.

دعونا نتحقق مما إذا كان الرقم الأكبر قابلاً للقسمة على الرقم الأصغر (البسط على المقام أو المقام على البسط)؟ نعم، في هذه الأمثلة الثلاثة، يتم قسمة العدد الأكبر على العدد الأصغر. وبالتالي، فإننا نقوم بتبسيط كل كسر بمقدار أصغر الأرقام (بالبسط أو بالمقام). لدينا:

دعونا نتحقق مما إذا كان الرقم الأكبر قابلاً للقسمة على الرقم الأصغر؟ لا، لا يشارك.

ثم دعنا ننتقل إلى التحقق النقطة التالية: ألا ينتهي قيد البسط والمقام بصفر أو صفرين أو أكثر؟ في المثال الأول، ينتهي البسط والمقام بصفر، وفي المثال الثاني صفرين، وفي الثالث ثلاثة أصفار. وهذا يعني أننا نختصر الكسر الأول بمقدار 10، والثاني بمقدار 100، والثالث بمقدار 1000:

لقد حصلنا على كسور غير قابلة للاختزال.

لا يمكن قسمة عدد أكبر على رقم أصغر، ولا تنتهي الأرقام بأصفار.

الآن دعونا نتحقق مما إذا كان البسط والمقام موجودان في نفس العمود في جدول الضرب؟ 36 و 81 كلاهما يقبلان القسمة على 9، 28 و 63 يقبلان القسمة على 7، و 32 و 40 يقبلان القسمة على 8 (هما أيضًا يقبلان القسمة على 4، ولكن إذا كان هناك خيار، فسنقوم دائمًا بالتقليل بمقدار أكبر). وهكذا نأتي إلى الإجابات:

جميع الأرقام التي تم الحصول عليها هي كسور غير قابلة للاختزال.

ولا يمكن قسمة عدد أكبر على عدد أصغر. لكن سجل كل من البسط والمقام ينتهي بالصفر. لذلك، نقوم بتقليل الكسر بمقدار 10:

لا يزال من الممكن تقليل هذا الجزء. نتحقق من جدول الضرب: كلا من 48 و 72 يقبل القسمة على 8. نقوم بتبسيط الكسر بمقدار 8:

يمكننا أيضًا تقليل الكسر الناتج بمقدار 3:

هذا الكسر غير قابل للاختزال.

العدد الأكبر لا يقبل القسمة على الرقم الأصغر. ينتهي البسط والمقام بالصفر، وهذا يعني أننا نطرح الكسر بمقدار 10.

نتحقق من الأرقام التي تم الحصول عليها في البسط والمقام لـ و. بما أن مجموع أرقام كل من 27 و531 قابل للقسمة على 3 و9، فيمكن اختزال هذا الكسر إما بمقدار 3 أو 9. نختار الكسر الأكبر ونخفضه بمقدار 9. والنتيجة الناتجة هي كسر غير قابل للاختزال.

لفهم كيفية تبسيط الكسور، دعونا نلقي نظرة أولاً على مثال.

إن تقليل الكسر يعني تقسيم البسط والمقام على نفس الشيء. ينتهي كل من 360 و420 برقم، لذا يمكننا تقليل هذا الكسر بمقدار 2. في الكسر الجديد، كل من 180 و210 قابلان للقسمة أيضًا على 2، لذلك نقوم بتقليل هذا الكسر بمقدار 2. في الرقمين 90 و105، يكون المجموع من الأرقام يقبل القسمة على 3، لذا فإن كلا الرقمين قابلان للقسمة على 3، نقوم بتبسيط الكسر بمقدار 3. في الكسر الجديد، 30 و 35 ينتهيان بـ 0 و 5، مما يعني أن كلا الرقمين قابلان للقسمة على 5، لذلك نقوم بتبسيط الكسر بمقدار 5. الكسر الناتج وهو ستة أسباع غير قابل للاختزال. هذا هو الجواب النهائي.

يمكننا أن نصل إلى نفس الإجابة بطريقة مختلفة.

ينتهي كل من 360 و420 بالصفر، مما يعني أنهما يقبلان القسمة على 10. نقوم بتبسيط الكسر بمقدار 10. في الكسر الجديد، يتم قسمة كل من البسط 36 والمقام 42 على 2. نقوم بتبسيط الكسر بمقدار 2. الكسر التالي، كل من البسط 18 والمقام 21 مقسوم على 3، مما يعني أننا نقوم بتبسيط الكسر بمقدار 3. لقد توصلنا إلى النتيجة - ستة أسباع.

وحل آخر.

في المرة القادمة سنلقي نظرة على أمثلة لتقليل الكسور.

للوهلة الأولى، تبدو الكسور الجبرية معقدة للغاية، وقد يعتقد الطالب غير المستعد أنه لا يمكن فعل أي شيء بها. تراكم المتغيرات والأرقام وحتى الدرجات يثير الخوف. ومع ذلك، يتم استخدام نفس القواعد لتقليل الكسور الشائعة (مثل 15/25) والكسور الجبرية.

خطوات

تقليل الكسور

التعرف على العمليات على الكسور البسيطة. العمليات على الكسور العادية والجبرية متشابهة. على سبيل المثال، لنأخذ الكسر 15/35. لتبسيط هذا الكسر، يجب عليك العثور على القاسم المشترك. كلا الرقمين يقبل القسمة على خمسة، لذا يمكننا عزل 5 في البسط والمقام:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

الآن انت تستطيع تقليل العوامل المشتركة، أي شطب 5 من البسط والمقام. ونتيجة لذلك، نحصل على الكسر المبسط 3/7 . في التعابير الجبرية، يتم تحديد العوامل المشتركة بنفس الطريقة المتبعة في التعابير العادية. في المثال السابق تمكنا من عزل 5 من 15 بسهولة - وينطبق نفس المبدأ على التعبيرات الأكثر تعقيدًا مثل 15x - 5. فلنجد العامل المشترك. في في هذه الحالةسيكون هذا 5، نظرًا لأن كلا الحدين (15س و -5) قابلان للقسمة على 5. كما في السابق، اعزل العامل المشترك وحركه غادر.

15س – 5 = 5 * (3س – 1)

للتحقق مما إذا كان كل شيء صحيحًا، ما عليك سوى ضرب التعبير الموجود بين قوسين في 5 - وستكون النتيجة نفس الأرقام التي ظهرت في البداية. يمكن عزل الأعضاء المعقدة بنفس طريقة عزل الأعضاء البسيطة. تنطبق نفس المبادئ على الكسور الجبرية كما تنطبق على الكسور العادية. هذه هي أسهل طريقة لتقليل الكسر. خذ بعين الاعتبار الكسر التالي:

(س+2)(س-3)(س+2)(س+10)

لاحظ أن كلا من البسط (الأعلى) والمقام (الأسفل) يحتويان على الحد (x+2)، لذلك يمكن اختزاله بنفس طريقة اختزال العامل المشترك 5 في الكسر 15/35:

(س+2) (س-3) → (س-3)(س+2) (س+10) → (س+10)

ونتيجة لذلك، نحصل على تعبير مبسط: (x-3)/(x+10)

تقليل الكسور الجبرية

أوجد العامل المشترك في البسط، أي في أعلى الكسر. عند تبسيط كسر جبري، الخطوة الأولى هي تبسيط كلا الطرفين. ابدأ بالبسط وحاول تحليله إلى أكبر عدد ممكن من العوامل. تأمل في هذا القسم الكسر التالي:

9x-3 15x+6

لنبدأ بالبسط: 9x – 3. بالنسبة إلى 9x و-3، العامل المشترك هو الرقم 3. لنأخذ 3 من الأقواس، كما هو الحال مع الأرقام العادية: 3 * (3x-1). نتيجة هذا التحويل هي الكسر التالي:

3(3x-1) 15x+6

أوجد العامل المشترك في البسط. لنواصل المثال أعلاه ونكتب المقام: 15س+6. كما كان من قبل، دعونا نجد العدد الذي يمكن القسمة عليه. وفي هذه الحالة العامل المشترك هو 3، فيمكن أن نكتب: 3 * (5x +2). لنعد كتابة الكسر بالشكل التالي:

3(3x-1) 3(5س+2)

اختصر نفس المصطلحات. في هذه الخطوة يمكنك تبسيط الكسر. قم بإلغاء نفس الحدود في البسط والمقام. في مثالنا، هذا الرقم هو 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5س+2) ← (5س+2)

تحديد أن الكسر لديه ابسط شكل. يتم تبسيط الكسر تمامًا عندما لا يكون هناك عوامل مشتركة متبقية في البسط والمقام. لاحظ أنه لا يمكنك إلغاء الحدود التي تظهر داخل الأقواس - في المثال أعلاه لا توجد طريقة لعزل x عن 3x و5x، نظرًا لأن الحدود الكاملة هي (3x -1) و(5x + 2). وبالتالي، لا يمكن تبسيط الكسر أكثر، ويبدو أن الإجابة النهائية هي بالطريقة الآتية:

(3x-1)(5x+2)

تدرب على تقليل الكسور بنفسك. أفضل طريقةإن إتقان الطريقة يعني حل المشكلات بشكل مستقل. الإجابات الصحيحة موضحة أدناه الأمثلة.

4(س+2)(س-13)(4x+8)

إجابة:(س = 13)

2x 2 -س 5x

إجابة:(2x-1)/5

التحركات الخاصة

ضع علامة السالب خارج الكسر. لنفترض أنك حصلت على الكسر التالي:

3(س-4) 5(4-س)

لاحظ أن (x-4) و(4-x) متطابقان "تقريبًا" لكن لا يمكن اختزالهما فورًا لأنهما "مقلوبان". ومع ذلك، (x - 4) يمكن كتابتها بالشكل -1 * (4 - x)، تمامًا كما يمكن كتابة (4 + 2x) بالشكل 2 * (2 + x). وهذا ما يسمى "انعكاس الإشارة".

-1*3(4-x) 5(4-س)

يمكنك الآن تقليل الحدود المتطابقة (4-x):

-1*3 (4-x) 5 (4-x)

وبذلك نحصل على الجواب النهائي: -3/5 . تعلم كيفية التعرف على الفرق بين المربعات. فرق المربعات هو عندما يطرح مربع رقم واحد من مربع رقم آخر، كما في التعبير (أ 2 - ب 2). يمكن دائمًا تقسيم الفرق بين المربعات الكاملة إلى جزأين - مجموع وفرق المربعات المقابلة الجذور التربيعية. ثم يأخذ التعبير الشكل التالي:

أ 2 - ب 2 = (أ+ب)(أ-ب)

هذه التقنية مفيدة جدًا عند العثور على مصطلحات مشتركة في الكسور الجبرية.

• تحقق مما إذا كنت قد قمت بتحليل هذا التعبير أو ذاك بشكل صحيح. للقيام بذلك، اضرب العوامل - يجب أن تكون النتيجة نفس التعبير.
• لتبسيط الكسر تمامًا، عليك دائمًا عزل العوامل الأكبر.

مستوى اول

تحويل التعبيرات. النظرية التفصيلية (2019)

تحويل التعبيرات

كثيرا ما نسمع هذه العبارة غير السارة: "بسّط التعبير". عادة نرى نوعًا من الوحش مثل هذا:

نقول: "الأمر أبسط بكثير"، لكن مثل هذه الإجابة لا تنجح عادةً.

الآن سأعلمك ألا تخاف من أي من هذه المهام. علاوة على ذلك، في نهاية الدرس، ستقوم أنت بنفسك بتبسيط هذا المثال إلى (فقط!) رقم عادي (نعم، إلى الجحيم بهذه الحروف).

لكن قبل أن تبدأ هذا الدرس، يجب أن تكون قادرًا على التعامل مع الكسور وتحليل كثيرات الحدود. لذلك، أولا، إذا لم تكن قد فعلت ذلك من قبل، فتأكد من إتقان المواضيع "" و "".

هل قرأتها؟ إذا كانت الإجابة بنعم، فأنت الآن جاهز.

عمليات التبسيط الأساسية

الآن دعونا نلقي نظرة على التقنيات الأساسية المستخدمة لتبسيط التعبيرات.

أبسط واحد هو

1. جلب المماثل

ما هي مماثلة؟ لقد أخذت هذا في الصف السابع، عندما ظهرت الحروف بدلاً من الأرقام لأول مرة في الرياضيات. مماثلة هي المصطلحات (أحاديات الحد) التي لها نفس جزء الحرف. على سبيل المثال، في المجموع، مصطلحات مماثلة هي و.

هل تذكر؟

لجلب وسائل مماثلة لإضافة عدة مصطلحات متشابهة لبعضها البعض والحصول على مصطلح واحد.

كيف يمكننا جمع الحروف معاً؟ - أنت تسأل.

من السهل جدًا فهم هذا إذا كنت تتخيل أن الحروف هي نوع من الكائنات. على سبيل المثال، الرسالة هي كرسي. ثم ما هو التعبير يساوي؟ كرسيان بالإضافة إلى ثلاثة كراسي، كم سيكون عددهم؟ صح يا كراسي : .

الآن جرب هذا التعبير: .

لتجنب الارتباك، دع الحروف المختلفة تمثل كائنات مختلفة. على سبيل المثال، - هو (كالعادة) كرسي، و - هو طاولة. ثم:

كراسي طاولات طاولات كراسي طاولات كراسي طاولات

يتم استدعاء الأرقام التي يتم بها ضرب الحروف في مثل هذه المصطلحات معاملات. على سبيل المثال، في أحادية الحد يكون المعامل متساويًا. وفيه سواء.

لذا فإن القاعدة في جلب أمثالها هي:

أمثلة:

أعط مثلها:

الإجابات:

2. (وما أشبه ذلك، إذ أن هذه المصطلحات لها نفس الجزء من الحرف).

2. التخصيم

عادةً ما يكون هذا هو الجزء الأكثر أهمية في تبسيط التعبيرات. بعد أن قدمت تعبيرات مماثلة، غالبًا ما يحتاج التعبير الناتج إلى التحليل، أي تقديمه كمنتج. هذا مهم بشكل خاص في الكسور: لكي تكون قادرًا على تبسيط الكسر، يجب تمثيل البسط والمقام كمنتج.

لقد مررت بطرق تحليل التعبيرات بالتفصيل في الموضوع ""، لذلك عليك فقط أن تتذكر ما تعلمته. للقيام بذلك، تقرر عدد قليل أمثلة(يحتاج إلى عوامل):

حلول:

3. تقليل الكسر.

حسنًا، ما الذي يمكن أن يكون أكثر متعة من شطب جزء من البسط والمقام وطردهما من حياتك؟

هذا هو جمال تقليص الحجم.

انه سهل:

إذا كان البسط والمقام يحتويان على نفس العوامل، فيمكن اختزالهما، أي إزالتهما من الكسر.

تتبع هذه القاعدة الخاصية الأساسية للكسر:

وهذا يعني أن جوهر عملية التخفيض هو ذلك نقسم بسط ومقام الكسر على نفس الرقم (أو على نفس التعبير).

لتقليل الكسر تحتاج:

1) البسط والمقام حلل إلى عوامل

2) إذا كان البسط والمقام يحتويان العوامل المشتركة، يمكن شطبها.

المبدأ، أعتقد، واضح؟

أود أن ألفت انتباهكم إلى شيء واحد خطأ نموذجيعند التعاقد. على الرغم من أن هذا الموضوع بسيط، إلا أن الكثير من الناس يفعلون كل شيء بشكل خاطئ، ولا يفهمون ذلك يقلل- هذا يعنى يقسمالبسط والمقام هما نفس الرقم.

لا توجد اختصارات إذا كان البسط أو المقام عبارة عن مجموع.

على سبيل المثال: نحن بحاجة إلى تبسيط.

بعض الناس يفعلون هذا: وهذا خطأ مطلق.

مثال آخر: تقليل.

"الأذكى" سيفعل هذا: .

قل لي ما هو الخطأ هنا؟ يبدو: - هذا مضاعف، مما يعني أنه يمكن تخفيضه.

لكن لا: - هذا عامل لحد واحد فقط في البسط، لكن البسط نفسه ككل غير قابل للتحليل.

وهنا مثال آخر: .

يتم تحليل هذا التعبير، مما يعني أنه يمكنك تقليله، أي قسمة البسط والمقام على، ثم على:

يمكنك تقسيمها على الفور إلى:

لتجنب مثل هذه الأخطاء، تذكر طريقة سهلة لتحديد ما إذا كان التعبير قابلاً للتحليل:

العملية الحسابية التي يتم إجراؤها أخيرًا عند حساب قيمة التعبير هي العملية "الرئيسية". أي أنه إذا قمت باستبدال بعض الأرقام (أي) بدلاً من الحروف وحاولت حساب قيمة التعبير، فإذا كان الإجراء الأخير هو الضرب، فلدينا منتج (يتم تحليل التعبير). إذا كان الإجراء الأخير هو الجمع أو الطرح، فهذا يعني أن التعبير غير قابل للتحليل (وبالتالي لا يمكن اختزاله).

لتوحيد، حل عدد قليل نفسك أمثلة:

الإجابات:

1. أتمنى ألا تتعجل على الفور في القطع و؟ لم يكن كافيًا بعد "تقليل" الوحدات مثل هذا:

يجب أن تكون الخطوة الأولى هي التحليل:

4. جمع وطرح الكسور. اختزال الكسور إلى قاسم مشترك.

تعد عملية جمع وطرح الكسور العادية عملية مألوفة: فنحن نبحث عن مقام مشترك، ونضرب كل كسر في العامل المفقود ونجمع/نطرح البسطين. دعنا نتذكر:

الإجابات:

1. المقامات أولية نسبيًا، أي ليس لديها عوامل مشتركة. ولذلك، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام يساوي حاصل ضربها. وسيكون هذا هو القاسم المشترك:

2. هنا القاسم المشترك هو:

3. هنا، أولاً، نقوم بتحويل الكسور المختلطة إلى كسور غير صحيحة، ثم وفقًا للمخطط المعتاد:

الأمر مختلف تمامًا إذا كانت الكسور تحتوي على أحرف، على سبيل المثال:

لنبدأ بشيء بسيط:

أ) المقامات لا تحتوي على حروف

كل شيء هنا هو نفسه كما هو الحال مع الكسور العددية العادية: نجد القاسم المشترك، ونضرب كل كسر في العامل المفقود ونجمع/نطرح البسطين:

الآن في البسط يمكنك إعطاء أرقام متشابهة، إن وجدت، وتحليلها:

جربها بنفسك:

ب) المقامات تحتوي على حروف

لنتذكر مبدأ إيجاد قاسم مشترك بدون حروف:

· أولاً نحدد العوامل المشتركة؛

· ثم نكتب جميع العوامل المشتركة واحداً تلو الآخر؛

· وضربها بجميع العوامل الأخرى غير المشتركة.

لتحديد العوامل المشتركة للمقامات، نقوم أولًا بتحليلها إلى عوامل أولية:

دعونا نؤكد على العوامل المشتركة:

الآن دعونا نكتب العوامل المشتركة واحدًا تلو الآخر ونضيف إليها جميع العوامل غير المشتركة (التي لم تحتها خط):

هذا هو القاسم المشترك.

دعونا نعود إلى الحروف. يتم إعطاء المقامات بنفس الطريقة تمامًا:

· عامل المقامات.

· تحديد العوامل المشتركة (المتطابقة).

· اكتب جميع العوامل المشتركة مرة واحدة؛

· ضربهم بجميع العوامل الأخرى غير المشتركة.

لذا بالترتيب:

1) عامل المقامات:

2) تحديد العوامل المشتركة (المتطابقة):

3) اكتب جميع العوامل المشتركة مرة واحدة واضربها في جميع العوامل الأخرى (التي لا تحتها خط):

لذلك هناك قاسم مشترك هنا. يجب ضرب الكسر الأول بـ والثاني بـ:

بالمناسبة، هناك خدعة واحدة:

على سبيل المثال: .

نحن نرى نفس العوامل في القواسم، ولكن جميعها بمؤشرات مختلفة. القاسم المشترك سيكون:

إلى حد ما

إلى حد ما

إلى حد ما

إلى حد ما.

دعونا تعقيد المهمة:

كيفية جعل الكسور لها نفس المقام؟

دعونا نتذكر الخاصية الأساسية للكسر:

لم يذكر في أي مكان أنه يمكن طرح (أو إضافة) نفس الرقم من بسط ومقام الكسر. لأنه ليس صحيحا!

انظر بنفسك: خذ أي كسر، على سبيل المثال، وأضف بعض الأرقام إلى البسط والمقام، على سبيل المثال، . ماذا تعلمت؟

إذن قاعدة أخرى لا تتزعزع:

عند اختزال الكسور إلى مقام مشترك، استخدم عملية الضرب فقط!

ولكن ما الذي تحتاج إلى الضرب للحصول عليه؟

حتى تتضاعف. واضرب بـ:

سوف نطلق على التعبيرات التي لا يمكن تحليلها اسم "العوامل الأولية". على سبيل المثال، - هذا عامل أولي. - نفس. لكن لا: يمكن تحليله.

ماذا عن التعبير؟ هل هي ابتدائية؟

لا، لأنه يمكن تحليله:

(لقد قرأت بالفعل عن التخصيم في الموضوع "").

لذا، فإن العوامل الأولية التي تحلل إليها تعبيرًا ما بالأحرف هي نظير للعوامل البسيطة التي تحلل إليها الأرقام. وسوف نتعامل معهم بنفس الطريقة.

نلاحظ أن كلا المقامين لهما مضاعف. سوف يذهب إلى القاسم المشترك إلى الدرجة (تذكر لماذا؟).

العامل أساسي، وليس لديهم عامل مشترك، مما يعني أنه يجب ببساطة ضرب الكسر الأول به:

مثال آخر:

حل:

قبل أن تضاعف هذه القواسم في حالة من الذعر، عليك أن تفكر في كيفية تحليلها؟ وكلاهما يمثل:

عظيم! ثم:

مثال آخر:

حل:

كالعادة، دعونا نحلل المقامات. في المقام الأول، قمنا ببساطة بإخراجه بين قوسين؛ في الثاني - فرق المربعات:

يبدو أنه لا توجد عوامل مشتركة. ولكن إذا نظرت عن كثب، فهي متشابهة... وهذا صحيح:

لذلك دعونا نكتب:

أي أن الأمر أصبح على النحو التالي: قمنا بتبديل الحدود داخل القوس، وفي نفس الوقت تغيرت الإشارة الموجودة أمام الكسر إلى العكس. لاحظ أنه سيتعين عليك القيام بذلك كثيرًا.

والآن لنصل إلى قاسم مشترك:

فهمتها؟ دعونا التحقق من ذلك الآن.

مهام الحل المستقل:

الإجابات:

هنا علينا أن نتذكر شيئًا آخر - الفرق بين المكعبات:

يرجى ملاحظة أن مقام الكسر الثاني لا يحتوي على صيغة "مربع المجموع"! سيبدو مربع المجموع كما يلي: .

A هو ما يسمى بالمربع غير الكامل للمجموع: الحد الثاني فيه هو منتج الأول والأخير، وليس منتجهما المزدوج. يعد المربع الجزئي للمجموع أحد عوامل توسيع فرق المكعبات:

ماذا تفعل إذا كان هناك بالفعل ثلاثة كسور؟

نعم نفس الشيء! أولًا، دعونا نتأكد من أن الحد الأقصى لعدد العوامل في المقامات هو نفسه:

يرجى ملاحظة: إذا قمت بتغيير الإشارات الموجودة داخل قوس واحد، فإن الإشارة التي أمام الكسر تتغير إلى العكس. عندما نغير الإشارة الموجودة في القوس الثاني، تتغير الإشارة الموجودة أمام الكسر مرة أخرى إلى العكس. ونتيجة لذلك، لم تتغير (العلامة الموجودة أمام الكسر).

نكتب المقام الأول بالكامل في المقام المشترك، ثم نضيف إليه جميع العوامل التي لم تتم كتابتها بعد، من الثاني، ثم من الثالث (وهكذا، إذا كان هناك المزيد من الكسور). وهذا هو، اتضح مثل هذا:

حسنًا... من الواضح ما يجب فعله بالكسور. ولكن ماذا عن الاثنين؟

الأمر بسيط: أنت تعرف كيفية إضافة الكسور، أليس كذلك؟ لذا، علينا أن نجعل الاثنين كسرًا! دعونا نتذكر: الكسر هو عملية قسمة (يتم قسمة البسط على المقام، في حال نسيت). وليس هناك أسهل من قسمة عدد على. في هذه الحالة لن يتغير الرقم نفسه بل سيتحول إلى كسر:

بالضبط ما هو مطلوب!

5. ضرب وقسمة الكسور.

حسنًا، لقد انتهى الجزء الأصعب الآن. وأمامنا الأبسط ولكن في نفس الوقت الأهم:

إجراء

ما هو الإجراء لحساب التعبير العددي؟ تذكر بحساب معنى هذا التعبير:

هل حسبت؟

يجب أن تعمل.

لذلك، اسمحوا لي أن أذكركم.

الخطوة الأولى هي حساب الدرجة.

والثاني هو الضرب والقسمة. إذا كان هناك عدة عمليات ضرب وقسمة في نفس الوقت، فيمكن إجراؤها بأي ترتيب.

وأخيرًا، نجري عمليات الجمع والطرح. مرة أخرى، بأي ترتيب.

ولكن: يتم تقييم التعبير بين قوسين خارج نطاق الدور!

إذا تم ضرب عدة أقواس أو قسمتها على بعضها البعض، فإننا نحسب أولًا التعبير الموجود في كل قوس، ثم نضربها أو نقسمها.

ماذا لو كان هناك المزيد من الأقواس داخل الأقواس؟ حسنًا، لنفكر: بعض التعبيرات مكتوبة بين قوسين. عند حساب التعبير، ما الذي يجب عليك فعله أولاً؟ هذا صحيح، احسب الأقواس. حسنًا، لقد اكتشفنا ذلك: أولاً نحسب الأقواس الداخلية، ثم كل شيء آخر.

لذا، فإن إجراء التعبير أعلاه هو كما يلي (يتم تمييز الإجراء الحالي باللون الأحمر، أي الإجراء الذي أقوم به الآن):

حسنا، كل شيء بسيط.

ولكن هذا ليس هو نفسه التعبير بالحروف؟

لا، إنه نفس الشيء! فقط بدلاً من العمليات الحسابية، تحتاج إلى القيام بعمليات جبرية، أي الإجراءات الموضحة في القسم السابق: جلب مماثلةوإضافة الكسور وتقليل الكسور وما إلى ذلك. سيكون الاختلاف الوحيد هو عملية تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل (نستخدم هذا غالبًا عند التعامل مع الكسور). في أغلب الأحيان، للتحليل، تحتاج إلى استخدام I أو ببساطة وضع العامل المشترك خارج الأقواس.

عادةً ما يكون هدفنا هو تمثيل التعبير كمنتج أو حاصل القسمة.

على سبيل المثال:

دعونا نبسط التعبير.

1) أولا، نقوم بتبسيط التعبير بين قوسين. لدينا هناك فرق بين الكسور، وهدفنا هو تقديمه كمنتج أو خارج القسمة. لذلك، نأتي بالكسور إلى قاسم مشترك ونضيف:

من المستحيل تبسيط هذا التعبير أكثر من ذلك؛ جميع العوامل هنا أولية (هل مازلت تتذكر ماذا يعني هذا؟).

2) نحصل على:

ضرب الكسور: ما يمكن أن يكون أبسط.

3) الآن يمكنك تقصير:

حسنًا، لقد انتهى كل شيء الآن. لا شيء معقد، أليس كذلك؟

مثال آخر:

تبسيط التعبير.

أولا، حاول حلها بنفسك، وبعد ذلك فقط انظر إلى الحل.

أولا وقبل كل شيء، دعونا نحدد ترتيب الإجراءات. أولًا، دعونا نجمع الكسور الموجودة بين قوسين، لذا بدلًا من كسرين نحصل على كسر واحد. ثم سنقوم بتقسيم الكسور. حسنًا، دعونا نضيف النتيجة مع الكسر الأخير. سأقوم بترقيم الخطوات بشكل تخطيطي:

الآن سأعرض لك العملية، مع تلوين الإجراء الحالي باللون الأحمر:

وأخيرا، سأقدم لك نصيحتين مفيدتين:

1. إذا كان هناك مثلها فيجب إحضارها فوراً. عندما تظهر مثل هذه الأمور في بلدنا، فمن المستحسن طرحها على الفور.

2. وكذلك الحال في تقليل الكسور: فمتى سنحت فرصة التخفيض وجب استغلالها. الاستثناء هو للكسور التي تضيفها أو تطرحها: إذا كانت موجودة الآن نفس القواسم، فيجب ترك التخفيض لوقت لاحق.

فيما يلي بعض المهام التي يمكنك حلها بنفسك:

وما وعد به في البداية:

الحلول (قصيرة):

إذا تعاملت مع الأمثلة الثلاثة الأولى على الأقل، فهذا يعني أنك أتقنت الموضوع.

الآن إلى التعلم!

تحويل التعبيرات. الملخص والصيغ الأساسية

عمليات التبسيط الأساسية:

• جلب مماثل: لإضافة (تقليل) مصطلحات مماثلة، تحتاج إلى إضافة معاملاتها وتعيين جزء الحرف.
• التخصيم:وضع العامل المشترك بين قوسين، وتطبيقه، وما إلى ذلك.
• تقليل جزء: يمكن ضرب بسط الكسر ومقامه أو قسمته على نفس الرقم غير الصفر مما لا يغير من قيمة الكسر.
  1) البسط والمقام حلل إلى عوامل
  2) إذا كان للبسط والمقام عوامل مشتركة فيمكن شطبهما.

  هام: يمكن تقليل المضاعفات فقط!

• جمع وطرح الكسور:
  ;
• ضرب وقسمة الكسور:
  ;

تؤدي الآلة الحاسبة عبر الإنترنت تخفيض الكسور الجبريةعملاً بقاعدة تصغير الكسور: استبدال الكسر الأصلي بكسر مساو له، ولكن ببسط ومقام أصغر، أي: قسمة بسط ومقام الكسر في نفس الوقت على العامل المشترك الأكبر (GCD). تعرض الآلة الحاسبة أيضًا حلاً تفصيليًا يساعدك على فهم تسلسل التخفيض.

منح:

حل:

إجراء تخفيض الكسر

التحقق من إمكانية إجراء تخفيض الكسور الجبرية

1) تحديد القاسم المشترك الأكبر (GCD) لبسط ومقام الكسر

تحديد الأكبر القاسم المشترك(GCD) لبسط ومقام الكسر الجبري

2) تقليل بسط ومقام الكسر

تقليل بسط ومقام الكسر الجبري

3) اختيار الجزء الكامل من الكسر

فصل الجزء الكامل من الكسر الجبري

4) تحويل الكسر الجبري إلى كسر عشري

تحويل جزء جبري إلى عدد عشري

المساعدة في تطوير موقع المشروع

عزيزي زائر الموقع.
إذا لم تتمكن من العثور على ما كنت تبحث عنه، فتأكد من الكتابة عنه في التعليقات، ما هو مفقود حاليًا في الموقع. سيساعدنا هذا على فهم الاتجاه الذي نحتاج إلى المضي قدمًا فيه، وسيتمكن الزوار الآخرون قريبًا من الحصول على المواد اللازمة.
إذا تبين أن الموقع مفيد لك، قم بالتبرع بالموقع للمشروع فقط 2₽وسنعرف أننا نسير في الاتجاه الصحيح.

شكرا لزيارتكم!

I. إجراء تبسيط الكسر الجبري باستخدام الآلة الحاسبة المتوفرة على الإنترنت:

1. لتصغير كسر جبري، أدخل قيم بسط ومقام الكسر في الحقول المناسبة. إذا كان الكسر مختلطًا، فقم أيضًا بملء الحقل المقابل للجزء بأكمله من الكسر. إذا كان الكسر بسيطًا، فاترك حقل الجزء بالكامل فارغًا.
2. لتحديد كسر سلبي، ضع علامة الطرح على الجزء بأكمله من الكسر.
3. اعتمادًا على الكسر الجبري المحدد، يتم تنفيذ التسلسل التالي من الإجراءات تلقائيًا:

• تحديد القاسم المشترك الأكبر (GCD) لبسط ومقام الكسر;
• تقليل بسط ومقام الكسر بواسطة gcd;
• تسليط الضوء على الجزء كله من الكسرإذا كان بسط الكسر الأخير أكبر من مقامه.
• تحويل الكسر الجبري النهائي إلى كسر عشريمقربًا لأقرب جزء من مائة.

قد يؤدي التخفيض إلى جزء غير لائق. في هذه الحالة، سيتم تمييز الجزء بأكمله من الكسر غير الحقيقي النهائي وسيتم تحويل الكسر النهائي إلى كسر مناسب.

ثانيا. كمرجع:

الكسر هو رقم يتكون من جزء أو أكثر (كسور) من الوحدة. الكسر المشترك(الكسر البسيط) يكتب على شكل رقمين (بسط الكسر ومقام الكسر) يفصل بينهما شريط أفقي (شريط الكسر) يشير إلى علامة القسمة. بسط الكسر هو الرقم الموجود أعلى خط الكسر. يوضح البسط عدد الأسهم المأخوذة من الكل. مقام الكسر هو الرقم الموجود أسفل خط الكسر. يوضح المقام عدد الأجزاء المتساوية التي ينقسم إليها الكل. الكسر البسيط هو الكسر الذي لا يحتوي على جزء كامل. يمكن أن يكون الكسر البسيط صحيحًا أو غير مناسب. الكسر الصحيح هو الكسر الذي بسطه أقل من مقامه، لذا فإن الكسر الصحيح يكون دائمًا أقل من واحد. مثال على الكسور الصحيحة: 8/7، 11/19، 16/17. الكسر غير الحقيقي هو الكسر الذي يكون بسطه أكبر من أو يساوي المقام، وبالتالي فإن الكسر غير الحقيقي يكون دائمًا أكبر من أو يساوي واحدًا. مثال الكسور غير المناسبة: 7/6، 8/7، 13/13. الكسر المختلط هو رقم يحتوي على عدد صحيح وكسر مناسب، ويشير إلى مجموع هذا العدد الصحيح والكسر المناسب. يمكن تحويل أي كسر مختلط إلى كسر غير حقيقي جزء بسيط. مثال على الكسور المختلطة: 1¼، 2½، 4¾.

ثالثا. ملحوظة:

1. تم تمييز كتلة بيانات المصدر أصفر , يتم تمييز كتلة الحسابات المتوسطة باللون الأزرق, يتم تمييز كتلة الحل باللون الأخضر.
2. لجمع وطرح وضرب وقسمة الكسور المشتركة أو المختلطة، استخدم حاسبة الكسور عبر الإنترنت مع الحلول التفصيلية.