محتوى الدرس

جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة

هناك نوعان من إضافة الكسور:

1. جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة
2. جمع الكسور ذات المقامات المختلفة

أولًا، دعونا نتعلم جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة. كل شيء بسيط هنا. لجمع كسور لها نفس المقامات، عليك جمع بسطيها وترك المقام دون تغيير. على سبيل المثال، دعونا نضيف الكسور و . أضف البسطين واترك المقام دون تغيير:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا قمت بإضافة البيتزا إلى البيتزا، تحصل على البيتزا:

مثال 2.إضافة الكسور و.

وتبين أن الإجابة كانت كسرًا غير حقيقي. عندما تأتي نهاية المهمة، فمن المعتاد التخلص من الكسور غير الصحيحة. للتخلص من الكسر غير الحقيقي، عليك تحديد الجزء بأكمله منه. في حالتنا، يمكن عزل الجزء بأكمله بسهولة - اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى قسمين. إذا قمت بإضافة المزيد من البيتزا إلى البيتزا، تحصل على بيتزا واحدة كاملة:

مثال 3. إضافة الكسور و.

مرة أخرى، نجمع البسطين ونترك المقام دون تغيير:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا قمت بإضافة المزيد من البيتزا إلى البيتزا، تحصل على البيتزا:

مثال 4.أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل الأمثلة السابقة. يجب إضافة البسطين وترك المقام دون تغيير:

دعونا نحاول تصوير الحل الذي توصلنا إليه باستخدام الرسم. إذا قمت بإضافة البيتزا إلى البيتزا وأضفت المزيد من البيتزا، فستحصل على بيتزا كاملة والمزيد من البيتزا.

كما ترون، لا يوجد شيء معقد في جمع الكسور التي لها نفس المقامات. يكفي أن نفهم القواعد التالية:

1. لإضافة كسور لها نفس المقام، تحتاج إلى إضافة بسطيها وترك المقام دون تغيير؛

جمع الكسور ذات المقامات المختلفة

الآن دعونا نتعلم كيفية جمع الكسور ذات المقامات المختلفة. عند جمع الكسور، يجب أن تكون مقامات الكسور هي نفسها. لكنهم ليسوا دائما نفس الشيء.

على سبيل المثال، يمكن جمع الكسور لأن لها نفس المقامات.

لكن لا يمكن جمع الكسور على الفور، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

هناك عدة طرق لتقليل الكسور إلى نفس المقام. اليوم سوف ننظر إلى واحد منهم فقط، لأن الطرق الأخرى قد تبدو معقدة بالنسبة للمبتدئين.

جوهر هذه الطريقة هو أنه يتم أولاً البحث عن المضاعف المشترك الأصغر لمقامات كلا الكسرين. يتم بعد ذلك قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول للحصول على العامل الإضافي الأول. يفعلون نفس الشيء مع الكسر الثاني - يتم تقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على عامل إضافي ثانٍ.

يتم بعد ذلك ضرب بسط ومقامات الكسور في عواملها الإضافية. ونتيجة لهذه الإجراءات، تتحول الكسور التي لها مقامات مختلفة إلى كسور لها نفس المقامات. ونحن نعرف بالفعل كيفية إضافة هذه الكسور.

مثال 1. دعونا نضيف الكسور و

أولًا، علينا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو 6

م م م (2 و 3) = 6

الآن دعونا نعود إلى الكسور و . أولاً، قم بتقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول واحصل على العامل الإضافي الأول. LCM هو الرقم 6، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. بقسمة 6 على 3، نحصل على 2.

الرقم الناتج 2 هو أول مضاعف إضافي. نكتبه حتى الكسر الأول. للقيام بذلك، ارسم خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر واكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

نحن نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ونحصل على العامل الإضافي الثاني. LCM هو الرقم 6، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. بقسمة 6 على 2، نحصل على 3.

الرقم الناتج 3 هو المضاعف الإضافي الثاني. نكتبه إلى الكسر الثاني. مرة أخرى، نرسم خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر الثاني ونكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

الآن لدينا كل شيء جاهز للإضافة. يبقى ضرب بسط ومقامات الكسور بعواملها الإضافية:

انظر بعناية إلى ما وصلنا إليه. لقد توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس المقامات. ونحن نعرف بالفعل كيفية إضافة هذه الكسور. لنأخذ هذا المثال إلى النهاية:

هذا يكمل المثال. اتضح أن تضيف .

دعونا نحاول تصوير الحل الذي توصلنا إليه باستخدام الرسم. إذا أضفت بيتزا إلى بيتزا، فستحصل على بيتزا كاملة وسدس بيتزا آخر:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك) باستخدام صورة. بتقليل الكسور إلى قاسم مشترك، حصلنا على الكسور و . سيتم تمثيل هذين الكسرين بنفس قطع البيتزا. سيكون الاختلاف الوحيد هو أنه سيتم تقسيمهم هذه المرة إلى حصص متساوية (مخفضة إلى نفس المقام).

الرسم الأول يمثل كسرًا (أربع قطع من ستة)، والرسم الثاني يمثل كسرًا (ثلاث قطع من ستة). وبإضافة هذه القطع نحصل على (سبع قطع من أصل ستة). وهذا الكسر غير حقيقي، لذا سلطنا الضوء على الجزء بأكمله منه. ونتيجة لذلك، حصلنا على (بيتزا كاملة وبيتزا سادسة أخرى).

يرجى ملاحظة أننا وصفناها هذا المثالمفصلة للغاية. في المؤسسات التعليميةليس من المعتاد الكتابة بمثل هذه التفاصيل. يجب أن تكون قادرًا على العثور بسرعة على المضاعف المشترك الأصغر لكل من المقامات والعوامل الإضافية لها، بالإضافة إلى ضرب العوامل الإضافية التي تم العثور عليها بسرعة في البسط والمقامات. ولو كنا في المدرسة لوجب علينا أن نكتب هذا المثال على النحو التالي:

ولكن هناك أيضًا جانب آخر للعملة. إذا لم تقم بتدوين ملاحظات تفصيلية في المراحل الأولى من دراسة الرياضيات، فإن أسئلة من هذا النوع تبدأ في الظهور. "من أين يأتي هذا الرقم؟"، "لماذا تتحول الكسور فجأة إلى كسور مختلفة تمامًا؟ «.

لتسهيل عملية جمع الكسور ذات المقامات المختلفة، يمكنك استخدام الإرشادات التالية خطوة بخطوة:

1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الكسور؛
2. قم بتقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على عامل إضافي لكل كسر؛
3. ضرب بسط ومقامات الكسور بعواملها الإضافية؛
4. أضف الكسور التي لها نفس المقامات؛
5. إذا تبين أن الإجابة عبارة عن كسر غير حقيقي، فاختر الجزء بأكمله؛

مثال 2.أوجد قيمة التعبير .

دعونا نستخدم التعليمات الواردة أعلاه.

الخطوة 1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الكسور

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الكسرين. مقامات الكسور هي الأرقام 2 و 3 و 4

الخطوة 2. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على عامل إضافي لكل كسر

اقسم LCM على مقام الكسر الأول. LCM هو الرقم 12، ومقام الكسر الأول هو الرقم 2. بقسمة 12 على 2، نحصل على 6. حصلنا على العامل الإضافي الأول 6. نكتبه فوق الكسر الأول:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. LCM هو الرقم 12، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. بقسمة 12 على 3، نحصل على 4. نحصل على العامل الإضافي الثاني 4. نكتبه فوق الكسر الثاني:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. LCM هو الرقم 12، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 4. بقسمة 12 على 4، نحصل على 3. نحصل على العامل الإضافي الثالث 3. نكتبه فوق الكسر الثالث:

الخطوة 3. اضرب بسط ومقامات الكسور بعواملها الإضافية

نضرب البسط والمقام بعواملها الإضافية:

الخطوة 4. أضف الكسور التي لها نفس المقامات

لقد توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس المقامات (المشتركة). كل ما تبقى هو إضافة هذه الكسور. أضفه:

لم تكن عملية الإضافة مناسبة لسطر واحد، لذلك قمنا بنقل التعبير المتبقي إلى السطر التالي. وهذا مسموح به في الرياضيات. عندما لا يتناسب التعبير مع سطر واحد، يتم نقله إلى السطر التالي، ومن الضروري وضع علامة المساواة (=) في نهاية السطر الأول وفي بداية السطر الجديد. تشير علامة المساواة الموجودة في السطر الثاني إلى أن هذا استمرار للتعبير الذي كان في السطر الأول.

الخطوة 5. إذا تبين أن الإجابة عبارة عن كسر غير حقيقي، فاختر الجزء بأكمله منه

وتبين أن إجابتنا هي كسر غير حقيقي. وعلينا أن نسلط الضوء على جزء كامل منه. نسلط الضوء على:

لقد تلقينا إجابة

طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة

هناك نوعان من طرح الكسور:

1. طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة
2. طرح الكسور ذات المقامات المختلفة

أولًا، دعونا نتعلم كيفية طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة. كل شيء بسيط هنا. لطرح آخر من كسر واحد، تحتاج إلى طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، ولكن اترك المقام كما هو.

على سبيل المثال، دعونا نجد قيمة التعبير. لحل هذا المثال، تحتاج إلى طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، وترك المقام دون تغيير. هيا بنا نقوم بذلك:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا قمت بقطع البيتزا من البيتزا، تحصل على البيتزا:

مثال 2.أوجد قيمة التعبير.

مرة أخرى، من بسط الكسر الأول، اطرح بسط الكسر الثاني، واترك المقام دون تغيير:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا قمت بقطع البيتزا من البيتزا، تحصل على البيتزا:

مثال 3.أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل الأمثلة السابقة. من بسط الكسر الأول تحتاج إلى طرح بسط الكسور المتبقية:

كما ترون، لا يوجد شيء معقد في طرح الكسور التي لها نفس المقامات. يكفي أن نفهم القواعد التالية:

1. لطرح آخر من كسر واحد، تحتاج إلى طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، وترك المقام دون تغيير؛
2. إذا تبين أن الإجابة عبارة عن كسر غير حقيقي، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بأكمله منه.

طرح الكسور ذات المقامات المختلفة

على سبيل المثال، يمكنك طرح كسر من كسر لأن الكسور لها نفس المقامات. لكن لا يمكنك طرح كسر من كسر، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

يتم إيجاد المقام المشترك باستخدام نفس المبدأ الذي استخدمناه عند جمع الكسور ذات المقامات المختلفة. أولًا، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الكسرين. ثم يتم تقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول الذي يكتب فوق الكسر الأول. وبالمثل، يتم تقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على عامل إضافي ثانٍ، وهو مكتوب فوق الكسر الثاني.

ثم يتم ضرب الكسور بعواملها الإضافية. ونتيجة لهذه العمليات، يتم تحويل الكسور التي لها مقامات مختلفة إلى كسور لها نفس المقامات. ونحن نعرف بالفعل كيفية طرح هذه الكسور.

مثال 1.ابحث عن معنى العبارة:

هذه الكسور لها مقامات مختلفة، لذلك تحتاج إلى اختزالها إلى نفس المقام (المشترك).

أولًا، نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو 12

المضاعف المشترك الأصغر (3 و 4) = 12

الآن دعونا نعود إلى الكسور و

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. للقيام بذلك، قم بتقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. بقسمة 12 على 3، نحصل على 4. اكتب أربعة فوق الكسر الأول:

نحن نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. اقسم LCM على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. بقسمة 12 على 4، نحصل على 3. اكتب ثلاثة على الكسر الثاني:

الآن نحن جاهزون للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

لقد توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس المقامات. ونحن نعرف بالفعل كيفية طرح هذه الكسور. لنأخذ هذا المثال إلى النهاية:

لقد تلقينا إجابة

دعونا نحاول تصوير الحل الذي توصلنا إليه باستخدام الرسم. إذا قطعت بيتزا من بيتزا، فستحصل على بيتزا

هذه هي النسخة التفصيلية للحل. لو كنا في المدرسة، لكان علينا حل هذا المثال بشكل أقصر. سيبدو مثل هذا الحل كما يلي:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى قاسم مشترك باستخدام صورة. بتقليل هذه الكسور إلى قاسم مشترك، حصلنا على الكسور و . سيتم تمثيل هذه الكسور بنفس شرائح البيتزا، ولكن هذه المرة سيتم تقسيمها إلى حصص متساوية (مخفضة إلى نفس المقام):

الصورة الأولى توضح كسرًا (ثمانية أجزاء من اثني عشر)، والصورة الثانية توضح كسرًا (ثلاثة أجزاء من اثني عشر). وبقطع ثلاث قطع من ثماني قطع، نحصل على خمس قطع من اثني عشر. يصف الكسر هذه القطع الخمس.

مثال 2.أوجد قيمة التعبير

هذه الكسور لها مقامات مختلفة، لذا عليك أولًا اختزالها إلى نفس المقام (المشترك).

دعونا نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات هذه الكسور.

مقامات الكسور هي الأرقام 10 و3 و5. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو 30

المضاعف المشترك الأصغر(10، 3، 5) = 30

والآن نجد عوامل إضافية لكل كسر. للقيام بذلك، قم بتقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر.

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. LCM هو الرقم 30، ومقام الكسر الأول هو الرقم 10. بقسمة 30 على 10، نحصل على العامل الإضافي الأول 3. نكتبه فوق الكسر الأول:

والآن نجد عاملًا إضافيًا للكسر الثاني. اقسم LCM على مقام الكسر الثاني. LCM هو الرقم 30، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. بقسمة 30 على 3، نحصل على العامل الإضافي الثاني 10. نكتبه فوق الكسر الثاني:

والآن نجد عاملًا إضافيًا للكسر الثالث. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. LCM هو الرقم 30، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 5. بقسمة 30 على 5، نحصل على العامل الإضافي الثالث 6. نكتبه فوق الكسر الثالث:

الآن كل شيء جاهز للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

لقد توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس المقامات (المشتركة). ونحن نعرف بالفعل كيفية طرح هذه الكسور. دعونا ننتهي من هذا المثال.

لن يتناسب استمرار المثال مع سطر واحد، لذلك ننقل الاستمرار إلى السطر التالي. لا تنس علامة التساوي (=) على السطر الجديد:

تبين أن الإجابة عبارة عن كسر عادي، ويبدو أن كل شيء يناسبنا، لكنه مرهق وقبيح للغاية. ينبغي لنا أن نجعل الأمر أسهل. ماذا يمكن ان يفعل؟ يمكنك تقصير هذا الكسر.

لتبسيط الكسر، عليك قسمة بسطه ومقامه على (GCD) للرقمين 20 و30.

لذلك نجد gcd للأرقام 20 و 30:

نعود الآن إلى مثالنا ونقسم بسط ومقام الكسر على gcd الموجود، أي على 10

لقد تلقينا إجابة

ضرب الكسر بعدد

لضرب كسر في رقم، عليك ضرب بسط الكسر المحدد في هذا الرقم وترك المقام كما هو.

مثال 1. ضرب الكسر بالرقم 1.

اضرب بسط الكسر بالرقم 1

يمكن فهم التسجيل على أنه يستغرق نصف مرة واحدة. على سبيل المثال، إذا تناولت البيتزا مرة واحدة، فستحصل على البيتزا

نعلم من قوانين الضرب أنه إذا تم تبديل المضاعف والعامل، فلن يتغير الناتج. إذا تم كتابة التعبير كـ، فسيظل المنتج مساويًا لـ . مرة أخرى، تعمل قاعدة ضرب عدد صحيح وكسر:

يمكن فهم هذا الترميز على أنه أخذ نصف واحد. على سبيل المثال، إذا كان هناك بيتزا واحدة كاملة وأخذنا نصفها، فسيكون لدينا بيتزا:

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر في 4

وكانت الإجابة كسرًا غير لائق. دعونا نسلط الضوء على الجزء كله منه:

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ ربعين 4 مرات. على سبيل المثال، إذا أخذت 4 بيتزا، فستحصل على بيتزا كاملة

وإذا قمنا بتبديل المضاعف والمضاعف نحصل على التعبير. سيكون أيضًا مساوٍ لـ 2. يمكن فهم هذا التعبير على أنه أخذ قطعتي بيتزا من أربع فطائر بيتزا كاملة:

ضرب الكسور

لضرب الكسور، عليك أن تضرب بسطها ومقامها. إذا تبين أن الإجابة عبارة عن كسر غير حقيقي، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بأكمله منه.

مثال 1.أوجد قيمة التعبير.

لقد تلقينا إجابة. من المستحسن تقليل هذا الكسر. يمكن تقليل الكسر بمقدار 2. ثم سيكون الحل النهائي بالشكل التالي:

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ بيتزا من نصف بيتزا. لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:

كيف تأخذ الثلثين من هذا النصف؟ تحتاج أولاً إلى تقسيم هذا النصف إلى ثلاثة أجزاء متساوية:

وخذ قطعتين من هذه القطع الثلاثة:

سنصنع البيتزا. تذكر كيف تبدو البيتزا عند تقسيمها إلى ثلاثة أجزاء:

قطعة واحدة من هذه البيتزا والقطعتين اللتين أخذناهما سيكون لهما نفس الأبعاد:

بمعنى آخر، نحن نتحدث عن بيتزا بنفس الحجم. وبالتالي فإن قيمة التعبير هي

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني، ومقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:

وكانت الإجابة كسرًا غير لائق. دعونا نسلط الضوء على الجزء كله منه:

مثال 3.أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني، ومقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:

وتبين أن الإجابة عبارة عن كسر عادي، ولكن سيكون من الجيد تقصيرها. لتقليل هذا الكسر، تحتاج إلى تقسيم البسط والمقام لهذا الكسر على الأكبر القاسم المشترك(GCD) أرقام 105 و 450.

لذلك، دعونا نجد gcd للأرقام 105 و 450:

الآن نقسم البسط والمقام لإجابتنا على gcd الذي وجدناه الآن، أي على 15

تمثيل العدد الصحيح على شكل كسر

يمكن تمثيل أي عدد صحيح على شكل كسر. على سبيل المثال، يمكن تمثيل الرقم 5 كـ . وهذا لن يغير معنى خمسة، لأن اللفظ يعني "العدد خمسة على واحد"، وهذا كما نعلم يساوي خمسة:

أرقام متبادلة

الآن سوف نتعرف على موضوع مثير للاهتمام للغاية في الرياضيات. يطلق عليه "الأرقام العكسية".

تعريف. عكس إلى الرقمأ هو الرقم الذي، عندما ضربأ يعطي واحدة.

دعونا نستبدل في هذا التعريف بدلا من المتغير أرقم 5 وحاول قراءة التعريف:

عكس إلى الرقم 5 هو الرقم الذي، عندما ضرب 5 يعطي واحدة.

هل يمكن العثور على رقم إذا ضرب في 5 يعطي واحدا؟ اتضح أن هذا ممكن. دعونا نتخيل خمسة ككسر:

ثم اضرب هذا الكسر في نفسه، فقط قم بتبديل البسط والمقام. بمعنى آخر، دعونا نضرب الكسر في نفسه، فقط بالمقلوب:

ماذا سيحدث نتيجة لهذا؟ إذا واصلنا حل هذا المثال، نحصل على واحد:

هذا يعني أن معكوس الرقم 5 هو الرقم، لأنك عندما تضرب 5 في تحصل على واحد.

يمكن أيضًا العثور على مقلوب أي رقم لأي عدد صحيح آخر.

يمكنك أيضًا إيجاد مقلوب أي كسر آخر. للقيام بذلك، فقط اقلبها.

قسمة الكسر على عدد

لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:

دعونا نقسمها بالتساوي بين اثنين. ما هي كمية البيتزا التي سيحصل عليها كل شخص؟

ويمكن ملاحظة أنه بعد تقسيم نصف البيتزا، تم الحصول على قطعتين متساويتين، كل منهما تشكل بيتزا. حتى يحصل الجميع على البيتزا.

يتم تقسيم الكسور باستخدام المقلوب. تسمح لك الأرقام المتبادلة باستبدال القسمة بالضرب.

لقسمة كسر على رقم، عليك ضرب الكسر في معكوس المقسوم عليه.

باستخدام هذه القاعدة، سنكتب تقسيم نصف البيتزا إلى قسمين.

لذلك، تحتاج إلى تقسيم الكسر على الرقم 2. هنا المقسوم هو الكسر والمقسوم عليه هو الرقم 2.

لتقسيم الكسر على الرقم 2، عليك ضرب هذا الكسر بمقلوب المقسوم عليه 2. ومقلوب المقسوم عليه 2 هو الكسر. لذلك عليك أن تتضاعف

ضرب وقسمة الكسور.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

هذه العملية أجمل بكثير من عملية الجمع والطرح! لأنه أسهل. للتذكير، لضرب كسر في كسر، تحتاج إلى ضرب البسطين (سيكون هذا هو بسط النتيجة) والمقامات (سيكون هذا هو المقام). إنه:

على سبيل المثال:

كل شيء بسيط للغاية. ومن فضلك لا تبحث عن قاسم مشترك! ولا داعي له هنا..

لقسمة كسر على كسر، عليك أن تعكس ثانية(وهذا مهم!) قم بكسرها وضربها، أي:

على سبيل المثال:

إذا صادفت الضرب أو القسمة مع الأعداد الصحيحة والكسور، فلا بأس. كما هو الحال مع عملية الجمع، فإننا نقوم بعمل كسر من عدد صحيح به واحد في المقام - وهيا بنا! على سبيل المثال:

في المدرسة الثانوية، غالبًا ما يتعين عليك التعامل مع كسور مكونة من ثلاثة طوابق (أو حتى من أربعة طوابق!). على سبيل المثال:

كيف يمكنني أن أجعل هذا الكسر يبدو لائقًا؟ نعم، بسيط جدا! استخدام القسمة على نقطتين:

لكن لا تنسى ترتيب القسمة! على عكس الضرب، هذا مهم جدًا هنا! وبطبيعة الحال، لن نخلط بين 4: 2 أو 2: 4. ولكن من السهل ارتكاب خطأ في جزء من ثلاثة طوابق. يرجى ملاحظة على سبيل المثال:

في الحالة الأولى (التعبير على اليسار):

وفي الثاني (التعبير على اليمين):

هل تشعر بالفرق؟ 4 و 1/9!

ما الذي يحدد ترتيب القسمة؟ إما بأقواس، أو (كما هنا) بطول الخطوط الأفقية. تطوير عينك. وإذا لم يكن هناك قوسين أو شرطات، مثل:

ثم القسمة والضرب بالترتيب من اليسار إلى اليمين!

وتقنية أخرى بسيطة ومهمة للغاية. في الإجراءات ذات الدرجات، سيكون ذلك مفيدًا جدًا لك! لنقسم الواحد على أي كسر، على سبيل المثال، على 13/15:

لقد انقلبت اللقطة! وهذا يحدث دائمًا. عند قسمة 1 على أي كسر، يكون الناتج هو نفس الكسر، فقط رأسًا على عقب.

هذا كل شيء بالنسبة للعمليات مع الكسور. الأمر بسيط للغاية، لكنه يعطي أخطاء أكثر من كافية. ملحوظة نصيحة عمليةوسيكون هناك عدد أقل منهم (الأخطاء)!

نصائح عملية:

1. أهم شيء عند التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والانتباه! هذه ليست كلمات عامة، وليست تمنيات طيبة! وهذه ضرورة ماسة! قم بإجراء جميع العمليات الحسابية في امتحان الدولة الموحدة كمهمة كاملة ومركزة وواضحة. من الأفضل أن تكتب سطرين إضافيين في مسودتك بدلاً من أن تخطئ عند إجراء الحسابات الذهنية.

2. في الأمثلة مع أنواع مختلفةالكسور - انتقل إلى الكسور العادية.

3. نقوم بتقليل جميع الكسور حتى تتوقف.

4. نقوم بتقليل التعبيرات الكسرية متعددة المستويات إلى تعبيرات عادية باستخدام القسمة على نقطتين (نتبع ترتيب القسمة!).

5. اقسم الوحدة على كسر في رأسك، ببساطة قم بقلب الكسر.

فيما يلي المهام التي يجب عليك إكمالها بالتأكيد. يتم إعطاء الإجابات بعد كل المهام. استخدم المواد المتعلقة بهذا الموضوع والنصائح العملية. قم بتقدير عدد الأمثلة التي تمكنت من حلها بشكل صحيح. المرة الأولى! بدون آلة حاسبة! واستخلاص النتائج الصحيحة..

تذكر - الإجابة الصحيحة هي المستلمة من المرة الثانية (وخاصة الثالثة) لا تحسب!هذه هي الحياة القاسية.

لذا، حل في وضع الامتحان ! بالمناسبة، هذا تحضير لامتحان الدولة الموحدة. نحل المثال، نتحقق منه، نحل المثال التالي. لقد قررنا كل شيء - فحصنا مرة أخرى من الأول إلى الأخير. لكن فقط ثمانظر إلى الإجابات.

احسب:

هل قررت؟

نحن نبحث عن الإجابات التي تطابق لك. لقد كتبتها عمدا في حالة من الفوضى، بعيدا عن الإغراء، إذا جاز التعبير... وها هي الإجابات، مكتوبة بفواصل منقوطة.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

الآن نستخلص النتائج. إذا نجح كل شيء، فأنا سعيد من أجلك! الحسابات الأساسية مع الكسور ليست مشكلتك! يمكنك أن تفعل أشياء أكثر خطورة. ان لم...

لذلك لديك واحدة من مشكلتين. أو كلاهما في وقت واحد.) قلة المعرفة و (أو) عدم الانتباه. لكن هذا قابلة للحل مشاكل.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

إن ضرب عدد صحيح في كسر ليس بالمهمة الصعبة. ولكن هناك بعض التفاصيل الدقيقة التي ربما تكون قد فهمتها في المدرسة، ولكنك نسيتها منذ ذلك الحين.

كيفية ضرب عدد صحيح في كسر - بعض المصطلحات

إذا كنت تتذكر ما هو البسط والمقام وكيف يختلف الكسر الصحيح عن الكسر غير الحقيقي، فتخط هذه الفقرة. إنه لأولئك الذين نسوا النظرية تمامًا.

البسط هو الجزء العلويالكسور هي ما نقسمه. المقام أقل. وهذا هو ما نقسم عليه.
الكسر الصحيح هو الذي بسطه أقل من مقامه. الكسر غير الحقيقي هو الذي بسطه أكبر من أو يساوي مقامه.

كيفية ضرب عدد صحيح في كسر

إن قاعدة ضرب عدد صحيح في كسر بسيطة للغاية - فنحن نضرب البسط في العدد الصحيح، لكن لا نلمس المقام. على سبيل المثال: اثنان مضروبًا في الخمس - نحصل على خمسين. أربعة في ثلاثة على ستة عشر يساوي اثني عشر على ستة عشر.

تخفيض

وفي المثال الثاني، يمكن تقليل الكسر الناتج.
ماذا يعني ذلك؟ يرجى ملاحظة أن كلًا من بسط هذا الكسر ومقامه يقبلان القسمة على أربعة. تسمى قسمة كلا الرقمين على قاسم مشترك بتقليل الكسر. نحصل على ثلاثة أرباع.

الكسور غير المناسبة

لكن لنفترض أننا ضربنا أربعة في خمسين. وتبين أنها ثمانية أخماس. وهذا كسر غير لائق.
إنها بالتأكيد بحاجة إلى إحضارها النوع الصحيح. للقيام بذلك، تحتاج إلى تحديد جزء كامل منه.
هنا تحتاج إلى استخدام القسمة مع الباقي. نحصل على واحد وثلاثة كباقي.
واحد صحيح وثلاثة أخماس هو الكسر الصحيح.

إن كتابة خمسة وثلاثين على ثمانية بالصورة الصحيحة أمر أكثر صعوبة قليلًا، وأقرب رقم إلى سبعة وثلاثين يقبل القسمة على ثمانية هو اثنان وثلاثون. عند القسمة نحصل على أربعة. اطرح اثنين وثلاثين من خمسة وثلاثين وسنحصل على ثلاثة. النتيجة: أربعة كاملة وثلاثة أثمان.

المساواة بين البسط والمقام. وهنا كل شيء بسيط وجميل للغاية. إذا كان البسط والمقام متساويين، فالنتيجة هي واحد ببساطة.

في هذه المقالة سوف ننظر ضرب الأعداد المختلطة. أولاً، سنوضح قاعدة ضرب الأعداد الكسرية ونفكر في تطبيق هذه القاعدة عند حل الأمثلة. بعد ذلك سنتحدث عن ضرب عدد مختلط وعدد طبيعي. وأخيرًا، سوف نتعلم كيفية ضرب عدد كسري و جزء مشترك.

التنقل في الصفحة.

ضرب الأعداد الكسرية.

ضرب الأعداد الكسريةيمكن اختزالها إلى ضرب الكسور العادية. للقيام بذلك، يكفي تحويل الأرقام المختلطة إلى كسور غير حقيقية.

دعونا نكتبها قاعدة ضرب الأعداد المختلطة:

• أولاً، يجب استبدال الأعداد الكسرية التي يتم ضربها بكسور غير صحيحة؛
• ثانيًا، عليك استخدام قاعدة ضرب الكسور بكسور.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لتطبيق هذه القاعدة عند ضرب عدد مختلط بعدد مختلط.

إجراء عملية ضرب الأعداد الكسرية و.

أولًا، دعونا نمثل الأعداد الكسرية التي يتم ضربها في صورة كسور غير حقيقية: و . يمكننا الآن استبدال ضرب الأعداد الكسرية بضرب الكسور العادية: . بتطبيق قاعدة ضرب الكسور نحصل على . الكسر الناتج غير قابل للاختزال (انظر الكسور القابلة للاختزال وغير القابلة للاختزال)، لكنه غير مناسب (انظر الكسور الصحيحة وغير الصحيحة)، لذلك، للحصول على الإجابة النهائية، يبقى عزل الجزء بأكمله من الكسر غير الحقيقي: .

لنكتب الحل كاملا في سطر واحد : .

.

لتعزيز مهارات ضرب الأعداد الكسرية، فكر في حل مثال آخر.

قم بعملية الضرب.

أرقام مضحكة وتساوي الكسور 13/5 و 10/9 على التوالي. ثم . في هذه المرحلة، حان الوقت للتذكر حول تبسيط الكسر: استبدال جميع الأرقام الموجودة في الكسر بتحليلها إلى عوامل أولية، وإجراء تبسيط للعوامل المتطابقة.

ضرب عدد مختلط وعدد طبيعي

بعد استبدال عدد مختلط بكسر غير حقيقي، ضرب عدد مختلط وعدد طبيعييؤدي إلى مضاعفة الكسر العادي والعدد الطبيعي.

ضرب عدد مختلط والعدد الطبيعي 45.

إذن، العدد الكسري يساوي كسرًا . لنستبدل الأرقام الموجودة في الكسر الناتج بتحللها إلى عوامل أولية، ونجري عملية اختزال، ثم نحدد الجزء بأكمله: .

.

في بعض الأحيان يتم إجراء عملية ضرب عدد مختلط وعدد طبيعي باستخدام خاصية توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع. في هذه الحالة يكون حاصل ضرب عدد مختلط وعدد طبيعي يساوي مجموع حاصل ضرب الجزء الصحيح في العدد الطبيعي المعطى والجزء الكسري في العدد الطبيعي المعطى، أي: .

احسب المنتج.

لنستبدل العدد الكسري بمجموع الأعداد الصحيحة والكسرية، وبعد ذلك نطبق خاصية التوزيع للضرب: .

ضرب الأعداد الكسرية والكسورمن الأكثر ملاءمة اختزاله إلى ضرب الكسور العادية من خلال تمثيل الرقم المختلط الذي يتم ضربه ككسر غير حقيقي.

اضرب العدد الكسري في الكسر المشترك 4/15.

بالتعويض عن العدد الكسري بكسر نحصل على .

www.cleverstudents.ru

ضرب الكسور

§ 140. التعاريف. 1) يتم تعريف ضرب الكسر في عدد صحيح بنفس طريقة ضرب الأعداد الصحيحة، وهي: ضرب رقم (مضاعف) بعدد صحيح (عامل) يعني تكوين مجموع مصطلحات متطابقة، حيث يكون كل حد يساوي المضاعف، وعدد المصطلحات يساوي المضاعف.

الضرب في 5 يعني إيجاد المجموع:
2) ضرب عدد (مضاعف) في كسر (عامل) يعني إيجاد هذا الكسر من المضاعف.

ومن ثم، سنسمي الآن إيجاد كسر لعدد معين، والذي تناولناه سابقًا، الضرب في كسر.

3) ضرب عدد (مضاعف) في عدد كسري (عامل) يعني ضرب المضاعف أولاً في العدد الصحيح للمضاعف، ثم في كسر المضاعف، وجمع نتائج هذين الضربين معًا.

على سبيل المثال:

ويسمى الرقم الذي يتم الحصول عليه بعد الضرب في كل هذه الحالات عمل، أي نفس الشيء عند ضرب الأعداد الصحيحة.

يتضح من هذه التعريفات أن ضرب الأعداد الكسرية هو إجراء ممكن دائمًا ولا لبس فيه دائمًا.

§ 141. مدى ملاءمة هذه التعريفات.لفهم مدى استصواب إدخال التعريفين الأخيرين للضرب في الحساب، دعونا نأخذ المشكلة التالية:

مهمة. يتحرك قطار بشكل منتظم ويقطع مسافة 40 كيلومترًا في الساعة؛ كيف تعرف عدد الكيلومترات التي سيقطعها هذا القطار في عدد معين من الساعات؟

إذا بقينا مع هذا التعريف الوحيد للضرب، والذي يشار إليه في حساب الأعداد الصحيحة (جمع الحدود المتساوية)، فإن مسألتنا ستكون لها ثلاثة حلول مختلفة، يسمى:

إذا كان عدد الساعات المحدد عددًا صحيحًا (على سبيل المثال، 5 ساعات)، لحل المشكلة، عليك ضرب 40 كم بهذا العدد من الساعات.

إذا تم التعبير عن عدد معين من الساعات ككسر (على سبيل المثال، ساعة)، فسيتعين عليك العثور على قيمة هذا الكسر من 40 كم.

أخيرًا، إذا كان عدد الساعات المحدد مختلطًا (على سبيل المثال، ساعات)، فسيلزم ضرب 40 كم بالعدد الصحيح الموجود في الرقم المختلط، وإضافة جزء آخر من 40 كم إلى النتيجة، وهو في العدد المختلط رقم.

التعريفات التي نقدمها تسمح بكل هذا الحالات المحتملةأعط إجابة عامة واحدة:

تحتاج إلى ضرب 40 كم في عدد معين من الساعات، مهما كان.

وبالتالي، إذا كانت المشكلة ممثلة في منظر عاملذا:

يتحرك قطار بشكل منتظم ويقطع مسافة v km في ساعة واحدة. كم عدد الكيلومترات التي سيقطعها القطار في ساعات t؟

إذن، بغض النظر عن الرقمين v وt، يمكننا تقديم إجابة واحدة: يتم التعبير عن الرقم المطلوب بالصيغة v · t.

ملحوظة. إن العثور على كسر ما من رقم معين، حسب تعريفنا، يعني نفس الشيء مثل ضرب رقم معين في هذا الكسر؛ لذلك، على سبيل المثال، العثور على 5% (أي خمسمائة جزء من مائة) من رقم معين يعني نفس الشيء مثل ضرب رقم معين بـ أو بـ؛ العثور على 125% من رقم معين يعني ضرب هذا الرقم في أو في، وما إلى ذلك.

§ 142.ملاحظة متى يزيد العدد ومتى ينقص من الضرب.

الضرب في كسر مناسب يقلل العدد، والضرب في جزء غير لائقويزداد العدد إذا كان هذا الكسر غير الفعلي أكبر من واحد، ويبقى دون تغيير إذا كان يساوي واحدًا.
تعليق. عند ضرب الأعداد الكسرية، وكذلك الأعداد الصحيحة، يؤخذ الناتج مساويًا للصفر إذا كان أي من العوامل يساوي الصفر، لذلك .

§ 143. اشتقاق قواعد الضرب.

1) ضرب الكسر في عدد صحيح. دع الكسر يضرب في 5. وهذا يعني زيادة بمقدار 5 مرات. لزيادة الكسر بمقدار 5 مرات، يكفي زيادة بسطه أو تقليل مقامه بمقدار 5 مرات (الفقرة 127).

لهذا السبب:
المادة 1. لضرب كسر في عدد صحيح، تحتاج إلى ضرب البسط في هذا العدد الصحيح، ولكن اترك المقام كما هو؛ بدلًا من ذلك، يمكنك أيضًا قسمة مقام الكسر على العدد الصحيح المحدد (إن أمكن)، وترك البسط كما هو.

تعليق. حاصل ضرب الكسر ومقامه يساوي بسطه.

لذا:
القاعدة 2. لضرب عدد صحيح في كسر، تحتاج إلى ضرب العدد الصحيح في بسط الكسر وجعل هذا الناتج هو البسط، وتوقيع مقام هذا الكسر على أنه المقام.
القاعدة 3. لضرب كسر في كسر، تحتاج إلى ضرب البسط في البسط والمقام في المقام، وجعل المنتج الأول هو البسط، والثاني هو مقام المنتج.

تعليق. يمكن تطبيق هذه القاعدة أيضًا على ضرب كسر في عدد صحيح وعدد صحيح في كسر، فقط إذا اعتبرنا العدد الصحيح كسرًا مقامه واحدًا. لذا:

وبالتالي، فإن القواعد الثلاثة الموضحة الآن موجودة في قاعدة واحدة، والتي يمكن التعبير عنها بشكل عام على النحو التالي:
4) ضرب الأعداد الكسرية.

القاعدة الرابعة. لضرب الأعداد الكسرية، عليك تحويلها إلى كسور غير حقيقية ثم الضرب وفقًا لقواعد ضرب الكسور. على سبيل المثال:
§ 144. التخفيض أثناء الضرب. عند ضرب الكسور، إن أمكن، من الضروري إجراء تخفيض أولي، كما يتبين من الأمثلة التالية:

يمكن إجراء هذا التخفيض لأن قيمة الكسر لن تتغير إذا تم تقليل البسط والمقام بنفس عدد المرات.

§ 145. تغيير المنتج بتغير العوامل.عندما تتغير العوامل، سيتغير منتج الأعداد الكسرية بنفس الطريقة تمامًا مثل منتج الأعداد الصحيحة (§ 53)، وهي: إذا قمت بزيادة (أو نقصان) أي عامل عدة مرات، فإن المنتج سيزيد (أو ينقص) بنفس المبلغ .

لذلك، إذا كان في المثال:
لضرب عدة كسور، تحتاج إلى ضرب بسطها مع بعضها البعض والمقامات مع بعضها البعض وجعل المنتج الأول هو البسط، والثاني هو مقام المنتج.

تعليق. يمكن أيضًا تطبيق هذه القاعدة على مثل هذه المنتجات التي تكون فيها بعض عوامل العدد أعدادًا صحيحة أو مختلطة، فقط إذا اعتبرنا العدد الصحيح كسرًا مقامه واحدًا، وقمنا بتحويل الأعداد المختلطة إلى كسور غير حقيقية. على سبيل المثال:
§ 147. الخصائص الأساسية للضرب.خصائص الضرب التي أشرنا إليها بالنسبة للأعداد الصحيحة (الفقرات 56، 57، 59) تنطبق أيضًا على ضرب الأعداد الكسرية. دعونا نشير إلى هذه الخصائص.

1) لا يتغير الناتج بتغير العوامل.

على سبيل المثال:

في الواقع، وفقا لقاعدة الفقرة السابقة، فإن الناتج الأول يساوي الكسر، والثاني يساوي الكسر. لكن هذه الكسور هي نفسها، لأن حدودها تختلف فقط في ترتيب العوامل الصحيحة، وحاصل الأعداد الصحيحة لا يتغير بتغير أماكن العوامل.

2) لن يتغير المنتج إذا تم استبدال أي مجموعة من العوامل بمنتجها.

على سبيل المثال:

النتائج هي نفسها.

ومن خاصية الضرب هذه يمكن استخلاص الاستنتاج التالي:

لضرب رقم في حاصل الضرب، يمكنك ضرب هذا الرقم في العامل الأول، وضرب الرقم الناتج في العامل الثاني، وما إلى ذلك.

على سبيل المثال:
3) قانون توزيع الضرب (بالنسبة إلى الجمع). لضرب مجموع في رقم، يمكنك ضرب كل حد على حدة في هذا الرقم وإضافة النتائج.

لقد شرحنا هذا القانون (المادة 59) كما هو مطبق على الأعداد الصحيحة. يبقى صحيحًا دون أي تغييرات في الأعداد الكسرية.

دعونا نبين، في الواقع، أن المساواة

(أ + ب + ج + .)م = ص + ب + سم + .

(قانون توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع) يظل صحيحًا حتى عندما تمثل الحروف أرقامًا كسرية. دعونا ننظر في ثلاث حالات.

1) لنفترض أولاً أن العامل m هو عدد صحيح، على سبيل المثال m = 3 (a، b، c – أي أرقام). وفقًا لتعريف الضرب بعدد صحيح، يمكننا أن نكتب (نقتصر على ثلاثة مصطلحات للتبسيط):

(أ + ب + ج) * 3 = (أ + ب + ج) + (أ + ب + ج) + (أ + ب + ج).

بناءً على قانون الجمع، يمكننا حذف جميع الأقواس الموجودة على الجانب الأيمن؛ من خلال تطبيق قانون الجمع التبادلي، ثم قانون الترابط مرة أخرى، يمكننا بوضوح إعادة كتابة الطرف الأيمن على النحو التالي:

(أ + أ + أ) + (ب + ب + ب) + (ج + ج + ج).

(أ + ب + ج) * 3 = أ * 3 + ب * 3 + ج * 3.

وهذا يعني أن قانون التوزيع مؤكد في هذه الحالة.

ضرب وقسمة الكسور

في المرة الأخيرة تعلمنا كيفية جمع وطرح الكسور (راجع الدرس "جمع وطرح الكسور"). كان الجزء الأصعب من تلك الإجراءات هو جلب الكسور إلى قاسم مشترك.

الآن حان الوقت للتعامل مع الضرب والقسمة. والخبر السار هو أن هذه العمليات أبسط من الجمع والطرح. أولا، دعونا ننظر أبسط حالة، عندما يكون هناك كسران موجبان بدون جزء صحيح منفصل.

لضرب كسرين، يجب عليك ضرب بسطهما ومقاميهما بشكل منفصل. سيكون الرقم الأول هو بسط الكسر الجديد، وسيكون الرقم الثاني هو المقام.

لتقسيم كسرين، عليك ضرب الكسر الأول في الكسر الثاني "المقلوب".

ويترتب على التعريف أن تقسيم الكسور يؤدي إلى الضرب. "لقلب" الكسر، ما عليك سوى تبديل البسط والمقام. لذلك، طوال الدرس، سننظر بشكل أساسي في الضرب.

نتيجة للضرب، يمكن أن ينشأ جزء قابل للاختزال (وغالبا ما ينشأ) - بالطبع، يجب تخفيضه. إذا تبين بعد كل التخفيضات أن الكسر غير صحيح، فيجب تسليط الضوء على الجزء بأكمله. لكن ما لن يحدث بالتأكيد مع الضرب هو الاختزال إلى قاسم مشترك: لا توجد طرق متقاطعة، العوامل الأكبر والمضاعفات المشتركة الأصغر.

حسب التعريف لدينا:

ضرب الكسور بالأجزاء الكاملة والكسور السالبة

إذا كانت الكسور تحتوي على جزء صحيح، فيجب تحويلها إلى أجزاء غير صحيحة - وعندها فقط يتم ضربها وفقًا للمخططات الموضحة أعلاه.

إذا كان هناك ناقص في بسط الكسر أو في المقام أو أمامه، فيمكن إخراجه من الضرب أو حذفه نهائياً وفق القواعد الآتية:

1. زائد بواسطة ناقص يعطي ناقص؛
2. اثنان من السلبيات يجعلان إيجابيا.

حتى الآن، لم يتم تطبيق هذه القواعد إلا عند جمع وطرح الكسور السالبة، عندما كان من الضروري التخلص من الجزء بأكمله. بالنسبة للعمل، يمكن تعميمها من أجل "حرق" العديد من العيوب في وقت واحد:

1. نقوم بشطب السلبيات في أزواج حتى تختفي تمامًا. في الحالات القصوى، يمكن أن يعيش واحد ناقص - الشخص الذي لم يكن هناك رفيقة؛
2. إذا لم يكن هناك أي سلبيات متبقية، فقد اكتملت العملية - يمكنك البدء في الضرب. وإذا لم يتم شطب السالب الأخير لعدم وجود زوج له، فإننا نخرجه خارج حدود الضرب. والنتيجة هي جزء سلبي.

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

نحول جميع الكسور إلى كسور غير حقيقية، ثم نحذف السالب من الضرب. نضرب ما تبقى حسب القواعد المعتادة. نحن نحصل:

اسمحوا لي أن أذكرك مرة أخرى أن الطرح الذي يظهر أمام الكسر مع الجزء الكامل المميز يشير على وجه التحديد إلى الكسر بأكمله، وليس فقط الجزء بأكمله (وهذا ينطبق على المثالين الأخيرين).

انتبه أيضًا إلى الأرقام السالبة: عند الضرب، يتم وضعها بين قوسين. يتم ذلك من أجل فصل السالب عن علامات الضرب وجعل التدوين بأكمله أكثر دقة.

تقليل الكسور على الطاير

الضرب هو عملية كثيفة العمالة للغاية. الأرقام هنا كبيرة جدًا، ولتبسيط المشكلة، يمكنك محاولة تقليل الكسر بشكل أكبر قبل الضرب. في الواقع، في جوهرها، تعتبر بسط ومقامات الكسور عوامل عادية، وبالتالي يمكن اختزالها باستخدام الخاصية الأساسية للكسر. ألق نظرة على الأمثلة:

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

حسب التعريف لدينا:

وفي جميع الأمثلة، يتم تحديد الأعداد التي تم تخفيضها وما تبقى منها باللون الأحمر.

يرجى ملاحظة: في الحالة الأولى، تم تخفيض المضاعفات بالكامل. وتبقى في مكانها وحدات لا تحتاج عمومًا إلى كتابتها. في المثال الثاني، لم يكن من الممكن تحقيق التخفيض الكامل، لكن إجمالي عدد الحسابات انخفض.

ومع ذلك، لا تستخدم هذه التقنية أبدًا عند جمع وطرح الكسور! نعم، في بعض الأحيان توجد أرقام مماثلة تريد تقليلها فقط. هنا انظر:

لا يمكنك أن تفعل ذلك!

يحدث الخطأ لأنه عند الجمع، ينتج عن بسط الكسر مجموع، وليس حاصل ضرب الأرقام. وبالتالي، من المستحيل تطبيق الخاصية الأساسية للكسر، لأن هذه الخاصية تتعامل بشكل خاص مع ضرب الأعداد.

ببساطة لا توجد أسباب أخرى لتقليل الكسور، لذلك الحل الصحيحتبدو المهمة السابقة كما يلي:

كما ترون، تبين أن الإجابة الصحيحة ليست جميلة جدا. بشكل عام، كن حذرا.

ضرب الكسور.

لضرب كسر في كسر أو كسر في رقم بشكل صحيح، عليك أن تعرف قواعد بسيطة. وسنقوم الآن بتحليل هذه القواعد بالتفصيل.

ضرب كسر عادي في كسر.

لضرب كسر في كسر، عليك حساب حاصل ضرب البسطين وحاصل ضرب مقامات هذه الكسور.

لنلقي نظرة على مثال:
نضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني، ونضرب أيضًا مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني.

ضرب الكسر بعدد.

أولا، دعونا نتذكر القاعدة، يمكن تمثيل أي رقم ككسر \(\bf n = \frac \) .

دعونا نستخدم هذه القاعدة عند الضرب.

تم تحويل الكسر غير الحقيقي \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) إلى كسر مختلط.

بعبارة أخرى، عند ضرب عدد في كسر، نضرب الرقم في البسط ونترك المقام دون تغيير.مثال:

ضرب الكسور المختلطة.

لضرب الكسور المختلطة، يجب عليك أولًا تمثيل كل كسر مختلط ككسر غير فعلي، ثم استخدام قاعدة الضرب. نضرب البسط في البسط، ونضرب المقام في المقام.

ضرب الكسور والأرقام المتبادلة.

أسئلة ذات صلة:
كيفية ضرب الكسر في الكسر؟
الإجابة: حاصل ضرب الكسور العادية هو ضرب البسط في البسط والمقام في المقام. للحصول على ناتج الكسور المختلطة، تحتاج إلى تحويلها إلى كسر غير حقيقي وضربها وفقًا للقواعد.

كيفية ضرب الكسور ذات القواسم المختلفة؟
الإجابة: لا يهم ما إذا كانت الكسور لها نفس المقامات أو مختلفة، فالضرب يحدث وفقًا لقاعدة إيجاد حاصل ضرب البسط في البسط والمقام في المقام.

كيفية ضرب الكسور المختلطة؟
الإجابة: أولًا، عليك تحويل الكسر المختلط إلى كسر غير فعلي ثم إيجاد الناتج باستخدام قواعد الضرب.

كيفية ضرب رقم في الكسر؟
الجواب: نضرب العدد في البسط، ونترك المقام كما هو.

مثال 1:
احسب المنتج: أ) \(\frac \times \frac \) ب) \(\frac \times \frac \)

المثال رقم 2:
حساب حاصل ضرب عدد وكسر: أ) \(3 \مرات \frac \) ب) \(\frac \مرات 11\)

المثال رقم 3:
اكتب مقلوب الكسر \(\frac \)؟
الإجابة: \(\frac = 3\)

المثال رقم 4:
احسب حاصل ضرب كسرين متبادلين: أ) \(\frac \times \frac \)

المثال رقم 5:
هل يمكن أن تكون الكسور المتبادلة:
أ) في وقت واحد مع الكسور المناسبة؛
ب) الكسور غير الصحيحة في وقت واحد؛
ج) الأعداد الطبيعية في وقت واحد؟

حل:
أ) للإجابة على السؤال الأول، دعونا نعطي مثالا. الكسر \(\frac \) صحيح، وكسره العكسي سيكون مساويًا لـ \(\frac \) - وهو كسر غير حقيقي. الجواب: لا.

ب) في جميع تعدادات الكسور تقريبًا لا يتم استيفاء هذا الشرط، ولكن هناك بعض الأعداد التي تحقق شرط أن تكون كسرًا غير فعلي في نفس الوقت. على سبيل المثال، الكسر غير الفعلي هو \(\frac \) وكسره العكسي يساوي \(\frac \). نحصل على كسرين غير حقيقيين. الإجابة: ليس دائمًا في ظل ظروف معينة عندما يكون البسط والمقام متساويين.

ج) الأعداد الطبيعية هي الأعداد التي نستخدمها عند العد، على سبيل المثال، 1، 2، 3، …. إذا أخذنا الرقم \(3 = \frac \)، فإن الكسر العكسي له سيكون \(\frac \). الكسر \(\frac \) ليس عددًا طبيعيًا. إذا مررنا بجميع الأرقام، يكون مقلوب الرقم دائمًا كسرًا، باستثناء 1. إذا أخذنا الرقم 1، فسيكون كسره المتبادل \(\frac = \frac = 1\). الرقم 1 هو عدد طبيعي. الإجابة: يمكن أن تكون أعدادًا طبيعية في نفس الوقت في حالة واحدة فقط، إذا كان هذا هو الرقم 1.

المثال رقم 6:
أوجد حاصل ضرب الكسور المختلطة: أ) \(4 \مرات 2\frac \) ب) \(1\frac \مرات 3\frac \)

حل:
أ) \(4 \مرات 2\frac = \frac \مرات \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
ب) \(1\فارك \مرات 3\فارك = \فارك \مرات \فارك = \فارك = 4\فارك \)

المثال رقم 7:
هل يمكن أن يكون عددان مقلوبان أرقامًا مختلطة في نفس الوقت؟

لنلقي نظرة على مثال. لنأخذ كسرًا مختلطًا \(1\frac \)، ونجد الكسر العكسي الخاص به، وللقيام بذلك نقوم بتحويله إلى كسر غير حقيقي \(1\frac = \frac \) . سيكون الكسر العكسي مساويًا لـ \(\frac \) . الكسر \(\frac\) هو كسر مناسب. الإجابة: لا يمكن أن يكون الكسران المتضادان عددين كسريين في نفس الوقت.

ضرب عدد عشري في عدد طبيعي

العرض التقديمي للدرس

انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتم هذا العمل، يرجى تنزيل النسخة الكاملة.

• بطريقة ممتعة، قدّم للطلاب قاعدة ضرب الكسر العشري في عدد طبيعي، وفي وحدة القيمة المكانية، وقاعدة التعبير عن الكسر العشري كنسبة مئوية. تنمية القدرة على تطبيق المعرفة المكتسبة عند حل الأمثلة والمشكلات.
• تطوير وتفعيل التفكير المنطقيالطلاب، والقدرة على تحديد الأنماط وتعميمها، وتقوية الذاكرة، والقدرة على التعاون، وتقديم المساعدة، وتقييم عملهم الخاص وعمل بعضهم البعض.
• تنمية الاهتمام بالرياضيات والنشاط والتنقل ومهارات الاتصال.

معدات:لوحة بيضاء تفاعلية، ملصق به مخطط مشفر، ملصقات تحتوي على تصريحات لعلماء الرياضيات.

1. تنظيم الوقت.
2. الحساب الشفهي – تعميم المواد التي سبق دراستها، والتحضير لدراسة مواد جديدة.
3. شرح مادة جديدة .
4. الواجب المنزلي.
5. التربية البدنية الرياضية.
6. تعميم وتنظيم المعرفة المكتسبة بطريقة مرحة باستخدام الكمبيوتر.
7. وضع العلامات.

2. يا رفاق، درسنا اليوم سيكون غير عادي إلى حد ما، لأنني لن أقوم بتدريسه بمفردي، ولكن مع صديقي. وصديقي أيضًا غير عادي، ستراه الآن. (يظهر كمبيوتر كرتوني على الشاشة.) صديقي لديه اسم ويمكنه التحدث. ما اسمك يا صديقي؟ تجيب كومبوشا: "اسمي كومبوشا". هل أنت مستعد لمساعدتي اليوم؟ نعم! حسنًا، فلنبدأ الدرس.

وصلتني اليوم رسالة مشفرة يا شباب يجب علينا حلها وفك شفرتها معًا. (ملصق مع العد اللفظيعند جمع وطرح الكسور العشرية، ونتيجة لذلك يتلقى الأطفال الكود التالي 523914687. )

يساعد Komposha في فك الكود المستلم. نتيجة فك التشفير هي كلمة الضرب. الضرب هو الكلمة الأساسية لموضوع درس اليوم. يتم عرض موضوع الدرس على الشاشة: "ضرب الكسر العشري في عدد طبيعي"

يا رفاق، نحن نعرف كيفية الضرب الأعداد الطبيعية. اليوم سوف ننظر في الضرب أرقام عشريةإلى عدد طبيعي. يمكن اعتبار ضرب الكسر العشري في عدد طبيعي مجموع حدود، كل منها يساوي هذا الكسر العشري، وعدد الحدود يساوي هذا العدد الطبيعي. على سبيل المثال: 5.21 ·3 = 5.21 + 5.21 + 5.21 = 15.63 إذن 5.21 ·3 = 15.63. بتقديم 5.21 ككسر عادي لعدد طبيعي، نحصل على

وفي هذه الحالة حصلنا على نفس النتيجة: 15.63. والآن، مع تجاهل الفاصلة، بدلًا من الرقم 5.21، خذ الرقم 521 واضربه في هذا العدد الطبيعي. وهنا يجب أن نتذكر أنه في أحد العوامل تم نقل الفاصلة مكانين إلى اليمين. عند ضرب الأعداد 5 و 21 و 3 نحصل على ناتج يساوي 15.63. الآن في هذا المثال نقوم بتحريك الفاصلة إلى اليسار مكانين. ومن ثم، بكم مرة زاد أحد العوامل، وكم مرة انخفض المنتج. وبناء على أوجه التشابه بين هذه الأساليب، سوف نتوصل إلى نتيجة.

لمضاعفه عدد عشريللحصول على عدد طبيعي تحتاج إلى:
1) دون الالتفات إلى الفاصلة، اضرب الأعداد الطبيعية؛
2) في المنتج الناتج، قم بفصل أكبر عدد من الأرقام من اليمين بفاصلة كما هو الحال في الكسر العشري.

يتم عرضها على الشاشة الأمثلة التاليةوالتي نحللها مع كومبوشا والرجال: 5.21 ·3 = 15.63 و 7.624 ·15 = 114.34. ثم أقوم بعرض الضرب برقم دائري 12.6 · 50 = 630. بعد ذلك، ننتقل إلى ضرب الكسر العشري بوحدة القيمة المكانية. أعرض الأمثلة التالية: 7.423 · 100 = 742.3 و 5.2 · 1000 = 5200. لذا، أقدم قاعدة ضرب الكسر العشري بوحدة رقمية:

لضرب كسر عشري في الوحدات الرقمية 10، 100، 1000، وما إلى ذلك، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية في هذا الكسر إلى اليمين بعدد من الأماكن يساوي عدد الأصفار في الوحدة الرقمية.

أنهي شرحي بالتعبير عن الكسر العشري كنسبة مئوية. أعرض القاعدة:

للتعبير عن كسر عشري كنسبة مئوية، يجب عليك ضربه في 100 وإضافة علامة %.

سأعطي مثالا على الكمبيوتر: 0.5 100 = 50 أو 0.5 = 50%.

4. في نهاية الشرح أعطي الرجال العمل في المنزلوالذي يتم عرضه أيضًا على شاشة الكمبيوتر: № 1030, № 1034, № 1032.

5. لكي يستريح الرجال قليلاً، نقوم بإجراء جلسة التربية البدنية الرياضية مع Komposha لتعزيز الموضوع. يقف الجميع ويعرضون الأمثلة المحلولة للفصل، ويجب عليهم الإجابة عما إذا كان المثال قد تم حله بشكل صحيح أم غير صحيح. إذا تم حل المثال بشكل صحيح، فإنهم يرفعون أذرعهم فوق رؤوسهم ويصفقون بأكفهم. إذا لم يتم حل المثال بشكل صحيح، فإن الرجال يمدون أذرعهم إلى الجانبين ويمدون أصابعهم.

6. والآن بعد أن استراحت قليلا، يمكنك حل المهام. افتح كتابك المدرسي إلى الصفحة 205، № 1029. في هذه المهمة تحتاج إلى حساب قيمة التعبيرات:

تظهر المهام على الكمبيوتر. أثناء حلها، تظهر صورة مع صورة القارب التجميع الكامليطفو بعيدا.

عند حل هذه المهمة على الكمبيوتر، يطوي الصاروخ تدريجيًا، ويحل المثال الأخير، الصاروخ يطير بعيدا. يقدم المعلم بعض المعلومات للطلاب: "في كل عام، من تراب كازاخستان، من قاعدة بايكونور الفضائية، ينطلقون إلى النجوم سفن الفضاء. وتقوم كازاخستان ببناء مطارها الفضائي الجديد بايتيريك بالقرب من بايكونور.

ما المسافة التي تقطعها سيارة ركاب خلال 4 ساعات إذا كانت سرعة سيارة الركاب 74.8 كم/ساعة؟

شهادة هدية لا تعرف ماذا تعطي لأصدقائك وموظفيك وأقاربك؟ استفد من عرضنا الخاص: "شهادة هدية لفندق Blue Sedge Country Hotel." تمنح الشهادة [...]

استبدال عداد الغاز: قواعد التكلفة والاستبدال وعمر الخدمة وقائمة المستندات كل مالك عقار مهتم بالأداء عالي الجودة متر غاز. إذا لم تقم باستبداله في الوقت المناسب، ثم [...]

فوائد الطفل في كراسنودار و منطقة كراسنودارفي عام 2018، يتزايد عدد سكان كوبان الدافئة (مقارنة بالعديد من المناطق الأخرى في روسيا) باستمرار بسبب الهجرة وزيادة معدل المواليد. إلا أن السلطات المعنية بالموضوع […]

معاش العجز للأفراد العسكريين في عام 2018 الخدمة العسكرية هي نشاط يتميز بمخاطر صحية معينة. لأنه في التشريع الاتحاد الروسيمتاح شروط خاصةصيانة ذوي الاحتياجات الخاصة[...]

إعانات الأطفال في سمارة ومنطقة سمارة في عام 2018 مخصصات للقاصرين في منطقة سمارة مخصصة للمواطنين الذين يقومون بتربية الأطفال في مرحلة ما قبل المدرسة والطلاب. عند تخصيص الأموال، لا يقتصر الأمر على (...)

توفير المعاشات التقاعدية لسكان كراسنودار و منطقة كراسنودارفي عام 2018، يتلقى الأشخاص ذوو الإعاقة المعترف بهم بموجب القانون دعمًا ماليًا من الدولة. يدعي أن موارد الميزانية […]

توفير المعاشات التقاعدية لسكان تشيليابينسك ومنطقة تشيليابينسك في عام 2018 في السن التي يحددها القانون، يحصل المواطنون على الحق في الحصول على معاش تقاعدي. يمكن أن يكون مختلفًا وتختلف شروط التعيين. على سبيل المثال، […]

إعانات الأطفال في منطقة موسكو في عام 2018 تهدف السياسة الاجتماعية لمنطقة موسكو إلى تحديد الأسر التي تحتاج إلى دعم إضافي من الخزانة. تدابير الدعم الفيدرالي للأسر التي لديها أطفال في عام 2018 […]

في القرن الخامس قبل الميلاد الفيلسوف اليوناني القديمصاغ زينون الإيلي أبيورياته الشهيرة، وأشهرها أبيوريا “أخيل والسلحفاة”. وهنا ما يبدو وكأنه:

لنفترض أن أخيل يجري أسرع بعشر مرات من السلحفاة ويتخلف عنها بألف خطوة. خلال الوقت الذي يستغرقه أخيل في قطع هذه المسافة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. فعندما يركض أخيل مائة خطوة، تزحف السلحفاة عشر خطوات أخرى، وهكذا. ستستمر العملية إلى ما لا نهاية، ولن يتمكن أخيل من اللحاق بالسلحفاة أبدًا.

أصبح هذا المنطق بمثابة صدمة منطقية لجميع الأجيال اللاحقة. أرسطو، ديوجين، كانط، هيجل، هيلبرت... كلهم ​​اعتبروا معضلة زينون بطريقة أو بأخرى. وكانت الصدمة قوية لدرجة " ...تستمر المناقشات حتى يومنا هذا؛ ولم يتمكن المجتمع العلمي بعد من التوصل إلى رأي مشترك حول جوهر المفارقات... التحليل الرياضي، ونظرية المجموعات، والفيزياء الجديدة المقاربات الفلسفية; ولم يصبح أي منها حلاً مقبولاً بشكل عام للمشكلة ..."[ويكيبيديا، "أبوريا زينو". الجميع يفهم أنه يتم خداعهم، ولكن لا أحد يفهم ما يتكون الخداع.

من وجهة نظر رياضية، أظهر زينون في كتابه المحرج بوضوح الانتقال من الكمية إلى . يتضمن هذا الانتقال التطبيق بدلاً من التطبيقات الدائمة. بقدر ما أفهم، فإن الجهاز الرياضي لاستخدام وحدات القياس المتغيرة إما لم يتم تطويره بعد، أو لم يتم تطبيقه على مفارقة زينون. إن تطبيق منطقنا المعتاد يقودنا إلى الفخ. نحن، بسبب الجمود في التفكير، نطبق وحدات زمنية ثابتة على القيمة المتبادلة. من الناحية الفيزيائية، يبدو أن الزمن يتباطأ حتى يتوقف تمامًا في اللحظة التي يلحق فيها أخيل بالسلحفاة. إذا توقف الزمن، لن يتمكن أخيل من التفوق على السلحفاة.

إذا قلبنا منطقنا المعتاد، فإن كل شيء يقع في مكانه. أخيل يركض مع سرعة ثابتة. كل جزء لاحق من طريقه أقصر بعشر مرات من الجزء السابق. وعليه فإن الوقت المستغرق في التغلب عليها أقل بعشر مرات من الوقت السابق. ولو طبقنا مفهوم "اللانهاية" في هذه الحالة، لصح أن نقول "أخيل سوف يلحق بالسلحفاة بسرعة لا متناهية".

كيفية تجنب هذا الفخ المنطقي؟ ابقى في وحدات ثابتةقياسات الزمن ولا تذهب إلى الكميات المتبادلة. في لغة زينو يبدو الأمر كما يلي:

في الوقت الذي يستغرقه أخيل في الجري ألف خطوة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. خلال الفترة الزمنية التالية المساوية للأولى، سيجري أخيل ألف خطوة أخرى، وستزحف السلحفاة مائة خطوة. الآن يتقدم أخيل على السلحفاة بثمانمائة خطوة.

يصف هذا النهج الواقع بشكل مناسب دون أي مفارقات منطقية. ولكن الأمر ليس كذلك الحل الكاملمشاكل. إن عبارة أينشتاين حول عدم مقاومة سرعة الضوء تشبه إلى حد كبير مقولة زينو "أخيل والسلحفاة". لا يزال يتعين علينا دراسة هذه المشكلة وإعادة التفكير فيها وحلها. ويجب البحث عن الحل ليس بأعداد كبيرة بلا حدود، بل بوحدات القياس.

تحكي aporia أخرى مثيرة للاهتمام لزينو عن سهم طائر:

السهم الطائر لا يتحرك، لأنه في كل لحظة من الزمن يكون ساكنًا، وبما أنه ساكن في كل لحظة من الزمن، فهو ساكن دائمًا.

في هذه المعضلة، يتم التغلب على المفارقة المنطقية بكل بساطة - يكفي توضيح أنه في كل لحظة من الزمن يكون السهم الطائر في حالة سكون عند نقاط مختلفة في الفضاء، وهو في الواقع حركة. هناك نقطة أخرى يجب الإشارة إليها هنا. من خلال صورة واحدة لسيارة على الطريق، من المستحيل تحديد حقيقة حركتها أو المسافة إليها. لتحديد ما إذا كانت السيارة تتحرك، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نفس النقطة في نقاط زمنية مختلفة، لكن لا يمكنك تحديد المسافة منهما. لتحديد المسافة إلى السيارة، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نقاط مختلفة في الفضاء في وقت واحد، ولكن من المستحيل تحديد حقيقة الحركة (بالطبع، لا تزال بحاجة إلى بيانات إضافية للحسابات، وسوف يساعدك علم المثلثات ). ما أريد أن أشير إليه انتباه خاص، هو أن النقطتين في الزمان ونقطتين في المكان هما شيئان مختلفان ولا ينبغي الخلط بينهما، لأنهما يوفران فرصًا مختلفة للبحث.

الأربعاء 4 يوليو 2018

تم وصف الاختلافات بين المجموعة والمجموعات المتعددة بشكل جيد للغاية على ويكيبيديا. دعنا نرى.

كما ترون، "لا يمكن أن يكون هناك عنصرين متطابقين في مجموعة"، ولكن إذا كان هناك عناصر متطابقة في مجموعة، فإن هذه المجموعة تسمى "مجموعة متعددة". لن تفهم الكائنات العاقلة مثل هذا المنطق السخيف. وهذا هو مستوى الببغاوات الناطقة والقرود المدربة، التي لا ذكاء لها من كلمة "تماماً". يعمل علماء الرياضيات كمدربين عاديين، ويبشروننا بأفكارهم السخيفة.

في يوم من الأيام، كان المهندسون الذين بنوا الجسر في قارب تحت الجسر أثناء اختبار الجسر. وإذا انهار الجسر مات المهندس المتوسط ​​تحت أنقاض خلقه. وإذا كان الجسر قادرا على تحمل الأحمال، فقد قام المهندس الموهوب ببناء جسور أخرى.

بغض النظر عن مدى إخفاء علماء الرياضيات وراء عبارة "اهتم بي، أنا في المنزل"، أو بالأحرى، "الرياضيات تدرس المفاهيم المجردة"، هناك حبل سري واحد يربطهم بشكل لا ينفصم بالواقع. هذا الحبل السري هو المال. دعونا نطبق نظرية المجموعات الرياضية على علماء الرياضيات أنفسهم.

لقد درسنا الرياضيات جيدًا ونحن الآن نجلس عند ماكينة تسجيل المدفوعات النقدية ونوزع الرواتب. لذلك يأتي إلينا عالم رياضيات من أجل ماله. نحسب له المبلغ بالكامل ونضعه على طاولتنا في أكوام مختلفة، حيث نضع فيها أوراقًا نقدية من نفس الفئة. ثم نأخذ فاتورة واحدة من كل كومة ونعطي عالم الرياضيات "مجموعة الراتب الحسابي". دعونا نوضح لعالم الرياضيات أنه لن يحصل على الأوراق النقدية المتبقية إلا عندما يثبت أن المجموعة التي لا تحتوي على عناصر متطابقة لا تساوي مجموعة ذات عناصر متطابقة. هنا يبدا المرح.

بادئ ذي بدء، سيعمل منطق النواب: "يمكن تطبيق هذا على الآخرين، ولكن ليس علي!" ثم سيبدأون في طمأنتنا بأن الأوراق النقدية من نفس الفئة لها أرقام فواتير مختلفة، مما يعني أنه لا يمكن اعتبارها نفس العناصر. حسنًا، لنحسب الرواتب بالعملات المعدنية - لا توجد أرقام على العملات المعدنية. هنا سيبدأ عالم الرياضيات في تذكر الفيزياء بشكل محموم: العملات المعدنية المختلفة تحتوي على كميات مختلفة من الأوساخ، والتركيب البلوري وترتيب الذرات فريد لكل عملة...

والآن لدي أكثر اسأل الفائدة: أين هو الخط الذي تتحول بعده عناصر المجموعة المتعددة إلى عناصر مجموعة والعكس صحيح؟ مثل هذا الخط غير موجود - كل شيء يقرره الشامان، والعلم ليس قريبًا حتى من الكذب هنا.

انظر هنا. نختار ملاعب كرة القدم بنفس مساحة الملعب. مساحات الحقول هي نفسها - مما يعني أن لدينا مجموعة متعددة. لكن إذا نظرنا إلى أسماء هذه الملاعب نفسها، فسنحصل على الكثير منها، لأن الأسماء مختلفة. كما ترون، نفس مجموعة العناصر هي مجموعة ومتعددة. ايهم صحيح؟ وهنا يقوم عالم الرياضيات الشامان الحاد بسحب الآس من الأوراق الرابحة من جعبته ويبدأ في إخبارنا إما عن مجموعة أو مجموعة متعددة. وفي كل الأحوال سيقنعنا بأنه على حق.

لفهم كيفية عمل الشامان الحديثين مع نظرية المجموعات، وربطها بالواقع، يكفي الإجابة على سؤال واحد: كيف تختلف عناصر مجموعة واحدة عن عناصر مجموعة أخرى؟ سأريكم، دون أي "لا يمكن تصوره كوحدة واحدة" أو "لا يمكن تصوره ككل واحد".

الأحد 18 مارس 2018

مجموع أرقام الرقم هو رقصة الشامان مع الدف، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. نعم، في دروس الرياضيات، يتم تعليمنا كيفية العثور على مجموع أرقام الرقم واستخدامها، ولكن هذا هو السبب في أنهم شامان، لتعليم أحفادهم مهاراتهم وحكمتهم، وإلا فإن الشامان سوف يموتون ببساطة.

هل تحتاج إلى دليل؟ افتح ويكيبيديا وحاول العثور على صفحة "مجموع أرقام الرقم". هي غير موجودة. لا توجد صيغة في الرياضيات يمكن استخدامها لإيجاد مجموع أرقام أي رقم. بعد كل شيء، الأرقام هي رموز رسومية نكتب بها الأرقام، وفي لغة الرياضيات تبدو المهمة كما يلي: "ابحث عن مجموع الرموز الرسومية التي تمثل أي رقم". لا يستطيع علماء الرياضيات حل هذه المشكلة، لكن الشامان يمكنهم حلها بسهولة.

دعونا نتعرف على ماذا وكيف نفعل للعثور على مجموع أرقام رقم معين. إذن، دعونا نحصل على الرقم 12345. ما الذي يجب فعله لإيجاد مجموع أرقام هذا الرقم؟ دعونا نفكر في جميع الخطوات بالترتيب.

1. اكتب الرقم على قطعة من الورق. ماذا فعلنا؟ لقد قمنا بتحويل الرقم إلى رمز رقم رسومي. هذه ليست عملية رياضية.

2. نقوم بقص الصورة الناتجة إلى عدة صور تحتوي على أرقام فردية. إن قطع الصورة ليس عملية رياضية.

3. تحويل الرموز الرسومية الفردية إلى أرقام. هذه ليست عملية رياضية.

4. أضف الأرقام الناتجة. الآن هذه هي الرياضيات.

مجموع أرقام الرقم 12345 هو 15. هذه هي "دورات القطع والخياطة" التي يدرسها الشامان والتي يستخدمها علماء الرياضيات. ولكن هذا ليس كل شيء.

من وجهة نظر رياضية، لا يهم في أي نظام أرقام نكتب رقمًا. لذلك، في أنظمة مختلفةفي حساب التفاضل والتكامل، مجموع أرقام نفس العدد سيكون مختلفا. في الرياضيات، يُشار إلى نظام الأرقام كحرف منخفض على يمين الرقم. مع الرقم الكبير 12345، لا أريد أن أخدع رأسي، فلنفكر في الرقم 26 من المقال الذي عنه. لنكتب هذا الرقم في أنظمة الأرقام الثنائية والثمانية والعشرية والست عشرية. لن ننظر إلى كل خطوة تحت المجهر؛ لقد فعلنا ذلك بالفعل. دعونا ننظر إلى النتيجة.

كما ترون، في أنظمة الأرقام المختلفة، يختلف مجموع أرقام نفس الرقم. هذه النتيجة لا علاقة لها بالرياضيات. الأمر نفسه كما لو حددت مساحة المستطيل بالمتر والسنتيمتر، فستحصل على نتائج مختلفة تمامًا.

يبدو الصفر متماثلًا في جميع أنظمة الأعداد ولا يحتوي على مجموع أرقام. وهذه حجة أخرى لصالح حقيقة ذلك. سؤال لعلماء الرياضيات: كيف يكون الشيء الذي ليس رقما محددا في الرياضيات؟ ماذا، بالنسبة لعلماء الرياضيات لا يوجد شيء سوى الأرقام؟ أستطيع أن أسمح بهذا للشامان، ولكن ليس للعلماء. الواقع لا يتعلق بالأرقام فقط.

يجب اعتبار النتيجة التي تم الحصول عليها دليلاً على أن أنظمة الأرقام هي وحدات قياس للأرقام. ففي نهاية المطاف، لا يمكننا مقارنة الأرقام بوحدات قياس مختلفة. فإذا كانت نفس الأفعال مع وحدات قياس مختلفة لنفس الكمية تؤدي إلى نتائج مختلفة بعد مقارنتها، فهذا لا علاقة له بالرياضيات.

ما هي الرياضيات الحقيقية؟ يحدث هذا عندما لا تعتمد نتيجة العملية الرياضية على حجم الرقم ووحدة القياس المستخدمة وعلى من يقوم بهذا الإجراء.

التوقيع على الباب يفتح الباب ويقول:

أوه! أليس هذا هو مرحاض النساء؟
- شابة! هذا مختبر لدراسة قداسة النفوس غير المحبة أثناء صعودها إلى السماء! هالة في الأعلى والسهم لأعلى. ما المرحاض الآخر؟

أنثى... الهالة الموجودة في الأعلى والسهم لأسفل هما ذكران.

إذا كان شيء كهذا يومض أمام عينيك عدة مرات في اليوم فن التصميم,

إذن ليس من المستغرب أن تجد فجأة رمزًا غريبًا في سيارتك:

أنا شخصياً أبذل جهداً لرؤية سالب أربع درجات في شخص يتغوط (صورة واحدة) (تركيبة من عدة صور: علامة الطرح، الرقم أربعة، تسمية الدرجات). ولا أعتقد أن هذه الفتاة حمقاء ولا تعرف الفيزياء. لديها فقط صورة نمطية قوية لإدراك الصور الرسومية. وعلماء الرياضيات يعلموننا هذا طوال الوقت. هنا مثال.

1A ليس "ناقص أربع درجات" أو "واحد أ". هذا هو "رجل التغوط" أو الرقم "ستة وعشرون" بالنظام الست عشري. هؤلاء الأشخاص الذين يعملون باستمرار في نظام الأرقام هذا يدركون تلقائيًا الرقم والحرف كرمز رسومي واحد.