§ 87. إضافة الكسور.

إضافة الكسور لها العديد من أوجه التشابه مع إضافة الأعداد الصحيحة. إضافة الكسور هي إجراء يتكون من حقيقة أن عدة أرقام (مصطلحات) يتم دمجها في رقم واحد (مجموع) ، والذي يحتوي على جميع الوحدات وكسور وحدات المصطلحات.

سننظر في ثلاث حالات بدورها:

1. جمع الكسور مع نفس القواسم.
2. جمع كسور ذات قواسم مختلفة.
3. جمع الأعداد الكسرية.

1. جمع كسور لها نفس القواسم.

فكر في مثال: 1/5 + 2/5.

خذ المقطع AB (الشكل 17) ، وخذها كوحدة وقسمها إلى 5 أجزاء متساوية ، ثم سيساوي الجزء AC من هذا المقطع 1/5 من المقطع AB ، والجزء من نفس المقطع CD سيساوي 2/5 AB.

يتضح من الرسم أنه إذا أخذنا المقطع AD ، فسيكون مساوياً لـ 3/5 AB ؛ لكن الجزء AD هو بالضبط مجموع المقاطع AC و CD. لذلك يمكننا أن نكتب:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

بالنظر إلى هذه المصطلحات والمبلغ الناتج ، نرى أنه تم الحصول على بسط المجموع عن طريق إضافة بسط المصطلحات ، وبقي المقام دون تغيير.

من هنا وصلنا القاعدة التالية: لإضافة كسور لها نفس المقامات ، يجب أن تجمع البسط وتترك نفس المقام.

فكر في مثال:

2. جمع كسور ذات قواسم مختلفة.

دعنا نجمع الكسور: 3/4 + 3/8 أولاً يجب اختزالها إلى القاسم المشترك الأصغر:

تعذر كتابة الرابط الوسيط 6/8 + 3/8 ؛ لقد كتبناه هنا لمزيد من الوضوح.

وهكذا ، لإضافة كسور ذات مقامات مختلفة ، يجب عليك أولاً إحضارها إلى المقام المشترك الأصغر ، وإضافة البسط لها وتوقيع المقام المشترك.

فكر في مثال (سنكتب عوامل إضافية على الكسور المقابلة):

3. جمع الأعداد الكسرية.

لنجمع الأرقام: 2 3/8 + 3 5/6.

دعنا أولاً نحضر الأجزاء الكسرية من أعدادنا إلى مقام مشترك ونعيد كتابتها مرة أخرى:

الآن أضف العدد الصحيح والجزء الكسري بالتسلسل:

§ 88. طرح الكسور.

يتم تعريف طرح الكسور بنفس طريقة طرح الأعداد الصحيحة. هذا إجراء يتم من خلاله العثور على مصطلح آخر ، نظرًا لمجموع فترتين وأحدهما. لننظر في ثلاث حالات بدورها:

1. طرح الكسور من نفس القواسم.
2. طرح الكسور ذات القواسم المختلفة.
3. طرح الأعداد الكسرية.

1. طرح الكسور من نفس القواسم.

فكر في مثال:

13 / 15 - 4 / 15

لنأخذ المقطع AB (الشكل 18) ، ونأخذها كوحدة ونقسمها إلى 15 جزءًا متساويًا ؛ ثم سيكون الجزء AC من هذا المقطع 1/15 من AB ، وسيتوافق الجزء AD من نفس المقطع مع 13/15 AB. لنضع جانبًا مقطعًا آخر ED ، يساوي 4/15 AB.

علينا طرح 4/15 من 13/15. في الرسم ، هذا يعني أنه يجب طرح الجزء ED من المقطع AD. نتيجة لذلك ، سيبقى الجزء AE ، وهو 9/15 من المقطع AB. حتى نتمكن من كتابة:

يوضح المثال الذي قدمناه أن بسط الفرق تم الحصول عليه بطرح البسط ، وبقي المقام كما هو.

لذلك ، لطرح الكسور ذات المقامات نفسها ، عليك أن تطرح بسط المطروح من بسط المطروح وتترك نفس المقام.

2. طرح الكسور ذات القواسم المختلفة.

مثال. 3/4 - 5/8

أولاً ، لنختصر هذه الكسور إلى أصغر مقام مشترك:

الرابط المتوسط ​​6/8 - 5/8 مكتوب هنا للتوضيح ، لكن يمكن تخطيه في المستقبل.

لذلك ، من أجل طرح كسر من كسر ، يجب عليك أولاً إحضاره إلى أصغر مقام مشترك ، ثم طرح بسط المطروح من بسط الحد الأدنى وتوقيع المقام المشترك تحت الفرق بينهما.

فكر في مثال:

3. طرح الأعداد الكسرية.

مثال. 10 3/4 - 7 2/3.

لنجلب الأجزاء الكسرية من المطروح والجزء الفرعي إلى القاسم المشترك الأصغر:

طرحنا الكل من الكل وكسرًا من كسر. ولكن هناك حالات يكون فيها الجزء الكسري من المطروح أكبر من الجزء الكسري من المطروح. في مثل هذه الحالات ، تحتاج إلى أخذ وحدة واحدة من الجزء الصحيح من الجزء المصغر ، وتقسيمها إلى تلك الأجزاء التي يتم فيها التعبير عن الجزء الكسري ، وإضافتها إلى الجزء الكسري من الجزء المصغر. وبعد ذلك سيتم إجراء عملية الطرح بنفس الطريقة كما في المثال السابق:

§ 89. ضرب الكسور.

عند دراسة ضرب الكسور ، سوف نأخذ في الاعتبار الأسئلة التالية:

1. ضرب الكسر في عدد صحيح.
2. إيجاد كسر من رقم معين.
3. ضرب عدد صحيح في كسر.
4. ضرب كسر في كسر.
5. ضرب الأعداد الكسرية.
6. مفهوم الفائدة.
7. إيجاد النسب المئوية لعدد معين. لنفكر فيها بالتسلسل.

1. ضرب الكسر في عدد صحيح.

ضرب الكسر في عدد صحيح له نفس معنى ضرب عدد صحيح في عدد صحيح. يعني ضرب الكسر (المضاعف) في عدد صحيح (المضاعف) تكوين مجموع المصطلحات المتطابقة ، حيث يكون كل مصطلح مساويًا للمضاعف ، وعدد المصطلحات يساوي المضاعف.

لذلك ، إذا كنت بحاجة إلى ضرب 1/9 في 7 ، فيمكن القيام بذلك على النحو التالي:

لقد حصلنا على النتيجة بسهولة ، حيث تم تقليل الإجراء إلى إضافة كسور لها نفس القواسم. بالتالي،

يُظهر النظر في هذا الإجراء أن ضرب الكسر في عدد صحيح يعادل زيادة هذا الكسر عدة مرات حيث توجد وحدات في العدد الصحيح. وبما أن الزيادة في الكسر تتحقق إما بزيادة البسط

أو بإنقاص قاسمها ، إذن يمكننا إما ضرب البسط في العدد الصحيح ، أو قسمة المقام عليه ، إذا كان مثل هذا القسمة ممكنًا.

من هنا نحصل على القاعدة:

لضرب كسر في عدد صحيح ، تحتاج إلى ضرب البسط في هذا العدد الصحيح وترك المقام كما هو ، أو ، إن أمكن ، قسمة المقام على هذا الرقم ، مع ترك البسط دون تغيير.

عند الضرب ، يمكن استخدام الاختصارات ، على سبيل المثال:

2. إيجاد كسر من رقم معين.هناك العديد من المشكلات التي يجب أن تجد فيها أو تحسب جزءًا من رقم معين. يتمثل الاختلاف بين هذه المهام والمهام الأخرى في أنها تعطي عددًا من العناصر أو وحدات القياس وتحتاج إلى العثور على جزء من هذا الرقم ، والذي يشار إليه هنا أيضًا بكسر معين. لتسهيل الفهم ، سنقدم أولاً أمثلة على مثل هذه المشكلات ، ثم نقدم طريقة حلها.

مهمة 1.كان لدي 60 روبل. 1/3 من هذه الأموال التي أنفقتها على شراء الكتب. كم تكلفة الكتب؟

المهمة 2.يجب أن يقطع القطار المسافة بين المدينتين A و B تساوي 300 كم. لقد قطع بالفعل ثلثي تلك المسافة. كم كيلومتر هذا؟

المهمة 3.يوجد في القرية 400 منزل ، 3/4 منها من الطوب والباقي من الخشب. كم العدد منازل من الطوب?

فيما يلي بعض المشكلات العديدة التي يتعين علينا التعامل معها لإيجاد جزء من رقم معين. يطلق عليهم عادة مشاكل لإيجاد كسر من رقم معين.

حل المشكلة 1.من 60 روبل. قضيت 1/3 على الكتب. لذا ، للعثور على تكلفة الكتب ، عليك قسمة الرقم 60 على 3:

حل المشكلة 2.معنى المشكلة أنك تحتاج إلى إيجاد 2/3 لمسافة 300 كم. احسب 1/3 الأول من 300 ؛ ويتحقق ذلك بقسمة 300 كيلومتر على 3:

300: 3 = 100 (أي 1/3 من 300).

لإيجاد ثلثي 300 ، تحتاج إلى مضاعفة حاصل القسمة الناتج ، أي الضرب في 2:

100 × 2 = 200 (أي 2/3 من 300).

حل المشكلة 3.هنا تحتاج إلى تحديد عدد المنازل المبنية من الطوب ، وهي 3/4 من 400. لنجد أولاً 1/4 من 400 ،

400: 4 = 100 (أي 1/4 من 400).

لحساب ثلاثة أرباع 400 ، يجب مضاعفة حاصل القسمة الناتج ثلاث مرات ، أي مضروبًا في 3:

100 × 3 = 300 (3/4 من 400).

بناءً على حل هذه المشكلات يمكننا استنباط القاعدة التالية:

لإيجاد قيمة كسر من رقم معين ، عليك قسمة هذا الرقم على مقام الكسر وضرب الناتج الناتج في البسط.

3. ضرب عدد صحيح في كسر.

في وقت سابق (§ 26) ، تم إثبات أن مضاعفة الأعداد الصحيحة يجب أن تُفهم على أنها إضافة مصطلحات متطابقة (5 × 4 \ u003d 5 + 5 + 5 + 5 \ u003d 20). في هذه الفقرة (الفقرة 1) ، تم التأكيد على أن ضرب الكسر في عدد صحيح يعني إيجاد مجموع المصطلحات المتطابقة التي تساوي هذا الكسر.

في كلتا الحالتين ، كان الضرب عبارة عن إيجاد مجموع المصطلحات المتطابقة.

ننتقل الآن إلى ضرب عدد صحيح في كسر. هنا سنلتقي بمثل هذا ، على سبيل المثال ، الضرب: 9 2/3. من الواضح تمامًا أن التعريف السابق للضرب لا ينطبق على هذه الحالة. يتضح هذا من حقيقة أنه لا يمكننا استبدال هذا الضرب بإضافة أعداد متساوية.

لهذا السبب ، سيتعين علينا تقديم تعريف جديد للضرب ، أي بمعنى آخر ، للإجابة على السؤال حول ما يجب فهمه عن طريق الضرب في كسر ، وكيف ينبغي فهم هذا الإجراء.

يتم توضيح معنى ضرب عدد صحيح في كسر من التعريف التالي: إن ضرب عدد صحيح (مضاعف) بكسر (مضاعف) يعني إيجاد هذا الكسر من المضاعف.

أي أن ضرب 9 في 2/3 يعني إيجاد 2/3 من تسع وحدات. في الفقرة السابقة ، تم حل هذه المشاكل ؛ لذلك من السهل معرفة أننا سنحصل على 6

ولكن الآن هناك مثيرة للاهتمام و سؤال مهم: لماذا تسمى هذه الأفعال التي تبدو مختلفة مثل إيجاد مجموع الأعداد المتساوية وإيجاد كسر العدد بالكلمة نفسها "الضرب" في الحساب؟

يحدث هذا لأن الإجراء السابق (تكرار رقم بمصطلحات عدة مرات) وإجراء جديد (إيجاد كسر من رقم) يعطي إجابة لـ أسئلة متجانسة. هذا يعني أننا ننطلق هنا من الاعتبارات القائلة بأن الأسئلة أو المهام المتجانسة يتم حلها من خلال نفس الإجراء.

لفهم هذا ، ضع في اعتبارك المشكلة التالية: "1 متر من القماش يكلف 50 روبل. كم ستكون تكلفة 4 متر من قطعة القماش هذه؟

يتم حل هذه المشكلة بضرب عدد الروبل (50) في عدد الأمتار (4) ، أي 50 × 4 = 200 (روبل).

لنأخذ نفس المشكلة ، ولكن سيتم التعبير عن كمية القماش في صورة عدد كسري: "1 متر من القماش يكلف 50 روبل. كم سيكلف 3/4 م من هذا القماش؟

يجب حل هذه المشكلة أيضًا بضرب عدد الروبل (50) في عدد الأمتار (3/4).

يمكنك أيضًا تغيير الأرقام الموجودة فيه عدة مرات دون تغيير معنى المشكلة ، على سبيل المثال ، خذ 9/10 م أو 2 3/10 م ، إلخ.

نظرًا لأن هذه المشكلات لها نفس المحتوى وتختلف فقط في الأرقام ، فإننا نطلق على الإجراءات المستخدمة في حلها نفس الكلمة - الضرب.

كيف يتم ضرب عدد صحيح في كسر؟

لنأخذ الأرقام التي تمت مواجهتها في المشكلة الأخيرة:

وفقًا للتعريف ، يجب أن نجد 3/4 من 50. أولاً نجد 1/4 من 50 ، ثم 3/4.

1/4 من 50 هي 50/4 ؛

3/4 من 50 هو.

بالتالي.

فكر في مثال آخر: 12 5/8 =؟

1/8 من 12 هي 12/8 ،

5/8 من العدد 12 هو.

بالتالي،

من هنا نحصل على القاعدة:

لضرب عدد صحيح في كسر ، تحتاج إلى ضرب العدد الصحيح في بسط الكسر وجعل هذا المنتج هو البسط ، وتوقيع مقام الكسر المعطى كمقام.

نكتب هذه القاعدة باستخدام الحروف:

لتوضيح هذه القاعدة تمامًا ، يجب أن نتذكر أن الكسر يمكن اعتباره حاصل قسمة. لذلك ، من المفيد مقارنة القاعدة التي تم العثور عليها بقاعدة ضرب رقم في حاصل القسمة ، والتي تم تحديدها في الفقرة 38

يجب أن نتذكر أنه قبل إجراء الضرب ، يجب أن تفعل (إن أمكن) التخفيضات، فمثلا:

4. ضرب كسر في كسر.ضرب الكسر في كسر له نفس معنى ضرب عدد صحيح في كسر ، أي عند ضرب كسر في كسر ، تحتاج إلى إيجاد الكسر في المضاعف من الكسر الأول (مضاعف).

أي أن ضرب 3/4 في 1/2 (نصف) يعني إيجاد نصف 3/4.

كيف تضرب كسرًا في كسر؟

لنأخذ مثالاً: 3/4 مرات 5/7. هذا يعني أنك بحاجة إلى إيجاد 5/7 من 3/4. أوجد أول 1/7 من 3/4 ثم 5/7

سيتم التعبير عن 1/7 من 3/4 على النحو التالي:

5/7 الأرقام 3/4 سيتم التعبير عنها على النحو التالي:

في هذا الطريق،

مثال آخر: 5/8 ضرب 4/9.

1/9 من 5/8 هو ،

4/9 أرقام 5/8 هي.

في هذا الطريق،

من هذه الأمثلة يمكن استنتاج القاعدة التالية:

لضرب كسر في كسر ، عليك أن تضرب البسط في البسط والمقام في المقام وتجعل حاصل الضرب الأول هو البسط والحاصل الضرب الثاني مقام حاصل الضرب.

هذه هي القاعدة في نظرة عامةيمكن كتابتها على هذا النحو:

عند الضرب ، من الضروري إجراء تخفيضات (إن أمكن). خذ بعين الاعتبار الأمثلة:

5. ضرب الأعداد الكسرية.نظرًا لأنه يمكن بسهولة استبدال الأرقام المختلطة بكسور غير صحيحة ، يتم استخدام هذا الظرف عادةً عند ضرب الأعداد الكسرية. هذا يعني أنه في الحالات التي يتم فيها التعبير عن المضاعف أو المضاعف أو كلا العاملين كأرقام مختلطة ، يتم استبدالهما بكسور غير صحيحة. اضرب ، على سبيل المثال ، الأعداد الكسرية: 2 1/2 و 3 1/5. نحول كل منها إلى كسر غير فعلي ثم نضرب الكسور الناتجة وفقًا لقاعدة ضرب الكسر في كسر:

قاعدة.لضرب الأعداد الكسرية ، يجب أولاً تحويلها إلى كسور غير فعلية ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسر في الكسر.

ملحوظة.إذا كان أحد العوامل عددًا صحيحًا ، فيمكن إجراء الضرب بناءً على قانون التوزيع على النحو التالي:

6. مفهوم الفائدة.عند حل المسائل وعند إجراء حسابات عملية مختلفة ، نستخدم جميع أنواع الكسور. لكن يجب على المرء أن يضع في اعتباره أن العديد من الكميات لا تقبل أي تقسيمات فرعية طبيعية لها. على سبيل المثال ، يمكنك أن تأخذ مائة (1/100) من الروبل ، فستكون بنسًا واحدًا ، ومئتان تساوي 2 كوبيل ، وثلاث مائة تساوي 3 كوبيل. يمكنك أن تأخذ 1/10 من الروبل ، سيكون "10 كوبيل ، أو عشرة سنتات. يمكنك أن تأخذ ربع الروبل ، أي 25 كوبيل ، نصف روبل ، أي 50 كوبيل (خمسون كوبيل). لكنهم لا يفعلون ذلك عمليًا. لنأخذ ، على سبيل المثال ، 2/7 روبل لأن الروبل لا ينقسم إلى سبعة.

تسمح وحدة قياس الوزن ، أي الكيلوغرام ، أولاً وقبل كل شيء ، بالتقسيمات العشرية ، على سبيل المثال ، 1/10 كجم ، أو 100 جم. وكسور الكيلوغرام مثل 1/6 ، 1/11 ، 1 / 13 غير شائعة.

بشكل عام ، تكون مقاييسنا (المترية) عشرية وتسمح بالتقسيمات الفرعية العشرية.

ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أنه من المفيد للغاية والملائم في مجموعة متنوعة من الحالات استخدام نفس الطريقة (الموحدة) لتقسيم الكميات. لقد أظهرت سنوات عديدة من الخبرة أن مثل هذا التقسيم المبرر هو تقسيم "المئات". دعونا ننظر في بعض الأمثلة المتعلقة بأكثر مجالات الممارسة البشرية تنوعًا.

1. انخفض سعر الكتب بنسبة 12/100 عن السعر السابق.

مثال. السعر السابق للكتاب 10 روبل. نزلت بمقدار 1 روبل. 20 كوب.

2. تقوم بنوك الادخار خلال العام بدفع 2/100 للمودعين من المبلغ الذي يتم ادخاره.

مثال. يتم وضع 500 روبل في مكتب النقدية ، والدخل من هذا المبلغ للسنة هو 10 روبل.

3. بلغ عدد خريجي مدرسة واحدة 5/100 من إجمالي عدد الطلاب.

مثال فقط 1200 طالب درسوا في المدرسة ، 60 منهم تخرجوا من المدرسة.

يُطلق على المائة من الرقم نسبة مئوية..

كلمة "النسبة المئوية" مستعارة من لاتينيوجذره "سنت" يعني مائة. مع حرف الجر (pro centum) ، هذه الكلمة تعني "لمائة". يأتي معنى هذا التعبير من حقيقة أنه في البداية روما القديمةكانت الفائدة هي الأموال التي يدفعها المدين للمقرض "لكل مائة". يتم سماع كلمة "cent" في مثل هذه الكلمات المألوفة: centner (مائة كيلوغرام) ، السنتيمتر (يقولون سم).

على سبيل المثال ، بدلاً من القول إن المصنع أنتج 1/100 من جميع المنتجات التي أنتجها خلال الشهر الماضي ، سنقول هذا: أنتج المصنع واحد بالمائة من المرفوضات خلال الشهر الماضي. بدلاً من القول: أنتج المصنع 4/100 منتجًا أكثر من الخطة الموضوعة ، سنقول: المصنع تجاوز الخطة بنسبة 4 بالمائة.

يمكن التعبير عن الأمثلة المذكورة أعلاه بشكل مختلف:

1. انخفض سعر الكتب بنسبة 12 بالمائة عن السعر السابق.

2. تدفع بنوك الادخار للمودعين 2 في المائة سنويًا من المبلغ الذي يتم توفيره في المدخرات.

3. بلغ عدد خريجي مدرسة واحدة 5 في المائة من مجموع الطلاب في المدرسة.

لتقصير الحرف ، من المعتاد كتابة علامة٪ بدلاً من كلمة "نسبة مئوية".

ومع ذلك ، يجب أن نتذكر أن علامة النسبة المئوية لا تُكتب عادةً في الحسابات ، ويمكن كتابتها في بيان المشكلة وفي النتيجة النهائية. عند إجراء العمليات الحسابية ، تحتاج إلى كتابة كسر مقامه 100 بدلاً من كتابة عدد صحيح باستخدام هذه الأيقونة.

يجب أن تكون قادرًا على استبدال عدد صحيح بالأيقونة المحددة بكسر مقام 100:

بالمقابل ، يجب أن تعتاد على كتابة عدد صحيح بالأيقونة المشار إليها بدلاً من كسر مقامه 100:

7. إيجاد النسب المئوية لعدد معين.

مهمة 1.استقبلت المدرسة 200 متر مكعب. متر من الحطب ، مع حطب خشب البتولا يمثل 30 ٪. كم كان خشب البتولا هناك؟

معنى هذه المشكلة هو أن حطب البتولا لم يكن سوى جزء من الحطب الذي تم تسليمه إلى المدرسة ، ويتم التعبير عن هذا الجزء كجزء من 30/100. لذا ، فإننا نواجه مهمة إيجاد كسر من رقم. لحلها ، يجب أن نضرب 200 في 30/100 (تُحل مهام إيجاد كسر العدد بضرب رقم في كسر.).

إذن 30٪ من 200 يساوي 60.

يمكن تقليل الكسر 30/100 المصادف في هذه المشكلة بمقدار 10. سيكون من الممكن إجراء هذا التخفيض من البداية ؛ لن يتغير حل المشكلة.

المهمة 2.كان هناك 300 طفل في المخيم أعمار مختلفة. كان الأطفال بعمر 11 سنة 21٪ ، والأطفال بعمر 12 سنة 61٪ وأخيراً 13 سنة 18٪. كم عدد الأطفال من كل عمر في المخيم؟

في هذه المشكلة ، تحتاج إلى إجراء ثلاث عمليات حسابية ، أي إيجاد عدد الأطفال الذين تبلغ أعمارهم 11 عامًا ، ثم 12 عامًا ، وأخيرًا 13 عامًا.

لذا ، من الضروري هنا إيجاد كسر للعدد ثلاث مرات. لنفعلها:

1) كم يبلغ عدد الأطفال 11 سنة؟

2) كم عدد الأطفال بعمر 12 سنة؟

3) كم يبلغ عدد الأطفال 13 سنة؟

بعد حل المشكلة ، من المفيد إضافة الأرقام الموجودة ؛ يجب أن يكون مجموعهم 300:

63 + 183 + 54 = 300

يجب أيضًا الانتباه إلى حقيقة أن مجموع النسب المئوية المعطاة في حالة المشكلة هو 100:

21% + 61% + 18% = 100%

هذا يشير إلى أن الرقم الإجماليتم أخذ الأطفال الذين كانوا في المخيم بنسبة 100٪.

3 أ دا تشا 3.تلقى العامل 1200 روبل شهريًا. ومن بين هؤلاء ، أنفق 65٪ على الطعام ، و 6٪ على الشقة والتدفئة ، و 4٪ على الغاز والكهرباء والراديو ، و 10٪ على الاحتياجات الثقافية و 15٪ على الادخار. ما مقدار الأموال التي تم إنفاقها على الاحتياجات المشار إليها في المهمة؟

لحل هذه المسألة ، عليك إيجاد كسر من العدد 1200 5 مرات ، لنفعل ذلك.

1) ما مقدار المال الذي يتم إنفاقه على الطعام؟ تقول المهمة أن هذه المصروفات تمثل 65٪ من إجمالي الأرباح ، أي 65/100 من العدد 1200. لنقم بالحساب:

2) كم من المال تم دفعه لشقة مع تدفئة؟ بجدل مثل السابق ، نصل إلى الحساب التالي:

3) كم من المال دفعته مقابل الغاز والكهرباء والراديو؟

4) ما مقدار الأموال التي يتم إنفاقها على الاحتياجات الثقافية؟

5) ما مقدار المال الذي وفره العامل؟

للتحقق ، من المفيد إضافة الأرقام الموجودة في هذه الأسئلة الخمسة. يجب أن يكون المبلغ 1200 روبل. يتم أخذ جميع الأرباح على أنها 100٪ ، وهو أمر يسهل التحقق منه عن طريق إضافة النسب المئوية الواردة في بيان المشكلة.

لقد حللنا ثلاث مشاكل. على الرغم من أن هذه المهام كانت تتعلق بأمور مختلفة (توصيل الحطب للمدرسة ، وعدد الأطفال من مختلف الأعمار ، ونفقات العامل) ، فقد تم حلها بنفس الطريقة. حدث هذا لأنه كان من الضروري في جميع المهام العثور على نسبة قليلة من الأرقام المحددة.

§ 90. تقسيم الكسور.

عند دراسة قسمة الكسور ، سننظر في الأسئلة التالية:

1. قسّم عددًا صحيحًا على عدد صحيح.
2. قسمة الكسر على عدد صحيح
3. قسمة عدد صحيح على كسر.
4. قسمة الكسر على كسر.
5. تقسيم الأعداد الكسرية.
6. إيجاد رقم بمعلومية كسره.
7. إيجاد رقم بنسبته المئوية.

دعونا نعتبرها بالتسلسل.

1. قسّم عددًا صحيحًا على عدد صحيح.

كما هو موضح في قسم الأعداد الصحيحة ، فإن القسمة هي الإجراء الذي يتكون من حقيقة أنه ، بالنظر إلى ناتج عاملين (المقسوم) وأحد هذه العوامل (المقسوم) ، تم العثور على عامل آخر.

قسمة عدد صحيح على عدد صحيح اعتبرناه في قسم الأعداد الصحيحة. التقينا هناك حالتين من الانقسام: قسمة بدون باقي ، أو "بالكامل" (150: 10 = 15) ، والقسمة مع الباقي (100: 9 = 11 و 1 في الباقي). لذلك يمكننا القول أنه في عالم الأعداد الصحيحة ، ليس من الممكن دائمًا القسمة الدقيقة ، لأن المقسوم ليس دائمًا حاصل ضرب المقسوم عليه والعدد الصحيح. بعد إدخال الضرب على الكسر ، يمكننا اعتبار أي حالة من حالات قسمة الأعداد الصحيحة قدر الإمكان (يتم استبعاد القسمة على الصفر فقط).

على سبيل المثال ، قسمة 7 على 12 تعني إيجاد رقم حاصل ضربه في 12 سيكون 7. هذا الرقم هو الكسر 7/12 لأن 12/7/7 = 7. مثال آخر: 14: 25 = 14/25 لأن 14/25 25 = 14.

وهكذا ، لتقسيم عدد صحيح على عدد صحيح ، تحتاج إلى عمل كسر ، بسطه يساوي المقسوم ، والمقام هو المقسوم عليه.

2. قسمة الكسر على عدد صحيح.

قسّم الكسر 6/7 على 3. وفقًا لتعريف القسمة الموضح أعلاه ، لدينا هنا المنتج (6/7) وأحد العوامل (3) ؛ مطلوب إيجاد عامل ثانٍ ، عند ضربه في 3 ، سيعطي المنتج المحدد 6/7. من الواضح أنه يجب أن يكون أصغر بثلاث مرات من هذا المنتج. هذا يعني أن المهمة التي أمامنا كانت تقليل الكسر 6/7 بمقدار 3 مرات.

نعلم بالفعل أنه يمكن تصغير الكسر إما بإنقاص البسط أو زيادة مقامه. لذلك يمكنك كتابة:

في هذه القضيةالبسط 6 يقبل القسمة على 3 ، لذلك يجب تقليل البسط بمقدار 3 مرات.

لنأخذ مثالًا آخر: 5/8 مقسومًا على 2. هنا البسط 5 غير قابل للقسمة على 2 ، مما يعني أنه يجب ضرب المقام في هذا الرقم:

وبناءً على ذلك يمكننا أن نذكر القاعدة: لقسمة كسر على عدد صحيح ، تحتاج إلى قسمة بسط الكسر على هذا العدد الصحيح(اذا كان ممكنا)، مع ترك نفس المقام ، أو اضرب مقام الكسر في هذا العدد ، مع ترك نفس البسط.

3. قسمة عدد صحيح على كسر.

دعنا نطلب قسمة 5 على 1/2 ، أي العثور على رقم ، بعد ضربه في 1/2 ، سيعطي المنتج 5. من الواضح أن هذا الرقم يجب أن يكون أكبر من 5 ، لأن 1/2 هو كسر صحيح ، وعند ضرب رقم في كسر مناسب ، يجب أن يكون حاصل الضرب أقل من المضاعف. لتوضيح الأمر ، دعنا نكتب أفعالنا بالطريقة الآتية: 5: 1 / 2 = X ، لذلك × 1/2 \ u003d 5.

يجب أن نجد مثل هذا الرقم X ، والتي ، عند ضربها في 1/2 ، تعطي 5. نظرًا لأن ضرب رقم معين في 1/2 يعني إيجاد 1/2 من هذا العدد ، إذن ، 1/2 من الرقم المجهول X هو 5 والعدد الصحيح X ضعف ذلك ، أي 5 2 \ u003d 10.

إذن 5: 1/2 = 5 2 = 10

دعونا تحقق:

لنفكر في مثال آخر. دعه يطلب قسمة 6 على 2/3. دعنا نحاول أولاً العثور على النتيجة المرجوة باستخدام الرسم (الشكل 19).

الشكل 19

ارسم قطعة AB ، تساوي 6 من بعض الوحدات ، وقسم كل وحدة إلى 3 أجزاء متساوية. في كل وحدة ، ثلاثة أثلاث (3/3) في المقطع AB بأكمله أكبر 6 مرات ، أي هـ. 18/3. نحن نتواصل بمساعدة الأقواس الصغيرة التي تم الحصول عليها 18 مقطعًا من 2 ؛ سيكون هناك 9 أجزاء فقط. هذا يعني أن الكسر 2/3 موجود في وحدات b 9 مرات ، أو بعبارة أخرى ، الكسر 2/3 أقل 9 مرات من 6 وحدات صحيحة. بالتالي،

كيف تحصل على هذه النتيجة بدون رسم باستخدام الحسابات فقط؟ سنناقش على النحو التالي: مطلوب قسمة 6 على 2/3 ، أي مطلوب الإجابة على السؤال ، كم مرة يتم احتواء 2/3 في 6. دعنا نكتشف أولاً: كم مرة هو 1/3 الواردة في 6؟ في وحدة كاملة - 3 أثلاث ، وفي 6 وحدات - 6 مرات أكثر ، أي 18 ثلثًا ؛ لإيجاد هذا الرقم ، يجب أن نضرب 6 في 3. وبالتالي ، يتم احتواء 1/3 في وحدات b 18 مرة ، و 2/3 موجود في وحدات b ليس 18 مرة ، ولكن نصف عدد المرات ، أي 18: 2 = 9 . لذلك عند قسمة 6 على 2/3 قمنا بما يلي:

من هنا نحصل على قاعدة قسمة عدد صحيح على كسر. لقسمة عدد صحيح على كسر ، تحتاج إلى ضرب هذا العدد الصحيح في مقام الكسر المعطى ، وجعل هذا المنتج هو البسط ، وقسمته على بسط الكسر المحدد.

نكتب القاعدة بالحروف:

لتوضيح هذه القاعدة تمامًا ، يجب أن نتذكر أن الكسر يمكن اعتباره حاصل قسمة. لذلك ، من المفيد مقارنة القاعدة التي تم العثور عليها بقاعدة قسمة رقم على حاصل القسمة ، والتي تم تحديدها في الفقرة 38. لاحظ أنه تم الحصول على نفس الصيغة هناك.

عند القسمة ، يمكن استخدام الاختصارات ، على سبيل المثال:

4. قسمة الكسر على كسر.

دعه مطلوبًا لتقسيم 3/4 على 3/8. ماذا سيشير إلى الرقم الذي سيتم الحصول عليه نتيجة القسمة؟ سوف يجيب على السؤال: كم مرة يحتوي الكسر 3/8 في الكسر 3/4. لفهم هذه المشكلة ، دعنا نرسم (الشكل 20).

خذ المقطع AB ، واعتبره كوحدة ، وقسمه إلى 4 أجزاء متساوية وحدد 3 أجزاء من هذا القبيل. سيساوي الجزء AC 3/4 الجزء AB. دعونا الآن نقسم كل جزء من الأجزاء الأربعة الأولية إلى نصفين ، ثم يتم تقسيم الجزء AB إلى 8 أجزاء متساوية وسيكون كل جزء مساويًا لـ 1/8 من المقطع AB. نقوم بتوصيل 3 مقاطع من هذا القبيل بأقواس ، ثم يكون كل جزء من المقاطع AD و DC مساوياً لـ 3/8 من المقطع AB. يوضح الرسم أن الجزء الذي يساوي 3/8 موجود في المقطع الذي يساوي 3/4 مرتين بالضبط ؛ لذلك يمكن كتابة نتيجة القسمة على النحو التالي:

3 / 4: 3 / 8 = 2

لنفكر في مثال آخر. دعه مطلوبًا لتقسيم 15/16 على 3/32:

يمكننا أن نفكر على هذا النحو: نحتاج إلى إيجاد رقم ، بعد ضربه في 3/32 ، سيعطي حاصلًا يساوي 15/16. لنكتب الحسابات مثل هذا:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 رقم غير معروف X مكياج 15/16

1/32 رقم غير معروف X هو ،

32/32 رقمًا X ميك أب .

بالتالي،

وهكذا ، لقسمة كسر على كسر ، تحتاج إلى ضرب بسط الكسر الأول في مقام الكسر الثاني ، وضرب مقام الكسر الأول في بسط الثاني ، وجعل حاصل الضرب الأول هو البسط والبسط. ثاني المقام.

دعنا نكتب القاعدة باستخدام الحروف:

عند القسمة ، يمكن استخدام الاختصارات ، على سبيل المثال:

5. تقسيم الأعداد الكسرية.

عند قسمة الأعداد الكسرية ، يجب أولاً تحويلها إلى الكسور غير الصحيحةثم قسّم الكسور الناتجة وفقًا لقواعد قسمة الأعداد الكسرية. فكر في مثال:

تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور غير فعلية:

الآن دعنا نقسم:

وبالتالي ، لتقسيم الأعداد الكسرية ، تحتاج إلى تحويلها إلى كسور غير صحيحة ثم القسمة وفقًا لقاعدة قسمة الكسور.

6. إيجاد رقم بمعلومية كسره.

من بين المهام المختلفة على الكسور ، هناك أحيانًا تلك التي يتم فيها إعطاء قيمة جزء من عدد غير معروف ويكون مطلوبًا للعثور على هذا الرقم. هذا النوع من المسائل سيكون معكوسًا لمشكلة إيجاد كسر من رقم معين ؛ تم إعطاء رقم وكان مطلوبًا العثور على جزء من هذا الرقم ، هنا تم إعطاء كسر من الرقم ومطلوب لإيجاد هذا الرقم نفسه. ستصبح هذه الفكرة أكثر وضوحًا إذا لجأنا إلى حل هذا النوع من المشاكل.

مهمة 1.في اليوم الأول ، قامت الزجاجات بزجاج 50 نافذة ، أي 1/3 من جميع نوافذ المنزل المبني. كم عدد النوافذ في هذا المنزل؟

المحلول.تشير المشكلة إلى أن 50 نافذة زجاجية تشكل ثلث جميع نوافذ المنزل ، مما يعني أن هناك نوافذ أكثر بثلاث مرات في المجموع ، أي

كان المنزل يحتوي على 150 نافذة.

المهمة 2.باع المحل 1500 كيلوغرام من الدقيق ، أي 3/8 من إجمالي مخزون الدقيق في المحل. ما هو العرض الأولي للدقيق من المتجر؟

المحلول.يتضح من حالة المشكلة أن 1500 كجم من الدقيق المباع تشكل 3/8 من إجمالي المخزون ؛ هذا يعني أن 1/8 من هذا السهم سيكون أقل بثلاث مرات ، أي لحسابه ، تحتاج إلى تقليل 1500 بمقدار 3 مرات:

1500: 3 = 500 (أي 1/8 السهم).

من الواضح أن المخزون بالكامل سيكون أكبر بمقدار 8 مرات. بالتالي،

500 8 = 4000 (كجم).

كان العرض الأولي للدقيق في المتجر 4000 كجم.

من خلال النظر في هذه المشكلة ، يمكن استنتاج القاعدة التالية.

لإيجاد رقم بقيمة معينة من كسره ، يكفي قسمة هذه القيمة على بسط الكسر وضرب الناتج في مقام الكسر.

لقد حللنا مشكلتين لإيجاد عدد بمعلومية كسره. يتم حل مثل هذه المشكلات ، كما هو واضح بشكل خاص من المشكلة الأخيرة ، من خلال إجراءين: القسمة (عند العثور على جزء واحد) والضرب (عندما يتم العثور على العدد الصحيح).

ومع ذلك ، بعد أن درسنا تقسيم الكسور ، يمكن حل المشكلات المذكورة أعلاه في إجراء واحد ، وهو: القسمة على كسر.

على سبيل المثال ، يمكن حل المهمة الأخيرة في إجراء واحد مثل هذا:

في المستقبل ، سنحل مشكلة إيجاد رقم بكسره في إجراء واحد - القسمة.

7. إيجاد رقم بنسبته المئوية.

في هذه المهام ، ستحتاج إلى العثور على رقم ، مع معرفة نسبة مئوية قليلة من هذا الرقم.

مهمة 1.في بداية هذا العام ، تلقيت 60 روبل من بنك التوفير. الدخل من المبلغ الذي أدخلته في المدخرات قبل عام. كم من المال وضعته في بنك التوفير؟ (تمنح المكاتب النقدية المودعين 2٪ من الدخل سنويًا).

معنى المشكلة هو أن مبلغًا معينًا من المال تم وضعه من قبلي في بنك التوفير ووضعه هناك لمدة عام. بعد عام ، تلقيت 60 روبل منها. الدخل ، وهو 2/100 من الأموال التي أضعها. كم من المال قمت بإيداعه؟

لذلك ، بمعرفة جزء هذا المال ، معبراً عنه بطريقتين (بالروبل والكسور) ، يجب أن نجد المبلغ بالكامل ، غير المعروف حتى الآن. هذه مشكلة عادية لإيجاد رقم بمعلومية كسره. يتم حل المهام التالية عن طريق التقسيم:

لذلك ، تم وضع 3000 روبل في بنك الادخار.

المهمة 2.في غضون أسبوعين ، حقق الصيادون الخطة الشهرية بنسبة 64٪ بعد أن أعدوا 512 طنًا من الأسماك. ماذا كانت خطتهم؟

من حالة المشكلة ، من المعروف أن الصيادين أكملوا جزءًا من الخطة. هذا الجزء يساوي 512 طن أي 64٪ من الخطة. كم أطنان من الأسماك يجب حصادها وفقًا للخطة ، لا نعرف. سيتكون حل المشكلة من إيجاد هذا الرقم.

يتم حل هذه المهام عن طريق قسمة:

لذلك ، وفقًا للخطة ، تحتاج إلى تحضير 800 طن من الأسماك.

المهمة 3.ذهب القطار من ريغا إلى موسكو. عندما اجتاز الكيلومتر 276 ، سأل أحد الركاب المحصل المار عن مقدار الرحلة التي قطعوها بالفعل. أجاب المحصل على هذا: "لقد غطينا بالفعل 30٪ من الرحلة بأكملها." ما هي المسافة من ريغا الى موسكو؟

يتضح من حالة المشكلة أن 30٪ من الرحلة من ريغا إلى موسكو تبلغ 276 كم. نحتاج إلى إيجاد المسافة الكاملة بين هذه المدن ، أي في هذا الجزء ، أوجد الكل:

§ 91. الأعداد المتبادلة. استبدال القسمة بالضرب.

خذ الكسر 2/3 وأعد ترتيب البسط إلى مكان المقام ، نحصل على 3/2. حصلنا على كسر ، مقلوب هذا الكسر.

لكي تحصل على مقلوب كسر لكسر ما ، عليك أن تضع بسطه مكان المقام ، والمقام مكان البسط. بهذه الطريقة ، يمكننا الحصول على كسر هو مقلوب أي كسر. فمثلا:

3/4 ، عكس 4/3 ؛ 5/6 ، عكس 6/5

يسمى كسران لهما خاصية أن بسط الأول هو مقام الثاني ومقام الأول هو بسط الثاني. متبادل معكوس.

لنفكر الآن في الكسر الذي سيكون مقلوب 1/2. من الواضح أنه سيكون 2/1 ، أو 2. عند البحث عن مقلوب هذا ، حصلنا على عدد صحيح. وهذه الحالة ليست معزولة. على العكس من ذلك ، بالنسبة لجميع الكسور ذات البسط 1 (واحد) ، سيكون المقلوب أعدادًا صحيحة ، على سبيل المثال:

1/3 ، معكوس 3 ؛ 1/5 ، عكس 5

نظرًا لأننا التقينا أيضًا بأعداد صحيحة عند إيجاد المعادلات ، فلن نتحدث في المستقبل عن المعاملة بالمثل ، بل عن المعاملات بالمثل.

لنتعرف على كيفية كتابة مقلوب عدد صحيح. بالنسبة للكسور ، يتم حل ذلك ببساطة: تحتاج إلى وضع المقام في مكان البسط. بنفس الطريقة ، يمكنك الحصول على مقلوب عدد صحيح ، لأن أي عدد صحيح يمكن أن يكون له مقام 1. لذلك ، مقلوب 7 سيكون 1/7 ، لأن 7 \ u003d 7/1 ؛ بالنسبة للرقم 10 ، يكون العكس هو 1/10 لأن 10 = 10/1

يمكن التعبير عن هذه الفكرة بطريقة أخرى: يتم الحصول على مقلوب رقم معين بقسمة واحد على الرقم المحدد. هذه العبارة صحيحة ليس فقط للأعداد الصحيحة ، ولكن أيضًا على الكسور. في الواقع ، إذا كنت تريد كتابة رقم مقلوب للكسر 5/9 ، فيمكننا أخذ 1 وقسمته على 5/9 ، أي

الآن دعنا نشير إلى واحد منشأهأرقام متبادلة متبادلة ، والتي ستكون مفيدة لنا: حاصل ضرب الأعداد المتبادلة يساوي واحدًا.في الواقع:

باستخدام هذه الخاصية ، يمكننا إيجاد المعادلات بالطريقة التالية. لنوجد مقلوب 8.

دعنا نشير إليها بالحرف X ، ثم 8 X = 1 ، وبالتالي X = 1/8. لنجد رقمًا آخر ، وهو معكوس 7/12 ، ونرمز إليه بحرف X ، ثم 7/12 X = 1 ، وبالتالي X = 1: 7/12 أو X = 12 / 7 .

قدمنا ​​هنا مفهوم الأعداد المتبادلة من أجل استكمال المعلومات حول قسمة الكسور بشكل طفيف.

عندما نقسم الرقم 6 على 3/5 ، فإننا نقوم بما يلي:

يدفع انتباه خاصللتعبير ومقارنتها مع المعطى:.

إذا أخذنا التعبير بشكل منفصل ، دون الاتصال بالتعبير السابق ، فمن المستحيل حل السؤال من أين أتى: من قسمة 6 على 3/5 أو من ضرب 6 في 5/3. في كلتا الحالتين النتيجة واحدة. لذلك يمكننا القول أن قسمة رقم على آخر يمكن استبدالها بضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه.

الأمثلة التي نقدمها أدناه تؤكد تمامًا هذا الاستنتاج.

يعد ضرب عدد صحيح في كسر مهمة بسيطة. لكن هناك بعض التفاصيل الدقيقة التي ربما تكون قد فهمتها في المدرسة ، لكنك نسيتها منذ ذلك الحين.

كيفية ضرب عدد صحيح في كسر - عدد قليل من المصطلحات

إذا كنت تتذكر ما هو البسط والمقام وكيف يختلف الكسر الصحيح عن الكسر غير الصحيح ، فتخط هذه الفقرة. إنه لمن نسوا النظرية تمامًا.

البسط هو الجزء العلويالكسور هي ما نقسمه. المقام هو الجزء السفلي. هذا ما نشاركه.
الكسر المناسب هو الكسر الذي يكون بسطه أقل من المقام. الكسر غير الفعلي هو الكسر الذي بسطه أكبر من أو يساوي المقام.

كيفية ضرب عدد صحيح في كسر

قاعدة ضرب عدد صحيح في كسر بسيطة للغاية - نضرب البسط في العدد الصحيح ولا نلمس المقام. على سبيل المثال: اثنان في خمس - نحصل على خمسين. أربعة في ثلاثة على ستة عشر يساوي اثني عشر على ستة عشر.

اختزال

في المثال الثاني ، يمكن اختزال الكسر الناتج.
ماذا يعني ذلك؟ لاحظ أن كلًا من بسط هذا الكسر ومقامه يقبل القسمة على أربعة. قسّم كلا الرقمين على القاسم المشتركويسمى - تصغير الكسر. نحصل على ثلاثة أرباع.

الكسور غير الصحيحة

لكن لنفترض أننا نضرب أربعة في اثنين على خمسة. حصلت على ثمانية أخماس. هذا هو الكسر الخطأ.
يجب إحضارها إلى الشكل الصحيح. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تحديد جزء كامل منه.
هنا تحتاج إلى استخدام القسمة مع الباقي. نحصل على واحد وثلاثة في الباقي.
واحد كامل وثلاثة أخماس هو الكسر الصحيح.

تصحيح خمسة وثلاثين على ثمانية أصعب قليلًا ، أقرب رقم إلى سبعة وثلاثين يقبل القسمة على ثمانية هو اثنان وثلاثون. عند القسمة ، نحصل على أربعة. نطرح 32 من 35 - نحصل على ثلاثة. المحصلة: أربعة كاملة وثلاثة أثمان.

مساواة البسط والمقام. وهنا كل شيء بسيط جدا وجميل. عندما يتساوى البسط والمقام ، تكون النتيجة واحدًا فقط.

ضرب الكسور العادية

تأمل في مثال.

يجب أن يكون هناك $ \ frac (1) (3) $ جزء من تفاحة على الطبق. نحتاج إلى إيجاد الجزء $ \ frac (1) (2) $ منه. الجزء المطلوب هو نتيجة ضرب الكسور $ \ frac (1) (3) $ و $ \ frac (1) (2) $. نتيجة ضرب كسرين مشتركين هي كسر مشترك.

ضرب كسرين مشتركين

قاعدة لضرب الكسور العادية:

ناتج ضرب الكسر في كسر هو كسر بسطه يساوي حاصل ضرب بسط الكسور المضاعفة ، والمقام يساوي حاصل ضرب المقامين:

مثال 1

اضرب الكسور العادية $ \ frac (3) (7) $ و $ \ frac (5) (11) $.

المحلول.

دعنا نستخدم قاعدة ضرب الكسور العادية:

\ [\ frac (3) (7) \ cdot \ frac (5) (11) = \ frac (3 \ cdot 5) (7 \ cdot 11) = \ frac (15) (77) \]

إجابه:$ \ frac (15) (77) $

إذا تم الحصول على كسر قابل للإلغاء أو غير مناسب نتيجة ضرب الكسور ، فمن الضروري تبسيطه.

مثال 2

اضرب الكسور $ \ frac (3) (8) $ و $ \ frac (1) (9) $.

المحلول.

نستخدم قاعدة ضرب الكسور العادية:

\ [\ frac (3) (8) \ cdot \ frac (1) (9) = \ frac (3 \ cdot 1) (8 \ cdot 9) = \ frac (3) (72) \]

نتيجة لذلك ، حصلنا على كسر قابل للاختزال (على أساس القسمة على 3 $. اقسم البسط والمقام على 3 $ ، نحصل على:

\ [\ frac (3) (72) = \ frac (3: 3) (72: 3) = \ frac (1) (24) \]

حل قصير:

\ [\ frac (3) (8) \ cdot \ frac (1) (9) = \ frac (3 \ cdot 1) (8 \ cdot 9) = \ frac (3) (72) = \ frac (1) (24) \]

إجابه:$ \ frac (1) (24). $

عند ضرب الكسور ، يمكنك اختزال البسط والمقام لإيجاد حاصل ضربهم. في هذه الحالة ، يتحلل البسط والمقام في الكسر إلى عوامل بسيطة ، وبعد ذلك يتم تقليل العوامل المكررة ويتم العثور على النتيجة.

مثال 3

احسب حاصل ضرب الكسور $ \ frac (6) (75) $ و $ \ frac (15) (24) $.

المحلول.

لنستخدم صيغة ضرب الكسور العادية:

\ [\ frac (6) (75) \ cdot \ frac (15) (24) = \ frac (6 \ cdot 15) (75 \ cdot 24) \]

من الواضح أن البسط والمقام يحتويان على أرقام يمكن اختزالها في أزواج بالأرقام $ 2 $ و 3 $ و 5 $. نقوم بتحليل البسط والمقام إلى عوامل بسيطة ونقوم بالاختزال:

\ [\ frac (6 \ cdot 15) (75 \ cdot 24) = \ frac (2 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 5) (3 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3) = \ frac (1) (5 \ cdot 2 \ cdot 2) = \ frac (1) (20) \]

إجابه:$ \ frac (1) (20). $

عند ضرب الكسور ، يمكن تطبيق قانون الاستبدال:

ضرب كسر في عدد طبيعي

قاعدة الضرب جزء مشتركعلى ال عدد طبيعي:

ناتج ضرب الكسر في رقم طبيعي هو كسر فيه البسط يساوي حاصل ضرب بسط الكسر المضاعف في العدد الطبيعي ، والمقام يساوي مقام الكسر المضاعف:

حيث $ \ frac (a) (b) $ كسر شائع ، $ n $ رقم طبيعي.

مثال 4

اضرب الكسر $ \ frac (3) (17) $ ب 4 $.

المحلول.

دعنا نستخدم قاعدة ضرب الكسر العادي في عدد طبيعي:

\ [\ frac (3) (17) \ cdot 4 = \ frac (3 \ cdot 4) (17) = \ frac (12) (17) \]

إجابه:$ \ frac (12) (17). $

لا تنسَ التحقق من نتيجة الضرب من أجل تقلص جزء أو كسر غير صحيح.

مثال 5

اضرب الكسر $ \ frac (7) (15) $ ب 3 $.

المحلول.

لنستخدم صيغة ضرب الكسر في عدد طبيعي:

\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (21) (15) \]

وفقًا لمعيار القسمة على الرقم $ 3) ، يمكن تحديد أنه يمكن تقليل الكسر الناتج:

\ [\ frac (21) (15) = \ frac (21: 3) (15: 3) = \ frac (7) (5) \]

النتيجة هي كسر غير فعلي. لنأخذ الجزء كله:

\ [\ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5) \]

حل قصير:

\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (21) (15) = \ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5) \]

كان من الممكن أيضًا تقليل الكسور عن طريق استبدال الأرقام الموجودة في البسط والمقام بتوسيعها إلى عوامل أولية. في هذه الحالة ، يمكن كتابة الحل على النحو التالي:

\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (7 \ cdot 3) (3 \ cdot 5) = \ frac (7) (5) = 1 \ فارك (2) (5) \]

إجابه:$ 1 \ frac (2) (5). $

عند ضرب كسر في رقم طبيعي ، يمكنك استخدام القانون التبادلي:

قسمة الكسور العادية

عملية القسمة هي معكوس الضرب ونتيجتها هي كسر تحتاج فيه إلى ضرب كسر معروف للحصول على حاصل ضرب كسرين معروفين.

قسمة كسرين مشتركين

قاعدة قسمة الكسور العادية:من الواضح أن البسط والمقام للكسر الناتج يمكن أن يتحلل إلى عوامل بسيطة ويختصر:

\ [\ frac (8 \ cdot 35) (15 \ cdot 12) = \ frac (2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 5 \ cdot 7) (3 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3) = \ frac (2 \ cdot 7) (3 \ cdot 3) = \ frac (14) (9) \]

نتيجة لذلك ، حصلنا على كسر غير فعلي ، نختار منه الجزء الصحيح:

\ [\ frac (14) (9) = 1 \ frac (5) (9) \]

إجابه:$ 1 \ frac (5) (9). $

سننظر في ضرب الكسور العادية بعدة طرق ممكنة.

ضرب كسر في كسر

هذه أبسط حالة تحتاج فيها إلى استخدام ما يلي قواعد الضرب الكسر.

إلى اضرب الكسر في الكسر، من الضروري:

• اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني واكتب حاصل ضربه في بسط الكسر الجديد ؛
• اضرب مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني واكتب حاصل ضربه في مقام الكسر الجديد ؛

تحقق من إمكانية اختزال الكسور قبل ضرب البسط والمقام. سيساعد تقليل الكسور في العمليات الحسابية بشكل كبير على العمليات الحسابية.



ضرب كسر في عدد طبيعي

إلى كسر اضرب في عدد طبيعيتحتاج إلى ضرب بسط الكسر في هذا الرقم ، وترك مقام الكسر كما هو.

إذا كانت نتيجة الضرب كسرًا غير فعلي ، فلا تنس تحويله إلى عدد كسري ، أي حدد الجزء بالكامل.



ضرب الأعداد الكسرية

لضرب الأعداد الكسرية ، يجب أولاً تحويلها إلى كسور غير فعلية ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسور العادية.



طريقة أخرى لضرب الكسر في عدد طبيعي

في بعض الأحيان يكون من الأنسب في الحسابات استخدام طريقة مختلفة لضرب الكسر العادي برقم.

لضرب كسر في عدد طبيعي ، عليك قسمة مقام الكسر على هذا الرقم ، وترك البسط كما هو.



كما يتضح من المثال ، من الأنسب استخدام هذا الإصدار من القاعدة إذا كان مقام الكسر قابلاً للقسمة دون الباقي برقم طبيعي.

الأفعال مع الكسور

جمع الكسور من نفس القواسم

جمع الكسور نوعان:

• جمع الكسور من نفس القواسم
• جمع الكسور ذات القواسم المختلفة

لنبدأ بإضافة كسور لها نفس المقامات. كل شيء بسيط هنا. لإضافة كسور لها نفس المقامات ، عليك أن تجمع البسط وتترك المقام دون تغيير. على سبيل المثال ، لنجمع الكسور و. نجمع البسط ونترك المقام كما هو:



يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا أضفت بيتزا إلى البيتزا ، تحصل على بيتزا:

مثال 2اجمع الكسور و.

اجمع البسط مجددًا واترك المقام كما هو:



الجواب هو كسر غير فعلي. إذا جاءت نهاية المهمة ، فمن المعتاد التخلص من الكسور غير الصحيحة. للتخلص من الكسر غير الصحيح ، تحتاج إلى تحديد الجزء بأكمله فيه. في حالتنا ، يتم تخصيص الجزء الصحيح بسهولة - اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا:



يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى قسمين. إذا أضفت المزيد من البيتزا إلى البيتزا ، فستحصل على بيتزا واحدة كاملة:

مثال 3. اجمع الكسور و.



يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا أضفت المزيد من البيتزا إلى البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 4أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل المثال السابق. يجب إضافة البسط وترك المقام دون تغيير:

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا أضفت بيتزا إلى بيتزا وأضفت المزيد من البيتزا ، تحصل على بيتزا واحدة كاملة والمزيد من البيتزا.

كما ترى ، فإن جمع الكسور بنفس القواسم ليس بالأمر الصعب. يكفي فهم القواعد التالية:

1. لإضافة كسور من نفس المقام ، تحتاج إلى إضافة البسط ، وترك المقام كما هو ؛
2. إذا تبين أن الإجابة كانت كسرًا غير لائق ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل فيه.

جمع الكسور ذات القواسم المختلفة

الآن سوف نتعلم كيفية جمع كسور ذات مقامات مختلفة. عند جمع الكسور ، يجب أن تكون مقامات تلك الكسور متطابقة. لكنهم ليسوا دائما نفس الشيء.

على سبيل المثال ، يمكن إضافة الكسور لأن لها نفس القواسم.

لكن لا يمكن جمع الكسور دفعة واحدة ، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات ، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

توجد عدة طرق لتقليل الكسور إلى نفس المقام. اليوم سننظر في واحدة منها فقط ، لأن باقي الطرق قد تبدو معقدة بالنسبة للمبتدئين.

جوهر هذه الطريقة هو أنه يتم البحث أولاً عن المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للمقامرين لكلا الكسرين. ثم يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول. يفعلون الشيء نفسه مع الكسر الثاني - يتم تقسيم NOC على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على العامل الإضافي الثاني.

ثم يتم ضرب البسط والمقام في الكسور في عواملها الإضافية. نتيجة لهذه الإجراءات ، تتحول الكسور التي لها قواسم مختلفة إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية جمع هذه الكسور.

مثال 1. اجمع الكسور و

هذه الكسور لها مقامات مختلفة ، لذا عليك تقريبها إلى نفس المقام (المشترك).

أولًا ، نجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 6

المضاعف المشترك الأصغر (2 و 3) = 6

الآن نعود إلى الكسور و. أولًا ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ونحصل على العامل الإضافي الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 6 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. قسّم 6 على 3 ، نحصل على 2.

الرقم الناتج 2 هو العامل الإضافي الأول. نكتبه حتى الكسر الأول. للقيام بذلك ، نصنع خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر ونكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ونحصل على العامل الإضافي الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 6 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. قسّم 6 على 2 ، نحصل على 3.

الرقم الناتج 3 هو العامل الإضافي الثاني. نكتبه في الكسر الثاني. مرة أخرى ، نصنع خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر الثاني ونكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

الآن نحن جاهزون للإضافة. يبقى ضرب البسط والمقام في الكسور بعواملها الإضافية:



انظر عن كثب إلى ما وصلنا إليه. توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية جمع هذه الكسور. لنكمل هذا المثال حتى النهاية:



هكذا ينتهي المثال. لإضافته اتضح.

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا أضفت بيتزا إلى بيتزا ، فستحصل على بيتزا كاملة وسدس بيتزا أخرى:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك) باستخدام صورة. بإحضار الكسور والمقام المشترك ، نحصل على الكسور و. سيتم تمثيل هذين الكسرين بنفس شرائح البيتزا. سيكون الاختلاف الوحيد هو أنه سيتم تقسيمها هذه المرة إلى حصص متساوية (يتم تقليلها إلى نفس المقام).



يُظهر الرسم الأول كسرًا (أربع قطع من ستة) بينما تُظهر الصورة الثانية كسرًا (ثلاث قطع من ستة). بتجميع هذه القطع معًا نحصل على (سبع قطع من ستة). هذا الكسر غير صحيح ، لذلك قمنا بتمييز الجزء الصحيح فيه. وكانت النتيجة (بيتزا واحدة كاملة وبيتزا سادسة أخرى).

لاحظ أننا رسمنا مثال معينمفصل جدا. في المؤسسات التعليميةليس من المعتاد أن تكتب بهذه الطريقة التفصيلية. يجب أن تكون قادرًا على العثور بسرعة على المضاعف المشترك الأصغر لكل من المقامات والعوامل الإضافية لهما ، بالإضافة إلى مضاعفة العوامل الإضافية الموجودة في البسط والمقام بسرعة. أثناء وجودنا في المدرسة ، يتعين علينا كتابة هذا المثال على النحو التالي:



ولكن هناك أيضًا الوجه الآخر للعملة. إذا لم يتم تدوين الملاحظات التفصيلية في المراحل الأولى من دراسة الرياضيات ، فعندئذ أسئلة من هذا النوع "من أين يأتي هذا العدد؟" ، "لماذا تتحول الكسور فجأة إلى كسور مختلفة تمامًا؟ «.

لتسهيل إضافة الكسور ذات القواسم المختلفة ، يمكنك استخدام التعليمات التالية خطوة بخطوة:

3. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور ؛
4. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على مضاعف إضافي لكل كسر ؛
5. اضرب البسط والمقام في الكسور في عواملها الإضافية ؛
6. أضف الكسور التي لها نفس القواسم ؛
7. إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير لائق ، فحدد الجزء بالكامل ؛

مثال 2أوجد قيمة التعبير .

دعنا نستخدم الرسم البياني أعلاه.

الخطوة 1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور

نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقامات الكسور هي الأرقام 2 و 3 و 4. تحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام:

الخطوة 2. قسّم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على مضاعف إضافي لكل كسر

اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 2. نقسم 12 على 2 ، نحصل على 6. حصلنا على العامل الإضافي الأول 6. نكتبه على الكسر الأول:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. نقسم 12 على 3 ، نحصل على 4. حصلنا على العامل الإضافي الثاني 4. نكتبه على الكسر الثاني:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 4. اقسم 12 على 4 ، نحصل على 3. حصلنا على العامل الإضافي الثالث 3. نكتبه على الكسر الثالث:

الخطوة 3. اضرب البسط والمقام في العوامل الإضافية

نضرب البسط والمقام في العوامل الإضافية:

الخطوة 4. أضف الكسور التي لها نفس المقامات

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها قواسم مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم (المشتركة). يبقى إضافة هذه الكسور. أضف:



لم يتم احتواء الإضافة في سطر واحد ، لذلك نقلنا المقدار المتبقي إلى السطر التالي. هذا مسموح به في الرياضيات. عندما لا يتلاءم التعبير مع سطر واحد ، يتم نقله إلى السطر التالي ، ومن الضروري وضع علامة مساوية (=) في نهاية السطر الأول وفي بداية السطر الجديد. تشير علامة التساوي في السطر الثاني إلى أن هذا استمرار للتعبير الذي كان في السطر الأول.

الخطوة 5. إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير فعلي ، فحدد الجزء الصحيح الخاص به

إجابتنا هي كسر غير فعلي. يجب أن نفرد كل جزء منه. نبرز:



حصلت على إجابة

طرح كسور لها نفس القواسم

هناك نوعان من طرح الكسور:

8. طرح كسور لها نفس القواسم
9. طرح الكسور ذات القواسم المختلفة

أولًا ، لنتعلم كيفية طرح الكسور ذات المقامات نفسها. كل شيء بسيط هنا. لطرح آخر من كسر واحد ، عليك طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول ، وترك المقام كما هو.

على سبيل المثال ، لنجد قيمة التعبير. لحل هذا المثال ، من الضروري طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول وترك المقام كما هو. هيا بنا نقوم بذلك:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 2أوجد قيمة التعبير.

مرة أخرى ، من بسط الكسر الأول ، اطرح بسط الكسر الثاني ، واترك المقام كما هو:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 3أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل المثال السابق. من بسط الكسر الأول ، عليك طرح بسط الكسور المتبقية:

الجواب هو كسر غير فعلي. إذا كان المثال كاملاً ، فمن المعتاد التخلص من الكسر غير الصحيح. دعنا نتخلص من الكسر الخطأ في الإجابة. للقيام بذلك ، حدد الجزء بالكامل:

كما ترى ، لا يوجد شيء معقد في طرح الكسور التي لها نفس المقامات. يكفي فهم القواعد التالية:

لطرح آخر من كسر واحد ، عليك طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول وترك المقام كما هو ؛

إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير لائق ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل.

طرح الكسور ذات القواسم المختلفة

على سبيل المثال ، يمكن طرح كسر من كسر ، لأن هذه الكسور لها نفس المقامات. لكن لا يمكن طرح الكسر من الكسر ، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات ، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

تم إيجاد المقام المشترك وفقًا لنفس المبدأ الذي استخدمناه عند جمع الكسور ذات المقامات المختلفة. أولًا ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. ثم يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول ، والذي يتم كتابته على الكسر الأول. وبالمثل ، يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على عامل إضافي آخر ، يتم كتابته على الكسر الثاني.

ثم يتم ضرب الكسور في عواملها الإضافية. نتيجة لهذه العمليات ، تتحول الكسور ذات المقامات المختلفة إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور.

مثال 1أوجد قيمة التعبير:

أولًا ، نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 12

المضاعف المشترك الأصغر (3 و 4) = 12

الآن نعود إلى الكسور و

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. للقيام بذلك ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. نقسم 12 على 3 ، نحصل على 4. نكتب الأربعة على الكسر الأول:

نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. اقسم 12 على 4 ، نحصل على 3. نكتب الثلاثي على الكسر الثاني:

الآن نحن جاهزون للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور. لنكمل هذا المثال حتى النهاية:

حصلت على إجابة

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، تحصل عليها.

هذه هي النسخة التفصيلية للحل. كوننا في المدرسة ، سيتعين علينا حل هذا المثال بطريقة أقصر. سيبدو هذا الحل كما يلي:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى قاسم مشترك باستخدام صورة. بوصل هذين الكسور إلى مقام مشترك ، نحصل على الكسور و. سيتم تمثيل هذه الكسور بنفس شرائح البيتزا ، ولكن هذه المرة سيتم تقسيمها إلى نفس الكسور (يتم اختزالها إلى نفس المقام):

يُظهر الرسم الأول كسرًا (ثماني قطع من اثني عشر) ، والصورة الثانية تُظهر كسرًا (ثلاث قطع من اثني عشر). بقطع ثلاث قطع من ثماني قطع ، نحصل على خمس قطع من اثني عشر. يصف الكسر هذه الأجزاء الخمس.

مثال 2أوجد قيمة التعبير

هذه الكسور لها مقامات مختلفة ، لذا عليك أولًا تقريبها إلى نفس المقام (المشترك).

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور.

مقامات الكسور هي الأعداد 10 و 3 و 5. المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 30

المضاعف المشترك الأصغر (10، 3، 5) = 30

الآن نجد عوامل إضافية لكل كسر. للقيام بذلك ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر.

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 10. نقسم 30 على 10 ، نحصل على العامل الإضافي الأول 3. نكتبه على الكسر الأول:

نوجد الآن عاملًا إضافيًا للكسر الثاني. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. نقسم 30 على 3 ، نحصل على العامل الإضافي الثاني 10. نكتبه على الكسر الثاني:

نوجد الآن عاملًا إضافيًا للكسر الثالث. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 5. نقسم 30 على 5 ، نحصل على العامل الإضافي الثالث 6. نكتبه على الكسر الثالث:

الآن كل شيء جاهز للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها قواسم مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم (المشتركة). ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور. لننهي هذا المثال.

لن يتناسب استمرار المثال مع سطر واحد ، لذلك ننقل المتابعة إلى السطر التالي. لا تنسَ علامة المساواة (=) في السطر الجديد:

تبين أن الإجابة هي جزء صحيح ، ويبدو أن كل شيء يناسبنا ، لكنه مرهق وقبيح للغاية. يجب أن نجعلها أبسط وأكثر إرضاء من الناحية الجمالية. ماذا يمكن ان يفعل؟ يمكنك تقليل هذا الكسر. تذكر أن اختزال الكسر هو قسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام.

لتقليل الكسر بشكل صحيح ، تحتاج إلى قسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر (GCD) للرقمين 20 و 30.

لا تخلط بين GCD و NOC. الخطأ الأكثر شيوعًا الذي يرتكبه العديد من المبتدئين. GCD هو القاسم المشترك الأكبر. نجدها لتقليل الكسر.

و LCM هو المضاعف المشترك الأصغر. نجده من أجل تقريب الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

الآن سنجد القاسم المشترك الأكبر (gcd) للعددين 20 و 30.

إذن ، نجد GCD للأرقام 20 و 30:

GCD (20 و 30) = 10

نعود الآن إلى مثالنا ونقسم بسط الكسر ومقامه على 10:

حصلت على إجابة لطيفة

ضرب الكسر في رقم

لضرب كسر في رقم ، تحتاج إلى ضرب بسط الكسر المعطى في هذا الرقم ، وترك المقام كما هو.

مثال 1. اضرب الكسر بالرقم 1.

اضرب بسط الكسر بالرقم 1

يمكن فهم الإدخال على أنه يستغرق نصف مرة. على سبيل المثال ، إذا تناولت البيتزا مرة واحدة ، فستحصل على البيتزا

من قوانين الضرب ، نعلم أنه إذا تم تبديل المضاعف والمضاعف ، فلن يتغير المنتج. إذا تمت كتابة التعبير كـ ، فسيظل المنتج مساويًا لـ. مرة أخرى ، تعمل قاعدة ضرب عدد صحيح وكسر:

يمكن فهم هذا الإدخال على أنه يأخذ نصف الوحدة. على سبيل المثال ، إذا كان هناك بيتزا واحدة كاملة وأخذنا نصفها ، فسنحصل على بيتزا:

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر في 4

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ ربعين أربع مرات. على سبيل المثال ، إذا تناولت البيتزا 4 مرات ، فستحصل على اثنين من البيتزا الكاملة.

وإذا قمنا بتبديل المضاعف والمضاعف في أماكن ، فسنحصل على المقدار. سيكون أيضًا مساويًا لـ 2. يمكن فهم هذا التعبير على أنه أخذ اثنين من البيتزا من أربع بيتزا كاملة:

ضرب الكسور

لضرب الكسور ، عليك أن تضرب البسط والمقام. إذا كانت الإجابة كسرًا غير فعلي ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل فيه.

مثال 1أوجد قيمة التعبير.

حصلت على إجابة. من المستحسن تقليل هذا الكسر. يمكن تصغير الكسر بمقدار 2. ثم يأخذ الحل النهائي الشكل التالي:

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ بيتزا من نصف بيتزا. لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:

كيف تأخذ الثلثين من هذا النصف؟ تحتاج أولاً إلى تقسيم هذا النصف إلى ثلاثة أجزاء متساوية:

وخذ قطعتين من هذه القطع الثلاث:

سنحصل على بيتزا. تذكر كيف تبدو البيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء:

شريحة واحدة من هذه البيتزا والشريحتين اللتين أخذناهما سيكون لها نفس الأبعاد:

بعبارة أخرى ، نحن نتحدث عن نفس حجم البيتزا. لذلك ، فإن قيمة التعبير هي

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني ، واضرب مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:

الجواب هو كسر غير فعلي. لنأخذ جزءًا كاملاً منه:

مثال 3أوجد قيمة التعبير

تبين أن الإجابة هي كسر صحيح ، لكنها ستكون جيدة إذا تم تقليلها. لتقليل هذا الكسر ، يجب تقسيمه على gcd للبسط والمقام. إذن ، لنجد GCD للرقمين 105 و 450:

GCD لـ (105 و 150) هي 15

الآن نقسم بسط ومقام إجابتنا على GCD:

تمثيل عدد صحيح في صورة كسر

يمكن تمثيل أي عدد صحيح في صورة كسر. على سبيل المثال ، يمكن تمثيل الرقم 5 كـ. من هنا لن يغير الخمسة معناها ، لأن التعبير يعني "العدد خمسة مقسومًا على واحد" ، وهذا كما تعلمون يساوي خمسة:

أرقام عكسية

الآن سوف نتعرف على موضوع مثير للاهتمام للغاية في الرياضيات. يطلق عليه "الأرقام العكسية".

تعريف. عكس الرقم أ هو الرقم الذي عند ضربه أ يعطي وحدة.

لنعوض بهذا التعريف بدلاً من المتغير أرقم 5 وحاول قراءة التعريف:

عكس الرقم 5 هو الرقم الذي عند ضربه 5 يعطي وحدة.

هل من الممكن إيجاد رقم يعطي واحدًا عند ضربه في 5؟ اتضح أنك تستطيع. دعنا نمثل خمسة في صورة كسر:

ثم اضرب هذا الكسر في نفسه ، فقط بدل البسط والمقام. بعبارة أخرى ، اضرب الكسر في نفسه ، مقلوبًا فقط:

ماذا ستكون نتيجة هذا؟ إذا واصلنا حل هذا المثال ، فسنحصل على واحد:

هذا يعني أن معكوس الرقم 5 هو الرقم ، لأنه عندما يتم ضرب 5 في واحد ، يتم الحصول على واحد.

يمكن أيضًا العثور على المقلوب لأي عدد صحيح آخر.

• مقلوب 3 كسر
• مقلوب 4 كسر

يمكنك أيضًا إيجاد مقلوب أي كسر آخر. للقيام بذلك ، يكفي قلبه.

) والمقام بالمقام (نحصل على مقام حاصل الضرب).

صيغة ضرب الكسر:

فمثلا:

قبل الشروع في ضرب البسط والمقام ، من الضروري التحقق من إمكانية تقليل الكسر. إذا تمكنت من تقليل الكسر ، فسيكون من السهل عليك الاستمرار في إجراء الحسابات.

قسمة كسر عادي على كسر.

قسمة الكسور التي تتضمن عددًا طبيعيًا.

إنه ليس مخيفًا كما يبدو. كما في حالة الجمع ، نحول عددًا صحيحًا إلى كسر بوحدة في المقام. فمثلا:

ضرب الكسور المختلطة.

قواعد ضرب الكسور (مختلطة):

• تحويل الكسور المختلطة إلى غير صحيحة ؛
• اضرب البسط والمقام في الكسور ؛
• نقوم بتقليل الكسر.
• إذا حصلنا على كسر غير فعلي ، فسنحول الكسر غير الفعلي إلى كسر مختلط.

ملحوظة!لضرب كسر مختلط في كسر مختلط آخر ، عليك أولًا إحضاره إلى صورة الكسور غير الفعلية ، ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسور العادية.

الطريقة الثانية لضرب الكسر في عدد طبيعي.

من الأنسب استخدام الطريقة الثانية لضرب الكسر العادي في رقم.

ملحوظة!لضرب كسر في رقم طبيعي ، من الضروري قسمة مقام الكسر على هذا الرقم ، وترك البسط دون تغيير.

من المثال أعلاه ، من الواضح أن هذا الخيار يكون أكثر ملاءمة للاستخدام عندما يتم قسمة مقام الكسر بدون الباقي على رقم طبيعي.

كسور متعددة المستويات.

في المدرسة الثانوية ، غالبًا ما توجد كسور من ثلاثة طوابق (أو أكثر). مثال:

لإحضار هذا الكسر إلى شكله المعتاد ، يتم استخدام القسمة على نقطتين:

ملحوظة!عند قسمة الكسور ، فإن ترتيب القسمة مهم جدًا. كن حذرًا ، من السهل الخلط هنا.

ملحوظة، فمثلا:

عند قسمة واحد على أي كسر ، ستكون النتيجة هي نفس الكسر ، مقلوبًا فقط:

نصائح عملية لضرب الكسور وتقسيمها:

1. أهم شيء في التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والانتباه. قم بإجراء جميع العمليات الحسابية بحذر ودقة وتركيز ووضوح. من الأفضل أن تكتب بضعة سطور إضافية في المسودة بدلاً من الخلط بين الحسابات في رأسك.

2. في المهام مع أنواع مختلفةالكسور - انتقل إلى شكل الكسور العادية.

3. نقوم بتقليل جميع الكسور حتى يصبح من غير الممكن تصغيرها.

4. نقوم بإدخال التعبيرات الكسرية متعددة المستويات إلى التعبيرات العادية ، باستخدام القسمة على نقطتين.

5. نقسم الوحدة إلى كسر في أذهاننا ، وذلك ببساطة عن طريق قلب الكسر.