كيفية حل الوظائف المشتقة. أمثلة على استخدام صيغة مشتقة دالة معقدة

سنتحدث في هذه المقالة عن مفهوم رياضي مهم كدالة معقدة، وسنتعلم كيفية العثور على مشتقة دالة معقدة.

قبل أن نتعلم كيفية العثور على مشتقة دالة معقدة، دعونا نفهم مفهوم الوظيفة المعقدة، وما هي، "وماذا تؤكل"، و"كيفية طهيها بشكل صحيح".

النظر في وظيفة تعسفية، على سبيل المثال، هذه:

لاحظ أن الوسيطة الموجودة على الجانبين الأيمن والأيسر من معادلة الدالة هي نفس الرقم أو التعبير.

وبدلا من المتغير يمكننا أن نضع مثلا التعبير التالي: . وبعد ذلك نحصل على الدالة

لنسمي التعبير وسيطة وسيطة، والدالة وظيفة خارجية. هذه ليست مفاهيم رياضية صارمة، ولكنها تساعد على فهم معنى مفهوم الدالة المعقدة.

يبدو التعريف الصارم لمفهوم الوظيفة المعقدة كما يلي:

دع الوظيفة يتم تعريفها على مجموعة وتكون مجموعة قيم هذه الوظيفة. دع المجموعة (أو مجموعتها الفرعية) تكون مجال تعريف الوظيفة. دعونا نخصص رقمًا لكل منهم. وبالتالي، سيتم تعريف الوظيفة على المجموعة. يطلق عليه تكوين الوظيفة أو الوظيفة المعقدة.

في هذا التعريف، إذا استخدمنا مصطلحاتنا، فإن الدالة الخارجية هي وسيطة وسيطة.

يتم العثور على مشتق دالة معقدة وفقًا للقاعدة التالية:

ولتوضيح الأمر أكثر، أحب أن أكتب هذه القاعدة على النحو التالي:

في هذا التعبير، يشير الاستخدام إلى وظيفة وسيطة.

لذا. للعثور على مشتق دالة معقدة، تحتاج

1. تحديد الوظيفة الخارجية والعثور على المشتقة المقابلة من جدول المشتقات.

2. تحديد وسيطة وسيطة.

أكبر صعوبة في هذا الإجراء هو العثور عليها وظيفة خارجية. يتم استخدام خوارزمية بسيطة لهذا:

أ. اكتب معادلة الدالة.

ب. تخيل أنك بحاجة إلى حساب قيمة دالة لبعض قيمة x. للقيام بذلك، يمكنك استبدال قيمة x هذه في معادلة الدالة وإجراء العمليات الحسابية. الإجراء الأخير الذي تقوم به هو الوظيفة الخارجية.

على سبيل المثال، في الدالة

الإجراء الأخير هو الأسي.

دعونا نجد مشتقة هذه الوظيفة. للقيام بذلك، نكتب حجة وسيطة

طلب

حل المشتق على الموقع لتوحيد المواد التي يغطيها الطلاب وأطفال المدارس. لا يبدو حساب مشتق دالة في بضع ثوانٍ أمرًا صعبًا إذا كنت تستخدم خدمة حل المشكلات عبر الإنترنت. يقود تحليل تفصيليسيتمكن كل طالب ثالث من الدراسة الشاملة خلال الدرس العملي. في كثير من الأحيان قسم القسم المختص بتعزيز الرياضيات في المؤسسات التعليميةبلدان. في هذه الحالة، كيف لا يمكننا أن نذكر حل المشتقة عبر الإنترنت لمساحة مغلقة من تسلسلات الأرقام؟ يُسمح للعديد من الأفراد الأثرياء بالتعبير عن حيرتهم. لكن في هذه الأثناء، لا يجلس علماء الرياضيات ساكنين ويعملون كثيرًا. ستقبل الآلة الحاسبة المشتقة التغييرات في معلمات الإدخال بناءً على الخصائص الخطية ويرجع ذلك أساسًا إلى المواضع التنازلية للمكعبات. والنتيجة لا مفر منها مثل السطح. كبيانات أولية، فإن المشتق عبر الإنترنت يلغي الحاجة إلى اتخاذ خطوات غير ضرورية. باستثناء الأعمال المنزلية الخيالية. بالإضافة إلى أن حل المشتقات عبر الإنترنت أمر ضروري و جانب مهمعند دراسة الرياضيات، غالبًا ما لا يتذكر الطلاب مشاكل الماضي. الطالب، كونه مخلوق كسول، يفهم هذا. لكن الطلاب أناس مضحكون! إما أن تفعل ذلك وفقًا للقواعد، أو أن مشتق دالة في مستوى مائل يمكن أن ينقل التسارع إلى نقطة مادية. دعونا نوجه متجه الشعاع المكاني للأسفل في مكان ما. في الإجابة المطلوبة، يبدو إيجاد المشتقة أمرًا تجريديًا الاتجاه النظريبسبب عدم استقرار النظام الرياضي. دعونا نفكر في علاقة الأرقام كسلسلة من الخيارات غير المستخدمة. تم تجديد قناة الاتصال بخط خامس على طول ناقل متناقص من نقطة التشعب المغلق للمكعب. على مستوى المساحات المنحنية، يؤدي حل المشتقة عبر الإنترنت إلى نتيجة جعلت أعظم العقول على هذا الكوكب يفكرون فيها في القرن الماضي. في سياق الأحداث في مجال الرياضيات، تم طرح خمسة عوامل مهمة بشكل أساسي للمناقشة العامة والتي تساهم في تحسين موقف اختيار المتغير. لذا فإن قانون النقاط ينص على أن المشتق عبر الإنترنت لا يتم حسابه بالتفصيل في كل حالة، والاستثناء الوحيد هو لحظة تقدمية مخلصة. لقد أوصلتنا التوقعات إلى مرحلة جديدة من التطور. نحن بحاجة إلى نتائج. في خط المنحدر الرياضي الذي يمر تحت السطح، توجد آلة حاسبة مشتقة للوضع في منطقة تقاطع المنتجات على مجموعة الانحناء. يبقى تحليل تمايز الوظيفة عند نقطتها المستقلة بالقرب من حي إبسيلون. يمكن للجميع التحقق من ذلك في الممارسة العملية. ونتيجة لذلك، سيكون هناك شيء يجب تحديده في المرحلة التالية من البرمجة. يحتاج الطالب إلى المشتق عبر الإنترنت كما هو الحال دائمًا، بغض النظر عن البحث التخيلي الذي يمارسه. اتضح أن حل المشتقة عبر الإنترنت مضروبًا في ثابت لا يغير الاتجاه العام لحركة نقطة المادة، ولكنه يميز الزيادة في السرعة على طول خط مستقيم. وبهذا المعنى، سيكون من المفيد استخدام الآلة الحاسبة المشتقة لدينا وحساب جميع قيم الدالة في المجموعة الكاملة لتعريفها. ليست هناك حاجة لدراسة موجات القوة في مجال الجاذبية. لن يُظهر حل المشتقات عبر الإنترنت بأي حال من الأحوال ميل الشعاع الصادر، ولكن فقط في في حالات نادرةعندما يكون ذلك ضروريًا حقًا، يمكن لطلاب الجامعة تخيله. دعونا التحقيق في مدير المدرسة. قيمة أصغر الدوار يمكن التنبؤ بها. تنطبق على نتيجة الخطوط التي تنظر إلى اليمين والتي تصف الكرة، ولكن آلة حاسبة على الانترنتالمشتقات، هذا هو الأساس للأشكال ذات القوة الخاصة والاعتماد غير الخطي. تقرير مشروع الرياضيات جاهز. اختلاف الخصائص الشخصية أصغر الأرقامومشتقة الدالة على طول المحور الإحداثي ستؤدي إلى ارتفاع تقعر الدالة نفسها. هناك اتجاه - هناك نتيجة. من الأسهل وضع النظرية موضع التنفيذ. لدى الطلاب مقترح بخصوص توقيت بدء الدراسة. بحاجة إلى إجابة المعلم. مرة أخرى، كما هو الحال مع الموقف السابق، لا يتم تنظيم النظام الرياضي على أساس إجراء من شأنه أن يساعد في العثور على المشتقة. مثل النسخة شبه الخطية السفلية، سيشير المشتق عبر الإنترنت بالتفصيل إلى تحديد الحل وفقًا للمشتقة القانون الشرطي المنحط. لقد تم للتو طرح فكرة حساب الصيغ. يؤدي التمايز الخطي للدالة إلى تحويل حقيقة الحل إلى مجرد عرض الاختلافات الإيجابية غير ذات الصلة. سيتم اعتبار أهمية علامات المقارنة بمثابة انقطاع مستمر في الوظيفة على طول المحور. هذه هي أهمية الاستنتاج الأكثر وعيا، وفقا للطالب، الذي يكون فيه المشتق عبر الإنترنت شيئا آخر غير مثال مخلص للتحليل الرياضي. على العكس من ذلك، أعطى نصف قطر الدائرة المنحنية في الفضاء الإقليدي لآلة حاسبة المشتقات تمثيلا طبيعيا لتبادل المسائل الحاسمة من أجل الاستقرار. أفضل طريقةوجد. كان من الأسهل نقل المهمة إلى مستوى أعلى. دع تطبيق نسبة الفرق المستقلة يؤدي إلى حل المشتقات عبر الإنترنت. يدور المحلول حول محور الإحداثي السيني، ويصف شكل الدائرة. هناك مخرج، وهو يعتمد على أبحاث مدعومة نظريًا من قبل طلاب الجامعة، والتي يدرس منها الجميع، وحتى في تلك اللحظات الزمنية هناك مشتق للدالة. لقد وجدنا طريقة للتقدم وأكد الطلاب ذلك. يمكننا أن نتحمل تكاليف إيجاد المشتقة دون تجاوز النهج غير الطبيعي لتحويل النظام الرياضي. تزداد علامة التناسب اليسرى مع التسلسل الهندسي التمثيل الرياضيآلة حاسبة مشتقة عبر الإنترنت بسبب الظروف غير المعروفة للعوامل الخطية على الإحداثيات اللانهائية. لقد أثبت علماء الرياضيات في جميع أنحاء العالم مدى استثنائية عملية الإنتاج. يوجد أصغر مربع داخل الدائرة حسب وصف النظرية. مرة أخرى، سيعبر المشتق عبر الإنترنت بالتفصيل عن افتراضنا حول ما يمكن أن يؤثر على الرأي المنقح نظريًا في المقام الأول. وكانت هناك آراء ذات طبيعة مختلفة عن التقرير الذي تم تحليله والذي قدمناه. قد لا يتم إيلاء اهتمام خاص لطلاب كلياتنا، ولكن ليس لعلماء الرياضيات الأذكياء والمتقدمين تكنولوجيًا، الذين يعتبر تفاضل الدالة مجرد عذر. المعنى الميكانيكي للمشتق بسيط للغاية. يتم حساب قوة الرفع على أنها مشتقة عبر الإنترنت للمساحات الثابتة التنازلية للأعلى في الوقت المناسب. إن الآلة الحاسبة المشتقة بشكل واضح هي عملية صارمة لوصف مشكلة انحطاط التحول الاصطناعي كجسم غير متبلور. يشير المشتق الأول إلى تغير في حركة نقطة مادية. من الواضح أنه يتم ملاحظة الفضاء ثلاثي الأبعاد في سياق التقنيات المدربة خصيصًا لحل المشتقات عبر الإنترنت، وفي الواقع، هذا موجود في كل ندوة حول موضوع التخصص الرياضي. المشتق الثاني يميز التغير في سرعة نقطة مادية ويحدد التسارع. يأخذ نهج الزوال القائم على استخدام التحويل التقاربي مشتق دالة عند نقطة من مجال تعريف هذه الوظيفة إلى مستوى جديد. لا يمكن للآلة الحاسبة المشتقة عبر الإنترنت أن توجد بدون أرقام ورموز رمزية في بعض الحالات للحظة القابلة للتنفيذ الصحيحة، بالإضافة إلى الترتيب القابل للتحويل للأشياء في المهمة. ومن المثير للدهشة أن هناك تسارعًا ثانيًا للنقطة المادية، وهذا ما يميز التغير في التسارع. في وقت قصير، سنبدأ في دراسة حل المشتقات عبر الإنترنت، ولكن بمجرد الوصول إلى مرحلة معينة في المعرفة، سيوقف طالبنا هذه العملية مؤقتًا. أفضل علاجلإقامة اتصالات هو اتصال مباشر حول موضوع رياضي. هناك مبادئ لا يمكن انتهاكها تحت أي ظرف من الظروف، مهما كانت صعوبة المهمة المطروحة. من المفيد العثور على المشتق عبر الإنترنت في الوقت المحدد وبدون أخطاء. وهذا سوف يؤدي إلى وضع جديد التعبير الرياضي. النظام مستقر. المعنى الجسديالمشتق ليس شائعًا مثل المشتق الميكانيكي. من غير المرجح أن يتذكر أي شخص كيف عرض المشتق عبر الإنترنت بالتفصيل على المستوى الخطوط العريضة لخطوط الدالة في الوضع الطبيعي من المثلث المجاور لمحور الإحداثي السيني. يستحق الإنسان دورًا رئيسيًا في أبحاث القرن الماضي. دعونا نفرق الدالة عند نقاط من مجال التعريف وعند اللانهاية في ثلاث مراحل أولية. سيكون مكتوبًا في مجال البحث فقط، لكنه يمكن أن يحل محل المتجه الرئيسي في الرياضيات ونظرية الأعداد، بمجرد أن يحدث ما يربط الآلة الحاسبة المشتقة عبر الإنترنت بالمشكلة. إذا كان هناك سبب، فسيكون هناك سبب لإنشاء المعادلة. من المهم جدًا مراعاة جميع معلمات الإدخال. لا يتم قبول الأفضل دائمًا وجهاً لوجه، فخلف ذلك يكمن عدد هائل من أفضل العقول العاملة الذين عرفوا كيفية حساب المشتق عبر الإنترنت في الفضاء. منذ ذلك الحين، تم اعتبار التحدب خاصية للدالة المستمرة. ومع ذلك، فمن الأفضل أن نبدأ أولاً بحل مشكلة حل المشتقات عبر الإنترنت في أسرع وقت ممكن. وبذلك يكون الحل كاملا. وبصرف النظر عن المعايير التي لم يتم الوفاء بها، فإن هذا لا يعتبر كافيا. في البداية، يقترح كل طالب تقريبًا طرح طريقة بسيطة حول كيفية تسبب مشتق دالة في خوارزمية تكبير مثيرة للجدل. في اتجاه الشعاع الصاعد. هذا منطقي كما الوضع العام. في السابق، كنا بمثابة بداية الانتهاء من عملية حسابية محددة، ولكن اليوم سيكون العكس. ولعل حل المشتقة إلكترونيا سيثير الموضوع مرة أخرى وسنتخذ رأيا مشتركا للحفاظ عليه أثناء المناقشة في اجتماع الأساتذة. ونأمل التفاهم من جميع الأطراف للمشاركين في الاجتماع. ويكمن المعنى المنطقي في وصف الآلة الحاسبة المشتقة في رنين الأرقام حول تسلسل عرض فكرة المشكلة، والتي تم الإجابة عليها في القرن الماضي من قبل كبار علماء العالم. سيساعدك ذلك على استخراج متغير معقد من تعبير محول والعثور على المشتق عبر الإنترنت لتنفيذ إجراء ضخم من نفس النوع. الحقيقة أفضل عدة مرات من التخمينات. أدنى قيمةفي الاتجاه. لن تكون النتيجة طويلة في المستقبل عند استخدام خدمة فريدة من نوعها لتحديد دقيق، حيث يوجد جوهر المشتق عبر الإنترنت بالتفصيل. بشكل غير مباشر، ولكن إلى حد ما، كما قال أحد الحكماء، تم إنشاء آلة حاسبة للمشتقات عبر الإنترنت بناءً على طلب العديد من الطلاب من مختلف مدن الاتحاد. إذا كان هناك فرق، فلماذا تقرر مرتين. المتجه المعطى يقع على نفس جانب المتجه الطبيعي. في منتصف القرن الماضي، لم يكن يُنظر إلى التمايز الوظيفي على الإطلاق كما هو الحال اليوم. وبفضل التطورات الجارية، ظهرت الرياضيات عبر الإنترنت. مع مرور الوقت، ينسى الطلاب إعطاء التقدير الواجب لمواد الرياضيات. إن حل المشتق عبر الإنترنت سوف يتحدى أطروحتنا بشكل صحيح بناءً على تطبيق النظرية المدعومة بالمعرفة العملية. وسوف تتجاوز القيمة الحالية لعامل العرض وسنكتب الصيغة في شكل واضح للدالة. يحدث أنك تحتاج على الفور إلى العثور على مشتق عبر الإنترنت دون استخدام أي آلة حاسبة، ومع ذلك، يمكنك دائمًا اللجوء إلى خدعة الطالب والاستمرار في استخدام خدمة مثل موقع الويب. وبالتالي، سيوفر الطالب الكثير من الوقت في نسخ الأمثلة من دفتر الملاحظات الخام إلى النموذج النهائي. إذا لم تكن هناك تناقضات، فاستخدم الخدمة الحل خطوة بخطوةمثل هذه الأمثلة المعقدة.

بعد إعداد المدفعية الأولي، ستكون الأمثلة ذات التعشيش 3-4-5 أقل مخيفة. قد يبدو المثالان التاليان معقدين بالنسبة للبعض، ولكن إذا فهمتهما (سيعاني شخص ما)، فإن كل شيء آخر تقريبًا في حساب التفاضل والتكامل سيبدو وكأنه مزحة طفل.

مثال 2

أوجد مشتقة الدالة

كما ذكرنا سابقًا، عند العثور على مشتق دالة معقدة، فمن الضروري أولاً وقبل كل شيء يمينفهم استثماراتك. في الحالات التي توجد فيها شكوك، أذكرك بتقنية مفيدة: نأخذ القيمة التجريبية لـ "x"، على سبيل المثال، ونحاول (ذهنيًا أو في مسودة) استبدالها قيمة معينةإلى "تعبير رهيب".

1) نحتاج أولاً إلى حساب التعبير، مما يعني أن المجموع هو التضمين الأعمق.

2) فأنت بحاجة إلى حساب اللوغاريتم:

4) ثم مكعب جيب التمام:

5) في الخطوة الخامسة الفرق:

6) وأخيرًا، الدالة الخارجية هي الجذر التربيعي:

صيغة للتمييز بين وظيفة معقدة يتم تطبيقها بترتيب عكسي، من الوظيفة الخارجية إلى الوظيفة الأعمق. نحن نقرر:

يبدو بدون أخطاء:

1) خذ مشتقة الجذر التربيعي.

2) أوجد مشتقة الفرق باستخدام القاعدة

3) مشتقة الثلاثي هي صفر. وفي الفصل الثاني نأخذ مشتقة الدرجة (المكعب).

4) خذ مشتق جيب التمام.

6) وأخيرا، نأخذ مشتقة التضمين الأعمق.

قد يبدو الأمر صعبا للغاية، ولكن هذا ليس المثال الأكثر وحشية. خذ على سبيل المثال مجموعة كوزنتسوف وسوف تقدر كل جمال وبساطة المشتق الذي تم تحليله. لقد لاحظت أنهم يحبون تقديم شيء مماثل في الاختبار للتحقق مما إذا كان الطالب يفهم كيفية العثور على مشتق دالة معقدة أم لا.

المثال التالي هو الحل بنفسك.

مثال 3

أوجد مشتقة الدالة

تلميح: أولاً، نطبق القواعد الخطية وقاعدة تمايز المنتجات

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

حان الوقت للانتقال إلى شيء أصغر وأجمل.
ليس من غير المألوف أن يُظهر المثال منتجًا ليس وظيفتين، بل ثلاث وظائف. كيفية العثور على مشتق المنتج من ثلاثة عوامل؟

مثال 4

أوجد مشتقة الدالة

لننظر أولاً، هل من الممكن تحويل منتج ثلاث وظائف إلى منتج دالتين؟ على سبيل المثال، إذا كان لدينا كثيرتا الحدود في حاصل الضرب، فيمكننا فتح القوسين. ولكن في المثال قيد النظر، جميع الوظائف مختلفة: الدرجة والأس واللوغاريتم.

في مثل هذه الحالات فمن الضروري بالتتابعتطبيق قاعدة تمايز المنتج مرتين

الحيلة هي أننا نشير بالحرف "y" إلى حاصل ضرب وظيفتين: وبالحرف "ve" نشير إلى اللوغاريتم: . لماذا يمكن القيام بذلك؟ هل هو حقا - هذا ليس نتاج عاملين والقاعدة لا تعمل؟! لا يوجد شيء معقد:

الآن يبقى تطبيق القاعدة مرة ثانية بين قوسين:

لا يزال بإمكانك أن تكون منحرفًا وتخرج شيئًا ما بين قوسين، ولكن في في هذه الحالةمن الأفضل ترك الإجابة في هذا النموذج - سيكون من الأسهل التحقق منها.

يمكن حل المثال المدروس بالطريقة الثانية:

كلا الحلين متكافئان تمامًا.

مثال 5

أوجد مشتقة الدالة

وهذا مثال لحل مستقل، في العينة يتم حله باستخدام الطريقة الأولى.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة مماثلة مع الكسور.

مثال 6

أوجد مشتقة الدالة

هناك عدة طرق يمكنك الذهاب إليها هنا:

او مثل هذا:

لكن الحل سيكون مكتوبًا بشكل أكثر إحكامًا إذا استخدمنا قاعدة اشتقاق خارج القسمة أولًا ، مع الأخذ في الاعتبار البسط بأكمله:

ومن حيث المبدأ فالمثال محلول، وإذا ترك كما هو فلا يكون خطأ. ولكن إذا كان لديك الوقت، فمن المستحسن دائمًا التحقق من المسودة لمعرفة ما إذا كان من الممكن تبسيط الإجابة؟

دعونا نختصر تعبير البسط إلى قاسم مشترك ونتخلص من بنية الكسر المكونة من ثلاثة طوابق:

عيب التبسيط الإضافي هو أن هناك خطر ارتكاب خطأ ليس عند العثور على المشتق، ولكن أثناء التحولات المدرسية المبتذلة. من ناحية أخرى، غالبًا ما يرفض المعلمون المهمة ويطلبون "إحضارها إلى الذهن" المشتقة.

مثال أبسط لحلها بنفسك:

مثال 7

أوجد مشتقة الدالة

نواصل إتقان طرق العثور على المشتق، والآن سننظر في حالة نموذجية عندما يتم اقتراح اللوغاريتم "الرهيب" للتمايز

منذ مجيئك إلى هنا، ربما تكون قد رأيت بالفعل هذه الصيغة في الكتاب المدرسي

وجعل الوجه مثل هذا:

صديق، لا تقلق! في الواقع، كل شيء هو مجرد الفاحشة. سوف تفهم بالتأكيد كل شيء. طلب واحد فقط - اقرأ المقال ببطء، حاول أن تفهم كل خطوة. لقد كتبت ببساطة ووضوح قدر الإمكان، ولكن لا تزال بحاجة إلى فهم الفكرة. وتأكد من حل المهام من المقال.

ما هي الوظيفة المعقدة؟

تخيل أنك تنتقل إلى شقة أخرى وبالتالي تقوم بتعبئة الأشياء في صناديق كبيرة. لنفترض أنك بحاجة إلى جمع بعض العناصر الصغيرة، على سبيل المثال، مواد الكتابة المدرسية. إذا قمت برميهم في صندوق ضخم، فسوف يضيعون من بين أشياء أخرى. لتجنب ذلك، تقوم أولاً بوضعها، على سبيل المثال، في كيس، ثم تضعها في صندوق كبير، وبعد ذلك تقوم بإغلاقه. يتم عرض هذه العملية "المعقدة" في الرسم البياني أدناه:

يبدو أن ما علاقة الرياضيات به؟ نعم، على الرغم من أن الدالة المعقدة تتشكل بنفس الطريقة تمامًا! نحن فقط "نحزم" ليس الدفاتر والأقلام، بل \(x\)، في حين أن "الحزم" و"الصناديق" مختلفة.

على سبيل المثال، لنأخذ x ونجمعه في دالة:

ونتيجة لذلك، نحصل بالطبع على \(\cos⁡x\). هذه هي "حقيبة الأشياء" لدينا. والآن دعونا نضعها في "صندوق" - ونضعها، على سبيل المثال، في دالة تكعيبية.

ماذا سيحدث في النهاية؟ نعم، هذا صحيح، سيكون هناك "كيس من الأشياء في صندوق"، أي "جيب تمام X المكعب".

التصميم الناتج هو وظيفة معقدة. وهو يختلف عن البسيط في ذلك يتم تطبيق العديد من "التأثيرات" (الحزم) على X واحدة على التواليويبدو الأمر كما لو كانت "وظيفة من وظيفة" - "تغليف داخل عبوة".

يوجد في المقرر الدراسي أنواع قليلة جدًا من هذه "الحزم"، أربعة فقط:

دعونا الآن "نجمع" X أولاً في دالة أسية ذات الأساس 7، ثم في دالة مثلثية. نحن نحصل:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

الآن دعونا "نحزم" X مرتين الدوال المثلثية، أولاً في ، ثم في:

\(x → الخطيئة⁡x → cotg⁡ (الخطيئة⁡x)\)

بسيطة، أليس كذلك؟

الآن اكتب الوظائف بنفسك، حيث x:
- أولاً يتم "تعبئتها" في جيب التمام، ثم في دالة أسية ذات الأساس \(3\);
- أولا إلى القوة الخامسة، ثم إلى الظل؛
- أولًا لوغاريتم القاعدة \(4\) ، ثم إلى السلطة \(-2\).

ابحث عن إجابات هذه المهمة في نهاية المقال.

هل يمكننا "حزم" X ليس مرتين، بل ثلاث مرات؟ لا مشكلة! وأربعة وخمسة وخمسة وعشرين مرة. هنا، على سبيل المثال، دالة يتم فيها "تعبئة" x \(4\) مرات:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4))))\)

لكن مثل هذه الصيغ لن يتم العثور عليها في الممارسة المدرسية (الطلاب أكثر حظًا - قد تكون صيغهم أكثر تعقيدًا☺).

"تفريغ" وظيفة معقدة

انظر إلى الوظيفة السابقة مرة أخرى. هل يمكنك معرفة تسلسل "التعبئة"؟ ما تم حشو X به أولاً، وماذا بعد ذلك، وهكذا حتى النهاية. بمعنى ما هي الوظيفة المتداخلة ضمن أي منها؟ خذ قطعة من الورق واكتب ما تعتقده. يمكنك القيام بذلك بسلسلة بها أسهم كما كتبنا أعلاه أو بأي طريقة أخرى.

الآن الإجابة الصحيحة هي: أولاً، تم "تعبئة" x في القوة \(4\) ثم تم تجميع النتيجة في جيب الجيب، وتم وضعها بدورها في اللوغاريتم للقاعدة \(2\) ، وفي النهاية تم حشو هذا البناء بأكمله في قوة الخمسات.

أي أنك تحتاج إلى فك التسلسل بترتيب عكسي. وإليك تلميحًا حول كيفية القيام بذلك بشكل أسهل: انظر فورًا إلى علامة X - يجب أن ترقص منها. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

على سبيل المثال، إليك الدالة التالية: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). ننظر إلى X - ماذا يحدث له أولاً؟ مأخوذ منه. وثم؟ يتم أخذ ظل النتيجة. سيكون التسلسل هو نفسه:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

مثال آخر: \(y=\cos⁡((x^3))\). دعونا نحلل - أولاً قمنا بتجميع X، ثم أخذنا جيب التمام للنتيجة. هذا يعني أن التسلسل سيكون: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). انتبه، يبدو أن الوظيفة مشابهة للوظيفة الأولى (حيث تحتوي على صور). لكن هذه دالة مختلفة تمامًا: هنا في المكعب يوجد x (أي، \(\cos⁡((x·x·x)))\)، ويوجد في المكعب جيب التمام \(x\) ( أي \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). ينشأ هذا الاختلاف من تسلسلات "التعبئة" المختلفة.

المثال الأخير (وفيه معلومات مهمة): \(y=\sin⁡((2x+5))\). من الواضح أنهم أجروا هنا أولًا عمليات حسابية باستخدام x، ثم أخذوا جيب النتيجة: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). وهذا نقطة مهمة: على الرغم من أن العمليات الحسابية ليست وظائف في حد ذاتها، إلا أنها تعمل هنا أيضًا كوسيلة "للتعبئة". دعونا نتعمق قليلاً في هذه الدقة.

كما قلت أعلاه، في الوظائف البسيطة، يتم "تعبئة" x مرة واحدة، وفي الوظائف المعقدة - مرتين أو أكثر. علاوة على ذلك، فإن أي مجموعة من الدوال البسيطة (أي مجموعها أو فرقها أو ضربها أو قسمتها) هي أيضًا دالة بسيطة. على سبيل المثال، \(x^7\) هي دالة بسيطة وكذلك \(ctg x\). هذا يعني أن جميع مجموعاتها عبارة عن وظائف بسيطة:

\(x^7+ ctg x\) - بسيط،
\(x^7 · المهد x\) - بسيط،
\(\frac(x^7)(ctg x)\) - بسيط، وما إلى ذلك.

ومع ذلك، إذا تم تطبيق وظيفة أخرى على مثل هذه المجموعة، فسوف تصبح وظيفة معقدة، حيث سيكون هناك "حزمتان". انظر الرسم البياني:

حسنًا، تفضل الآن. اكتب تسلسل وظائف "التغليف":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(ص=5^(س^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
الإجابات مرة أخرى في نهاية المقال.

وظائف داخلية وخارجية

لماذا نحتاج إلى فهم تداخل الوظائف؟ ماذا يعطينا هذا؟ الحقيقة هي أنه بدون مثل هذا التحليل لن نتمكن من العثور بشكل موثوق على مشتقات الوظائف التي تمت مناقشتها أعلاه.

ومن أجل المضي قدمًا، سنحتاج إلى مفهومين آخرين: الوظائف الداخلية والخارجية. هذا شيء بسيط للغاية، علاوة على ذلك، في الواقع، قمنا بتحليلها بالفعل أعلاه: إذا تذكرنا تشبيهنا في البداية، فإن الوظيفة الداخلية هي "حزمة"، والوظيفة الخارجية هي "مربع". أولئك. ما تم "تغليفه" X في البداية هو وظيفة داخلية، وما تم "تغليفه" الوظيفة الداخلية به هو بالفعل خارجي. حسنًا، السبب واضح - إنها بالخارج، وهذا يعني أنها خارجية.

في هذا المثال: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\)، الدالة \(\log_2⁡x\) داخلية، و
- خارجي.

وفي هذا: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\)، \(x^3+2x+1\) داخلي، و
- خارجي.

أكمل الممارسة الأخيرة لتحليل الدوال المعقدة، ودعنا أخيرًا ننتقل إلى ما بدأنا جميعًا من أجله - سنجد مشتقات الدوال المعقدة:

املأ الفراغات في الجدول:

مشتق من وظيفة معقدة

برافو لنا، لقد وصلنا أخيرًا إلى "رئيس" هذا الموضوع - في الواقع، مشتق دالة معقدة، وبالتحديد، إلى تلك الصيغة الرهيبة جدًا من بداية المقال.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

تقرأ هذه الصيغة كما يلي:

مشتقة دالة معقدة يساوي حاصل ضرب مشتقة الدالة الخارجية بالنسبة إلى دالة داخلية ثابتة ومشتقة الدالة الداخلية.

وانظر على الفور إلى مخطط التحليل وفقًا للكلمات حتى تفهم ما يجب فعله بما:

آمل ألا يسبب المصطلحان "مشتق" و"منتج" أي صعوبات. "الوظيفة المعقدة" - لقد قمنا بحلها بالفعل. المشكلة تكمن في "مشتقة دالة خارجية بالنسبة إلى دالة داخلية ثابتة". ما هو؟

الإجابة: هذا هو المشتق المعتاد للدالة الخارجية، حيث تتغير الدالة الخارجية فقط، وتبقى الدالة الداخلية كما هي. لا يزال غير واضح؟ حسنا، دعونا نستخدم مثالا.

دعونا نحصل على دالة \(y=\sin⁡(x^3)\). ومن الواضح أن الوظيفة الداخلية هنا هي \(x^3\) والخارجية
. دعونا الآن نوجد مشتقة الخارج بالنسبة إلى الثابت الداخلي.

تعد مشكلة العثور على مشتق دالة معينة إحدى المشكلات الرئيسية في دورات الرياضيات في المدارس الثانوية وفي مؤسسات التعليم العالي. من المستحيل استكشاف دالة بشكل كامل وإنشاء الرسم البياني الخاص بها دون أخذ مشتقتها. يمكن العثور على مشتقة دالة بسهولة إذا كنت تعرف القواعد الأساسية للتمايز، بالإضافة إلى جدول مشتقات الدوال الأساسية. دعونا نتعرف على كيفية العثور على مشتقة الدالة.

مشتق الدالة هو حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة عندما تقترب زيادة الوسيطة من الصفر.

إن فهم هذا التعريف أمر صعب للغاية، لأن مفهوم الحد لم يتم دراسته بالكامل في المدرسة. لكن لإيجاد مشتقات دوال مختلفة، ليس من الضروري فهم التعريف؛ فلنترك الأمر لعلماء الرياضيات وننتقل مباشرة إلى إيجاد المشتقة.

تسمى عملية إيجاد المشتق بالتمايز. عندما نشتق دالة نحصل على دالة جديدة.

للدلالة عليهم سوف نستخدم حروفو، ز، الخ.

هناك العديد من الرموز المختلفة للمشتقات. سوف نستخدم السكتة الدماغية. على سبيل المثال، كتابة "g" تعني أننا سنجد مشتقة الدالة g.

جدول المشتقات

للإجابة على سؤال كيفية العثور على المشتقة، من الضروري تقديم جدول مشتقات الوظائف الرئيسية. لحساب مشتقات الوظائف الأولية، ليس من الضروري إجراء حسابات معقدة. يكفي مجرد إلقاء نظرة على قيمتها في جدول المشتقات.

(الخطيئة x)"=cos x
(كوس س)"= –الخطيئة س
(x ن)"=ن × ن-1
(ه س)"=ه س
(ln x)"=1/x
(أ س)"=أ س لن أ
(سجل x)"=1/x ln a
(tg x)"=1/cos 2 x
(ctg x)"= – 1/sin 2 x
(أركسين س)"= 1/√(1-س 2)
(أركوس س)"= - 1/√(1-س 2)
(arctg x)"= 1/(1+x 2)
(arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

مثال 1. أوجد مشتقة الدالة y=500.

ونحن نرى أن هذا ثابت. من المعروف من جدول المشتقات أن مشتقة الثابت تساوي صفر (الصيغة 1).

مثال 2. أوجد مشتقة الدالة y=x 100.

هذا وظيفة الطاقةوأسها هو 100، وللعثور على مشتقتها، عليك ضرب الدالة في الأس وتقليلها بمقدار 1 (الصيغة 3).

(× 100)"=100 × 99

مثال 3. أوجد مشتقة الدالة y=5 x

هذه دالة أسية، فلنحسب مشتقتها باستخدام الصيغة 4.

مثال 4. أوجد مشتقة الدالة y=log 4 x

نجد مشتق اللوغاريتم باستخدام الصيغة 7.

(سجل 4x)"=1/x ln 4

قواعد التمايز

لنتعرف الآن على كيفية العثور على مشتقة دالة إذا لم تكن موجودة في الجدول. معظم الوظائف التي تمت دراستها ليست أولية، ولكنها عبارة عن مجموعات من الوظائف الأولية باستخدام عمليات بسيطة (الجمع والطرح والضرب والقسمة والضرب برقم). للعثور على مشتقاتها، عليك أن تعرف قواعد التمايز. أدناه، يشير الحرفان f وg إلى الوظائف، وC هو ثابت.

1. يمكن إخراج المعامل الثابت من إشارة المشتقة

مثال 5. أوجد مشتقة الدالة y=6*x 8

نخرج العامل الثابت 6 ونفرق فقط x 4. هذه دالة قوة، ويمكن إيجاد مشتقتها باستخدام الصيغة 3 من جدول المشتقات.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقات

(و + ز)"=و" + ز"

مثال 6. أوجد مشتقة الدالة y= x 100 +sin x

الدالة هي مجموع دالتين يمكن إيجاد مشتقاتهما من الجدول. بما أن (x 100)"=100 x 99 و(sin x)"=cos x. مشتقة المجموع ستكون مساوية لمجموع هذه المشتقات:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. مشتق الفرق يساوي فرق المشتقات

(و – ز)"=و" – ز"

مثال 7. أوجد مشتقة الدالة y= x 100 – cos x

هذه الدالة هي الفرق بين وظيفتين، ويمكننا أيضًا العثور على مشتقاتهما من الجدول. إذن مشتقة الفرق تساوي فرق المشتقات ولا تنس تغيير الإشارة، لأن (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

مثال 8. أوجد مشتقة الدالة y=e x +tg x– x 2.

تحتوي هذه الدالة على مجموع وفرق؛ فلنوجد مشتقات كل حد:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. إذن مشتق الدالة الأصلية يساوي:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. مشتق من المنتج

(و * ز)"=f" * ز + و * ز"

مثال 9. أوجد مشتقة الدالة y=cos x *e x

للقيام بذلك، علينا أولًا إيجاد مشتقة كل عامل (cos x)"=–sin x و (e x)"=e x. الآن دعونا نستبدل كل شيء في صيغة المنتج. نضرب مشتقة الدالة الأولى في الثانية ونضيف حاصل ضرب الدالة الأولى في مشتقة الثانية.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. مشتق الحاصل

(و / ز)"= و" * ز – و * ز"/ ز 2

مثال 10. أوجد مشتقة الدالة y= x 50 /sin x

لإيجاد مشتقة خارج القسمة، علينا أولًا إيجاد مشتقة البسط والمقام بشكل منفصل: (x 50)"=50 x 49 و (sin x)"= cos x. بالتعويض عن مشتق حاصل القسمة في الصيغة نحصل على:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x