حل المعادلات والمتباينات بالمعاملغالبا ما يسبب صعوبات. ومع ذلك، إذا كنت تفهم جيدا ما هو عليه القيمة المطلقة للرقم، و كيفية توسيع التعبيرات التي تحتوي على علامة معامل بشكل صحيح، ثم التواجد في المعادلة التعبير تحت علامة المعامل، ولم يعد يشكل عائقا أمام حلها.
القليل من النظرية. ولكل رقم خاصيتان: القيمة المطلقة للرقم وعلامته.
على سبيل المثال، الرقم +5، أو ببساطة 5، يحتوي على علامة "+" وقيمة مطلقة قدرها 5.
يحتوي الرقم -5 على علامة "-" وقيمة مطلقة قدرها 5.
القيم المطلقة للأرقام 5 و -5 هي 5.
القيمة المطلقة للرقم x تسمى معامل الرقم ويشار إليها بالرمز |x|.
كما نرى فإن معامل العدد يساوي الرقم نفسه، إذا كان هذا الرقم أكبر من أو يساوي الصفر، وهذا العدد مع علامة المعاكس، إذا كان هذا الرقم سلبيا.
الأمر نفسه ينطبق على أي تعبيرات تظهر تحت علامة المعامل.
تبدو قاعدة توسيع الوحدة كما يلي:
|f(x)|= f(x) إذا كان f(x) ≥ 0، و
|f(x)|= - f(x)، إذا كان f(x)< 0
على سبيل المثال |x-3|=x-3، إذا كان x-3≥0 و|x-3|=-(x-3)=3-x، إذا كان x-3<0.
لحل معادلة تحتوي على تعبير تحت علامة المعامل، يجب عليك أولاً قم بتوسيع الوحدة وفقًا لقاعدة توسيع الوحدة.
ومن ثم تصبح المعادلة أو المتباينة إلى معادلتين مختلفتين موجودتين على فترتين رقميتين مختلفتين.
توجد معادلة واحدة على فترة رقمية يكون فيها التعبير تحت علامة المعامل غير سالب.
والمعادلة الثانية موجودة في الفترة التي يكون فيها التعبير تحت إشارة المقياس سالبًا.
دعونا نلقي نظرة على مثال بسيط.
دعونا نحل المعادلة:
|س-3|=-س 2 +4x-3
1. دعونا نفتح الوحدة.
|x-3|=x-3، إذا كان x-3≥0، أي إذا كان x≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x إذا كان x-3<0, т.е. если х<3
2. لقد تلقينا فاصلين عدديين: x≥3 وx<3.
دعونا نفكر في المعادلات التي تحولت إليها المعادلة الأصلية في كل فترة:
أ) بالنسبة لـ x≥3 |x-3|=x-3، ويكون جرحنا بالشكل:
انتباه! هذه المعادلة موجودة فقط في الفترة x≥3!
دعونا نفتح الأقواس ونقدم مصطلحات مماثلة:
وحل هذه المعادلة.
هذه المعادلة لها جذور:
× 1 = 0، × 2 = 3
انتباه! بما أن المعادلة x-3=-x 2 +4x-3 موجودة فقط في الفترة x≥3، فنحن مهتمون فقط بتلك الجذور التي تنتمي إلى هذه الفترة. يتم استيفاء هذا الشرط فقط بواسطة x 2 = 3.
ب) عند س<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
انتباه! هذه المعادلة موجودة فقط في الفترة x<3!
دعونا نفتح الأقواس ونقدم مصطلحات مماثلة. نحصل على المعادلة:
× 1 = 2، × 2 = 3
انتباه! بما أن المعادلة 3-x=-x 2 +4x-3 موجودة فقط في الفترة x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
لذا: من الفترة الأولى نأخذ فقط الجذر x=3، ومن الفترة الثانية - الجذر x=2.
نحن لا نختار الرياضياتمهنتها، وهي تختارنا.
عالم الرياضيات الروسي يو.آي. مانين
المعادلات مع معامل
أصعب المسائل التي يصعب حلها في الرياضيات المدرسية هي المعادلات التي تحتوي على متغيرات تحت علامة المعامل. لحل هذه المعادلات بنجاح، تحتاج إلى معرفة التعريف والخصائص الأساسية للوحدة. وبطبيعة الحال، يجب أن يكون لدى الطلاب المهارات اللازمة لحل المعادلات من هذا النوع.
المفاهيم والخصائص الأساسية
المعامل (القيمة المطلقة) لعدد حقيقييُشار إليه بـ ويتم تعريفه على النحو التالي:
تتضمن الخصائص البسيطة للوحدة العلاقات التالية:
ملحوظة، أن الخاصيتين الأخيرتين صالحتان لأي درجة زوجية.
علاوة على ذلك، إذا، أين، ثم و
خصائص وحدة أكثر تعقيدا, والتي يمكن استخدامها بشكل فعال عند حل المعادلات ذات المعامل, يتم صياغتها من خلال النظريات التالية:
النظرية 1.لأي وظائف تحليليةو عدم المساواة صحيح
النظرية 2.المساواة تعادل عدم المساواة.
النظرية 3.المساواة يعادل عدم المساواة.
دعونا نلقي نظرة على الأمثلة النموذجية لحل المشكلات حول موضوع "المعادلات"., تحتوي على متغيرات تحت علامة المعامل."
حل المعادلات مع المعامل
الطريقة الأكثر شيوعًا في الرياضيات المدرسية لحل المعادلات ذات المعامل هي الطريقة, على أساس توسيع الوحدة النمطية. هذه الطريقة عالمية, ومع ذلك، في الحالة العامة، يمكن أن يؤدي استخدامه إلى حسابات مرهقة للغاية. وفي هذا الصدد، يجب أن يعرف الطلاب الآخرين, طرق وتقنيات أكثر فعالية لحل مثل هذه المعادلات. بخاصة, فمن الضروري أن يكون لديك مهارات في تطبيق النظريات, الواردة في هذه المقالة.
مثال 1.حل المعادلة. (1)
حل. سوف نقوم بحل المعادلة (1) باستخدام الطريقة "الكلاسيكية" - طريقة الكشف عن الوحدات. للقيام بذلك، دعونا نقسم محور الأعدادالنقاط و إلى فترات والنظر في ثلاث حالات.
1. إذا كانت ، و ، و ، والمعادلة (1) تأخذ الشكل . ويترتب على ذلك. ومع ذلك، هنا، فإن القيمة الموجودة ليست جذر المعادلة (1).
2. إذا، ثم من المعادلة (1) نحصل عليهاأو .
منذ ذلك الحين جذر المعادلة (1).
3. إذا، ثم تأخذ المعادلة (1) الشكلأو . دعونا نلاحظ ذلك.
إجابة: ، .
عند حل المعادلات اللاحقة بوحدة نمطية، سنستخدم خصائص الوحدات بشكل فعال من أجل زيادة كفاءة حل هذه المعادلات.
مثال 2.حل المعادلة.
حل.منذ و ثم من المعادلة التي تليها. في هذا الصدد، ، ، والمعادلة تأخذ الشكل. من هنا نحصل. لكن ، وبالتالي فإن المعادلة الأصلية ليس لها جذور.
الجواب: لا جذور.
مثال 3.حل المعادلة.
حل.منذ ذلك الحين. اذا ثم والمعادلة تأخذ الشكل.
من هنا نحصل .
مثال 4.حل المعادلة.
حل.دعونا نعيد كتابة المعادلة بالصورة المكافئة. (2)
تنتمي المعادلة الناتجة إلى معادلات من النوع .
مع الأخذ في الاعتبار النظرية 2، يمكن القول أن المعادلة (2) تعادل المتباينة. من هنا نحصل .
إجابة: .
مثال 5.حل المعادلة.
حل. هذه المعادلة لها الشكل. لهذا ، وفقا للنظرية 3, هنا لدينا عدم المساواةأو .
مثال 6.حل المعادلة.
حل.لنفترض ذلك. لأن ، ثم تأخذ المعادلة المعطاة شكل معادلة تربيعية, (3)
أين . بما أن المعادلة (3) لها جذر موجب واحدوثم . ومن هنا نحصل على جذرين للمعادلة الأصلية:و .
مثال 7. حل المعادلة. (4)
حل. منذ المعادلةيعادل الجمع بين معادلتين:و ، ثم عند حل المعادلة (4) لا بد من النظر في حالتين.
1. إذا، أو.
من هنا نحصل على و .
2. إذا، أو.
منذ ذلك الحين.
إجابة: ، ، ، .
مثال 8.حل المعادلة . (5)
حل.منذ و ثم . ومن هنا ومن المعادلة (5) يترتب على ذلك و، أي هنا لدينا نظام المعادلات
ومع ذلك، فإن نظام المعادلات هذا غير متناسق.
الجواب: لا جذور.
مثال 9. حل المعادلة. (6)
حل.إذا دلنا على ذلك ومن المعادلة (6) نحصل عليها
أو . (7)
وبما أن المعادلة (7) لها الشكل فإن هذه المعادلة تعادل المتباينة. من هنا نحصل . منذ ذلك الحين أو.
إجابة: .
مثال 10.حل المعادلة. (8)
حل.وفقا للنظرية 1، يمكننا أن نكتب
(9)
وبأخذ المعادلة (8) في الاعتبار نستنتج أن المتباينتين (9) تتحولان إلى مساواة، أي: هناك نظام المعادلات
ومع ذلك، وفقًا للنظرية 3، فإن نظام المعادلات أعلاه يعادل نظام المتباينات
(10)
حل نظام عدم المساواة (10) نحصل عليه. بما أن نظام المتباينات (10) يعادل المعادلة (8)، فإن المعادلة الأصلية لها جذر واحد.
إجابة: .
مثال 11. حل المعادلة. (11)
حل.دع و ، ثم تأتي المساواة من المعادلة (11).
ويترتب على ذلك و. وبالتالي، لدينا هنا نظام عدم المساواة
الحل لهذا النظام من عدم المساواة هوو .
إجابة: ، .
مثال 12.حل المعادلة. (12)
حل. سيتم حل المعادلة (12) بطريقة التوسيع المتسلسل للوحدات. للقيام بذلك، دعونا ننظر في عدة حالات.
1. إذاً .
1.1. إذا ، ثم و .
1.2. اذا ثم. لكن ، وبالتالي، في هذه الحالة، المعادلة (12) ليس لها جذور.
2. إذا .
2.1. إذا ، ثم و .
2.2. إذا ، ثم و .
إجابة: ، ، ، ، .
مثال 13.حل المعادلة. (13)
حل.وبما أن الجانب الأيسر من المعادلة (13) غير سالب، إذن. وفي هذا الصدد المعادلة (13)
يأخذ النموذج أو .
ومن المعروف أن المعادلة يعادل الجمع بين معادلتينو ، الحل الذي نحصل عليه، . لأن ، إذن المعادلة (13) لها جذر واحد.
إجابة: .
مثال 14. حل نظام المعادلات (14)
حل.منذ و ثم و . وبالتالي، من نظام المعادلات (14) نحصل على أربعة أنظمة من المعادلات:
جذور أنظمة المعادلات المذكورة أعلاه هي جذور نظام المعادلات (14).
إجابة: ،، ، ، ، ، ، .
مثال 15. حل نظام المعادلات (15)
حل.منذ ذلك الحين. وفي هذا الصدد نحصل من نظام المعادلات (15) على نظامين من المعادلات
جذور نظام المعادلات الأول هي و ، ومن نظام المعادلات الثاني نحصل على و .
إجابة: ، ، ، .
مثال 16. حل نظام المعادلات (16)
حل.ومن المعادلة الأولى للنظام (16) يتبع ذلك .
منذ ذلك الحين . دعونا نفكر في المعادلة الثانية للنظام. بسبب ال، الذي - التي ، والمعادلة تأخذ الشكل، ، أو .
إذا قمت باستبدال القيمةفي المعادلة الأولى للنظام (16)ثم أو .
إجابة: ، .
لدراسة أعمق لأساليب حل المشكلات, المتعلقة بحل المعادلات, تحتوي على متغيرات تحت علامة المعامل, يمكنك التوصية بالبرامج التعليمية من قائمة الأدبيات الموصى بها.
1. مجموعة من المشاكل في الرياضيات للمتقدمين للكليات / إد. م. سكانافي. – م: السلام والتعليم، 2013. – 608 ص.
2. سوبرون ف.ب. الرياضيات لطلاب المدارس الثانوية: المهام ذات التعقيد المتزايد. – م.: قرص مضغوط “Librocom” / URSS, 2017. – 200 ص.
3. سوبرون ف.ب. الرياضيات لطلاب المدارس الثانوية: الأساليب غير القياسية لحل المشكلات. – م.: قرص مضغوط “Librocom” / URSS، 2017. – 296 ص.
لا تزال لديك أسئلة؟
للحصول على مساعدة من المعلم -.
blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.
توتشيلكينا يوليا
يعرض العمل طرقًا مختلفة لحل المعادلات باستخدام المعامل.
تحميل:
معاينة:
المؤسسة التعليمية للميزانية البلدية
"المدرسة الثانوية رقم 59"
المعادلات مع معامل
عمل مجردة
إجراء طالب الصف 9أ
MBOU "المدرسة الثانوية رقم 59" بارناول
توتشيلكينا يوليا
مشرف
زاخاروفا ليودميلا فلاديميروفنا،
مدرس رياضيات
MBOU "المدرسة الثانوية رقم 59" بارناول
بارناول 2015
مقدمة
أنا في الصف التاسع. في هذا العام الدراسي، سيتعين علي الحصول على الشهادة النهائية لدورة المدرسة الأساسية. للتحضير للامتحان، اشترينا مجموعة D. A. Maltsev Mathematics. الصف التاسع. من خلال تصفح المجموعة، اكتشفت معادلات لا تحتوي على وحدة واحدة فحسب، بل تحتوي أيضًا على عدة وحدات. أوضح لي المعلم وزملائي أن مثل هذه المعادلات تسمى معادلات "الوحدة النمطية المتداخلة". بدا هذا الاسم غير عادي بالنسبة لنا، وكان الحل للوهلة الأولى معقدا للغاية. هكذا ظهر موضوع عملي "المعادلات ذات المعامل". قررت أن أدرس هذا الموضوع بعمق أكبر، خاصة أنه سيكون مفيدًا لي عند أداء الامتحانات في نهاية العام الدراسي وأعتقد أنه سيكون مطلوبًا في الصفين العاشر والحادي عشر. كل ما سبق يحدد مدى أهمية الموضوع الذي اخترته.
الهدف من العمل :
- النظر في طرق مختلفة لحل المعادلات ذات المعامل.
- تعلم كيفية حل المعادلات التي تحتوي على علامة القيمة المطلقة باستخدام طرق مختلفة
للعمل على الموضوع، تمت صياغة المهام التالية:
مهام:
- دراسة المواد النظرية حول موضوع "معامل العدد الحقيقي".
- النظر في طرق حل المعادلات وتعزيز المعرفة المكتسبة من خلال حل المشكلات.
- تطبيق المعرفة المكتسبة عند حل المعادلات المختلفة التي تحتوي على علامة المعامل في المدرسة الثانوية
موضوع الدراسة:طرق حل المعادلات ذات المعامل
موضوع الدراسة:المعادلات مع معامل
طرق البحث:
نظري : دراسة الأدبيات حول موضوع البحث؛
الإنترنت - المعلومات.
تحليل المعلومات التي تم الحصول عليها من دراسة الأدب. النتائج التي تم الحصول عليها عن طريق حل المعادلات ذات المعامل بطرق مختلفة.
مقارنة طرق حل المعادلات هي موضوع عقلانية استخدامها عند حل المعادلات المختلفة ذات المعامل.
"نبدأ في التفكير عندما نصطدم بشيء ما." بول فاليري.
1. المفاهيم والتعاريف.
يستخدم مفهوم "الوحدة" على نطاق واسع في العديد من أقسام دورة الرياضيات المدرسية، على سبيل المثال، في دراسة الأخطاء المطلقة والنسبية لعدد تقريبي؛ في الهندسة والفيزياء تتم دراسة مفاهيم المتجه وطوله (معامل المتجه). تُستخدم مفاهيم الوحدة في دورات الرياضيات العليا والفيزياء والعلوم التقنية التي تتم دراستها في مؤسسات التعليم العالي.
كلمة "وحدة" تأتي من الكلمة اللاتينية "modulus"، والتي تعني "قياس". هذه الكلمة لها معاني كثيرة ولا تستخدم فقط في الرياضيات والفيزياء والتكنولوجيا، ولكن أيضًا في الهندسة المعمارية والبرمجة وغيرها من العلوم الدقيقة.
ويعتقد أن هذا المصطلح اقترحه كوتس، أحد تلاميذ نيوتن. تم تقديم علامة المعامل في القرن التاسع عشر بواسطة Weierstrass.
في الهندسة المعمارية، الوحدة النمطية هي وحدة القياس الأولية التي تم إنشاؤها لهيكل معماري معين.
في مجال التكنولوجيا، هذا مصطلح يستخدم في مختلف مجالات التكنولوجيا، ويستخدم لتعيين معاملات وكميات مختلفة، على سبيل المثال، معامل المرونة، معامل الارتباط...
في الرياضيات، للمعامل عدة معانٍ، لكنني سأعتبره القيمة المطلقة للرقم.
التعريف1: المعامل (القيمة المطلقة) لعدد حقيقيأ هذا الرقم نفسه يسمى إذاأ ≥0، أو الرقم المعاكس –و إذا أ معامل الصفر هو صفر.
عند حل المعادلات ذات المعامل، يكون من المناسب استخدام خصائص المعامل.
دعونا نفكر في أدلة الخصائص 5،6،7.
البيان 5. المساواة │ أ+ب │=│ أ │+│ ب │ صحيح إذاأف ≥ 0.
دليل. وبالفعل، بعد تربيع طرفي هذه المساواة، نحصل على │أ+ب │²=│ أ │²+2│ أب │+│ ج │²,
أ²+ 2 أب+ب²=أ²+ 2│ أب │+ ب²، من حيث │ أب │= أب
وستكون المساواة الأخيرة صحيحة عندماأف ≥0.
البيان 6. المساواة │ أ-ج │=│ أ │+│ ج │ صحيح عندماأف ≥0.
دليل. وفي إثبات ذلك يكفي في المساواة
│ а+в │=│ а │+│ в │ استبدل в بـ - в، ثم а· (- в ) ≥0، ومن هنا ав ≥0.
البيان 7. المساواة │ أ │+│ ب │= أ+ب يؤدي فيأ ≥0 و ب ≥0.
دليل . وقد نظرت في أربع حالاتأ ≥0 و ب ≥0؛ أ ≥0 و ج أ في ≥0؛ أ الخامس أ ≥0 و ب ≥0.
(أ-ج) في ≥0.
التفسير الهندسي
|أ| - هذه هي المسافة على الخط الإحداثي من النقطة ذات الإحداثيأ ، إلى الأصل.
|-أ| |أ|
أ0 أ س
تفسير هندسي لمعنى |a| يؤكد بوضوح أن |-a|=|a|
اذا كان 0، ثم على خط الإحداثيات هناك نقطتان a و –a، على مسافة متساوية من الصفر، ووحداتهما متساوية.
إذا كانت a=0، فعلى خط الإحداثيات |a| ممثلة بالنقطة 0.
التعريف 2: المعادلة ذات المعامل هي معادلة تحتوي على متغير تحت علامة القيمة المطلقة (تحت علامة المعامل). على سبيل المثال: |x +3|=1
التعريف 3: حل المعادلة يعني إيجاد جميع جذورها، أو إثبات عدم وجود جذور.
2. طرق الحل
من تعريف الوحدة وخصائصها، تتبع الطرق الرئيسية لحل المعادلات باستخدام الوحدة ما يلي:
- "توسيع" الوحدة النمطية (أي استخدام تعريف)؛
- استخدام المعنى الهندسي للوحدة (الخاصية 2)؛
- طريقة الحل الرسومي
- استخدام التحويلات المكافئة (الخصائص 4.6)؛
- استبدال متغير (هذا يستخدم الخاصية 5).
- طريقة الفاصل.
لقد قمت بحل عدد كبير جدًا من الأمثلة، لكن في هذا العمل أقدم انتباهكم إلى عدد قليل فقط، في رأيي، أمثلة نموذجية، تم حلها بطرق مختلفة، لأن الباقي يكرر بعضها البعض ومن أجل فهم كيفية حل المعادلات باستخدام المعامل ليست هناك حاجة للنظر في جميع الأمثلة التي تم حلها.
حل المعادلات | و(خ)| =أ
تأمل المعادلة | و(خ)| =أ، ر
يمكن حل معادلة من هذا النوع عن طريق تعريف المعامل:
لو أ إذن المعادلة ليس لها جذور.
إذا أ= 0، فإن المعادلة تعادل f(x)=0.
إذا كان أ> 0، فإن المعادلة تعادل المجموعة
مثال. حل المعادلة |3x+2|=4.
حل.
|3x+2|=4، ثم 3x+2=4،
3x+2= -4;
س=-2،
س = 2/3
الإجابة: -2؛2/3.
حل المعادلات باستخدام الخصائص الهندسية للوحدة.
مثال 1. حل المعادلة /x-1/+/x-3/=6.
حل.
حل هذه المعادلة يعني إيجاد كل هذه النقاط على المحور العددي Ox، لكل منها مجموع المسافات منها إلى النقطتين ذات الإحداثيات 1 و 3 يساوي 6.
لا نقطة واحدة من هذا الجزءلا يستوفي هذا الشرط، لأنه مجموع المسافات المشار إليها هو 2. خارج هذا الجزء هناك نقطتان: 5 و -1.
1 1 3 5
الجواب: -1;5
مثال 2. حل المعادلة |x 2 +س-5|+|س 2 +س-9|=10.
حل.
دعونا نشير إلى x 2 +x-5= a، ثم /a /+/ a-4 /=10. دعونا نجد النقاط على محور الثور بحيث يكون مجموع المسافات إلى النقاط ذات الإحداثيات 0 و 4 لكل منها يساوي 10. يتم استيفاء هذا الشرط بواسطة -4 و 7.
3 0 4 7
إذن x 2 +x-5= 4x2 +x-5=7
× 2 + س-2=0 × 2 + س-12=0
X 1= 1، x 2= -2 x 1= -4، x 2= 3 الإجابة: -4;-2; 1؛ 3.
حل المعادلات |و(خ)| = | ز(خ)|.
- منذ | أ |=|في |، إذا كانت أ= في، ثم معادلة من الشكل |و(خ)| = | ز(س )| يعادل مجمل
مثال 1.
حل المعادلة |س –2| = |3 - س |.
حل.
هذه المعادلة تعادل معادلتين:
س – 2 = 3 – س (1) و س – 2 = –3 + س (2)
2 × = 5 –2 = –3 – غير صحيح
X = 2.5 المعادلة ليس لها حلول.
الإجابة: 2.5.
مثال 2.
حل المعادلة |x 2 +3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.
حل.
وبما أن طرفي المعادلة غير سالبين، إذنالتربيع هو تحويل مكافئ:
(س 2 +3س-20) 2 = (س 2 -3س+2) 2
(س 2 +3س-20) 2 - (س 2 -3س+2) 2 =0,
(x 2 +3x-20-x 2 +3x-2) (x 2 +3x-20+x 2 -3x+2)=0,
(6س-22)(2س2 -18)=0،
6x-22=0 أو 2x2 -18=0;
س=22/6، س=3، س=-3.
س = 11/3
الجواب: -3؛ 3؛ 11/3.
حل معادلات الرؤية |و(خ)| = ز(س).
الفرق بين هذه المعادلات و| و(خ)| =أ حقيقة أن الجانب الأيمن هو أيضا متغير. ويمكن أن تكون إيجابية وسلبية. لذلك، عليك التأكد على وجه التحديد من أنه غير سالب، لأن المعامل لا يمكن أن يكون مساوياً لعدد سالب (الخاصية№1 )
1 الطريق
حل المعادلة |و(خ)| = ز(س ) يختزل إلى مجموعة من حلول المعادلاتوالتحقق من عدالة عدم المساواةز(س )>0 للقيم المجهولة التي تم العثور عليها.
الطريقة الثانية (حسب تعريف الوحدة)
منذ | و(خ)| = ز(خ) إذا و(س) = 0؛ | و(خ)| = - و(خ) إذا كان و(خ)
مثال.
حل المعادلة |3س –10| = س - 2.
حل.
هذه المعادلة تعادل الجمع بين نظامين:
الإجابة: 3؛ 4.
حل معادلات النموذج |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)
يعتمد حل المعادلات من هذا النوع على تعريف المعامل. لكل وظيفة و 1 (x)، f 2 (x)، …، f n (خ) من الضروري إيجاد مجال التعريف وأصفاره ونقاط الانقطاع، وتقسيم المجال العام للتعريف إلى فترات، في كل منها الوظائف f 1 (x)، f 2 (x)، …، f n (خ) الاحتفاظ بعلامتهم. بعد ذلك، باستخدام تعريف الوحدة، نحصل على معادلة يجب حلها في هذه الفترة لكل منطقة من المناطق التي تم العثور عليها. هذه الطريقة تسمى "طريقة الفاصل»
مثال.
حل المعادلة |x-2|-3|x+4|=1.
حل.
دعونا نجد النقاط التي تكون عندها التعبيرات الجزئية تساوي الصفر
س-2=0، س+4=0،
س=2; س=-4.
دعونا نقسم خط الأعداد إلى فترات x
حل المعادلة يتلخص في حل ثلاثة أنظمة:
الإجابة: -15، -1.8.
طريقة رسومية لحل المعادلات التي تحتوي علىعلامة الوحدة.
الطريقة الرسومية لحل المعادلات تقريبية، حيث تعتمد الدقة على قطعة الوحدة المحددة، وسمك قلم الرصاص، والزوايا التي تتقاطع فيها الخطوط، وما إلى ذلك. لكن هذه الطريقة تسمح لك بتقدير عدد الحلول لمعادلة معينة.
مثال. حل المعادلة |x - 2| بيانياً + |س - 3| + |2x - 8| = 9
حل. دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف في نظام إحداثي واحد
ص=|س - 2| + |س - 3| + |2x - 8| و ص = 9.
لإنشاء رسم بياني، من الضروري مراعاة هذه الوظيفة في كل فترة زمنية (-∞؛ 2)؛ [ 3/2 ; ∞ )
الجواب: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )
كما استخدمنا طريقة التحويلات المتكافئة عند حل المعادلات |و(خ)| = | ز(خ)|.
المعادلات ذات الوحدة المعقدة
نوع آخر من المعادلات هو المعادلات ذات المعامل "المعقد". تتضمن مثل هذه المعادلات المعادلات التي تحتوي على "وحدات داخل وحدة نمطية". يمكن حل المعادلات من هذا النوع باستخدام طرق مختلفة.
مثال 1.
حل المعادلة ||||س| – |–2| –1| –2| = 2.
حل.
من خلال تعريف الوحدة النمطية، لدينا:
دعونا نحل المعادلة الأولى.
- ||| س |–2| –1| = 4
| س | - 2 = 5؛
| س | = 7؛
س = 7.
دعونا نحل المعادلة الثانية.
- ||| س | –2| –1| = 0،
|| س | –2| = 1،
| س | -2 = 1،
| س | = 3 و | س | = 1،
س = 3؛ س = 1.
الجواب: 1؛ 3؛ 7.
مثال 2.
حل المعادلة |2 – |x + 1|| = 3.
حل.
دعونا نحل المعادلة عن طريق إدخال متغير جديد.
دع | س + 1| = ص، ثم |2 – ص | = 3، من هنا
لنقم بالاستبدال العكسي:
(١) | س +1| = –1 – لا توجد حلول.
(٢) | س + 1| = 5
الإجابة: -6؛ 4.
مثال3.
كم عدد جذور المعادلة | 2 | س | -6 | = 5 - س؟
حل. دعونا نحل المعادلة باستخدام أنظمة التكافؤ.
معادلة | 2 | س | -6 | = 5 يعادل النظام:
تعليمات
إذا تم تمثيل الوحدة النمطية كدالة مستمرة، فيمكن أن تكون قيمة وسيطتها إما موجبة أو سالبة: |x| = س، س ≥ 0؛ |س| = - س، س
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);
من السهل أن نرى أن جمع وطرح الأعداد المركبة يتبع نفس القاعدة التي تتبع الجمع والطرح.
حاصل ضرب عددين مركبين يساوي:
z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.
وبما أن i^2 = -1، فإن النتيجة النهائية هي:
(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).
يتم تعريف عمليات الأس واستخراج الجذر للأعداد المركبة بنفس الطريقة المتبعة مع الأعداد الحقيقية. ومع ذلك، في المنطقة المعقدة، لأي رقم، هناك بالضبط n أرقام b بحيث b^n = a، أي n جذور من الدرجة n.
على وجه الخصوص، هذا يعني أن أي معادلة جبرية من الدرجة n مع متغير واحد لها بالضبط جذور معقدة n، بعضها قد يكون .
فيديو حول الموضوع
مصادر:
- محاضرة "الأعداد المركبة" عام 2019
الجذر هو رمز يشير إلى العملية الرياضية للعثور على رقم، ويجب أن يؤدي رفعه إلى القوة المشار إليها أمام علامة الجذر إلى إعطاء الرقم المشار إليه تحت هذه العلامة ذاتها. في كثير من الأحيان، لحل المسائل التي تتضمن جذورًا، لا يكفي حساب القيمة فقط. من الضروري إجراء عمليات إضافية، أحدها إدخال رقم أو متغير أو تعبير تحت علامة الجذر.
تعليمات
تحديد الأس الجذر. الأس هو عدد صحيح يشير إلى القوة التي يجب رفع نتيجة حساب الجذر إليها للحصول على التعبير الجذري (الرقم الذي يستخرج منه هذا الجذر). الأس الجذر كخط مرتفع قبل أيقونة الجذر. إذا لم يتم تحديد هذا، فهو الجذر التربيعي الذي قوته اثنان. على سبيل المثال، أس الجذر √3 هو اثنان، وأس ³√3 هو ثلاثة، وأس الجذر ⁴√3 هو أربعة، وما إلى ذلك.
ارفع الرقم الذي تريد إدخاله تحت إشارة الجذر إلى قوة تساوي أس هذا الجذر، الذي حددته بنفسك في الخطوة السابقة. على سبيل المثال، إذا كنت بحاجة إلى إدخال الرقم 5 تحت علامة الجذر ⁴√3، فإن مؤشر درجة الجذر هو أربعة وتحتاج إلى نتيجة رفع 5 إلى القوة الرابعة 5⁴=625. يمكنك القيام بذلك بأي طريقة مناسبة لك - في رأسك، باستخدام الآلة الحاسبة أو الخدمات المقابلة المستضافة.
أدخل القيمة التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة تحت علامة الجذر كمضاعف للتعبير الجذري. بالنسبة للمثال المستخدم في الخطوة السابقة مع إضافة ⁴√3 5 (5*⁴√3) تحت الجذر، يمكن تنفيذ هذا الإجراء على النحو التالي: 5*⁴√3=⁴√(625*3).
بسّط التعبير الجذري الناتج إن أمكن. للحصول على مثال من الخطوات السابقة، كل ما عليك فعله هو ضرب الأرقام الموجودة تحت علامة الجذر: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. وبهذا تنتهي عملية إدخال الرقم تحت الجذر.
إذا كانت المشكلة تحتوي على متغيرات غير معروفة، فيمكن تنفيذ الخطوات الموضحة أعلاه بشكل عام. على سبيل المثال، إذا كنت بحاجة إلى إدخال متغير غير معروف x تحت الجذر الرابع، والتعبير الجذري هو 5/x³، فيمكن كتابة تسلسل الإجراءات بالكامل على النحو التالي: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).
مصادر:
- ماذا تسمى علامة الجذر؟
الأعداد الحقيقية ليست كافية لحل أي معادلة من الدرجة الثانية. أبسط معادلة تربيعية ليس لها جذور بين الأعداد الحقيقية هي x^2+1=0. عند حلها يتبين أن x=±sqrt(-1)، وبحسب قوانين الجبر الأولي، يتم استخراج جذر الدرجة الزوجية من السالب أعدادممنوع.
