حتى النصر- هذا المتجه، والقيمة المطلقة (المعامل) تساوي واحدًا. للدلالة على متجه الوحدة، سوف نستخدم الحرف e، لذلك، إذا تم إعطاء متجه أ، فسيكون متجه وحدته هو المتجه أهـ. يشير متجه الوحدة هذا إلى نفس اتجاه المتجه نفسه أ، ومعاملها يساوي واحدًا، أي a e \u003d 1.

بوضوح، أ= أ أه (أ - معامل المتجهات أ). يتبع ذلك القاعدة التي يتم من خلالها تنفيذ عملية ضرب العدد القياسي بالمتجه.

ناقلات الوحدةغالبًا ما يرتبط بالمحاور الإحداثية لنظام الإحداثيات (على وجه الخصوص، مع محاور نظام الإحداثيات الديكارتية). اتجاهات هذه ثلاثة أبعادتتزامن مع اتجاهات المحاور المقابلة، وغالبًا ما يتم دمج أصولها مع أصل نظام الإحداثيات.

دعني أذكرك بذلك نظام الإحداثيات الديكارتيةفي الفضاء يسمى تقليديا ثلاثية من المحاور المتعامدة بشكل متبادل تتقاطع عند نقطة تسمى الأصل. عادةً ما يُشار إلى محاور الإحداثيات بالأحرف X، Y، Z وتسمى محور الإحداثي، والمحور الإحداثي، والمحور المطبق، على التوالي. استخدم ديكارت نفسه محورًا واحدًا فقط، حيث تم رسم الحروف الأبجدية. ميزة الاستخدام أنظمةمحاور ينتمي إلى طلابه. ولذلك العبارة نظام الإحداثيات الديكارتيةخطأ تاريخيا. كلام أفضل مستطيلي نظام الإحداثياتأو نظام الإحداثيات المتعامد. ومع ذلك، فإننا لن نغير التقاليد وسنفترض في المستقبل أن أنظمة الإحداثيات الديكارتية والمستطيلة (المتعامدة) هي نفسها.

حتى النصر، الموجه على طول المحور X، يشار إليه أنا, حتى النصر، الموجه على طول المحور Y، يشار إليه ي، أ حتى النصر، الموجه على طول المحور Z، يشار إليه ك. ثلاثة أبعاد أنا, ي, كمُسَمًّى orts(الشكل 12، على اليسار)، لديهم وحدات واحدة، أي
ط = 1، ي = 1، ك = 1.

محاور و orts نظام الإحداثيات المستطيلةوفي بعض الحالات لديهم أسماء وتسميات أخرى. لذلك، يمكن أن يسمى محور الإحداثي X محور الظل، ويشار إليه بمتجه الوحدة τ (الحرف اليوناني الصغير tau)، المحور y هو المحور الطبيعي، ويُشار إلى متجه الوحدة الخاص به ن، المحور المطبق هو محور الثنائي الطبيعي، ويشار إلى متجه الوحدة الخاص به ب. لماذا تتغير الأسماء إذا بقي الجوهر كما هو؟

والحقيقة هي أنه، على سبيل المثال، في الميكانيكا، عند دراسة حركة الأجسام، يتم استخدام نظام الإحداثيات المستطيل في كثير من الأحيان. لذلك، إذا كان نظام الإحداثيات نفسه ثابتًا، وتم تتبع التغيير في إحداثيات جسم متحرك في هذا النظام الثابت، فعادةً ما تشير المحاور إلى X، Y، Z، ومحاورها ortsعلى التوالى أنا, ي, ك.

ولكن في كثير من الأحيان، عندما يتحرك كائن ما على طول نوع من المسار المنحني (على سبيل المثال، على طول الدائرة)، يكون أكثر ملاءمة للنظر في العمليات الميكانيكية في نظام الإحداثيات الذي يتحرك مع هذا الكائن. بالنسبة لنظام الإحداثيات المتحرك هذا، يتم استخدام أسماء أخرى للمحاور ومتجهات الوحدات الخاصة بها. لقد تم قبوله للتو. في هذه الحالة، يتم توجيه المحور X بشكل عرضي إلى المسار عند النقطة التي هذه اللحظةيقع هذا الكائن. ومن ثم لم يعد هذا المحور يسمى المحور X، بل محور الظل، ولم يعد يُشار إلى متجه وحدته أنا، أ τ . يتم توجيه المحور Y على طول نصف قطر انحناء المسار (في حالة الحركة في دائرة - إلى مركز الدائرة). وبما أن نصف القطر عمودي على المماس، فإن المحور يسمى محور العمودي (العمودي والعمودي هما نفس الشيء). لم يعد يُشار إلى مركز هذا المحور ي، أ ن. المحور الثالث (Z السابق) متعامد مع المحورين السابقين. هذا أمر ثنائي مع ناقل ب(الشكل 12، يمين). بالمناسبة، في هذه الحالة نظام الإحداثيات المستطيلةغالبا ما يشار إليها باسم "طبيعي" أو طبيعي.

في هذا الدرس، سنتناول عمليتين أخريين باستخدام المتجهات: المنتج المتقاطع للمتجهاتو منتج مختلط من المتجهات (رابط فوري لمن يحتاجه). لا بأس، يحدث أحيانًا ذلك من أجل السعادة الكاملة، بالإضافة إلى ذلك المنتج النقطي للمتجهات، هناك حاجة إلى المزيد والمزيد. هذا هو إدمان المتجهات. قد يكون لدى المرء انطباع بأننا ندخل في غابة الهندسة التحليلية. هذا خطأ. في هذا القسم من الرياضيات العليا، يوجد القليل من الحطب بشكل عام، ربما باستثناء ما يكفي لبينوكيو. في الواقع، المادة شائعة جدًا وبسيطة - ولا تكاد تكون أصعب من نفس المادة المنتج العددي، حتى أنه سيكون هناك عدد أقل من المهام النموذجية. الشيء الرئيسي في الهندسة التحليلية، كما سيرى الكثيرون أو قد رأوا بالفعل، هو عدم الخطأ في الحسابات. كرر مثل التعويذة، وسوف تكون سعيدا =)

إذا كانت المتجهات تتألق في مكان ما بعيدًا، مثل البرق في الأفق، فلا يهم، ابدأ بالدرس ناقلات للدمىلاستعادة أو إعادة الشراء معرفة أساسيةحول المتجهات. يمكن للقراء الأكثر استعدادًا التعرف على المعلومات بشكل انتقائي، وقد حاولت جمع المجموعة الأكثر اكتمالًا من الأمثلة التي غالبًا ما توجد في العمل التطبيقي

ما الذي سيجعلك سعيدا؟ عندما كنت صغيرًا، كنت قادرًا على التوفيق بين كرتين وحتى ثلاث كرات. لقد سار الأمر بشكل جيد. الآن ليست هناك حاجة للتوفيق على الإطلاق، لأننا سننظر ناقلات الفضاء فقط، وسيتم استبعاد المتجهات المسطحة ذات الإحداثيتين. لماذا؟ هذه هي الطريقة التي ولدت بها هذه الإجراءات - المتجهات و منتج مختلطيتم تعريف المتجهات وتعمل في الفضاء ثلاثي الأبعاد. أسهل بالفعل!

في هذه العملية، بنفس الطريقة كما في المنتج العددي، اثنين من المتجهات. فلتكن حروفًا لا تفنى.

الفعل نفسه يعني بالطريقة الآتية: . هناك خيارات أخرى، لكنني اعتدت أن أشير إلى حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات بهذه الطريقة، بين قوسين مربعين مع علامة عكسية.

وعلى الفور سؤال: إذا في المنتج النقطي للمتجهاتهناك متجهان متضمنان، وهنا يتم ضرب متجهين أيضًا ماهو الفرق؟ فرق واضح أولاً في النتيجة:

نتيجة المنتج العددي للمتجهات هي رقم:

نتيجة الضرب الاتجاهي للمتجهات هي VECTOR: أي أننا نضرب المتجهات ونحصل على متجه مرة أخرى. نادي مغلق . في الواقع، ومن هنا اسم العملية. في مختلف الأدب التربوييمكن أن يختلف التدوين أيضًا، سأستخدم الحرف .

تعريف المنتج المتقاطع

أولا سيكون هناك تعريف بالصورة، ثم التعليقات.

تعريف: المنتوج الوسيط غير خطيةثلاثة أبعاد ، اتخذت بهذا الترتيب، يسمى المتجه، طولوهو رقميا يساوي مساحة متوازي الأضلاع، مبني على هذه النواقل؛ المتجه متعامد على المتجهات، ويتم توجيهه بحيث يكون للأساس اتجاه صحيح:

نحن نحلل التعريف حسب العظام، هناك الكثير من الأشياء المثيرة للاهتمام!

لذا يمكننا تسليط الضوء على النقاط الهامة التالية:

1) ناقلات المصدر، المشار إليها بواسطة الأسهم الحمراء، حسب التعريف لا خطية. سيكون من المناسب النظر في حالة المتجهات الخطية بعد ذلك بقليل.

2) المتجهات مأخوذة بترتيب صارم: – "أ" مضروبة في "كن"، وليس "يكون" إلى "أ". نتيجة مضاعفة المتجهاتهو VECTOR، والمشار إليه باللون الأزرق. إذا تم ضرب المتجهات بترتيب عكسي، فسنحصل على متجه متساوي في الطول ومعاكس في الاتجاه (لون قرمزي). أي المساواة .

3) الآن دعونا نتعرف على المعنى الهندسي للمنتج المتجه. هذه نقطة مهمة جدا! طول المتجه الأزرق (وبالتالي المتجه القرمزي) يساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات. في الشكل، متوازي الأضلاع هذا مظلل باللون الأسود.

ملحوظة : الرسم تخطيطي، وبطبيعة الحال، الطول الاسمي للمنتج الاتجاهي لا يساوي مساحة متوازي الأضلاع.

نتذكر واحدة من الصيغ الهندسية: مساحة متوازي الأضلاع تساوي ناتج الجوانب المجاورة وجيب الزاوية بينهما. لذلك، بناءً على ما سبق، تكون صيغة حساب طول المنتج المتجه صالحة:

أؤكد أننا نتحدث في الصيغة عن طول المتجه، وليس عن المتجه نفسه. ما هو المعنى العملي؟ والمعنى هو أنه في مشاكل الهندسة التحليلية، غالبًا ما يتم العثور على مساحة متوازي الأضلاع من خلال مفهوم المنتج المتجه:

نحصل على الصيغة المهمة الثانية. قطري متوازي الأضلاع (الخط الأحمر المنقط) يقسمه إلى قسمين مثلث متساوي. لذلك، يمكن إيجاد مساحة المثلث المبني على المتجهات (التظليل الأحمر) بالصيغة:

4) هناك حقيقة لا تقل أهمية وهي أن المتجه متعامد مع المتجهات، أي . بالطبع، المتجه ذو الاتجاه المعاكس (السهم القرمزي) متعامد أيضًا مع المتجهات الأصلية.

5) يتم توجيه المتجه بحيث أساسلقد يمينتوجيه. في درس حول الانتقال إلى أساس جديدلقد تحدثت بالتفصيل عن اتجاه الطائرةوالآن سنكتشف ما هو اتجاه الفضاء. سأشرح على أصابعك اليد اليمنى . الجمع عقليا السبابة مع ناقلات و الاصبع الوسطىمع ناقلات . البنصروالإصبع الصغيراضغط على راحة يدك. نتيجة ل إبهام - سوف يبحث المنتج المتجه عن الأعلى. هذا هو الأساس الصحيح (وهو موجود في الشكل). الآن قم بتبديل المتجهات ( مؤشر و الأصابع الوسطى ) في بعض الأماكن، نتيجة لذلك، سوف يستدير الإبهام، وسوف ينظر المنتج المتجه إلى الأسفل بالفعل. وهذا أيضًا أساس موجه نحو اليمين. ربما لديك سؤال: ما هو الأساس الذي له توجه يساري؟ "تعيين" نفس الأصابع اليد اليسرىالمتجهات، والحصول على الأساس الأيسر واتجاه الفضاء الأيسر (في هذه الحالة، سيتم وضع الإبهام في اتجاه المتجه السفلي). من الناحية المجازية، فإن هذه القواعد "تلتف" أو توجه الفضاء نحو الداخل جوانب مختلفة. ولا ينبغي اعتبار هذا المفهوم شيئًا بعيد المنال أو مجردًا - على سبيل المثال، تغير المرآة الأكثر شيوعًا اتجاه الفضاء، وإذا "سحبت الكائن المنعكس من المرآة"، فهذا يعني أنه الحالة العامةلا يمكن أن تكون مطابقة مع الأصل. بالمناسبة، أحضر ثلاثة أصابع إلى المرآة وقم بتحليل الانعكاس ;-)

... كم هو جيد أنك تعرف الآن عنه موجهة لليمين واليسارقواعد لأن تصريحات بعض المحاضرين عن تغيير التوجه فظيعة =)

المنتج المتجه للنواقل الخطية

لقد تم وضع التعريف بالتفصيل، ويبقى معرفة ما يحدث عندما تكون المتجهات على خط مستقيم. إذا كانت المتجهات على خط واحد، فيمكن وضعها على خط مستقيم واحد كما أن متوازي الأضلاع الخاص بنا "يطوي" أيضًا في خط مستقيم واحد. مساحة هذا، كما يقول علماء الرياضيات، منحطمتوازي الأضلاع هو صفر. ويترتب على ذلك نفس الصيغة - جيب الزاوية صفر أو 180 درجة يساوي صفرًا، مما يعني أن المساحة تساوي صفرًا

وهكذا إذاً . بالمعنى الدقيق للكلمة، فإن منتج المتجه نفسه يساوي المتجه الصفري، ولكن في الممارسة العملية غالبًا ما يتم إهمال ذلك وكتابته أنه يساوي الصفر ببساطة.

حالة خاصة هي المنتج المتجه للمتجه ونفسه:

باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي، يمكنك التحقق من العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات ثلاثية الأبعاد، وسنقوم أيضًا بتحليل هذه المشكلة، من بين أمور أخرى.

للحصول على حلول أمثلة عمليةقد تكون هناك حاجة الجدول المثلثيللعثور على قيم الجيوب منه.

حسنًا ، فلنشعل النار:

مثال 1

أ) أوجد طول المنتج المتجه للمتجهات إذا

ب) أوجد مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات إذا

حل: لا، هذا ليس خطأ مطبعي، لقد تعمدت جعل البيانات الأولية في عناصر الحالة هي نفسها. لأن تصميم الحلول سيكون مختلفاً!

أ) حسب الشرط يجب العثور عليه طولناقل (ناقل المنتج). وفقا للصيغة المقابلة:

إجابة:

وبما أنه سئل عن الطول، ففي الإجابة نشير إلى البعد - الوحدات.

ب) حسب الشرط، يجب العثور عليه مربعمتوازي الأضلاع مبني على المتجهات. مساحة متوازي الأضلاع هذا تساوي عدديًا طول المنتج الاتجاهي:

إجابة:

مع العلم أنه في الجواب عن المنتج المتجه لا يوجد أي حديث على الإطلاق الذي سئلنا عنه منطقة الشكلعلى التوالي، البعد هو وحدات مربعة.

نحن ننظر دائمًا إلى ما هو مطلوب العثور عليه بواسطة الشرط، وعلى هذا الأساس نقوم بصياغته واضحإجابة. قد يبدو الأمر وكأنه حرفية، ولكن هناك ما يكفي من الحرفيين بين المعلمين، وسيتم إرجاع المهمة ذات الفرص الجيدة للمراجعة. على الرغم من أن هذه ليست نيتبيك متوترة بشكل خاص - إذا كانت الإجابة غير صحيحة، فإن الانطباع بأن الشخص لا يفهم أشياء بسيطة و / أو لم يفهم جوهر المهمة. يجب أن تظل هذه اللحظة تحت السيطرة دائمًا، من خلال حل أي مشكلة في الرياضيات العليا وفي مواضيع أخرى أيضًا.

أين ذهب الحرف الكبير "en"؟ من حيث المبدأ، يمكن أن يكون عالقا بالإضافة إلى ذلك إلى الحل، ولكن من أجل تقصير السجل، لم أفعل ذلك. أتمنى أن يفهم الجميع ذلك وأن يكون التعيين لنفس الشيء.

مثال شائع لحل "افعل ذلك بنفسك":

مثال 2

أوجد مساحة المثلث المبني على المتجهات إذا

ترد صيغة العثور على مساحة المثلث من خلال المنتج المتجه في التعليقات على التعريف. الحل والإجابة في نهاية الدرس.

في الممارسة العملية، المهمة شائعة جدًا حقًا، ويمكن تعذيب المثلثات بشكل عام.

لحل المشاكل الأخرى نحتاج إلى:

خصائص المنتج الاتجاهي للمتجهات

لقد نظرنا بالفعل في بعض خصائص المنتج المتجه، ومع ذلك، سأقوم بإدراجها في هذه القائمة.

بالنسبة للمتجهات العشوائية والأرقام العشوائية، تكون الخصائص التالية صحيحة:

1) في مصادر المعلومات الأخرى، عادة لا يتم تمييز هذا العنصر في الخصائص، ولكنه مهم جدًا من الناحية العملية. لذا فليكن.

2) - تمت مناقشة الخاصية أيضًا أعلاه، ويتم استدعاؤها أحيانًا مكافحة التبادل. وبعبارة أخرى، فإن ترتيب المتجهات مهم.

3) - الجمع أو ترابطيقوانين المنتجات ناقلات. يتم إخراج الثوابت بسهولة من حدود المنتج المتجه. حقاً، ماذا يفعلون هناك؟

4) - التوزيع أو توزيعقوانين المنتجات ناقلات. لا توجد مشاكل مع فتح الأقواس أيضًا.

كعرض توضيحي، فكر في مثال قصير:

مثال 3

اكتشف إذا

حل:حسب الحالة، مطلوب مرة أخرى العثور على طول المنتج المتجه. دعونا نرسم المنمنمة لدينا:

(1) وفقًا للقوانين الترابطية، نخرج الثوابت خارج حدود منتج المتجهات.

(2) نخرج الثابت من الوحدة، بينما "تأكل" الوحدة علامة الطرح. لا يمكن أن يكون الطول سالبًا.

(٣) ما يأتي واضح.

إجابة:

حان الوقت لرمي الحطب على النار:

مثال 4

احسب مساحة المثلث المبني على المتجهات إذا

حل: أوجد مساحة المثلث باستخدام الصيغة . المشكلة هي أن المتجهين "ce" و"te" يتم تمثيلهما كمجموعات من المتجهات. الخوارزمية هنا قياسية وتذكرنا إلى حد ما بالمثالين رقم 3 و4 من الدرس. المنتج النقطي للمتجهات. دعنا نقسمها إلى ثلاث خطوات من أجل الوضوح:

1) في الخطوة الأولى، نعبر عن حاصل الضرب المتجه من خلال حاصل الضرب المتجه، في الواقع، التعبير عن المتجه من حيث المتجه. لا توجد كلمة مطولة حتى الآن!

(1) نستبدل تعبيرات المتجهات .

(2) باستخدام قوانين التوزيع، افتح الأقواس وفقًا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود.

(3) باستخدام القوانين الترابطية، نحذف جميع الثوابت التي تتجاوز نواتج المتجهات. مع قليل من الخبرة، يمكن تنفيذ الإجراءين 2 و 3 في وقت واحد.

(4) الحدان الأول والأخير يساويان صفر (متجه صفر) بسبب الخاصية اللطيفة. في الحد الثاني، نستخدم خاصية مكافحة التبادلية لمنتج المتجه:

(5) نقدم مصطلحات مماثلة.

ونتيجة لذلك، تم التعبير عن المتجه من خلال ناقل، وهو ما كان مطلوبًا تحقيقه:

2) في الخطوة الثانية، نجد طول المنتج المتجه الذي نحتاجه. هذا الإجراء مشابه للمثال 3:

3) أوجد مساحة المثلث المطلوب:

يمكن ترتيب الخطوات 2-3 من الحل في سطر واحد.

إجابة:

المشكلة المدروسة شائعة جدًا في مراقبة العمل، إليك مثالاً لحل يمكنك تنفيذه بنفسك:

مثال 5

اكتشف إذا

الحل القصير والإجابة في نهاية الدرس. لنرى مدى انتباهك عند دراسة الأمثلة السابقة ;-)

المنتج الاتجاهي للمتجهات في الإحداثيات

، نظرا للأساس المتعامد ، يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة:

الصيغة بسيطة حقًا: نكتب المتجهات الإحداثية في السطر العلوي من المحدد، ونجمع إحداثيات المتجهات في السطرين الثاني والثالث، ونضعها بترتيب صارم- أولاً إحداثيات المتجه "ve"، ثم إحداثيات المتجه "ve-double". إذا كانت هناك حاجة إلى ضرب المتجهات بترتيب مختلف، فيجب أيضًا تبديل الخطوط:

مثال 10

تحقق مما إذا كانت المتجهات الفضائية التالية على خط واحد:
أ)
ب)

حل: يعتمد الاختبار على إحدى العبارات الواردة في هذا الدرس: إذا كانت المتجهات على خط واحد، فإن حاصل الضرب الاتجاهي لها هو صفر (متجه صفر): .

أ) ابحث عن المنتج المتجه:

وبالتالي فإن المتجهات ليست على خط واحد.

ب) ابحث عن المنتج المتجه:

إجابة: أ) ليست على خط واحد، ب)

ربما تكون هنا جميع المعلومات الأساسية حول حاصل ضرب المتجهات للمتجهات.

لن يكون هذا القسم كبيرًا جدًا، حيث توجد مشكلات قليلة حيث يتم استخدام المنتج المختلط للمتجهات. في الواقع، كل شيء سوف يعتمد على التعريف والمعنى الهندسي واثنين من صيغ العمل.

المنتج المختلط للمتجهات هو منتج ثلاثة ناقلات:

هكذا يصطفون كالقطار وينتظرون، لا يمكنهم الانتظار حتى يتم حسابهم.

أولا مرة أخرى التعريف والصورة:

تعريف: منتج مختلط غير متحد المستوىثلاثة أبعاد ، اتخذت بهذا الترتيب، يسمى حجم متوازي السطوح، مبني على هذه المتجهات، ومجهز بعلامة "+" إذا كان الأساس صحيحًا، وعلامة "-" إذا كان الأساس متروكًا.

دعونا نفعل الرسم. الخطوط غير المرئية بالنسبة لنا يتم رسمها بخط منقط:

دعونا نتعمق في التعريف:

2) المتجهات مأخوذة بترتيب معين، أي أن تبديل المتجهات في المنتج، كما قد تتخيل، لا يمر دون عواقب.

3) قبل التعليق على المعنى الهندسي، أود أن أشير إلى الحقيقة الواضحة: المنتج المختلط للمتجهات هو رقم: . في الأدبيات التعليمية، قد يكون التصميم مختلفًا إلى حد ما، فقد اعتدت على الإشارة إلى منتج مختلط من خلال ونتيجة العمليات الحسابية بالحرف "pe".

أ-بريوري المنتج المختلط هو حجم متوازي السطوح، مبني على المتجهات (الشكل مرسوم بمتجهات حمراء وخطوط سوداء). أي أن العدد يساوي حجم متوازي السطوح المعطى.

ملحوظة : الرسم تخطيطي.

4) دعونا لا ننشغل مرة أخرى بمفهوم اتجاه الأساس والمساحة. معنى الجزء الأخير هو أنه يمكن إضافة علامة الطرح إلى المجلد. بكلمات بسيطة، يمكن أن يكون المنتج المختلط سلبيًا: .

إن صيغة حساب حجم متوازي السطوح المبني على المتجهات تتبع مباشرة من التعريف.

تعريف. المنتج المتجه للمتجه أ (المضاعف) بواسطة المتجه (المضاعف) الذي ليس على خط مستقيم معه هو المتجه الثالث ج (المنتج)، والذي يتم إنشاؤه على النحو التالي:

1) معاملها يساوي عدديا مساحة متوازي الأضلاع في الشكل. 155) مبني على المتجهات، أي أنه يساوي الاتجاه العمودي على مستوى متوازي الأضلاع المذكور؛

3) في هذه الحالة، يتم اختيار اتجاه المتجه c (من بين اتجاهين محتملين) بحيث تشكل المتجهات c نظامًا أيمنًا (§ 110).

التسمية: أو

ملحق للتعريف. إذا كانت المتجهات على خط واحد، فاعتبار الشكل متوازي أضلاع (مشروطًا)، فمن الطبيعي تخصيص مساحة صفر. ولذلك، فإن المنتج المتجه للمتجهات الخطية المتداخلة يعتبر مساوياً للمتجه الفارغ.

وبما أنه يمكن تعيين المتجه الفارغ في أي اتجاه، فإن هذه الاتفاقية لا تتعارض مع البندين 2 و3 من التعريف.

الملاحظة 1. في مصطلح "المنتج المتجه"، تشير الكلمة الأولى إلى أن نتيجة الإجراء هي متجه (على عكس المنتج القياسي؛ راجع § 104، الملاحظة 1).

مثال 1. ابحث عن منتج المتجه حيث تكون المتجهات الرئيسية لنظام الإحداثيات الصحيح (الشكل 156).

1. بما أن أطوال المتجهات الرئيسية تساوي وحدة القياس، فإن مساحة متوازي الأضلاع (المربع) تساوي واحدًا عدديًا. ومن ثم، فإن معامل حاصل الضرب المتجه يساوي واحدًا.

2. بما أن العمودي على المستوى هو المحور، فإن حاصل الضرب المتجه المطلوب هو متجه، ناقلات خطيةل؛ وبما أن كلاهما لهما معامل 1، فإن المنتج الاتجاهي المطلوب هو إما k أو -k.

3. من بين هذين المتجهين المحتملين، يجب اختيار الأول، حيث أن المتجهات k تشكل نظامًا صحيحًا (وتشكل المتجهات نظامًا يسارًا).

مثال 2. أوجد حاصل الضرب الاتجاهي

حل. كما في المثال 1، نستنتج أن المتجه إما k أو -k. لكن الآن نحن بحاجة إلى اختيار -k، حيث أن المتجهات تشكل النظام الأيمن (وتشكل المتجهات النظام الأيسر). لذا،

مثال 3: يبلغ طول المتجهين 80 و50 سم على التوالي، ويشكلان زاوية قدرها 30 درجة. بأخذ المتر كوحدة للطول، أوجد طول حاصل الضرب المتجه أ

حل. مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات تساوي طول منتج المتجه المطلوب يساوي

مثال 4. أوجد طول حاصل الضرب الاتجاهي لنفس المتجهات، مع اعتبار السنتيمتر وحدة طول.

حل. وبما أن مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات تساوي طول منتج المتجهات 2000 سم، أي

توضح المقارنة بين المثالين 3 و4 أن طول المتجه لا يعتمد فقط على أطوال العوامل، ولكن أيضًا على اختيار وحدة الطول.

المعنى المادي للمنتج المتجه.من العديد كميات فيزيائية، ممثلة بمنتج متجه، ضع في الاعتبار لحظة القوة فقط.

دع A تكون نقطة تطبيق القوة. تسمى لحظة القوة بالنسبة للنقطة O منتج المتجه. نظرًا لأن وحدة منتج المتجه هذا تساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع (الشكل 157) ، وحدة اللحظة تساوي منتج القاعدة في الارتفاع، أي القوة مضروبة في المسافة من النقطة O إلى الخط المستقيم الذي تؤثر فيه القوة.

ثبت في الميكانيكا أنه من أجل تحقيق توازن جسم صلب، من الضروري ألا يكون مجموع المتجهات التي تمثل القوى المطبقة على الجسم فقط، ولكن أيضًا مجموع لحظات القوى مساويًا للصفر. في الحالة التي تكون فيها جميع القوى موازية لنفس المستوى، يمكن استبدال جمع المتجهات التي تمثل العزوم بجمع وطرح معاملاتها. ولكن بالنسبة للاتجاهات التعسفية للقوى، فإن مثل هذا الاستبدال مستحيل. وفقًا لهذا، يتم تعريف المنتج المتقاطع على وجه التحديد كمتجه، وليس كرقم.

تعريف يتم استدعاء مجموعة مرتبة (x 1 , x 2 , ... , x n) n من الأعداد الحقيقية ناقلات الأبعاد نوالأرقام x i (i = ) - عناصرأو الإحداثيات,

مثال. على سبيل المثال، إذا كان على مصنع سيارات معين أن ينتج 50 سيارة ركاب، و100 شاحنة، و10 حافلات، و50 مجموعة من قطع غيار السيارات، و150 مجموعة من قطع الغيار الشاحناتوالحافلات، يمكن كتابة برنامج الإنتاج لهذا المصنع على شكل متجه (50، 100، 10، 50، 150) بخمسة مكونات.

الرموز. يتم الإشارة إلى المتجهات بالخط العريض أحرف صغيرةأو أحرف بها شريط أو سهم في الأعلى، على سبيل المثال، أأو. يتم استدعاء المتجهين متساويإذا كان لديهم نفس عدد المكونات وكانت المكونات المقابلة لها متساوية.

لا يمكن تبادل مكونات المتجهات، على سبيل المثال (3، 2، 5، 0، 1)و (2، 3، 5، 0، 1) ناقلات مختلفة.
العمليات على المتجهات.عمل س= (x 1 , x 2 , ... ,x n) إلى عدد حقيقيλ يسمى ناقلاتλ س= (× × 1 , × × 2 , ... , × × n).

مجموعس= (x 1 , x 2 , ... ,x n) و ذ= (y 1 , y 2 , ... ,y n) يسمى متجهًا س+ص= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

مساحة المتجهات.ن -الفضاء المتجه الأبعاد ريتم تعريف n على أنها مجموعة جميع المتجهات ذات الأبعاد n التي يتم من خلالها تحديد عمليات الضرب بالأعداد الحقيقية والجمع.

التوضيح الاقتصادي. رسم توضيحي اقتصادي لمساحة متجهة ذات أبعاد n: مساحة البضائع (بضائع). تحت سلعةسوف نفهم بعض السلع أو الخدمات التي تم طرحها للبيع وقت محددفي مكان معين. افترض أن هناك عددًا محدودًا من السلع المتاحة n؛ وتتميز كميات كل منها التي يشتريها المستهلك بمجموعة من السلع

س= (س 1، س 2، ...، س ن)،

حيث تشير x i إلى مقدار السلعة i التي اشتراها المستهلك. سنفترض أن جميع السلع لها خاصية القابلية للقسمة التعسفية، بحيث يمكن شراء أي كمية غير سالبة من كل منها. إذن جميع مجموعات البضائع الممكنة هي ناقلات لمساحة البضائع C = ( س= (x 1 , x 2 , ... , x n)س ط ≥ 0، ط =).

الاستقلال الخطي. نظام ه 1 , ه 2 , ... , هتسمى النواقل ذات الأبعاد n تعتمد خطياإذا كان هناك مثل هذه الأرقام 1 , 2 , ... , 1 م ، منها واحد على الأقل غير صفر، مما يحقق المساواةφ1 ه 1 + α2 ه 2+...+μm هم = 0؛ خلاف ذلك هذا النظامتسمى المتجهات مستقل خطياأي أن هذه المساواة ممكنة فقط في حالة وجود الجميع . المعنى الهندسي للاعتماد الخطي للمتجهات في ر 3، تفسر على أنها شرائح موجهة، اشرح النظريات التالية.

النظرية 1. النظام الذي يتكون من متجه واحد يعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كان هذا المتجه صفرًا.

النظرية 2. لكي يكون المتجهان معتمدين خطياً، من الضروري والكافي أن يكونا على خط واحد (متوازيين).

النظرية 3 . لكي تكون ثلاثة نواقل مستقلة خطياً، من الضروري والكافي أن تكون متحدة المستوى (تقع في نفس المستوى).

ثلاثية اليسار واليمين من المتجهات. ثلاثية من المتجهات غير متحدة المستوى أ، ب، جمُسَمًّى يمينإذا تجاوز الراصد من أصلهما المشترك أطراف المتجهات أ، ب، جيبدو أن هذا الترتيب يسير في اتجاه عقارب الساعة. خلاف ذلك أ، ب، ج -الثلاثي الأيسر. يتم استدعاء جميع ثلاثيات المتجهات اليمنى (أو اليسرى). على قدم المساواة الموجهة.

الأساس والإحداثيات. الترويكا ه 1, ه 2 , ه 3 ناقلات غير متحدة المستوى في ر 3 دعا أساس، والمتجهات نفسها ه 1, ه 2 , ه 3 - أساسي. أي ناقل أيمكن توسيعها بطريقة فريدة من حيث المتجهات الأساسية، أي أنه يمكن تمثيلها في النموذج

أ= × 1 ه 1 + ×2 ه 2 + × 3 ه 3, (1.1)

يتم استدعاء الأرقام x 1 , x 2 , x 3 في التوسع (1.1). الإحداثياتأفي الأساس ه 1, ه 2 , ه 3 ويتم الإشارة إليها أ(× 1، × 2، × 3).

أساس متعامد. إذا كانت ناقلات ه 1, ه 2 , ه 3 أزواج متعامدة وطول كل منها يساوي واحدا، فيسمى الأساس متعامد، والإحداثيات × 1، × 2، × 3 - مستطيلي.سيتم الإشارة إلى المتجهات الأساسية للأساس المتعامد ط، ي، ك.

وسوف نفترض ذلك في الفضاء ر 3 النظام الصحيح للإحداثيات المستطيلة الديكارتية (0، ط، ي، ك}.

منتج ناقلات. فن مكافحة ناقلات ألكل ناقل بيسمى ناقلات ج، والذي يتم تحديده بالشروط الثلاثة التالية:

1. طول المتجه جيساوي عدديا مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات أو ب،أي.
ج= |أ||ب|الخطيئة( أ^ب).

2. المتجهات جعمودي على كل من المتجهات أو ب.

3. المتجهات أ، بو ج، مأخوذة بهذا الترتيب، تشكل ثلاثية قائمة.

لمنتج المتجهات جتم تقديم التعيين ج=[أب] أو
ج = أ × ب.

إذا كانت ناقلات أو بعلى خط مستقيم، ثم الخطيئة( أ ^ ب) = 0 و [ أب] = 0، على وجه الخصوص، [ أأ] = 0. منتجات المتجهات من ort: [ اي جاي]=ك، [jk] = أنا, [كي]=ي.

إذا كانت ناقلات أو بالواردة في الأساس ط، ي، كالإحداثيات أ(أ 1، أ 2، أ 3)، ب(ب1، ب2، ب3)، إذن

عمل مختلط. إذا كان المنتج الاتجاهي لمتجهين أو بالعددية مضروبة في المتجه الثالث ج،ثم يسمى هذا المنتج من ثلاثة ناقلات منتج مختلطويشار إليه بالرمز أ قبل الميلاد.

إذا كانت ناقلات أ، بو جفي الأساس ط، ي، كتحددها إحداثياتهم
أ(أ 1، أ 2، أ 3)، ب(ب1، ب2، ب3)، ج(ج1، ج2، ج3)، ثم

.

المنتج المختلط له تفسير هندسي بسيط - فهو عددي، وفقًا لـ قيمه مطلقهيساوي حجم متوازي السطوح المبني على ثلاثة متجهات معينة.

إذا شكلت المتجهات ثلاثيًا قائمًا، فإن منتجها المختلط يكون رقمًا موجبًا يساوي الحجم المشار إليه؛ إذا الثلاثة أ، ب، ج -اليسار، ثم أ ب ج<0 и V = - أ ب جوبالتالي V =|أ ب ج|.

من المفترض أن تكون إحداثيات المتجهات التي تمت مواجهتها في مسائل الفصل الأول معطاة بالنسبة للأساس المتعامد الصحيح. وحدة المتجه codirectional إلى المتجه أ،يشار إليه بالرمز أيا. رمز ص=أوميُشار إليه بمتجه نصف القطر للنقطة M أو الرموز a أو AB أو|أ|, | أ ب |تتم الإشارة إلى وحدات المتجهات أو أ.ب.

مثال 1.2. أوجد الزاوية بين المتجهات أ= 2م+4نو ب= م-ن، أين مو ن-ناقلات الوحدة والزاوية بينهما مو نيساوي 120 س.

حل. لدينا: كوس φ = أب/ أب، أب=(2م+4ن) (م-ن) = 2م 2 - 4ن 2 +2مليون=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; أ = ; أ 2 = (2م+4ن) (2م+4ن) =
= 4م 2 +16مليون+16ن 2 = 4+16(-0.5)+16=12، إذن أ = . ب= ; ب 2 =
= (م-ن)(م-ن) = م 2 -2مليون+ن 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3، لذا ب = . وأخيرا لدينا: كوسφ \u003d -1/2، φ \u003d 120 س.

مثال 1.3.معرفة المتجهات أ.ب(-3،-2.6) و قبل الميلاد(-2،4،4)، احسب الارتفاع AD للمثلث ABC.

حل. بالدلالة على مساحة المثلث ABC بواسطة S، نحصل على:
ق = 1/2 ق.م. ثم AD=2S/BC، BC== = 6,
ق = 1/2| أ ب ×مكيف |. أس = أ ب + ق، وبالتالي فإن المتجه تكييفلديه إحداثيات
. .

مثال 1.4 . نظرا لاثنين من المتجهات أ(11،10،2) و ب(4،0،3). أوجد متجه الوحدة ج،متعامد على المتجهات أو بوتوجيهها بحيث يتم ترتيب الثلاثي من النواقل أ، ب، جكان صحيحا.

حل.دعونا نشير إلى إحداثيات المتجه جفيما يتعلق بالأساس المتعامد الصحيح المحدد من حيث x، y، z.

بسبب ال ج ⊥ أ، ج ⊥ب، الذي - التي كاليفورنيا= 0، سي بي= 0. حسب حالة المشكلة، يشترط أن يكون c = 1 و أ ب ج >0.

لدينا نظام المعادلات ل إيجاد x,y,z: 11x +10y + 2z = 0، 4x+3z=0، x 2 + y 2 + z 2 = 0.

من المعادلتين الأولى والثانية للنظام نحصل على z = -4/3 x، y = -5/6 x. باستبدال y وz في المعادلة الثالثة، سيكون لدينا: x 2 = 36/125، ومن هنا
س=± . استخدام الشرط أ ب ج > 0، نحصل على عدم المساواة

مع الأخذ بعين الاعتبار تعبيرات z وy، نعيد كتابة المتباينة الناتجة بالصيغة: 625/6 x > 0، ومن ثم يتبع ذلك x>0. إذن x = , y = - , z = - .

7.1. تعريف المنتج المتقاطع

ثلاثة نواقل غير متحدة المستوى أ، ب، ج، مأخوذة بالترتيب المشار إليه، تشكل ثلاثية قائمة إذا كان من نهاية المتجه الثالث ج أقصر دورة من المتجه الأول أ إلى المتجه الثاني ب عكس اتجاه عقارب الساعة، و اليسار إذا كان في اتجاه عقارب الساعة (انظر الشكل 16).

يسمى المنتج المتجه للمتجه أ والمتجه ب المتجه ج، والذي:

1. عمودي على المتجهين a وb، أي c ^ a وc ^ ب؛

2. طوله يساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات a وبكما في الجوانب (انظر الشكل 17)، أي.

3. تشكل المتجهات a وb وc ثلاثية قائمة.

يُشار إلى منتج المتجه بـ x b أو [a,b]. من تعريف المنتج المتجه، أتابع العلاقات التالية بين الأعداد مباشرة، يو ك(انظر الشكل 18):

i x j \u003d k، j x k \u003d i، k x i \u003d j.
دعونا نثبت ذلك، على سبيل المثالأنا xj \u003d ك.

1) ك ^ أنا، ك ^ ي؛

2) |ك |=1، لكن | ط س ي| = |أنا | |ي| الخطيئة (90 درجة) = 1؛

3) المتجهات i و j و كشكل ثلاثيًا قائمًا (انظر الشكل 16).

7.2. خصائص المنتج المتقاطع

1. عندما يتم إعادة ترتيب العوامل، تتغير إشارة المنتج المتجه، أي. و xb \u003d (b xa) (انظر الشكل 19).

المتجهات a xb و b xa متداخلة، ولها نفس الوحدات (تبقى مساحة متوازي الأضلاع دون تغيير)، ولكنها موجهة بشكل معاكس (ثلاثية a، b، a xb و a، b، b x a ذات اتجاه معاكس). إنه com.axb = -(bxa).

2. المنتج المتجه له خاصية مركبة فيما يتعلق بالعامل العددي، أي l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

دع ل> 0. المتجه l (a xb) متعامد مع المتجهين a وb. المتجه ( لفأس بهو أيضًا عمودي على المتجهات a و ب(المتجهات أ، لولكن تكمن في نفس الطائرة). لذا فإن المتجهات ل(أ إكس ب) و ( لفأس بعلى استطراد. ومن الواضح أن اتجاهاتهم متطابقة. لديهم نفس الطول:

لهذا ل(أ إكس ب)= لإكس بي. وقد ثبت بالمثل بالنسبة ل<0.

3. متجهان غير صفريين a و بتكون خطية متداخلة إذا وفقط إذا كان منتجها المتجه يساوي المتجه الصفري، أي و ||b<=>و xb \u003d 0.

على وجه الخصوص، i *i =j *j =k *k =0 .

4. المنتج المتجه له خاصية التوزيع:

(أ+ب)س س = أ س س + ب XS .

قبول بدون دليل.

7.3. التعبير عبر المنتج من حيث الإحداثيات

سوف نستخدم جدول الضرب المتجهي i، يو ك :

إذا كان اتجاه أقصر مسار من المتجه الأول إلى الثاني يتطابق مع اتجاه السهم، فإن حاصل الضرب يساوي المتجه الثالث، وإذا لم يتطابق، يؤخذ المتجه الثالث بعلامة الطرح.

دع متجهين a =a x i +a y ي+أز كو ب = ب س أنا+بواسطة ي+بز ك. دعونا نجد المنتج المتجه لهذه المتجهات عن طريق ضربها في كثيرات الحدود (وفقًا لخصائص المنتج المتجه):

يمكن كتابة الصيغة الناتجة بشكل أقصر:

حيث أن الجانب الأيمن من المساواة (7.1) يتوافق مع مفكوك محدد الدرجة الثالثة بدلالة عناصر الصف الأول، ومن السهل تذكر المساواة (7.2).

7.4. بعض تطبيقات المنتج المتقاطع

إنشاء علاقة خطية متداخلة من المتجهات

إيجاد مساحة متوازي الأضلاع والمثلث

وفقا لتعريف المنتج الاتجاهي للمتجهات أوب |أ إكس بي | =| أ | * |b |sin g ، أي S par = |a x b |. وبالتالي، D S \u003d 1/2 | أ × ب |.

تحديد عزم القوة حول نقطة ما

دع القوة تطبق عند النقطة A و = أ بدعها تذهب عن- نقطة ما في الفضاء (انظر الشكل 20).

ومن المعروف من الفيزياء أن عزم الدوران F نسبة إلى النقطة عنيسمى ناقلات م،الذي يمر عبر النقطة عنو:

1) عمودي على المستوى الذي يمر عبر النقاط يا، أ، ب؛

2) يساوي عددياً حاصل ضرب القوة في الذراع

3) يشكل ثلاثيًا قائمًا مع المتجهات OA و A B .

لذلك، M \u003d OA × F.

إيجاد السرعة الخطية للدوران

سرعة الخامسالنقطة M لجسم صلب يدور بسرعة زاوية ثحول محور ثابت، يتم تحديده بواسطة صيغة أويلر v \u003d w x r، حيث r \u003d OM، حيث O هي نقطة ثابتة للمحور (انظر الشكل 21).