تتناول المقالة مفاهيم التوازي للخط المستقيم والمستوى ، وسيتم النظر في التعريفات الرئيسية وإعطاء أمثلة. ضع في اعتبارك علامة التوازي لخط مستقيم مع مستوى بشروط ضرورية وكافية للتوازي ، سنحل أمثلة على المهام بالتفصيل.

Yandex.RTB R-A-339285-1 التعريف 1

يتم استدعاء الخط والمستوى موازى، إذا لم يكن لديهم نقاط مشتركة ، أي لا تتقاطع.

يشار إلى التوازي بواسطة "∥". إذا كان الخط a والمستوى α في المهمة حسب الشرط متوازيين ، فإن التدوين يكون ∥ α. النظر في الشكل أدناه.

يُعتقد أن الخط a ، الموازي للمستوى α والمستوى α ، الموازي للخط a ، متكافئان ، أي أن الخط والمستوى متوازيان مع بعضهما البعض في أي حال.

موازاة الخط المستقيم والمستوى - علامة وشروط التوازي

ليس من الواضح دائمًا أن الخط والمستوى متوازيان. في كثير من الأحيان هذا يحتاج إلى إثبات. من الضروري استخدام شرط كافٍ يضمن التوازي. تسمى هذه العلامة علامة التوازي لخط ومستوى ، ويوصى بدراسة تعريف الخطوط المتوازية أولاً.

نظرية 1

إذا كان الخط A ، غير الموجود في المستوى α ، موازيًا للخط b ، الذي ينتمي إلى المستوى α ، فإن الخط a يكون موازيًا للمستوى α.

ضع في اعتبارك النظرية المستخدمة لإنشاء التوازي لخط مستقيم مع المستوى.

نظرية 2

إذا كان أحد الخطين المتوازيين موازيًا لمستوى ، فإن الخط الآخر يقع في ذلك المستوى أو يكون موازيًا له.

يتم أخذ إثبات تفصيلي في الكتاب المدرسي للصفوف 10-11 في الهندسة. يكون الشرط الضروري والكافي لتوازي خط مستقيم مع مستوى ممكنًا إذا كان هناك تعريف لمتجه التوجيه للخط المستقيم والمتجه الطبيعي للمستوى.

نظرية 3

بالنسبة لتوازي الخط المستقيم a ، الذي لا ينتمي إلى المستوى α والمستوى المحدد ، فإن الشرط الضروري والكافي هو عمودي متجه التوجيه على الخط المستقيم مع المتجه الطبيعي للمستوى المحدد.

ينطبق الشرط عندما يكون من الضروري إثبات التوازي في نظام إحداثيات مستطيل للفضاء ثلاثي الأبعاد. دعونا نلقي نظرة على الدليل المفصل.

دليل

لنفترض أن السطر a في نظام الإحداثيات O xy مُعطى بواسطة المعادلات الكنسية للخط في الفضاء ، والتي لها الشكل x - x 1 ax \ u003d y - y 1 ay \ u003d z - z 1 az أو المعادلات البارامترية لـ الخط في الفضاء x \ u003d x 1 + ax λ y = y 1 + ay · λ z = z 1 + az · λ ، بالمستوى α مع المعادلات العامة للمستوى A x + B y + C z + D = 0.

ومن ثم فإن a → = (a x، a y، a z) هو متجه موجه بإحداثيات الخط المستقيم a ، n → = (A ، B ، C) هو المتجه الطبيعي للمستوى alpha المحدد.

لإثبات عمودية n → = (A ، B ، C) و a → = (a x ، a y ، a z) ، تحتاج إلى استخدام مفهوم حاصل الضرب النقطي. أي أنه مع المنتج a →، n → = a x · A + a y · B + a z · C ، يجب أن تكون النتيجة مساوية للصفر من حالة عمودية المتجهات.

هذا يعني أن الشرط الضروري والكافي لتوازي الخط والمستوى مكتوب على النحو التالي: a →، n → = a x · A + a y · B + a z · C. ومن ثم فإن a → = (a x، a y، a z) هو متجه الاتجاه للخط a بالإحداثيات ، و n → = (A ، B ، C) هو المتجه الطبيعي للمستوى α.

مثال 1

أوجد ما إذا كان الخط المستقيم x = 1 + 2 λ y = - 2 + 3 λ z = 2-4 λ يوازي المستوى x + 6 y + 5 z + 4 = 0.

المحلول

لقد حصلنا على أن الخط المقدم لا ينتمي إلى المستوى ، لأن إحداثيات الخط M (1 ، - 2 ، 2) غير مناسبة. عند التعويض ، نحصل على 1 + 6 (- 2) + 5 2 + 4 = 0 ⇔ 3 = 0.

من الضروري التحقق من جدوى الشرط الضروري والكافي لتوازي الخط المستقيم والمستوى. حصلنا على أن إحداثيات متجه التوجيه للخط x = 1 + 2 λ y = - 2 + 3 z = 2-4 لها القيم a → = (2، 3، - 4).

المتجه الطبيعي للمستوى x + 6 y + 5 z + 4 = 0 هو n → = (1، 6، 5). دعنا ننتقل إلى حساب المنتج القياسي للمتجهات a → و n →. حصلنا على ذلك a → ، n → = 2 1 + 3 6 + (- 4) 5 = 0.

ومن ثم ، فإن عمودية النواقل a → و n → واضحة. ويترتب على ذلك أن الخط والمستوى متوازيان.

إجابه:الخط والمستوى متوازيان.

مثال 2

أوجد توازي المستقيم ب في مستوى الإحداثيات O y z عندما تكون الإحداثيات معطاة (2 ، 3 ، 0) ، ب (4 ، - 1 ، - 7).

المحلول

حسب الحالة ، يمكن ملاحظة أن النقطة A (2 ، 3 ، 0) لا تقع على المحور O x ، لأن قيمة x لا تساوي 0.

بالنسبة للمستوى O x z ، يعتبر المتجه ذو الإحداثيات i → = (1 ، 0 ، 0) متجهًا عاديًا لهذا المستوى. قم بالإشارة إلى متجه اتجاه الخط المستقيم ب على أنه ب ←. الآن ، باستخدام إحداثيات البداية والنهاية ، نحسب إحداثيات المتجه A B. نحصل على ذلك أ ب → = (2 ، - 4 ، - 7). من الضروري التحقق من جدوى الشروط الضرورية والكافية للمتجهات A B → = (2 ، - 4 ، - 7) و i → = (1 ، 0 ، 0) لتحديد عموديها.

لنكتب A B → ، i → = 2 1 + (- 4) 0 + (- 7) 0 = 2 ≠ 0.

ويترتب على ذلك أن الخط А В بمستوى الإحداثيات y z ليسا متوازيين.

إجابه:ليست موازية.

لا تساهم دائمًا حالة معينة في التحديد السهل لإثبات التوازي بين الخط المستقيم والمستوى. هناك حاجة للتحقق مما إذا كان السطر a ينتمي إلى المستوى α. هناك شرط آخر كافٍ يمكن بواسطته إثبات التوازي.

لخط مستقيم معين أ باستخدام معادلة مستويين متقاطعين A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \ u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \ u003d 0 ، بواسطة الطائرة α - المعادلة العامة للمستوى A x + B y + C z + D = 0.

نظرية 4

الشرط الضروري والكافي لتوازي الخط أ والمستوى α هو عدم وجود حلول للنظام المعادلات الخطية، لها الصيغة A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0.

دليل

ويترتب على التعريف أن السطر a مع المستوى α لا ينبغي أن يكون له نقاط مشتركة ، أي أنه لا ينبغي أن يتقاطعوا ، فقط في هذه الحالة سيتم اعتبارهم متوازيين. هذا يعني أن نظام الإحداثيات O x y z يجب ألا يحتوي على نقاط تنتمي إليه وتفي بجميع المعادلات:

أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 ع + د 1 = 0 أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 ع + د 2 = 0 ، وكذلك معادلة المستوى أ س + ب ص + ج ع + د = 0.

لذلك ، نظام المعادلات الذي له الصيغة A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 ، يسمى غير متناسق.

العكس هو الصحيح: إذا لم تكن هناك حلول للنظام A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 لا توجد نقاط في O x y z تحقق جميع المعادلات في وقت واحد. لقد حصلنا على أنه لا توجد مثل هذه النقطة ذات الإحداثيات التي يمكن أن تكون على الفور حلولًا لجميع المعادلات A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 والمعادلات أ س + ب ص + ج ع + د = 0. هذا يعني أن لدينا خطًا متوازيًا ومستويًا ، نظرًا لعدم وجود نقاط تقاطعهما.

نظام المعادلات A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 لا يحتوي على الحل ، عندما تكون رتبة المصفوفة الرئيسية أقل من مرتبة المصفوفة الموسعة. تم التحقق من ذلك من خلال نظرية Kronecker-Capelli لحل المعادلات الخطية. يمكنك تطبيق طريقة Gauss لتحديد عدم توافقها.

مثال 3

أثبت أن الخط x - 1 = y + 2-1 = z 3 يوازي المستوى 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0.

المحلول

عن الحلول هذا المثاليجب على المرء أن ينتقل من المعادلة الأساسية للخط المستقيم إلى شكل معادلة من مستويين متقاطعين. دعنا نكتبها على هذا النحو:

س - 1 = ص + 2-1 = z 3 ⇔ - 1 س = - 1 (ص + 2) 3 س = - 1 ع 3 (ص + 2) = - 1 ع ⇔ س - ص - 2 = 0 3 س + ض = 0

لإثبات توازي خط معين x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 مع مستوى 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 ، من الضروري تحويل المعادلات إلى نظام المعادلات س - ص - 2 = 0 3 س + ع = 0 6 س - 5 ص + 1 3 ع - 2 3 = 0.

نرى أنه غير قابل للحل ، لذلك سنلجأ إلى طريقة جاوس.

بعد كتابة المعادلات ، نحصل على 1 - 1 0 2 3 0 1 0 6 - 5 1 3 2 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 1 1 3 - 11 1 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 0 0 - 9 1 3.

من هذا نستنتج أن نظام المعادلات غير متسق ، لأن الخط والمستوى لا يتقاطعان ، أي أنهما ليس لديهما نقاط مشتركة.

نستنتج أن الخط x - 1 \ u003d y + 2-1 \ u003d z 3 والمستوى 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 \ u003d 0 متوازيان ، لأن الشرط الضروري والكافي لتوازي تم استيفاء الطائرة بخط معين.

إجابه:الخط والمستوى متوازيان.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

كل شئ الحالات الممكنة الموضع النسبي لخط مستقيم ومستوى في الفضاء :

خط يقع على مستوى إذا جميع نقاط الخط تنتمي إلى المستوى.

تعليق . لكي يقع الخط على مستوى ، من الضروري والكافي أن تنتمي أي نقطتين من هذا الخط إلى هذا المستوى.

يتقاطع الخط مع المستوى إذا كان لكل من الخط والمستوى النقطة المشتركة الوحيدة

الخط موازٍ للمستوى إذا كان الخط والمستوى ليس لديهم نقاط مشتركة. (لا تتقاطع

البيان 1 . لنفترض أن الخط أوالمستوى α متوازيان ، ويمر المستوى عبر الخط أ.ثم هناك حالتان ممكنتان:

ولكن بعد ذلك النقطة صهي نقطة تقاطع الخط أوالمستوى α ، ونحصل على تناقض مع حقيقة أن الخط المستقيم أوالمستوى α متوازيان. التناقض الناتج يكمل إثبات التأكيد 1.

العبارة 2 (علامة على التوازي لخط مستقيم ومستوى) . إذا كان مستقيما أ ،لا ترقد في الطائرة α ، بالتوازي مع بعض الخطوط بالكذب في المستوى α ، ثم الخط أوالمستوى α متوازيان.

دليل. دعنا نثبت علامة التوازي لخط مستقيم ومستوى "بالتناقض". لنفترض أن الخط أيتقاطع مع المستوى α في مرحلة ما ص.ارسم المستوى β عبر الخطوط المتوازية أو ب.

نقطة صتقع على خط مستقيم أوينتمي إلى الطائرة β. ولكن من خلال افتراض النقطة صينتمي إلى الطائرة α ، ومن هنا جاءت النقطة صتقع على خط مستقيم ب،التي تتقاطع على طولها الطائرات α و. ومع ذلك ، مباشرة أو بموازية للشرط ولا يمكن أن يكون لها نقاط مشتركة.

يكمل التناقض الناتج إثبات معيار التوازي بين الخط والمستوى.

نظريات

• إذا كان الخط المتقاطع مع المستوى عموديًا على خطين موجودين في هذا المستوى ويمر عبر نقطة تقاطع الخط المعين والمستوى ، فإنه يكون عموديًا على المستوى.
• إذا كان المستوى متعامدًا على أحد الخطين المتوازيين ، فإنه يكون أيضًا عموديًا على الآخر.
• إذا كان الخطان متعامدين على نفس المستوى ، فهذا يعني أنهما متوازيان.
• إذا كان الخط المستقيم الموجود في المستوى عموديًا على إسقاط الخط المائل ، فإنه يكون أيضًا عموديًا على المستوى المائل.
• إذا كان الخط المستقيم غير الموجود في مستوى معين موازيًا لخط مستقيم موجود في هذا المستوى ، فإنه يكون موازيًا لهذا المستوى.
• إذا كان الخط موازيًا للمستوى ، فإنه يكون موازيًا لخط ما على ذلك المستوى.
• إذا كان الخط والمستوى متعامدين على نفس الخط ، فإنهما متوازيان.
• جميع نقاط الخط المستقيم الموازي للمستوى بعيدة تمامًا عن ذلك المستوى.

نظرية

إذا كان الخط الذي لا ينتمي إلى مستوى موازيًا لخط ما في ذلك المستوى ، فإنه يكون أيضًا موازيًا للمستوى نفسه.

دليل

اجعل α مستوى ، وخطًا لا يوجد فيه ، و a1 خط في المستوى α موازٍ للخط a. دعونا نرسم المستوى α1 عبر الخطين a و a1. تتقاطع الطائرات α و α1 على طول الخط a1. إذا تقاطع الخط a مع المستوى α ، فإن نقطة التقاطع تنتمي إلى الخط a1. لكن هذا مستحيل ، لأن الخطين a و a1 متوازيان. لذلك ، لا يتقاطع الخط a مع المستوى α ، وبالتالي فهو موازٍ للمستوى α. لقد تم إثبات النظرية.

18. طائرات

إذا تقاطعت طائرتان متوازيتان مع مستوى ثالث ، فإن خطي التقاطع يكونان متوازيين.(الشكل 333).

في الواقع ، حسب التعريف الخطوط المتوازية هي خطوط تقع في نفس المستوى ولا تتقاطع.تقع خطوطنا في نفس المستوى - المستوى القاطع. لا تتقاطع ، لأن المستويات المتوازية التي تحتويها لا تتقاطع.

إذن ، المستقيمان متوازيان ، وهذا ما أردنا إثباته.

الخصائص

§ إذا كان المستوى α موازيًا لكل خط من خطين متقاطعين في المستوى الآخر β ، فإن هذين المستويين متوازيين

§ إذا تقاطع مستويان متوازيان بمقدار ثالث ، فإن خطوط تقاطعهما تكون متوازية

§ من خلال نقطة خارج مستوى معين ، من الممكن رسم مستوى موازٍ لمستوى معين ، وعلاوة على ذلك ، يمكن رسم مستوى واحد فقط

§ تتساوى أجزاء المستقيمات المتوازية التي يحدها مستويان متوازيان

§ زاويتان ذات جوانب متوازية وجوانب متساوية الاتجاه متساوية وتوجد فيهما طائرات موازية

19.

إذا كان خطان يقعان في نفس المستوى ، فمن السهل قياس الزاوية بينهما - على سبيل المثال ، باستخدام منقلة. وكيفية القياس الزاوية بين الخط والمستوى?

دع الخط يتقاطع مع المستوى ، وليس بزاوية قائمة ، ولكن بزاوية أخرى. يسمى هذا الخط منحرف - مائل.

دعونا نسقط عموديًا من نقطة ما تميل إلى المستوي. قم بتوصيل قاعدة العمود العمودي بنقطة تقاطع المائل والمستوى. حصلنا إسقاط مستوى مائل.

الزاوية بين الخط والمستوى هي الزاوية بين الخط وإسقاطه على مستوى معين..

يرجى ملاحظة - نختار الزاوية الحادة كزاوية بين الخط والمستوى.

إذا كان الخط موازيًا للمستوى ، فإن الزاوية بين الخط والمستوى تساوي صفرًا.

إذا كان الخط متعامدًا على مستوى ، فإن إسقاطه على المستوى يكون نقطة. من الواضح ، في هذه الحالة ، أن الزاوية بين الخط والمستوى تساوي 90 درجة.

يكون الخط متعامدًا على مستوى إذا كان متعامدًا مع أي خط في ذلك المستوى..

هذا هو التعريف. لكن كيف تعمل معه؟ كيف نتحقق من أن خطًا ما عموديًا على جميع الخطوط الموجودة في المستوى؟ بعد كل شيء ، هناك عدد لا حصر له منهم.

في الممارسة العملية ، يتم تطبيقه علامة عمودية الخط والمستوى:

يكون الخط متعامدًا على مستوى إذا كان متعامدًا مع خطين متقاطعين يقعان في ذلك المستوى.

21. زاوية ثنائية السطوح- مكاني الشكل الهندسي، مكونة من طائرتين نصفيتين تنبثقان من خط مستقيم واحد ، بالإضافة إلى جزء من الفضاء تحده هذه الطائرات النصفية.

يقال إن مستويين متعامدين إذا كانت الزاوية ثنائية الأضلاع بينهما 90 درجة.

§ إذا مرت طائرة عبر خط عمودي على مستوى آخر ، فإن هذه المستويات تكون متعامدة.

§ إذا قمنا برسم عمودي على المستوى الآخر من نقطة تنتمي إلى أحد المستويين المتعامدين ، فإن هذا العمودي يقع تمامًا في المستوى الأول.

§ إذا قمنا في إحدى المستويين المتعامدين برسم عمودي على خط تقاطعهما ، فسيكون هذا العمودي متعامدًا على المستوى الثاني.

تشكل مستويان متقاطعتان أربع زوايا ثنائية الأضلاع مع حافة مشتركة: أزواج من الزوايا الرأسية متساوية ، ومجموع زاويتين متجاورتين يساوي 180 درجة. إذا كانت إحدى الزوايا الأربع قائمة ، فإن الزوايا الثلاث الأخرى متساوية وقائمة أيضًا. يُطلق على مستويين اسم عمودي إذا كانت الزاوية بينهما صحيحة.

نظرية. إذا مرت طائرة عبر خط عمودي على مستوى آخر ، فإن هذه المستويات تكون متعامدة.

لنفترض أن المستويين يمران عبر الخط AB متعامدين عليه ويتقاطعان معه عند النقطة A (الشكل 49). دعنا نثبت أن _ | _. وتتقاطع المستويات على طول بعض الخط AC ، و AB _ | _ AC ، بسبب AB _ | _. لنرسم خطًا AD في المستوى ، عموديًا على الخط AC.

إذن الزاوية BAD هي زاوية خطية زاوية زوجيةوالمتعلمين و. ولكن< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.

22. متعدد الوجوه هو جسم يتكون سطحه من عدد محدود من المضلعات المسطحة.

1. أي من المضلعات التي يتكون منها متعدد السطوح ، يمكنك الوصول إلى أي منها بالذهاب إلى المضلع المجاور له ، ومن هذا بدوره إلى المجاور له ، إلخ.

تسمى هذه المضلعات وجوه، جوانبهم - ضلوع، ورؤوسهم القمممتعدد الوجوه. أبسط الأمثلة على متعددات الوجوه هي الأشكال المتعددة السطوح المحدبة ، أي أن حدود مجموعة فرعية محدودة من الفضاء الإقليدي هي تقاطع عدد محدود من أنصاف المسافات.

يأخذ التعريف أعلاه لمتعدد السطوح معنى مختلفًا اعتمادًا على كيفية تعريف المضلع ، حيث يكون الخياران التاليان ممكنًا:

§ خطوط متقطعة ومغلقة مسطحة (حتى لو كانت متقاطعة مع بعضها البعض) ؛

§ أجزاء من الطائرة محاطة بخطوط متقطعة.

في الحالة الأولى ، نحصل على مفهوم متعدد السطوح النجمية. في الثانية ، متعدد السطوح هو سطح مكون من قطع متعددة الأضلاع. إذا كان هذا السطح لا يتقاطع مع نفسه ، فهو السطح الكامل لبعض الأجسام الهندسية ، والذي يسمى أيضًا متعدد السطوح. ومن هنا نشأ التعريف الثالث لمتعدد الوجوه ، مثل الجسم الهندسي نفسه.

منشور مستقيم

المنشور يسمى مستقيمإذا كانت حوافه الجانبية متعامدة مع القواعد.
المنشور يسمى منحرف - مائلإذا كانت حوافها الجانبية غير متعامدة مع القواعد.
المنشور المستقيم له أوجه مستطيلة.

المنشور يسمى صيحإذا كانت قواعدها مضلعات منتظمة.
مساحة السطح الجانبي للمنشوريسمى مجموع مناطق الوجوه الجانبية.
السطح الكامل للمنشوريساوي مجموع السطح الجانبي ومناطق القواعد

عناصر المنشور:
النقاط - تسمى القمم
تسمى المقاطع الحواف الجانبية
تسمى المضلعات و- القواعد. الطائرات نفسها تسمى أيضًا القواعد.

24. موازية(من اليونانية παράλλος - متوازي و يوناني επιπεδον - مستوي) - منشور ، قاعدته عبارة عن متوازي أضلاع ، أو (بشكل مكافئ) متعدد الوجوه ، له ستة وجوه وكل منها متوازي أضلاع.

§ خط متوازي السطوح متماثل حول منتصف قطره.

§ أي جزء له نهايات تنتمي إلى سطح خط الموازي ويمر عبر منتصف قطره ينقسم إلى نصفين ؛ على وجه الخصوص ، تتقاطع جميع الأقطار في خط متوازي عند نقطة واحدة وتشطرها.

§ الوجوه المقابلة لمتوازي السطوح متوازية ومتساوية.

§ مربع الطول القطري مكعباني شبيه بالمكعبيساوي مجموع مربعات أبعادها الثلاثة.

مساحة سطح متوازي المستطيلاتيساوي ضعف مجموع مناطق الوجوه الثلاثة لهذا متوازي السطوح:

1.	س= 2(ا+سب+ج)= 2(أب+قبل الميلاد+أ)

25 . الهرم وعناصره

تخيل مستوى ، ومضلع مستلقٍ فيه ، ونقطة S ليست ملقاة فيه. قم بتوصيل S بجميع رؤوس المضلع. يسمى متعدد السطوح الناتج هرمًا. تسمى المقاطع الحواف الجانبية. يسمى المضلع بالقاعدة ، والنقطة S تسمى قمة الهرم. اعتمادًا على الرقم ن ، يسمى الهرم مثلث (ن = 3) ، رباعي الزوايا (ن = 4) ، خماسي (ن = 5) وهكذا. عنوان بديل الهرم الثلاثي – رباعي الوجوه. ارتفاع الهرم هو عمودي مرسوم من قمته إلى مستوى القاعدة.

الهرم يسمى الصحيح إذا مضلع منتظم، وقاعدة ارتفاع الهرم (قاعدة العمود العمودي) هي مركزه.

تم تصميم البرنامج لحساب مساحة السطح الجانبية الهرم الصحيح.
الهرم متعدد السطوح قاعدة على شكل مضلع ، والوجوه المتبقية هي مثلثات برأس مشترك.

صيغة حساب مساحة السطح الجانبية للهرم المنتظم هي:

حيث p هو محيط القاعدة (المضلع ABCDE) ،
أ - apothem (OS) ؛

القفص هو ارتفاع الوجه الجانبي لهرم منتظم ، مرسوم من قمته.

للعثور على مساحة السطح الجانبية للهرم المنتظم ، أدخل قيم محيط الهرم والقيم ، ثم انقر فوق الزر "CALCULATE". سيحدد البرنامج مساحة السطح الجانبية للهرم المنتظم ، والتي يمكن أن تكون قيمتها وضعها في الحافظة.

الهرم المقطوع

الهرم المقطوع هو جزء من هرم كامل محصور بين القاعدة وقسم موازٍ له.
المقطع العرضي يسمى القاعدة العلوية لهرم مبتور، وقاعدة الهرم الكامل هي أسفل القاعدةهرم مبتور. (القواعد متشابهة). الوجوه الجانبية للهرم المقطوع هي شبه منحرف. في هرم مبتور 3 نالأضلاع ، 2 نالقمم ن+ وجهان ، ن(ن- 3) قطري. المسافة بين القاعدة العلوية والسفلية هي ارتفاع الهرم المقطوع (الجزء المقطوع من ارتفاع الهرم الكامل).
إجمالي مساحة سطح الهرم المقطوع يساوي مجموع مساحات أوجهه.
حجم الهرم المقطوع ( سو س- منطقة قاعدة، ح- ارتفاع)

جسم الدورانيسمى الجسم الذي تم تشكيله نتيجة دوران خط حول خط مستقيم.

يتم كتابة أسطوانة دائرية قائمة في كرة إذا كانت دوائر قواعدها تقع على الكرة. قواعد الأسطوانة عبارة عن دوائر صغيرة للكرة ، يتطابق مركز الكرة مع منتصف محور الأسطوانة. [ 2 ]

يتم كتابة أسطوانة دائرية قائمة في كرة إذا كانت دوائر قواعدها تقع على الكرة. من الواضح أن مركز الكرة لا يقع في منتصف محور الأسطوانة. [ 3 ]

حجم أي اسطوانةيساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع:

1.	الخامس=π ص 2 ح

إجمالي مساحة السطح للأسطوانة يساوي مجموع السطح الجانبي للأسطوانة ومرتين مساحة قاعدة الأسطوانة.

صيغة حساب مساحة السطح الإجمالية للأسطوانة هي:

27. يمكن الحصول على مخروط دائري عن طريق تدوير مثلث قائم الزاوية حول إحدى رجليه ، وهذا هو السبب في أن المخروط الدائري يسمى أيضًا مخروط الدوران. انظر أيضًا حجم المخروط المستدير

المساحة الإجمالية لمخروط دائرييساوي مجموع مساحات السطح الجانبي للمخروط وقاعدته. قاعدة المخروط عبارة عن دائرة ويتم حساب مساحتها باستخدام صيغة مساحة الدائرة:

2.	س=π ص ل+π ص 2 = π ص(ص+ل)

28. فروستمتم الحصول عليها عن طريق رسم قسم موازٍ لقاعدة المخروط. الجسم الذي يحده هذا القسم ، تسمى القاعدة والسطح الجانبي للمخروط المخروط المقطوع. انظر أيضًا حجم المخروط المقطوع

المساحة الإجمالية لمخروط مقطوعيساوي مجموع مساحات السطح الجانبي للمخروط المقطوع وقواعده. قواعد المخروط المقطوع عبارة عن دوائر ويتم حساب مساحتها باستخدام صيغة مساحة الدائرة: س= π (ص 1 2 + (ص 1 + ص 2)ل+ ص 2 2)

29. كرة - جسم هندسييحدها سطح تكون جميع نقاطه على مسافة متساوية من المركز. هذه المسافة تسمى نصف قطر الكرة.

جسم كروى(اليونانية σφαῖρα - كرة) - سطح مغلق ، موضع النقاط في الفضاء ، على مسافة متساوية من نقطة معينة ، تسمى مركز الكرة. الكرة هي حالة خاصة من الشكل الإهليلجي ، حيث تتساوى المحاور الثلاثة (نصف المحاور ، نصف القطر). الكرة هي سطح الكرة.

مساحة السطح الكروي للمقطع الكروي (القطاع الكروي) والطبقة الكروية تعتمد فقط على ارتفاعهما ونصف قطر الكرة وتساوي محيط الدائرة الكبرى للكرة مضروبة في الارتفاع

حجم الكرةيساوي حجم الهرم ، قاعدته لها نفس مساحة سطح الكرة ، والارتفاع هو نصف قطر الكرة

حجم الكرة أقل بمقدار مرة ونصف من حجم الأسطوانة التي تحيط بها.

عناصر الكرة

قطعة الكرة: تقسم طائرة القطع الكرة إلى جزأين كرويين. ح- ارتفاع المقطع ، 0< ح < 2 ص, ص- نصف قطر قاعدة القطعة ، حجم قطعة الكرة مساحة السطح الكروي للجزء الكروي
الطبقة الكروية: الطبقة الكروية هي جزء من كرة محصورة بين قسمين متوازيين. مسافة ( ح) بين الأقسام يسمى ارتفاع الطبقة، والأقسام نفسها - قواعد طبقة. مساحة السطح الكروية ( الصوت) من الطبقة الكروية كالفرق بين مناطق الأسطح الكروية (الأحجام) للقطع الكروية.

 1. ضرب متجه برقم(الشكل 56).

المنتج المتجه ألكل رقم λ يسمى المتجه الخامس، الذي يساوي معامله حاصل ضرب مقياس المتجه ألكل رقم modulo λ :

لا يتغير الاتجاه إذا λ > 0 ؛ يتغير إلى العكس إذا λ < 0 . إذا λ = -1، ثم المتجه

يطلق عليه المتجه المعاكس للناقل أ، ويشار إليه

 2. إضافة المتجهات. لإيجاد مجموع متجهين أو الخامسالمتجه

ثم سيكون المجموع متجهًا ، تتزامن بدايته مع بداية الأول ، والنهاية - مع نهاية الثانية. تسمى قاعدة إضافة المتجه هذه "قاعدة المثلث" (الشكل 57). من الضروري تصوير نواقل الجمع بحيث تتزامن بداية المتجه الثاني مع نهاية الأول.

من السهل إثبات أنه بالنسبة للناقلات "لا يتغير المجموع من تغيير في أماكن المصطلحات".
دعونا نشير إلى قاعدة أخرى لإضافة المتجهات - "قاعدة متوازي الأضلاع". إذا قمنا بدمج بدايات متجهات الجمع وقمنا ببناء متوازي أضلاع عليها ، فسيكون المجموع متجهًا يتزامن مع قطري متوازي الأضلاع هذا (الشكل 58).

من الواضح أن الإضافة وفقًا لـ "قاعدة متوازي الأضلاع" تؤدي إلى نفس النتيجة وفقًا لـ "قاعدة المثلث".
من السهل تعميم "قاعدة المثلث" (في حالة وجود عدة مصطلحات). للعثور على مجموع المتجهات

من الضروري دمج بداية المتجه الثاني مع نهاية الأول ، وبداية الثالث - مع نهاية الثاني ، إلخ. ثم بداية المتجه معيتزامن مع بداية الأول والنهاية مع- مع نهاية الأخير (الشكل 59).

 3. طرح النواقل. يتم تقليل عملية الطرح إلى العمليتين السابقتين: الفرق بين متجهين هو مجموع الأول مع المتجه المعاكس للثاني:

يمكنك أيضًا صياغة "قاعدة المثلث" لطرح المتجهات: من الضروري الجمع بين بدايات المتجهات أو الخامس، ثم سيكون الاختلاف بينهما هو المتجه

مرسومة من نهاية المتجه الخامسفي نهاية المتجه أ(الشكل 60).

في المستقبل ، سنتحدث عن متجه الإزاحة لنقطة مادية ، أي المتجه الذي يربط بين الموضعين الأولي والنهائي للنقطة. توافق على أن قواعد العمل المقدمة على المتجهات واضحة تمامًا لمتجهات الإزاحة.

 4. حاصل الضرب النقطي من النواقل. نتيجة الناتج القياسي لمتجهين أو الخامسهل الرقم ج يساوي حاصل ضرب وحدات المتجهات وجيب الزاوية α ما بين

يستخدم الناتج القياسي للناقلات على نطاق واسع في الفيزياء. في المستقبل ، سيتعين علينا في كثير من الأحيان التعامل مع مثل هذه العملية.

بعض نتائج البديهيات

النظرية 1:

من خلال خط ونقطة لا ترقد عليها تمر طائرة ، وعلاوة على ذلك ، تمر طائرة واحدة فقط.

معطى: M ₵ a

الإثبات: 1) يوجد α: a∈ α ، М ∈ب ∈ α

2) α هو الوحيد

دليل:

1) على خط مستقيم و حدد النقاط صو س.ثم لدينا 3 نقاط - ص, س ، مالتي لا تقع على نفس الخط.

2) وفقًا للبديهية A1 ، يمر المستوى بثلاث نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد ، وعلاوة على ذلك ، يمر المستوى بنقطة واحدة فقط ، أي. المستوى α ، الذي يحتوي على الخط أ والنقطة م، موجود.

3) الآن دعنا نثبت ذلكα الوحيد. لنفترض أن هناك مستوى β يمر عبر النقطة M والخط أ ، ولكن هذا المستوى يمر عبر النقاطف ، س ، م.وبعد ثلاث نقاط P ، Q ، M، ليس الكذب على خط مستقيم واحد ، بحكم البديهية 1 ، يمر طائرة واحدة فقط.

4) ومن ثم ، فإن هذا المستوى يتطابق مع المستوى α.ومن ثم 1) على خط مستقيم ، ولكن اختر النقاط صو س. ثم لدينا 3 نقاط - P ، Q ، M ،التي لا تقع على نفس الخط.ومن ثم فإن α فريدة من نوعها.

لقد تم إثبات النظرية.

1) على الخط ب ، خذ النقطة N التي لا تتطابق مع النقطة M ، أي N ∈ b ، N ≠ M

2) ثم لدينا النقطة N التي لا تنتمي إلى السطر a. وفقًا للنظرية السابقة ، تمر الطائرة عبر خط ونقطة لا ترقد عليها. لنسميها المستوى α. هذا يعني أن مثل هذا المستوى الذي يمر عبر الخط أ والنقطة N موجودة.

3) دعونا نثبت تفرد هذه الطائرة. لنفترض العكس. يجب ألا يكون هناك مستوى β بحيث يمر عبر كل من الخط أ والخط ب. ولكن بعد ذلك يمر أيضًا عبر الخط أ والنقطة ن. ولكن وفقًا للنظرية السابقة ، يكون هذا المستوى فريدًا ، أي المستوى β يتطابق مع المستوى α.

4) لذا فقد أثبتنا وجود مستوي فريد يمر عبر خطين متقاطعين.

لقد تم إثبات النظرية.

نظرية الخطوط المتوازية

نظرية:

من خلال أي نقطة في الفضاء لا تقع على خط معين ، يوجد خط موازٍ للخط المعطى.

معطى: مستقيم صباحا₵ أ

إثبات:هناك واحد فقط مباشرب ∥ أ ، م ∈ ب

دليل:
1) من خلال الخط أ والنقطة م ، التي لا تقع عليها ، يمكن للمرء رسم مستوى واحد (النتيجة الطبيعية الأولى). في المستوى α ، يمكن للمرء رسم خط ب موازٍ لـ a يمر عبر M.
2) دعنا نثبت أنها الوحيدة. لنفترض أن هناك خطًا آخر ج يمر بالنقطة م ويوازي الخط أ. دع المستقيمين المتوازيين a و c يقعان في المستوى β. ثم يمر β عبر M والخط أ. لكن عبر الخط a والنقطة M تمر بالمستوى α.
3) ومن ثم ، تتطابق α و. من بديهية الخطوط المتوازية ، يترتب على ذلك أن الخطين b و c يتطابقان ، نظرًا لوجود خط فريد في المستوى يمر عبر نقطة معينة ويوازي الخط المعطى.
لقد تم إثبات النظرية.

تتضمن دورة الفيديو "الحصول على أ" جميع الموضوعات الضرورية لنجاحك اجتياز الامتحانفي الرياضيات لـ 60-65 نقطة. بالكامل جميع المهام 1-13 امتحان الملف الشخصيالرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز الاستخدام الأساسي في الرياضيات. إذا كنت تريد اجتياز الاختبار بمجموع 90-100 نقطة ، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من اختبار الرياضيات (أول 12 مشكلة) والمسألة 13 (حساب المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحد ، ولا يمكن لطالب مائة نقطة ولا إنساني الاستغناء عنها.

كل النظرية اللازمة. طرق سريعةحلول وأفخاخ وأسرار الامتحان. تم تحليل جميع المهام ذات الصلة بالجزء 1 من مهام بنك FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات USE-2018.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة ، 2.5 ساعة لكل منها. يتم إعطاء كل موضوع من الصفر ، ببساطة وبشكل واضح.

المئات من مهام الامتحان. مشاكل النص ونظرية الاحتمالات. خوارزميات حل المشكلات بسيطة وسهلة التذكر. الهندسة. النظرية ، المادة المرجعية ، تحليل جميع أنواع مهام الاستخدام. القياس المجسم. حيل ماكرة لحل أوراق الغش المفيدة ، وتنمية الخيال المكاني. علم المثلثات من البداية إلى المهمة 13. الفهم بدلاً من الحشو. شرح مرئي للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والوظيفة والمشتقات. قاعدة للحل المهام الصعبة 2 جزء من الامتحان.